توزيع فون ميزس-فيشر

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 147 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء الاتجاهي ، يُعد توزيع فون ميزس-فيشر (المسمى نسبةً إلى ريتشارد فون ميزس ورونالد فيشر ) توزيعًا احتماليًا على(ص-1){\displaystyle (p-1)}- المجال فيRص{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}. لوص=2{\displaystyle p=2} يختزل التوزيع إلى توزيع فون ميزس على الدائرة .

تعريف

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع فون ميزس-فيشر لمتجه الوحدة العشوائي ذي الأبعاد px{\displaystyle \mathbf {x} }يُعطى بواسطة: وص(x;μ،κ)=جص(κ)خبرة⁡(κμتيx)،{\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=C_{p}(\kappa )\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),} حيثκ≥0،‖μ‖=1{\displaystyle \kappa \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1}وثابت التطبيعجص(κ){\displaystyle C_{p}(\kappa )}يساوي جص(κ)=κص/2-1(2π)ص/2أناص/2-1(κ)،{\displaystyle C_{p}(\kappa )={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi )^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},} أينأناv{\displaystyle I_{v}}تشير إلى دالة بيسل المعدلة من النوع الأول من الرتبةv{\displaystyle v}. لوص=3{\displaystyle p=3}، يتقلص ثابت التطبيع إلى ج3(κ)=κ4πسينه⁡κ=κ2π(هـκ-هـ-κ).{\displaystyle C_{3}(\kappa )={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }}={\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e^{-\kappa })}}.}

المعاييرμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}وκ{\displaystyle \kappa }يُطلق عليهما اسم متوسط ​​الاتجاه ومعامل التركيز ، على التوالي. كلما زادت قيمةκ{\displaystyle \kappa }كلما زاد تركيز التوزيع حول الاتجاه المتوسطμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}التوزيع أحادي النمط لـκ>0{\displaystyle \kappa >0}ويكون منتظمًا على الكرة لـκ=0{\displaystyle \kappa =0}.

توزيع فون ميزس-فيشر لـص=3{\displaystyle p=3}يُطلق عليه أيضًا اسم توزيع فيشر . [ 1 ] [ 2 ] وقد استُخدم لأول مرة لنمذجة تفاعل ثنائيات الأقطاب الكهربائية في مجال كهربائي . [ 3 ] وتوجد تطبيقات أخرى له في الجيولوجيا والمعلوماتية الحيوية واستخراج النصوص .

يدعم

يمثل نطاق توزيع فون ميزس-فيشر الكرة الفائقة ، أو بشكل أكثر تحديدًا،(ص-1){\displaystyle (p-1)}-sphere ، ويرمز لها بـ Sص-1={x∈Rص:‖x‖=1}{\displaystyle \mathbb {S} ^{p-1}=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}:\left\|\mathbf {x} \right\|=1\right\}} هذا(ص-1){\displaystyle (p-1)}متعدد الأبعاد مضمن فيص{\displaystyle p}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n،Rص{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}.

ملاحظة حول ثابت التطبيع

في كتاب الإحصاءات الاتجاهية [ 3 ] لمارديا وجوب ، يبدو أن ثابت التطبيع المعطى لكثافة احتمال فون ميزس فيشر (VMF) يختلف عن الثابت المعطى هنا:جص(κ){\displaystyle C_{p}(\kappa )}في ذلك الكتاب، لـVMF(μ،κ){\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}يتم تحديد ثابت التطبيع على النحو التالي: جص*(κ)=(κ2)ص/2-1Γ(ص/2)أناص/2-1(κ){\displaystyle C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {({\frac {\kappa }{2}})^{p/2-1}}{\Gamma (p/2)I_{p/2-1}(\kappa )}}} أينΓ{\displaystyle \Gamma }هي دالة غاما . ويتم حل هذا الأمر بملاحظة أن مارديا وجوب يعطيان الكثافة "بالنسبة للتوزيع المنتظم"، بينما يتم تحديد الكثافة هنا بالنسبة لمقياس هاوسدورف المُقاس .ح¯ص-1{\displaystyle {\bar {H}}^{p-1}}، مما يعطي مساحة سطح الكرة الكاملة (p-1) على النحو التالي: حλص-1(Sص-1)=2πص/2Γ(ص/2)،{\displaystyle H_{\lambda}^{p-1}(\mathbb {S} ^{p-1})={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma (p/2)}},} ومقلوب ذلك يعطي الكثافة (الثابتة) للتوزيع المنتظم،VMF(μ،κ=0)،{\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa =0),}مثل: جص(0)=Γ(ص/2)2πص/2{\displaystyle C_{p}(0)={\frac {\Gamma (p/2)}{2\pi ^{p/2}}}} ويترتب على ذلك ما يلي: جص*(κ)=جص(κ)جص(0){\displaystyle C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {C_{p}(\kappa )}{C_{p}(0)}}} بينما قيمةجص(0){\displaystyle C_{p}(0)}تم اشتقاقها أعلاه من خلال مساحة السطح، ويمكن الحصول على نفس النتيجة عن طريق تحديدκ=0{\displaystyle \kappa =0}في الصيغة أعلاه لـجص(κ){\displaystyle C_{p}(\kappa )}يمكن القيام بذلك من خلال ملاحظة أن متسلسلة التوسع لـأناص/2-1(κ){\displaystyle I_{p/2-1}(\kappa )}مقسوماً علىκص/2-1{\displaystyle \kappa ^{p/2-1}}لا يوجد سوى حد واحد غير صفري عندκ=0{\displaystyle \kappa =0}لتقييم هذا المصطلح، يجب استخدام التعريف00=1{\displaystyle 0^{0}=1}.)

لمزيد من الفهم لدوال الكثافة على الكرة الفائقة، انظر: التوزيع الطبيعي المسقط §  ملاحظة حول تعريف الكثافة .

العلاقة بالتوزيع الطبيعي

انطلاقاً من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات ذي تباين متساوي الخواصκ-1أنا{\displaystyle \kappa ^{-1}\mathbf {I} }ويعنيμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}من الطولر>0{\displaystyle r>0}، والتي دالة كثافتها هي: شمالص(x;μ،κ)=(κ2π)صخبرة⁡(-κ(x-μ)تي(x-μ)2)،{\displaystyle {\mathcal {N}} _ {p}(\mathbf {x} يتم الحصول على توزيع فون ميزس-فيشر عن طريق التكييف على‖x‖=1{\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}عن طريق التوسع (x-μ)تي(x-μ)=xتيx+μتيμ-2μتيx=1+ر2-2μتيx،{\displaystyle (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\mu }}-2{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =1+r^{2}-2{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ,} كثافة فون ميزس-فيشر،وص(x;ر-1μ،رκ)∝هـκμتيx{\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;r^{-1}{\boldsymbol {\mu }},r\kappa )\propto e^{\kappa {\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }}يتم استعادتها عن طريق إعادة حساب ثابت التطبيع من خلال التكاملx{\displaystyle \mathbf {x} }فوق كرة الوحدة. إذاμ=0{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}}نحصل على التوزيع المنتظم، بكثافة (ثابتة).وص(x;μ~،0){\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\tilde {\boldsymbol {\mu }}},0)} , حيثμ~∈Sص-1{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\mu }}}\in \mathbb {S} ^{p-1}}هو أمر اعتباطي.

وبإيجاز، فإن تقييد أي كثافة طبيعية متعددة المتغيرات متساوية الخواص على الكرة الفائقة الوحدة يعطي كثافة فون ميزس-فيشر، حتى التطبيع.

انظر أيضاً:

  • يمكن تعميم هذا البناء بالبدء بتوزيع طبيعي ذي مصفوفة تباين عامة، وفي هذه الحالة يقتصر على‖x‖=1{\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}يعطي توزيع فيشر-بينغهام .
  • لا ينبغي الخلط بين التقييد والإسقاط . إذاz∼شمالص(μ،Σ){\displaystyle \mathbf {z} \sim {\mathcal {N}}_ {p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}، والتي نقوم بإسقاطها على كرة الوحدة:x=‖z‖-1z{\displaystyle \mathbf {x} =\lVert \mathbf {z} \rVert ^{-1}\mathbf {z} }نحصل على التوزيع الطبيعي المتوقع . (بصورة غير رسمية، يمكن اعتبار التقييد بمثابة أخذ عينات بالرفض مع ميزانية أخذ عينات غير محدودة، حيث نحتفظ فقط بتلكz{\displaystyle \mathbf {z} }التي تهبط على كرة الوحدة، بينما نستخدم جميع العينات في الإسقاط.)

تقدير المعلمات

الاتجاه المتوسط

سلسلة من N متجهات وحدة مستقلةxأنا{\displaystyle x_{i}}يتم سحبها من توزيع فون ميزس-فيشر. تقديرات الاحتمال الأقصى للاتجاه المتوسطμ{\displaystyle \mu }هو ببساطة المتوسط ​​الحسابي المعياري ، وهو إحصائية كافية : [ 3 ]μ=x¯/R¯،أين x¯=1شمال∑أناشمالxأنا،و R¯=‖x¯‖،\displaystyle \mu = \bar {x}/\bar {R}, \text{حيث ​​\bar {x} = \frac {1}{N} \sum _{i}^{N} x_{i}, \text{و \bar {R} = \|\bar {x}\|,}

معامل التركيز

استخدم دالة بيسل المعدلة من النوع الأول لتعريف أص(κ)=أناص/2(κ)أناص/2-1(κ).{\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {I_{p/2}(\kappa )}{I_{p/2-1}(\kappa )}}\,.}

ثم: κ=أص-1(R¯).{\displaystyle \kappa =A_{p}^{-1}({\bar {R}})\,.} هكذاκ{\displaystyle \kappa }الحل هو أص(κ)=‖∑أناشمالxأنا‖شمال=R¯.{\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {\left\|\sum _{i}^{N}x_{i}\right\|}{N}}={\bar {R}}\,.}

تقريب بسيط لـκ{\displaystyle \kappa }(Sra, 2011) κ^=R¯(ص-R¯2)1-R¯2،{\displaystyle {\hat {\kappa }}={\frac {{\bar {R}}(p-{\bar {R}}^{2})}{1-{\bar {R}}^{2}}}\,,}

يمكن الحصول على عملية عكسية أكثر دقة من خلال تكرار طريقة نيوتن عدة مرات κ^1=κ^-أص(κ^)-R¯1-أص(κ^)2-ص-1κ^أص(κ^)،{\displaystyle {\hat {\kappa }}_{1}={\hat {\kappa }}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }})^{2}-{\frac {p-1}{\hat {\kappa }}}A_{p}({\hat {\kappa }})}}\,,}κ^2=κ^1-أص(κ^1)-R¯1-أص(κ^1)2-ص-1κ^1أص(κ^1).{\displaystyle {\hat {\kappa }}_{2}={\hat {\kappa }}_{1}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})^{2}-{\frac {p-1}{{\hat {\kappa }}_{1}}}A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})}}\,.}

الخطأ المعياري

بالنسبة لـ N  ≥  25، يمكن حساب الخطأ المعياري الكروي المقدر لاتجاه متوسط ​​العينة على النحو التالي: [ 4 ]σ^=(دشمالR¯2)1/2{\displaystyle {\hat {\sigma }}=\left({\frac {d}{N{\bar {R}}^{2}}}\right)^{1/2}} أين د=1-1شمال∑أناشمال(μتيxأنا)2{\displaystyle d=1-{\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}\left(\mu ^{T}x_{i}\right)^{2}} عندئذٍ يصبح من الممكن تقريب قيمة100(1-α)%{\displaystyle 100(1-\alpha )\%}فاصل ثقة كروي ( مخروط ثقة ) حولμ{\displaystyle \mu }بزاوية شبه عمودية: q=دالة الجيب العكسية⁡(هـα1/2σ^)،{\displaystyle q=\arcsin \left(e_{\alpha }^{1/2}{\hat {\sigma }}\right),}أينهـα=-ln⁡(α).{\displaystyle e_{\alpha }=-\ln(\alpha ).} على سبيل المثال، بالنسبة لمخروط ثقة بنسبة 95%،α=0.05،هـα=-ln⁡(0.05)=2.996،{\displaystyle \alpha =0.05,e_{\alpha }=-\ln(0.05)=2.996,}وبالتاليq=دالة الجيب العكسية⁡(1.731σ^).{\displaystyle q=\arcsin(1.731{\hat {\sigma }}).}

القيمة المتوقعة

لا تقع القيمة المتوقعة لتوزيع فون ميزس-فيشر على الكرة الفائقة ذات الوحدة، بل يقل طولها عن واحد. ويُعطى هذا الطول بالصيغة التالية:أص(κ){\displaystyle A_{p}(\kappa )}كما هو مُعرَّف أعلاه. بالنسبة لتوزيع فون ميزس-فيشر ذي اتجاه متوسطμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}والتركيزκ>0{\displaystyle \kappa >0}، القيمة المتوقعة هي: أص(κ)μ{\displaystyle A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }}}. لκ=0{\displaystyle \kappa =0}، القيمة المتوقعة تقع عند نقطة الأصل. بالنسبة لـ المحدودةκ>0{\displaystyle \kappa >0}، طول القيمة المتوقعة يقع بدقة بين الصفر والواحد، وهو دالة متزايدة رتيبة لـκ{\displaystyle \kappa }.

يتصرف المتوسط ​​التجريبي ( المتوسط ​​الحسابي ) لمجموعة من النقاط على الكرة الفائقة ذات الوحدة بطريقة مماثلة، حيث يكون قريبًا من نقطة الأصل للبيانات المتباعدة، وقريبًا من الكرة للبيانات المركزة. في الواقع، بالنسبة لتوزيع فون ميزس-فيشر، فإن القيمة المتوقعة لتقدير الاحتمال الأقصى بناءً على مجموعة من النقاط تساوي المتوسط ​​التجريبي لتلك النقاط.

الإنتروبيا وتباعد كولباك-لايبير

يمكن استخدام القيمة المتوقعة لحساب الإنتروبيا التفاضلية وتباعد كولباك-لايبير .

الإنتروبيا التفاضلية لـVMF(μ،κ){\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}يكون: ⟨-سجل⁡وص(x;μ،κ)⟩x∼VMF(μ،κ)=-سجل⁡وص(أص(κ)μ;μ،κ)=-سجل⁡جص(κ)-κأص(κ){\displaystyle {\bigl \langle }-\log f_{p}(\mathbf {x} {\boldsymbol {\mu }},\kappa ){\bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}=-\log f_{p}(A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }};{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=-\log C_{p}(\kappa )-\kappa A_{p}(\kappa )} حيث تشير الأقواس الزاوية إلى القيمة المتوقعة. لاحظ أن الإنتروبيا هي دالة لـκ{\displaystyle \kappa }فقط.

تباين كولباك-لايبير بينVMF(μ0،κ0){\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}وVMF(μ1،κ1){\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}يكون: ⟨سجل⁡وص(x;μ0،κ0)وص(x;μ1،κ1)⟩x∼VMF(μ0،κ0)=سجل⁡وص(أص(κ0)μ0;μ0،κ0)وص(أص(κ0)μ0;μ1،κ1){\displaystyle {\Bigl \langle }\log {\frac {f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}{\Bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _ {0}}},\kappa _{0})}=\log {\frac {f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(A_ {p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\مو _ {0}}};{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}}

تحويل

تُعتبر توزيعات فون ميزس-فيشر (VMF) مغلقة تحت التحويلات الخطية المتعامدة. ليكنيو{\displaystyle \mathbf {U} }كنص{\displaystyle p}-بواسطة-ص{\displaystyle p}المصفوفة المتعامدة .x∼VMF(μ،κ){\displaystyle \mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}وتطبيق التحويل الخطي القابل للعكس:y=يوx{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ux} }التحويل العكسي هوx=يو′y{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {U'y} }لأن معكوس المصفوفة المتعامدة هو منقولها :يو-1=يو′{\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} '}مصفوفة جاكوبي للتحويل هييو{\displaystyle \mathbf {U} }، والتي تساوي قيمتها المطلقة 1 ، وذلك أيضاً بسبب خاصية التعامد. وباستخدام هذه الحقائق وشكل دالة كثافة VMF، يتبين ما يلي: y∼VMF(يوμ،κ).{\displaystyle \mathbf {y} \sim {\text{VMF}}(\mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }},\kappa ).} يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك بما أنμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}وx{\displaystyle \mathbf {x} }إذا كانت متجهات وحدة، فبحسب خاصية التعامد، فإنيوμ{\displaystyle \mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }}}وy{\displaystyle \mathbf {y} }.

توليد الأرقام شبه العشوائية

الحالة العامة

قدّم أولريش [ 5 ] خوارزمية لسحب عينات شبه عشوائية من توزيع فون ميزس فيشر (VMF) ، ثم صححها وود [ 6 ] . وقدّم هورنيك وغرون [ 7 ] تطبيقًا لها بلغة R ، بينما وصف بينزون ويونغ [ 8 ] تطبيقًا سريعًا لها بلغة بايثون .

لمحاكاة توزيع VMF على(ص-1){\displaystyle (p-1)}كرة الوحدة ذات الأبعاد n،Sص-1{\displaystyle S^{p-1}}، باتجاه متوسطμ∈Sص-1{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}تستخدم هذه الخوارزميات التفكيك الشعاعي المماسي التالي لنقطةx∈Sص-1⊂Rص{\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}} : x=تμ+1-ت2v{\displaystyle \mathbf {x} =t{\boldsymbol {\mu }}+{\sqrt {1-t^{2}}}\mathbf {v} } أينv∈Rص{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{p}}يعيش في التماس(ص-2){\displaystyle (p-2)}كرة فرعية أحادية الأبعاد مركزها عند وعمودية علىμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}؛ بينمات∈[-1،1]{\displaystyle t\in [-1,1]}لرسم عينةx{\displaystyle \mathbf {x} }من ملف VMF ذي معلمات μ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}وκ{\displaystyle \kappa }،v{\displaystyle \mathbf {v} }يجب سحبها من التوزيع المنتظم على الكرة الفرعية المماسية؛ والمكون القطري،ت{\displaystyle t}يجب سحبها بشكل مستقل عن التوزيع ذي الكثافة: وشعاعي(ت;κ،ص)=(κ/2)νΓ(12)Γ(ν+12)أناν(κ)هـتκ(1-ت2)ν-12{\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})I_{\nu }(\kappa )}}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}} أينν=ص2-1{\displaystyle \nu ={\frac {p}{2}}-1}يمكن التحقق من ثابت التوحيد لهذه الكثافة باستخدام ما يلي: أناν(κ)=(κ/2)νΓ(12)Γ(ν+12)∫-11هـتκ(1-ت2)ν-12دت{\displaystyle I_{\nu }(\kappa )={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dt} كما هو موضح في الملحق 1 (أ.3) في الإحصاءات الاتجاهية . [ 3 ] رسمت{\displaystyle t}تم شرح كيفية أخذ عينات من هذه الكثافة باستخدام خوارزمية أخذ العينات بالرفض في المراجع المذكورة أعلاه. لرسم التوزيع المنتظمv{\displaystyle \mathbf {v} }عينات عمودية علىμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}انظر الخوارزمية في [ 8 ] أو يمكن استخدام تحويل هاوسهولدر كما هو موضح في الخوارزمية 1 في [ 9 ] .

كرة ثلاثية الأبعاد

لتوليد متجه وحدة كروي ثلاثي الأبعاد عشوائي زائف موزع وفقًا لتوزيع فون ميزس-فيشر [ 10 ] [ 11 ]Xs{\textstyle \mathbf {X} _{s}}علىS2{\textstyle S^{2}}كرة معينةμ{\textstyle \mu }وκ{\textstyle \kappa }، يُعرِّف Xs=[ر،θ،ϕ]{\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[r,\theta ,\phi ]} أينθ{\textstyle \theta }هي الزاوية القطبية،ϕ{\textstyle \phi }الزاوية السمتية، ور=1{\textstyle r=1}المسافة إلى مركز الكرة.

لμ=[0،(.)،1]{\textstyle \mathbf {\mu } =[0,(.),1]}ثم تُعطى الثلاثية شبه العشوائية بواسطة Xs=[1،أركوس⁡دبليو،V]{\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[1,\arccos W,V]} أينV{\textstyle V}يتم أخذ العينات من التوزيع المنتظم المستمريو(أ،ب){\textstyle U(a,b)}مع الحد الأدنىأ{\textstyle a}والحد الأعلىب{\textstyle b}V∼يو(0،2π){\displaystyle V\sim U(0,2\pi )} و دبليو=كوس⁡θ=1+1κ(ln⁡ξ+ln⁡(1-ξ-1ξهـ-2κ)){\displaystyle W=\cos \theta =1+{\frac {1}{\kappa }}(\ln \xi +\ln(1-{\frac {\xi -1}{\xi }}e^{-2\kappa }))} أينξ{\textstyle \xi }يتم أخذ العينات من التوزيع المنتظم المستمر القياسييو(0،1){\textstyle U(0,1)}ξ∼يو(0،1){\displaystyle \xi \sim U(0,1)} هنا،دبليو{\textstyle W}يجب ضبطه علىدبليو=1{\textstyle W=1}متىξ=0{\textstyle \mathbf {\xi } =0}وXs{\textstyle \mathbf {X} _{s}}يتم تدويرها لتتناسب مع أي شيء آخر مرغوب فيهμ{\textstyle \mu }.

توزيع الزاوية القطبية

لص=3{\displaystyle p=3}، الزاوية θ بينx{\displaystyle \mathbf {x} }وμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}يرضيكوس⁡θ=μتيx{\displaystyle \cos \theta ={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }. لها التوزيع ص(θ)=∫د2xو(x;μ،κ)دلتا(θ-arc cos(μتيx)){\displaystyle p(\theta )=\int d^{2}xf(x;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )\,\delta \left(\theta -{\text{arc cos}}({\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} )\right)}والتي يمكن تقييمها بسهولة على النحو التالي ص(θ)=2πج3(κ)الخطيئة⁡θهـκكوس⁡θ{\displaystyle p(\theta )=2\pi C_{3}(\kappa )\,\sin \theta \,e^{\kappa \cos \theta }}.

في الحالة العامة،ص≥2{\displaystyle p\geq 2}، توزيع جيب تمام هذه الزاوية: كوس⁡θ=ت=μتيx{\displaystyle \cos \theta =t={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} } يُعطى بواسطةوشعاعي(ت;κ،ص){\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)}كما هو موضح أعلاه .

توزيع موحد للكرات الفائقة

متىκ=0{\displaystyle \kappa =0}، توزيع فون ميزس-فيشر،VMF(μ،κ){\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}يتبسط إلى التوزيع المنتظم علىSص-1⊂Rص{\displaystyle \mathbb {S} ^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}}الكثافة ثابتة ولها قيمةجص(0){\displaystyle C_{p}(0)}يمكن توليد عينات شبه عشوائية عن طريق توليد عينات فيRص{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}من التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات القياسي، متبوعًا بالتطبيع إلى معيار الوحدة.

المكون الهامشي للتوزيع المنتظم

ل1≤أنا≤ص{\displaystyle 1\leq i\leq p}، يتركxأنا{\displaystyle x_{i}}أن يكون أي مكون منx∈Sص-1{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {S} ^{p-1}}التوزيع الهامشي لـxأنا{\displaystyle x_{i}}لها الكثافة: [ 12 ] [ 13 ]وأنا(xأنا;ص)=وشعاعي(xأنا;κ=0،ص)=(1-xأنا2)ص-12-1ب(12،ص-12){\displaystyle f_{i}(x_{i};p)=f_{\text{radial}}(x_{i};\kappa =0,p)={\frac {(1-x_{i}^{2})^{{\frac {p-1}{2}}-1}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}}}} أينب(α،β){\displaystyle B(\alpha ,\beta )}هي دالة بيتا . يمكن فهم هذا التوزيع بشكل أفضل من خلال تسليط الضوء على علاقته بتوزيع بيتا : xأنا2∼بيتا(12،ص-12)وxأنا+12∼بيتا(ص-12،ص-12){\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{2}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}&&{\text{and}}&{\frac {x_{i}+1}{2}}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}} حيث تكون صيغة تكرار ليجندر مفيدة لفهم العلاقات بين ثوابت التطبيع للكثافات المختلفة المذكورة أعلاه.

لاحظ أن مكوناتx∈Sص-1{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {S} ^{p-1}}ليست مستقلة ، لذا فإن الكثافة المنتظمة ليست ناتج ضرب الكثافات الحدية؛ وx{\displaystyle \mathbf {x} }لا يمكن تجميعها عن طريق أخذ عينات مستقلة من المكونات.

توزيع نواتج الضرب النقطي

في مجال التعلم الآلي ، وخاصة في تصنيف الصور ، غالبًا ما تتم مقارنة المدخلات المراد تصنيفها (مثل الصور) باستخدام تشابه جيب التمام ، وهو حاصل الضرب النقطي بين التمثيلات الوسيطة في شكل متجهات الوحدة (تسمى التضمينات ). وعادةً ما يكون البعد عاليًا، معص{\displaystyle p}على الأقل عدة مئات. يجب أن تتعلم الشبكات العصبية العميقة التي تستخرج التضمينات للتصنيف توزيع الفئات على أوسع نطاق ممكن، ومن الناحية المثالية، يجب أن ينتج عن ذلك فئات موزعة بشكل موحد علىSص-1{\displaystyle \mathbb {S} ^{p-1}}[ 14 ] من أجل فهم إحصائي أفضل لتشابه جيب التمام عبر الفئات ، قد يكون توزيع الضرب النقطي بين متجهات الوحدة التي تم أخذ عينات منها بشكل مستقل من التوزيع المنتظم مفيدًا .

يتركx،y∈Sص-1{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {S} ^{p-1}}كن متجهات وحدة فيRص{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}، مأخوذة بشكل مستقل من التوزيع المنتظم. تعريف: ت=x′y∈[-1،1]،ر=ت+12∈[0،1]،s=لوجيت(ر)=سجل⁡1+ت1-ت∈R{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\mathbf {x} '\mathbf {y} \in [-1,1],&r&={\frac {t+1}{2}}\in [0,1],&s&={\text{logit}}(r)=\log {\frac {1+t}{1-t}}\in \mathbb {R} \end{aligned}}} أينت{\displaystyle t}هو حاصل الضرب النقطي ور،s{\displaystyle r,s}هي نسخ مُعدّلة منها. ثم التوزيع لـت{\displaystyle t}وهو نفسه توزيع المكون الهامشي المذكور أعلاه ؛ [ 13 ] التوزيع لـر{\displaystyle r}بيتا متناظرة والتوزيع لـs{\displaystyle s}هو نموذج لوجستي-بيتا متناظر : ر∼بيتا(ص-12،ص-12)،s∼بσ(ص-12،ص-12){\displaystyle {\begin{aligned}r&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )},&s&\sim B_{\sigma }{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}} المتوسطات والتباينات هي: هـ[ت]=0،هـ[ر]=12،هـ[s]=0،{\displaystyle {\begin{aligned}E[t]&=0,&E[r]&={\frac {1}{2}},&E[s]&=0,\end{aligned}}} و متغير[ت]=1ص،متغير[ر]=14ص،متغير[s]=2ψ′(ص-12)≈4ص-1{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{var}}[t]&={\frac {1}{p}},&{\text{var}}[r]&={\frac {1}{4p}},&{\text{var}}[s]&=2\psi '{\bigl (}{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\approx {\frac {4}{p-1}}\end{aligned}}} أينψ′=ψ(1){\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}هي أول دالة متعددة غاما . تقل التباينات، وتصبح توزيعات المتغيرات الثلاثة أقرب إلى التوزيع الطبيعي، ويتحسن التقريب النهائي مع زيادة الأبعاد.ص{\displaystyle p}، تزداد.

التعميمات

مصفوفة فون ميزس-فيشر

يتميز توزيع فون ميزس-فيشر المصفوفي (المعروف أيضًا باسم توزيع لانجفين المصفوفي [ 15 ] [ 16 ] ) بالكثافة التالية ون،ص(X;F)∝خبرة⁡(tr⁡(FتيX)){\displaystyle f_{n,p}(\mathbf {X} ;\mathbf {F} )\propto \exp(\operatorname {tr} (\mathbf {F} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ))} مدعومة على مشعب ستيفل لـن×ص{\displaystyle n\times p}إطارات p متعامدةX{\displaystyle \mathbf {X} }، أينF{\displaystyle \mathbf {F} }هو أمر اعتباطين×ص{\displaystyle n\times p}المصفوفة الحقيقية. [ 17 ] [ 18 ]

توزيعات المشاهد

يستخدم أولريش، [ 5 ] عند تصميم خوارزمية لأخذ عينات من توزيع VMF، عائلة من التوزيعات سُميت نسبةً إلى جون جي. ساو الذي استكشفها. [ 19 ] توزيع ساو هو توزيع على(ص-1){\displaystyle (p-1)}-جسم كروي،Sص-1{\displaystyle S^{p-1}}، مع متجه الوضعμ∈Sص-1{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}والتركيزκ≥0{\displaystyle \kappa \geq 0}والتي تأخذ دالة كثافتها الشكل التالي: ورأى(x;μ،κ)=ز(κx′μ)كص(κ){\displaystyle f_{\text{Saw}}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )={\frac {g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})}{K_{p}(\kappa )}}} حيثز{\displaystyle g}دالة غير سالبة ومتزايدة؛ وحيثكP(κ){\displaystyle K_{P}(\kappa )}هو ثابت التوحيد. يُعمم التفكيك القطري المماسي المذكور أعلاه على عائلة Saw والمكون القطري.ت=x′μ{\displaystyle t=\mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}لها الكثافة التالية: ومنشار شعاعي(ت;κ)=2πص/2Γ(ص/2)ز(κت)(1-ت2)(ص-3)/2ب(12،ص-12)كص(κ).{\displaystyle f_{\text{Saw-radial}}(t;\kappa )={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma (p/2)}}{\frac {g(\kappa t)(1-t^{2})^{(p-3)/2}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}K_{p}(\kappa )}}.} أينب{\displaystyle B}هي دالة بيتا. لاحظ أيضًا أن العامل الأيسر للكثافة الشعاعية هو مساحة السطح لـSص-1{\displaystyle S^{p-1}}.

عن طريق الضبطز(κx′μ)=هـκx′μ{\displaystyle g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})=e^{\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}}، يستعيد المرء توزيع VMF.

توزيع رادماخر الموزون

يمكن توسيع تعريف توزيع فون ميزس-فيشر ليشمل أيضًا الحالة التيص=1{\displaystyle p=1}بحيث يكون الدعم هو الكرة الفائقة ذات البعد الصفري، والتي عند تضمينها في الفضاء الإقليدي ذي البعد الواحد تكون المجموعة المنفصلة.{-1،1}{\displaystyle \{-1,1\}}الاتجاه المتوسط ​​هوμ∈{-1،1}{\displaystyle \mu \in \{-1,1\}}والتركيز هوκ≥0{\displaystyle \kappa \geq 0}دالة الكتلة الاحتمالية، لـx∈{-1،1}{\displaystyle x\in \{-1,1\}}يكون: و1(x|μ،κ)=هـκμxهـ-κ+هـκ=σ(2κμx){\displaystyle f_{1}(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \mu x}}{e^{-\kappa }+e^{\kappa }}}=\sigma (2\kappa \mu x)} أينσ(z)=1/(1+هـ-z){\displaystyle \sigma (z)=1/(1+e^{-z})}هي الدالة اللوجستية السينية . القيمة المتوقعة هيμtanh(κ){\displaystyle \mu \,{\text{tanh}}(\kappa )}في الحالة الموحدة، عندκ=0{\displaystyle \kappa =0}، يتحول هذا التوزيع إلى توزيع رادماخر .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فيشر، ر. أ. (1953). "التشتت على سطح كروي". وقائع الجمعية الملكية بلندن، السلسلة أ . 217 (1130): 295-305 . رمز Bibcode : 1953RSPSA.217..295F . doi : 10.1098/rspa.1953.0064 . S2CID 123166853 . 
  2. ↑ واتسون، جي إس (1980). " التوزيعات على الدائرة وعلى الكرة". مجلة الاحتمالات التطبيقية 19 : 265-280 . doi : 10.2307/3213566 . JSTOR 3213566. S2CID 222325569 .  
  3. 1 2 3 4 مارديا، كانتي ؛ جوب، بي إي (1999). الإحصاءات الاتجاهية . جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-471-95333-3.
  4. ↑ إمبلتون، إن آي فيشر، تي لويس، بي جيه جيه (1993). التحليل الإحصائي للبيانات الكروية (الطبعة الأولى ذات الغلاف الورقي). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 115-116 . ISBN   0-521-45699-1.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  5. 1 2 أولريش، غاري (1984). "التوليد الحاسوبي للتوزيعات على الكرة m". الإحصاء التطبيقي . 33 (2): 158-163 . doi : 10.2307/2347441 . JSTOR 2347441 . 
  6. ↑ وود، أندرو ت (1994). "محاكاة توزيع فون ميزس فيشر" . الاتصالات في الإحصاء - المحاكاة والحساب . 23 (1): 157-164 . doi : 10.1080/03610919408813161 .
  7. ↑ هورنيك، كورت؛ غرون، بيتينا (2014). "movMF: حزمة برمجية بلغة R لتركيب مخاليط توزيعات فون ميزس-فيشر" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 58 (10). doi : 10.18637/jss.v058.i10 . S2CID 13171102 . 
  8. 1 2 بينزون، كارلوس؛ جونغ، كانغسو (2023-03-03)، أداة أخذ عينات سريعة بلغة بايثون لتوزيع فون ميزس فيشر ، تم استرجاعها في 2023-03-30
  9. ↑ دي كاو، نيكولا؛ عزيز، ويلكر (13 فبراير 2023). "التوزيع الكروي القوي". arXiv : 2006.04437 [ stat.ML ].
  10. ↑ باكيوز-شارير، إيفرين؛ ليندسي، مارك؛ أوغاركو، فيتالي؛ جيرو، جيريمي؛ جيسيل، مارك (2018-04-06). "محاكاة مونت كارلو لتقدير عدم اليقين في البيانات الهيكلية في النمذجة الجيولوجية ثلاثية الأبعاد الضمنية، دليل لاختيار توزيع الاضطراب وتحديد المعلمات" . الأرض الصلبة . 9 (2): 385-402 . Bibcode : 2018SolE....9..385P . doi : 10.5194/se-9-385-2018 . ISSN 1869-9510 . 
  11. ↑ أ.، وود، أندرو ت. (1992). محاكاة توزيع فون ميزس فيشر . مركز الرياضيات وتطبيقاتها، الجامعة الوطنية الأسترالية. OCLC 221030477 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  12. ↑ غوسمان، ج؛ إلياسميث، س (2016). "تحسين تمثيلات المؤشر الدلالي لمعالجة شبيهة بالرموز في الشبكات العصبية النبضية" . PLOS ONE . 11 (2) e0149928. Bibcode : 2016PLoSO..1149928G . doi : 10.1371/journal.pone.0149928 . PMC 4762696. PMID 26900931 .  
  13. 1 2 فولكر، آرون ر.؛ جوسمان، جان؛ ستيوارت، تيرينس س. "أخذ عينات فعّالة من المتجهات والإحداثيات من الكرة ذات الأبعاد n" (ملف PDF) . مركز علم الأعصاب النظري - تقرير فني، 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أبريل 2023 .
  14. ↑ وانغ، تونغتشو؛ إيزولا، فيليب (2020). "فهم تعلم التمثيل التبايني من خلال المحاذاة والتوحيد على الكرة الفائقة". المؤتمر الدولي للتعلم الآلي . arXiv : 2005.10242 .
  15. ↑ بال، سوباديب؛ سينغوبتا، سوبهاجيت؛ ميترا، ريتين؛ بانيرجي، أرونافا (2020). "التوزيعات الاحتمالية المسبقة المترافقة والاستدلال اللاحق لتوزيع لانجفين المصفوفي على مشعب ستيفل" . التحليل البايزي . 15 (3): 871-908 . doi : 10.1214/19-BA1176 . ISSN 1936-0975 . 
  16. ↑ تشيكوس، ياسوكو (1 مايو 2003). "توزيعات لانجفين للمصفوفة المركزة" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 85 (2): 375-394 . doi : 10.1016/S0047-259X(02)00065-9 . ISSN 0047-259X . 
  17. ↑ جوب (1979). "مُقدِّرات الاحتمال الأقصى لتوزيعات فون ميزس-فيشر وبنغهام المصفوفية" . حوليات الإحصاء . 7 (3): 599-606 . doi : 10.1214/aos/1176344681 .
  18. ↑ داونز (1972). "الإحصاءات الاتجاهية". Biometrika . 59 (3): 665–676 . doi : 10.1093/biomet/59.3.665 .
  19. ↑ سو، جون ج. (1978). "مجموعة من التوزيعات على الكرة m وبعض اختبارات الفرضيات". Biometrika . 65 (`): 69–73 . doi : 10.2307/2335278 . JSTOR 2335278 . 

للمزيد من القراءة

  • ديلون، آي.، سرا، إس. (2003) "نمذجة البيانات باستخدام التوزيعات الاتجاهية". تقرير فني، جامعة تكساس، أوستن.
  • بانيرجي، أ.، ديلون، آي إس، غوش، ج.، وسرا، إس. (2005). "التجميع على الكرة الفائقة الوحدوية باستخدام توزيعات فون ميزس-فيشر". مجلة أبحاث تعلم الآلة، 6 (سبتمبر)، 1345-1382.
  • سرا، س. (2011). "ملاحظة موجزة حول تقريب المعلمات لتوزيعات فون ميزس-فيشر: وتنفيذ سريع لـ I_s(x)". الإحصاءات الحاسوبية . 27 : 177-190 . CiteSeerX 10.1.1.186.1887 . doi : 10.1007/s00180-011-0232-x . S2CID 3654195 .