مرشح تمرير منخفض

مرشح الترددات المنخفضة هو مرشح يسمح بمرور الإشارات ذات الترددات الأقل من تردد قطع محدد ، ويُضعف الإشارات ذات الترددات الأعلى من تردد القطع. يعتمد استجابة التردد الدقيقة للمرشح على تصميمه . يُطلق على هذا المرشح أحيانًا اسم مرشح قطع الترددات العالية ، أو مرشح قطع الترددات العالية جدًا في التطبيقات الصوتية. يُعد مرشح الترددات المنخفضة مكملاً لمرشح الترددات العالية .

في علم البصريات، قد يختلف معنى مصطلحي "المرشح عالي التمرير" و "المرشح منخفض التمرير" تبعًا لما إذا كانا يشيران إلى تردد الضوء أو طول موجته، نظرًا للعلاقة العكسية بين هذين المتغيرين. فمرشحات الترددات العالية تعمل كمرشحات أطوال موجية منخفضة التمرير، والعكس صحيح. ولذلك، يُنصح باستخدام مصطلحي " المرشح قصير التمرير" و "المرشح طويل التمرير" عند الإشارة إلى مرشحات الأطوال الموجية لتجنب الالتباس، حيث يتوافقان مع ترددات الترددات العالية والمنخفضة على التوالي . ^{[ 1 ]}

توجد مرشحات الترددات المنخفضة بأشكالٍ عديدة، منها الدوائر الإلكترونية مثل مرشح التشويش المستخدم في الصوت ، ومرشحات منع التداخل لمعالجة الإشارات قبل تحويلها من تناظرية إلى رقمية ، والمرشحات الرقمية لتنعيم مجموعات البيانات، والحواجز الصوتية، وتشويش الصور، وغيرها. وتُعدّ عملية المتوسط ​​المتحرك ، المستخدمة في مجالاتٍ مثل التمويل، نوعًا خاصًا من مرشحات الترددات المنخفضة، ويمكن تحليلها باستخدام تقنيات معالجة الإشارات نفسها المستخدمة مع مرشحات الترددات المنخفضة الأخرى. تُوفّر مرشحات الترددات المنخفضة شكلًا أكثر سلاسة للإشارة، إذ تُزيل التقلبات قصيرة المدى وتُبقي على الاتجاه طويل المدى.

يستخدم مصممو المرشحات عادةً مرشح التمرير المنخفض كنموذج أولي . وهو مرشح ذو عرض نطاق ومقاومة يساويان الوحدة. ويتم الحصول على المرشح المطلوب من النموذج الأولي عن طريق تغيير مقياسه ليناسب عرض النطاق والمقاومة المطلوبين، ثم تحويله إلى شكل النطاق المطلوب (أي مرشح تمرير منخفض، أو مرشح تمرير عالي، أو مرشح تمرير نطاقي ، أو مرشح إيقاف نطاقي ).

توجد أمثلة على مرشحات الترددات المنخفضة في مجالات الصوتيات والبصريات والإلكترونيات .

يميل الحاجز المادي الصلب إلى عكس الترددات الصوتية العالية، ويعمل كمرشح صوتي منخفض التردد لنقل الصوت. فعندما تُعزف الموسيقى في غرفة أخرى، تُسمع النغمات المنخفضة بوضوح، بينما تُخفَّف النغمات العالية.

يمكن تسمية المرشح البصري الذي يؤدي نفس الوظيفة بشكل صحيح بمرشح تمرير منخفض، ولكن يُطلق عليه اصطلاحاً اسم مرشح تمرير طويل (التردد المنخفض هو طول موجي طويل)، وذلك لتجنب الالتباس. ^{[ 1 ]}

في مرشح RC الإلكتروني ذي التمرير المنخفض لإشارات الجهد، يتم تخفيف الترددات العالية في إشارة الدخل، ولكن يكون التخفيف ضئيلاً عند الترددات الأقل من تردد القطع المحدد بثابت الزمن RC . أما بالنسبة لإشارات التيار، فتعمل دائرة مماثلة، باستخدام مقاومة ومكثف موصولين على التوازي ، بطريقة مشابهة. (انظر مقسم التيار الذي تمت مناقشته بمزيد من التفصيل أدناه ).

تُستخدم مرشحات الترددات المنخفضة الإلكترونية على مداخل مكبرات الصوت الفرعية وأنواع أخرى من مكبرات الصوت ، لحجب الترددات العالية التي لا تستطيع إعادة إنتاجها بكفاءة. وتستخدم أجهزة الإرسال اللاسلكية مرشحات الترددات المنخفضة لحجب الانبعاثات التوافقية التي قد تتداخل مع الاتصالات الأخرى. ويُعدّ مقبض النغمة في العديد من الغيتارات الكهربائية مرشح ترددات منخفضة يُستخدم لتقليل حدة الترددات العالية في الصوت. كما يُعدّ المُكامل مرشح ترددات منخفضة آخر ذو ثابت زمني . ^{[ 2 ]}

تستخدم خطوط الهاتف المزودة بمقسمات DSL مرشحات تمرير منخفض لفصل إشارات DSL عن إشارات POTS (ومرشحات تمرير عالي للعكس)، والتي تشترك في نفس زوج الأسلاك ( قناة الإرسال ). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تلعب مرشحات الترددات المنخفضة دورًا هامًا في تشكيل الصوت الناتج عن أجهزة المزج التناظرية والافتراضية . انظر: التركيب الطرحي .

يتم استخدام مرشح التمرير المنخفض كمرشح مضاد للتشويه قبل أخذ العينات ولإعادة البناء في التحويل الرقمي إلى التناظري .

يقوم مرشح التمرير المنخفض المثالي بإزالة جميع الترددات التي تزيد عن تردد القطع تمامًا ، بينما يسمح بمرور الترددات الأقل منه دون تغيير؛ وتكون استجابته الترددية دالة مستطيلة ، وهو مرشح ذو جدار صلب . لا توجد منطقة انتقالية، كما هو الحال في المرشحات العملية، في المرشح المثالي. يمكن تحقيق مرشح التمرير المنخفض المثالي رياضيًا (نظريًا) بضرب الإشارة بالدالة المستطيلة في مجال التردد، أو بشكل مكافئ، بإجراء عملية التفاف مع استجابتها النبضية ، وهي دالة sinc ، في مجال الزمن.

مع ذلك، يستحيل تحقيق المرشح المثالي دون وجود إشارات ذات امتداد زمني لانهائي، ولذا يتطلب الأمر عادةً تقريبه للإشارات الحقيقية المستمرة، لأن نطاق دعم دالة sinc يمتد إلى جميع الأزمنة الماضية والمستقبلية. وبالتالي، يحتاج المرشح إلى تأخير لانهائي، أو معرفة بالماضي والمستقبل اللانهائيين، لإجراء عملية الالتفاف. ويمكن تحقيقه فعليًا للإشارات الرقمية المسجلة مسبقًا بافتراض امتداد الصفر إلى الماضي والمستقبل، أو، وهو الأكثر شيوعًا، بجعل الإشارة متكررة واستخدام تحليل فورييه.

تُقارب المرشحات الحقيقية للتطبيقات الآنية المرشح المثالي عن طريق اقتطاع استجابة النبضة اللانهائية وتطبيق نافذة عليها، مما ينتج عنه استجابة نبضة محدودة . يتطلب تطبيق هذا المرشح تأخير الإشارة لفترة زمنية معتدلة، مما يسمح للحسابات بـ"رؤية" المستقبل قليلاً. يظهر هذا التأخير على شكل إزاحة طورية . تتطلب دقة أكبر في التقريب تأخيرًا أطول.

يؤدي اقتطاع مرشح تمرير منخفض مثالي إلى ظهور تشوهات رنينية عبر ظاهرة جيبس ، والتي يمكن تقليلها أو تفاقمها باختيار دالة النافذة. يتطلب تصميم المرشحات الحقيقية واختيارها فهم هذه التشوهات وتقليلها إلى أدنى حد. على سبيل المثال، سيؤدي الاقتطاع البسيط لدالة sinc إلى ظهور تشوهات رنينية حادة، والتي يمكن تقليلها باستخدام دوال نافذة تتلاشى بسلاسة أكبر عند الحواف. ^{[ 5 ]}

يتم إيجاد الاستجابة الزمنية لمرشح التمرير المنخفض عن طريق حل الاستجابة لمرشح RC البسيط للتمرير المنخفض.

باستخدام قوانين كيرشوف نصل إلى المعادلة التفاضلية ^{[ 6 ]}

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

إن الطريقة الأكثر شيوعًا لتوصيف استجابة التردد لدائرة ما هي إيجاد دالة التحويل الخاصة بها باستخدام تحويل لابلاس ^{[ 6 ]} .${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$بأخذ تحويل لابلاس لمعادلتنا التفاضلية وحلها لإيجاد${\displaystyle H(s)}$نحصل

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}}$

يمكن الحصول بسهولة على معادلة فرق منفصلة عن طريق أخذ عينات من استجابة الإدخال المتدرج أعلاه على فترات منتظمة من${\displaystyle nT}$أين${\displaystyle n=0,1,...}$و${\displaystyle T}$يمثل الوقت بين العينات. بأخذ الفرق بين عينتين متتاليتين، نحصل على

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})}$

حل لـ${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)}$نحصل

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}}$

أين${\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

باستخدام الترميز${\displaystyle V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)}$و${\displaystyle v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)}$وباستبدال القيمة التي أخذناها من العينة،${\displaystyle v_{n}=V_{i}}$، فنحصل على معادلة الفرق

${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$

صُممت العديد من المرشحات الرقمية لتوفير خصائص تمرير الترددات المنخفضة. وتُستخدم على نطاق واسع كل من مرشحات تمرير الترددات المنخفضة ذات الاستجابة النبضية اللانهائية ومرشحات تمرير الترددات المنخفضة ذات الاستجابة النبضية المحدودة ، بالإضافة إلى المرشحات التي تستخدم تحويلات فورييه .

مرشح استجابة نبضية لا نهائية بسيط

يمكن محاكاة تأثير مرشح تمرير منخفض ذي استجابة نبضية لا نهائية على جهاز كمبيوتر من خلال تحليل سلوك مرشح RC في المجال الزمني، ثم تقسيم النموذج إلى أجزاء منفصلة.

من مخطط الدائرة إلى اليمين، وفقًا لقوانين كيرشوف وتعريف السعة :

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)}$

V

${\displaystyle Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)}$

سؤال

${\displaystyle i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}}$

أنا

أين${\displaystyle Q_{c}(t)}$تمثل Q الشحنة المخزنة في المكثف عند الزمن t . وبتعويض المعادلة Q في المعادلة I نحصل على${\displaystyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$والتي يمكن استبدالها في المعادلة V بحيث

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.}$

يمكن تقسيم هذه المعادلة إلى أجزاء منفصلة. ولتبسيط الأمر، افترض أن عينات المدخلات والمخرجات تُؤخذ عند نقاط زمنية متساوية التباعد تفصل بينها مسافة زمنية محددة.${\displaystyle \Delta _{T}}$الوقت. دع عينات${\displaystyle v_{\text{in}}}$يتم تمثيلها بواسطة المتتالية${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$ودع${\displaystyle v_{\text{out}}}$يتم تمثيلها بواسطة المتتالية${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$والتي تتوافق مع نفس النقاط الزمنية. بإجراء هذه الاستبدالات،

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.}$

بإعادة ترتيب الحدود نحصل على علاقة التكرار

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

أي أن هذا التنفيذ المتقطع لمرشح تمرير منخفض RC بسيط هو المتوسط ​​المتحرك الموزون أُسّيًا

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha$ :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.}

بحسب التعريف، يقع عامل التنعيم ضمن النطاق${\displaystyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$ تعطي الصيغة الخاصة بـ α ثابت الزمن المكافئ RC بدلالة فترة أخذ العينات${\displaystyle \Delta _{T}}$ومعامل التنعيم α ،

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).}$

مع التذكير بأن

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$لذا${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},}$

ملاحظة α و${\displaystyle f_{c}}$ترتبط ببعضها البعض من خلال،

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

و

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.}$

إذا كانت قيمة α تساوي 0.5، فإن ثابت الزمن RC يساوي فترة أخذ العينات.${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$إذاً، فإن RC أكبر بكثير من فترة أخذ العينات، و${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$.

تُتيح علاقة التكرار الخاصة بالمرشح تحديد عينات الخرج بدلالة عينات الإدخال والخرج السابق. تُحاكي خوارزمية الشفرة الزائفة التالية تأثير مرشح تمرير منخفض على سلسلة من العينات الرقمية:

// إرجاع عينات خرج مرشح التمرير المنخفض RC، مع الأخذ بعينات الإدخال، // الفترة الزمنية dt ، وثابت الزمن RC دالة تمرير منخفض ( حقيقي[1..n] x، حقيقي dt، حقيقي RC) متغير حقيقي[1..n] y متغير حقيقي α := dt / (RC + dt) y[1] := α * x[1] لكل i من 2 إلى n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] أعد y

يمكن إعادة هيكلة الحلقة التي تحسب كل مخرج من المخرجات n إلى ما يعادلها:

لكل i من 2 إلى n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

أي أن التغير من مخرج مرشح إلى آخر يتناسب مع الفرق بين المخرج السابق والمدخل التالي. تتطابق خاصية التنعيم الأسي هذه مع التضاؤل ​​الأسي الملاحظ في نظام الزمن المستمر. وكما هو متوقع، مع ازدياد ثابت الزمن RC ، يزداد معامل التنعيم في نظام الزمن المتقطع .${\displaystyle \alpha }$يتناقص، وتقل عينات الإخراج${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$يستجيب بشكل أبطأ للتغير في عينات الإدخال${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$يتمتع النظام بقصور ذاتي أكبر . هذا المرشح هو مرشح تمرير منخفض أحادي القطب ذو استجابة نبضية لا نهائية (IIR).

توجد أنواع عديدة من دوائر الترشيح، ولكل منها استجابة مختلفة لتغير التردد. يُعبَّر عن استجابة التردد للمرشح عادةً باستخدام مخطط بود ، ويُحدَّد المرشح بتردد القطع ومعدل انخفاض التردد . في جميع الحالات، عند تردد القطع، يُخفِّض المرشح قدرة الإدخال إلى النصف أو بمقدار 3  ديسيبل. لذا، تُحدِّد رتبة المرشح مقدار التخفيف الإضافي للترددات الأعلى من تردد القطع.

• على سبيل المثال، يُقلل مرشح الرتبة الأولى سعة الإشارة إلى النصف (أي تنخفض القدرة بمقدار 4 أضعاف، أو 6 ديسيبل) في كل مرة يتضاعف فيها التردد (يرتفع بمقدار أوكتاف واحد )؛ وبشكل أدق، يقترب معدل انخفاض القدرة من 20  ديسيبل لكل عقد في حالة الترددات العالية. يبدو مخطط بود لسعة مرشح الرتبة الأولى كخط أفقي أسفل تردد القطع ، وخط قطري أعلى تردد القطع. كما يوجد منحنى انحناء عند الحد الفاصل بينهما، ينتقل بسلاسة بين منطقتي الخط المستقيم. إذا كانت دالة نقل مرشح تمرير منخفض من الرتبة الأولى تحتوي على صفر وقطب ، فإن مخطط بود يستوي مرة أخرى عند حد أقصى لتوهين الترددات العالية؛ وينتج هذا التأثير، على سبيل المثال، عن تسرب طفيف للإشارة المدخلة حول مرشح القطب الواحد؛ ويظل هذا المرشح (قطب واحد - صفر واحد ) مرشح تمرير منخفض من الرتبة الأولى. انظر مخطط القطب-الصفر ودائرة RC .
• يُخفّض المرشح من الدرجة الثانية الترددات العالية بشكل حاد. يشبه مخطط بود لهذا النوع من المرشحات مخطط مرشح الدرجة الأولى، إلا أنه يتلاشى بسرعة أكبر. على سبيل المثال، يُخفّض مرشح باترورث من الدرجة الثانية سعة الإشارة إلى ربع مستواها الأصلي في كل مرة يتضاعف فيها التردد (أي تنخفض القدرة بمقدار 12  ديسيبل لكل أوكتاف، أو 40  ديسيبل لكل عقد). قد تتلاشى مرشحات الدرجة الثانية الأخرى ذات الأقطاب فقط بمعدلات مختلفة في البداية اعتمادًا على عامل الجودة (Q) ، ولكنها تقترب من نفس المعدل النهائي البالغ 12  ديسيبل لكل أوكتاف؛ وكما هو الحال مع مرشحات الدرجة الأولى، يمكن للأصفار في دالة النقل أن تُغيّر خط التقارب للترددات العالية. انظر دائرة RLC .
• تُعرَّف المرشحات من الرتبة الثالثة وما فوقها بشكل مماثل. وبشكل عام، يبلغ معدل انخفاض القدرة النهائي لمرشح ذي أقطاب كاملة من الرتبة n، 6 n ديسيبل لكل أوكتاف (20 n ديسيبل لكل عقد).

في أي مرشح باترورث، إذا مددنا الخط الأفقي إلى اليمين والخط القطري إلى أعلى اليسار (خطوط التقارب للدالة)، فإنهما يتقاطعان عند تردد القطع بالضبط ، أي أقل بمقدار 3  ديسيبل من الخط الأفقي. تتميز أنواع المرشحات المختلفة ( مرشح باترورث ، مرشح تشيبيشيف ، مرشح بيسل ، إلخ) بمنحنيات ركبة مختلفة . تحتوي العديد من مرشحات الرتبة الثانية على "ذروة" أو رنين يجعل استجابة ترددها أعلى من الخط الأفقي عند هذه الذروة.

يعتمد معنى مصطلحي "منخفض" و"عالي" - أي تردد القطع - على خصائص المرشح. يشير مصطلح "مرشح تمرير منخفض" إلى شكل استجابة المرشح فحسب؛ إذ يمكن تصميم مرشح تمرير عالي بتردد قطع أقل من أي مرشح تمرير منخفض، والفرق بينهما يكمن في استجاباتهما. يمكن تصميم الدوائر الإلكترونية لأي نطاق تردد مطلوب، وصولاً إلى ترددات الميكروويف (أعلى من 1  جيجاهرتز) وما فوقها.

• النطاق الأساسي
• أكثر سلاسة (إحصائيات)

• محاكي جافا لمرشح تمرير منخفض
• ECE 209: مراجعة الدوائر كنظم LTI ، مقدمة موجزة عن التحليل الرياضي لنظم LTI (الكهربائية).
• مقرر ECE 209: مصادر إزاحة الطور ، شرح مبسط لمصدر إزاحة الطور في مرشح الترددات المنخفضة. كما يتحقق من دالة نقل مرشح الترددات المنخفضة السلبي البسيط باستخدام المتطابقات المثلثية.
• مولد كود C للتنفيذ الرقمي لمرشحات Butterworth و Bessel و Chebyshev التي أنشأها الراحل الدكتور توني فيشر من جامعة يورك (يورك، إنجلترا).