طريقة نيوتن

في التحليل العددي ، تُعرف طريقة نيوتن-رافسون ، أو ببساطة طريقة نيوتن ، نسبةً إلى إسحاق نيوتن وجوزيف رافسون ، بأنها خوارزمية لإيجاد جذور الدوال الحقيقية، حيث تُنتج تقريبات متزايدة الدقة لجذور (أو أصفار) دالة $حقيقية$ . تبدأ النسخة الأساسية منها بدالة حقيقية f $،$ ومشتقتها f $'$ $،$ وقيمة ابتدائية x₀ $لجذر$ f . $إذا$ حققت $f$ شروطًا معينة وكانت القيمة الابتدائية قريبة، فإن

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

$يُعدّ x1$ تقريبًا أفضل للجذر من $x0$ . هندسيًا، يُمثّل $(x1, 0)$ نقطة تقاطع المماس لمنحنى الدالة $f$ عند $($ $x0$ $,$ $f$ $($ $x0$ $))$ $مع$ محور السينات : أي أن التخمين المُحسّن، $x1$ $،$ هو الجذر الوحيد للتقريب الخطي للدالة $f$ عند التخمين الأولي، $x0$ $.$ وتُكرّر هذه العملية كما $يلي$ $:$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

حتى الوصول إلى قيمة دقيقة بما فيه الكفاية. يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا مع كل خطوة. تُعد هذه الخوارزمية الأولى في فئة طرق هاوسهولدر ، وقد تلتها طريقة هالي . يمكن أيضًا توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل الدوال المركبة وأنظمة المعادلات .

وصف

تهدف طريقة نيوتن إلى إيجاد جذر دالة. وتتلخص الفكرة في البدء بتخمين أولي قريب من الجذر، ثم تقريب الدالة بخط مماسها القريب من التخمين، ثم اعتبار جذر التقريب الخطي تخمينًا تاليًا لجذر الدالة. وعادةً ما يكون هذا التخمين أقرب إلى جذر الدالة من التخمين السابق، ويمكن تكرار هذه الطريقة .

أفضل تقريب خطي لدالة قابلة للتفاضل كيفما كانت $f(x)$ بالقرب من النقطة $x=x_{n}$ هو الخط المماس للمنحنى، ومعادلته

$f(x)\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n}).$

جذر هذه الدالة الخطية، النقطة التي تتقاطع فيها مع $x$ المحور - يمكن اعتباره جذرًا تقريبيًا أقرب $x_{n+1}$ إذا $f'(x_{n})\neq 0$ :

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$

يمكن بدء العملية بأي تخمين أولي عشوائي $x_{0}$ على الرغم من أن التقارب سيتطلب عادةً عددًا أقل من التكرارات إذا كان التخمين قريبًا من أحد جذور الدالة. عادةً ما تتقارب الطريقة إذا $f'(x_{0})\neq 0$ علاوة على ذلك ، بالنسبة لجذر ذي رتبة تكرار 1، يكون التقارب تربيعيًا على الأقل (انظر معدل التقارب ) في جوار صغير كافٍ للجذر: يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة للتقريب تقريبًا مع كل خطوة إضافية. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في قسم التحليل أدناه.

تتشابه طرق هاوسهولدر مع طرق نيوتن ، لكنها تتميز برتبة أعلى لتحقيق تقارب أسرع. ومع ذلك، فإن العمليات الحسابية الإضافية المطلوبة لكل خطوة قد تبطئ الأداء العام مقارنةً بطريقة نيوتن، خاصةً إذا $f$ أو أن مشتقاتها مكلفة حسابيًا لتقييمها.

تاريخ

في العصر البابلي القديم (القرن التاسع عشر إلى السادس عشر قبل الميلاد)، كان من الممكن تقريب طول ضلع مربع ذي مساحة معلومة بدقة، ويُعتقد أن ذلك تم باستخدام حالة خاصة من طريقة نيوتن، الموصوفة جبريًا أدناه ، من خلال التحسين المتكرر لتقدير أولي؛ ويمكن إيجاد طريقة مكافئة في كتاب " المترية" لهيرو الإسكندري (القرن الأول إلى الثاني الميلادي)، ولذلك تُسمى غالبًا طريقة هيرون . ^[¹^] استخدم جمشيد الكاشي طريقة لحل المعادلة $xP$ $-$ $N$ $= 0$ لإيجاد جذور $N$ ، وهي طريقة مكافئة جبريًا لطريقة نيوتن، وقد وُجدت طريقة مشابهة لها في كتاب "علم المثلثات البريطاني $"$ الذي نشره هنري بريغز عام 1633. ^[²^] ظهرت طريقته لأول مرة في كتابه " مفتاح الحساب " عام 1427 . ^[³^] استند عمل الكاشي إلى إسهامات سابقة للعالم الموسوعي البيروني (973-1048) والرياضي شرف الدين الطوسي (1135-1213). وظلت إسهامات الكاشي مجهولة إلى حد كبير لدى المجتمع العلمي الغربي لقرون، حتى ظهور أعمال فرانسوا فييت (1540-1603). ففي عام 1600، أعاد فييت اكتشاف تقنية مشابهة لتقنية الكاشي في سياق حل المعادلات متعددة الحدود العددية من الدرجة السادسة. ^[³^]

ظهرت الطريقة التي أرست الأساس لما يُعرف اليوم بطريقة نيوتن الحديثة، والتي طورها جوزيف رافسون وتوماس سيمبسون، لأول مرة في كتاب إسحاق نيوتن "De analysi per aequationes numero terminorum infinitas" (الذي كُتب عام 1669 ونُشر عام 1711 بواسطة ويليام جونز ) وفي كتاب "De metodis fluxionum et serierum infinitarum" (الذي كُتب عام 1671 وتُرجم ونُشر بعنوان " Method of Fluxions" عام 1736 بواسطة جون كولسون ). ^{[ 4 ]}^{[ 2 ]}^{[ 5 ]} ومع ذلك، فبينما قدم نيوتن الأفكار الأساسية، إلا أن طريقته تختلف عن الطريقة الحديثة المذكورة أعلاه. فقد طبق نيوتن هذه الطريقة على كثيرات الحدود فقط، بدءًا بتقدير أولي للجذر واستخراج سلسلة من تصحيحات الخطأ. ثم استخدم كل تصحيح لإعادة كتابة كثيرة الحدود بدلالة الخطأ المتبقي، ثم حل المعادلة لإيجاد تصحيح جديد بإهمال الحدود ذات الدرجات الأعلى. لم يربط نيوتن هذه الطريقة صراحةً بالمشتقات، ولم يقدم صيغة عامة لها. طبق نيوتن هذه الطريقة على المسائل العددية والجبرية على حد سواء، مُنتجًا متسلسلات تايلور في الحالة الأخيرة. مع ذلك، في الطبعتين الثانية والثالثة من كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (1687 )، طبق نيوتن طريقته بطريقة تكرارية على معادلة غير متعددة الحدود، وتحديدًا معادلة كبلر ، والتي كانت أول استخدامات منشورة لطريقة نيوتن بهذا الشكل من قِبله. ^{[ 2 ]}

ربما يكون نيوتن قد استقى طريقته من طريقة مشابهة، وإن كانت أقل دقة، وضعها عالم الرياضيات فييت، إلا أن الطريقتين ليستا متطابقتين. ^{[ 4 ]} ويمكن إيجاد جوهر طريقة فييت في أعمال عالم الرياضيات شرف الدين الطوسي . ^{[ 6 ]}

استخدم عالم الرياضيات الياباني سيكي كوا شكلاً من أشكال طريقة نيوتن في ثمانينيات القرن السابع عشر لحل المعادلات ذات المتغير الواحد، على الرغم من أن الصلة بحساب التفاضل والتكامل كانت غائبة. ^{[ 7 ]}

نُشرت طريقة نيوتن لأول مرة عام 1685 في كتاب "رسالة في الجبر: تاريخي وعملي" لجون واليس . ^{[ 8 ]} وفي عام 1690، نشر رافسون وصفًا مبسطًا لها في كتابه "تحليل المعادلات الشاملة" . ^{[ 9 ]} وقد طبق رافسون هذه الطريقة على كثيرات الحدود فقط، لكنه تجنب عملية إعادة كتابة المعادلات المطولة التي اتبعها نيوتن، وذلك باستخراج كل تصحيح لاحق من كثيرة الحدود الأصلية. وقد مكّنه هذا من اشتقاق صيغة تكرارية قابلة لإعادة الاستخدام لكل مسألة. وأخيرًا، في عام 1740، وصف سيمبسون طريقة نيوتن بأنها طريقة تكرارية لحل المعادلات غير الخطية العامة باستخدام حساب التفاضل والتكامل، وقدم وصفًا مشابهًا لما سبق. وفي المنشور نفسه، قدم سيمبسون أيضًا تعميمًا لطريقة نيوتن ليشمل أنظمة معادلتين، وأشار إلى إمكانية استخدامها لحل مسائل التحسين عن طريق جعل التدرج يساوي صفرًا.

كان آرثر كايلي، في عام 1879، أول من لاحظ صعوبة تعميم طريقة نيوتن على الجذور المركبة لكثيرات الحدود ذات الدرجة الأكبر من 2 والقيم الأولية المركبة، وذلك في بحثه "مسألة نيوتن-فورييه التخيلية". وقد فتح هذا الاكتشاف الطريق لدراسة نظرية تكرار الدوال الكسرية.

الاعتبارات العملية

تُعدّ طريقة نيوتن تقنية فعّالة، فإذا كانت مشتقة الدالة عند الجذر غير صفرية، فإن التقارب يكون على الأقل تربيعيًا: فمع تقارب الطريقة نحو الجذر، يتضاعف الفرق بين الجذر والتقريب (يتضاعف عدد الأرقام الدقيقة تقريبًا) في كل خطوة. مع ذلك، توجد بعض الصعوبات في هذه الطريقة.

صعوبة في حساب مشتقة دالة

تتطلب طريقة نيوتن إمكانية حساب المشتقة مباشرةً. قد لا يكون من السهل الحصول على صيغة تحليلية للمشتقة، أو قد يكون حسابها مكلفًا. في هذه الحالات، قد يكون من المناسب تقريب المشتقة باستخدام ميل خط مستقيم يمر بنقطتين متجاورتين على الدالة. سيؤدي استخدام هذا التقريب إلى نتيجة مشابهة لطريقة القاطع، والتي يكون تقاربها أبطأ من تقارب طريقة نيوتن.

فشل الطريقة في التقارب إلى الجذر

من المهم مراجعة برهان التقارب التربيعي لطريقة نيوتن قبل تطبيقها. تحديدًا، ينبغي مراجعة الافتراضات الواردة في البرهان. في الحالات التي تفشل فيها الطريقة في التقارب، يكون ذلك بسبب عدم تحقق هذه الافتراضات.

على سبيل المثال، في بعض الحالات ، إذا لم يكن سلوك المشتقة الأولى منتظمًا في جوار جذر معين، فقد تفشل طريقة نيوتن في التقارب بغض النظر عن موضع التهيئة. في بعض الحالات، يمكن تثبيت طريقة نيوتن باستخدام الاسترخاء المتتالي ، أو يمكن زيادة سرعة التقارب باستخدام الطريقة نفسها.

في تطبيق قوي لطريقة نيوتن، من الشائع وضع حدود على عدد التكرارات، وتقييد الحل بفترة معروفة باحتوائها على الجذر، ودمج الطريقة مع طريقة أكثر قوة لإيجاد الجذر.

تقارب بطيء للجذور ذات التعددية الأكبر من 1

إذا كان للجذر المطلوب تعددية أكبر من واحد، فإن معدل التقارب يكون خطيًا فقط (تتناقص الأخطاء بمعامل ثابت في كل خطوة) ما لم تُتخذ خطوات خاصة. عندما يكون هناك جذران أو أكثر متقاربان، فقد يتطلب الأمر العديد من التكرارات قبل أن تقترب التكرارات بدرجة كافية من أحدهما ليصبح التقارب التربيعي واضحًا. مع ذلك، إذا كانت تعددية الجذر $(m) معروفة، فإن الخوارزمية المعدلة التالية تحافظ على معدل التقارب التربيعي:$ ^{[ 10 ]}

$x_{n+1}=x_{n}-m{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$

هذا يُعادل استخدام تقنية الاسترخاء المتتالي . من ناحية أخرى، إذا لم تكن تعددية الجذر $(m ) معروفة، فمن الممكن$ $تقديرها$ بعد إجراء تكرار واحد أو اثنين، ثم استخدام تلك القيمة لزيادة معدل التقارب.

إذا كانت تعددية الجذر $m محدودة، فإن$ $الدالة$ $g (x) = f (x) / f' (x) سيكون$ لها جذر في نفس الموقع بتعددية 1. تطبيق طريقة نيوتن لإيجاد جذر $g (x)$ يُعيد التقارب التربيعي في كثير من الحالات، على الرغم من أنه يتضمن عمومًا المشتقة الثانية لـ $f (x)$ . في حالة بسيطة بشكل خاص، إذا كانت $f (x) = x^m،$ فإن $g (x) = x / m ،$ وتجد طريقة نيوتن الجذر في تكرار واحد $.$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {\;{\frac {x_{n}}{m}}\;}{\frac {1}{m}}}=0\,.$

تقارب بطيء

للدالة $f (x) = x²$ جذر عند الصفر. $[$ ^{11 ] بما} أن $f$ قابلة للتفاضل باستمرار عند جذرها، فإن النظرية تضمن تقارب طريقة نيوتن عند تهيئتها بالقرب من الجذر. مع ذلك، ولأن المشتقة $f'$ تساوي صفرًا عند الجذر، فإن النظرية لا تضمن التقارب التربيعي. في هذا المثال تحديدًا، تُعطى تكرارات نيوتن بالصيغة التالية:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {1}{2}}x_{n}.

يتضح من ذلك أن طريقة نيوتن يمكن تهيئتها بأي قيمة والتقارب إلى الصفر، ولكن بمعدل خطي فقط. فإذا تم تهيئتها بالقيمة 1، فسيلزم إجراء عشرات التكرارات قبل الوصول إلى دقة عشرة أرقام.

للدالة $f (x) = x + x⁴ /³$ جذر عند الصفر، حيث تكون قابلة للتفاضل باستمرار. على الرغم من أن المشتقة الأولى $f'$ لا تساوي صفرًا عند الجذر، إلا أن المشتقة الثانية $f ″$ غير موجودة هناك، لذا لا يمكن ضمان التقارب التربيعي. في الواقع، تُعطى طريقة نيوتن التكرارية بالصيغة التالية:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {x_{n}^{4/3}}{3+4x_{n}^{1/3}}}\approx x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{1/3}}{3}}.

يتضح من ذلك أن معدل التقارب أسرع من الخطي ولكنه أقل من التربيعي. يظهر هذا في الجدولين التاليين، حيث يُظهر الجدول الأيسر تطبيق طريقة نيوتن على الدالة $f (x) = x + x⁴ /³$ المذكورة أعلاه، بينما يُظهر الجدول الأيمن تطبيقها على الدالة $f (x) = x + x² . يُوضح الجدول الأيمن التقارب التربيعي في التكرار من خلال تضاعف رتبة مقدار المسافة من نقطة التكرار إلى الجذر الحقيقي (0، 1، 2، 3، 5، 10، 20، 39$ ، ...) تقريبًا من صف إلى آخر. في حين أن التقارب على اليسار أسرع من الخطي، إلا أن رتبة المقدار تتضاعف بمقدار 4/3 تقريبًا من صف إلى آخر (0، 1، 2، 4، 5، 7، 10، 13، ...).

$س ن$	$x + x 4/3 n$	$س ن$	$x + x 2 n$
1	2	1	2
1.4286 × 10 ⁻¹	2.1754 × 10 ⁻¹	3.3333 × 10 ⁻¹	4.4444 × 10 ⁻¹
1.4669 × 10 ⁻²	1.8260 × 10 ⁻²	6.6666 × 10 ⁻²	7.1111 × 10 ⁻²
9.0241 × 10 ⁻⁴	9.8961 × 10 ⁻⁴	3.9216 × 10 ⁻³	3.9369 × 10 ⁻³
2.5750 × 10 ⁻⁵	2.6511 × 10 ⁻⁵	1.5259 × 10 ⁻⁵	1.5259 × 10 ⁻⁵
2.4386 × 10 ⁻⁷	2.4539 × 10 ⁻⁷	2.3283 × 10 ⁻¹⁰	2.3283 × 10 ⁻¹⁰
5.0366 × 10 ⁻¹⁰	5.0406 × 10 ⁻¹⁰	5.4210 × 10 ⁻²⁰	5.4210 × 10 ⁻²⁰
1.3344 × 10 ⁻¹³	1.3344 × 10 ⁻¹³	2.9387 × 10 ⁻³⁹	2.9387 × 10 ⁻³⁹

يُفرَّق بين معدل التقارب وعدد التكرارات اللازمة للوصول إلى دقة معينة. على سبيل المثال، للدالة $f (x) = x² - 1$ جذر عند 1. وبما أن $f'(1) \neq 0$ و $f$ دالة سلسة، فمن المعروف أن أي تكرار لطريقة نيوتن يتقارب إلى 1 سيتقارب تقاربًا تربيعيًا. مع ذلك، إذا تم تهيئة التكرارات عند 0.5، فإن التكرارات القليلة الأولى لطريقة نيوتن هي تقريبًا 26214، 24904، 23658، 22476، وهي تتناقص ببطء، حيث يكون التكرار رقم 200 فقط هو 1.0371. أما التكرارات التالية فهي 1.0103، 1.00093، 1.0000082، و 1.00000000065، مما يوضح التقارب التربيعي. يُبرز هذا أن التقارب التربيعي لتكرار نيوتن لا يعني أن عددًا قليلًا فقط من التكرارات مطلوب؛ ينطبق هذا فقط عندما يكون تسلسل التكرارات قريبًا بدرجة كافية من الجذر. ^{[ 12 ]}

يعتمد التقارب على التهيئة

للدالة $f (x) = x (1 + x²) - 1/2$ جذر عند الصفر. وتُعطى طريقة نيوتن التكرارية كما يلي $:$

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}(1+x_{n}^{2})^{-1/2}}{(1+x_{n}^{2})^{-3/2}}}=-x_{n}^{3}.

يتضح $من$ ^ذلك^وجود^ثلاث ظواهر ^محتملة لتكرار نيوتن $.$ ^إذا $تم$ تهيئة المتغير $...$ $$ $$ $$ $$ $$

في الحالات التي يكون للدالة المعنية جذور متعددة، قد يصعب التحكم، من خلال اختيار قيمة ابتدائية، في تحديد أي جذر (إن وجد) سيتم تحديده بواسطة طريقة نيوتن. على سبيل المثال، الدالة $f (x) = x (x² - 1)(x - 3)e⁻ (x - 1) ² /2$ لها جذور عند -1، 0، 1، و3. ^{[ 14 ]} إذا تم تهيئتها عند -1.488، فإن تكرار نيوتن يتقارب إلى 0؛ وإذا تم تهيئتها عند -1.487، فإنها تتباعد إلى $\infty$ ؛ وإذا تم تهيئتها عند -1.486، فإنها تتقارب إلى -1؛ وإذا تم تهيئتها عند -1.485، فإنها تتباعد إلى $-\infty$ ؛ وإذا تم تهيئتها عند -1.4843، فإنها تتقارب إلى 3. إذا تم تهيئتها عند -1.484، فإنها تتقارب إلى $1.$ هذا النوع من الاعتماد الدقيق على التهيئة ليس بالأمر غير المألوف؛ يتم دراسته بشكل متكرر في المستوى المركب في شكل كسرية نيوتن .

يحدث التباعد حتى عندما تكون التهيئة قريبة من الجذر

لنفترض مسألة إيجاد جذر للمعادلة $f (x) = x¹ /³$ . طريقة نيوتن التكرارية هي:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{1/3}}{{\frac {1}{3}}x_{n}^{-2/3}}}=-2x_{n}.

ما لم تُهيأ طريقة نيوتن عند الجذر الدقيق 0، يتضح أن سلسلة التكرارات لن تتقارب. على سبيل المثال، حتى لو هُيئت عند القيمة التقريبية الدقيقة 0.001، فإن التكرارات الأولى هي -0.002، 0.004، -0.008، 0.016، لتصل إلى 1048.58، -2097.15، ... بحلول التكرار العشرين. هذا الفشل في التقارب لا يتعارض مع النظرية التحليلية، لأن الدالة $f$ في هذه الحالة غير قابلة للتفاضل عند جذرها.

في المثال أعلاه، يتجلى فشل التقارب في عدم اقتراب الدالة $f (x, n) من الصفر مع ازدياد قيمة$ $n$ ، بالإضافة إلى تباعد التكرارات المتتالية. مع ذلك، فإن للدالة $f (x) = x¹ /³ e⁻ˣ² جذرًا عند الصفر .$ وتُعطى طريقة نيوتن التكرارية بالصيغة $التالية$ $:$

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}\left(1-{\frac {3}{1-6x_{n}^{2}}}\right).

في هذا المثال، حيث لا يمكن اشتقاق الدالة $f$ عند الجذر، فإن أي تكرار لطريقة نيوتن لا يبدأ بالضبط من الجذر سيتباعد، ولكن مع تقارب كل من $x (n +1) - x(n)$ و $f (x(n))$ إلى الصفر. ^{[ 15 ]} يظهر هذا في الجدول التالي الذي يوضح التكرارات مع التهيئة 1:

$س ن$	$f (x n)$
1	0.36788
1.6	9.0416 × 10 ⁻²
1.9342	2.9556 × 10 ⁻²
2.2048	1.0076 × 10 ⁻²
2.4396	3.5015 × 10 ⁻³
2.6505	1.2307 × 10 ⁻³
2.8437	4.3578 × 10 ⁻⁴
3.0232	1.5513 × 10 ⁻⁴

على الرغم من أن تقارب $x n +1 - x n$ في هذه الحالة ليس سريعًا جدًا، إلا أنه يمكن إثبات ذلك من خلال صيغة التكرار. يُبرز هذا المثال احتمال أن معيار التوقف لطريقة نيوتن، الذي يعتمد فقط على صغر $x n +1 - x n$ و $f (x n)،$ قد يُحدد جذرًا بشكل خاطئ.

سلوك تذبذبي

تتقاطع الخطوط المماسية لـ $x 3 - 2 x + 2$ عند 0 و 1 مع المحور $x$ عند 1 و 0 على التوالي، مما يوضح سبب تذبذب طريقة نيوتن بين هذه القيم لبعض نقاط البداية.

من السهل إيجاد حالات تتذبذب فيها طريقة نيوتن بلا نهاية بين قيمتين مختلفتين. على سبيل المثال، لكي تتذبذب طريقة نيوتن، عند تطبيقها على دالة $f،$ بين 0 و1، يكفي أن يتقاطع المماس للدالة $f$ عند 0 مع المحور $السيني$ عند 1، وأن يتقاطع المماس للدالة $f$ عند 1 مع المحور $السيني$ عند 0. ^{[ 15 ]} هذا هو الحال، على سبيل المثال، إذا كانت $f (x) = x³ - 2x + 2.$ بالنسبة لهذه الدالة، حتى أن تكرار نيوتن، عند تهيئته بقيمة قريبة بما فيه الكفاية من 0 أو 1، سيتذبذب $تقاربياً$ بين هاتين القيمتين. على سبيل المثال، تُنتج طريقة نيوتن، عند تهيئتها بقيمة 0.99، التكرارات التالية: 0.99، -0.06317، 1.00628، 0.03651، 1.00196، 0.01162، 1.00020، 0.00120، 1.000002، وهكذا. ويُلاحظ هذا السلوك على الرغم من وجود جذر للدالة $f$ يساوي تقريبًا -1.76929.

عدم تعريف طريقة نيوتن

في بعض الحالات، لا يمكن حتى إجراء تكرار نيوتن. على سبيل المثال، إذا كانت $f (x) = x² - 1$ ، فإن تكرار نيوتن يُعرَّف بـ

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-1}{2x_{n}}}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}}}.

لذا، لا يمكن تهيئة طريقة نيوتن عند الصفر، لأن ذلك سيجعل $x 1$ غير مُعرَّف. هندسيًا، يعود ذلك إلى أن المماس للدالة $f$ عند الصفر أفقي (أي $f'(0) = 0$ )، ولا يتقاطع أبدًا مع المحور $x$ .

حتى لو تم اختيار التهيئة بحيث يمكن أن تبدأ عملية التكرار لنيوتن، فإن نفس الظاهرة يمكن أن تمنع استمرار التكرار إلى أجل غير مسمى.

إذا كان للدالة $f$ مجال غير مكتمل، فمن الممكن أن تُرسل طريقة نيوتن التكرارات خارج المجال، مما يجعل استمرار التكرار مستحيلاً. ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، دالة اللوغاريتم الطبيعي $f (x) = ln x$ لها جذر عند 1، وهي مُعرَّفة فقط لقيم $x$ الموجبة . يُعطى تكرار نيوتن في هذه الحالة بالصيغة التالية:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}(1-\ln x_{n}).

إذا تم تهيئة التكرار عند القيمة $e$ ، فإن قيمة التكرار التالي ستكون صفرًا؛ أما إذا تم تهيئة التكرار بقيمة أكبر من $e$ ، فإن قيمة التكرار التالي ستكون سالبة. في كلتا الحالتين، لا يمكن استكمال العملية.

تحليل

لنفترض أن الدالة $f$ لها جذر عند $α$ ، أي $f (α) = 0$ ، وأن $f$ قابلة للتفاضل في جوار α $.$

إذا كانت الدالة $f$ قابلة للتفاضل بشكل مستمر ومشتقتها غير صفرية عند $α$ ، فإنه يوجد جوار لـ $α$ بحيث أنه بالنسبة لجميع القيم الابتدائية $x$ $0$ في ذلك الجوار، فإن المتتالية $($ $x$ $n$ $)$ ستتقارب إلى $α$ . ^[¹⁶^]

إذا كانت الدالة $f$ قابلة للتفاضل باستمرار، ومشتقتها غير صفرية عند $α$ ، ولها مشتقة ثانية عند α $،$ فإن التقارب يكون تربيعيًا أو أسرع. أما إذا كانت المشتقة الثانية لا تساوي صفرًا عند $α،$ فإن التقارب يكون تربيعيًا فقط. وإذا كانت المشتقة الثالثة موجودة ومحدودة في جوار $α$ ، فإن:

$\Delta x_{i+1}={\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+O\left(\Delta x_{i}\right)^{3}\,,$

أين

$\Delta x_{i}\triangleq x_{i}-\alpha \,.$

إذا كانت المشتقة تساوي صفرًا عند $α$ ، فإن التقارب يكون خطيًا في الغالب. تحديدًا، إذا كانت $f$ قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر، $و f' (α) = 0$ و $f ″ (α) \neq 0$ ، فإنه يوجد جوار لـ $α$ بحيث، لجميع قيم البداية $x₀$ في ذلك الجوار، يتقارب تسلسل التكرارات خطيًا بمعدل 1/2 . [ ¹⁷ ] ^بدلاً من ذلك ، إذا كانت $f'(α) = 0 و f'$ $($ $x$ $)$ ≠ $0$ $لـ$ x $\neq$ α $،$ $حيث$ $x$ $في$ $جوار$ U $لـ$ $α$ $،$ و ^α $صفر$ من الرتبة $r$ ، $وإذا$ كانت $f$ ∈ Cr $($ U $)$ $،$ $فإنه$ $يوجد$ $جوار$ $لـ$ $α$ بحيث $،$ لجميع قيم البداية $x₀$ في ذلك الجوار، يتقارب تسلسل التكرارات خطيًا.

ومع ذلك، حتى التقارب الخطي ليس مضموناً في الحالات المرضية.

عمليًا، هذه النتائج محلية، ولا تُعرف جوار التقارب مسبقًا. ولكن هناك أيضًا بعض النتائج المتعلقة بالتقارب الشامل: على سبيل المثال، إذا كان لدينا جوار أيمن $U +$ للنقطة $α$ ، وكانت الدالة $f$ قابلة للتفاضل مرتين في $U +،$ وإذا كانت $f' \neq 0$ و $f \cdot f ″ > 0$ في $U +$ ، فإن المتتالية $xk$ تتناقص بشكل رتيب إلى $α$ لكل $x \in$ $U +$ $.$

برهان التقارب التربيعي لطريقة نيوتن التكرارية

بحسب نظرية تايلور ، يمكن تمثيل أي دالة $f (x)$ ذات مشتقة ثانية متصلة بتوسيع حول نقطة قريبة من جذر $f (x)$ . لنفترض أن هذا الجذر هو $α$ . عندئذٍ يكون توسيع $f (α)$ حول $xⁿ كما يلي$ :

f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+R_{1}\,

1

حيث يكون شكل لاغرانج لباقي توسيع متسلسلة تايلور هو

$R_{1}={\frac {1}{2!}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,,$

حيث تقع $ξ n$ $بين x n$ و $α$ .

بما أن $α$ هو الجذر، فإن ( 1 ) يصبح:

0=f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+{\tfrac {1}{2}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,

2

بقسمة المعادلة ( 2 ) على $f' (x n)$ وإعادة ترتيبها نحصل على

{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}+\left(\alpha -x_{n}\right)={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}

3

مع الأخذ في الاعتبار أن $x n + 1$ معرف بواسطة

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,,

4

يجد المرء أن

$\underbrace {\alpha -x_{n+1}} _{\varepsilon _{n+1}}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}{(\,\underbrace {\alpha -x_{n}} _{\varepsilon _{n}}\,)}^{2}\,.$

إنه،

\varepsilon _{n+1}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.

5

بأخذ القيمة المطلقة لكلا الطرفين نحصل على

\left|{\varepsilon _{n+1}}\right|={\frac {\left|f''(\xi _{n})\right|}{2\left|f'(x_{n})\right|}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.

6

توضح المعادلة ( 6 ) أن رتبة التقارب تكون على الأقل تربيعية إذا تحققت الشروط التالية:

$f' (x) \neq 0$ ; لجميع $x \in I$ ، حيث $I$ هي الفترة $[α - | ε 0 | ، α + | ε 0 |]$ ؛
$f ″ (x)$ متصلة، لجميع $x \in I$ ؛
$M | ε 0 | < 1$

حيث تُعطى $M بواسطة$

$M={\frac {1}{2}}\left(\sup _{x\in I}\vert f''(x)\vert \right)\left(\sup _{x\in I}{\frac {1}{\vert f'(x)\vert }}\right).\,$

إذا تحققت هذه الشروط،

$\vert \varepsilon _{n+1}\vert \leq M\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.$

شروط فورييه

لنفترض أن $f (x)$ دالة مقعرة على فترة ما، وهي متزايدة تمامًا . إذا كانت سالبة عند الطرف الأيسر وموجبة عند الطرف الأيمن، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود صفر $ζ$ للدالة $f$ في مكان ما ضمن هذه الفترة. من المبادئ الهندسية، يتضح أن تكرار نيوتن $xᵢ بدءًا$ من الطرف الأيسر متزايد بشكل رتيب ومتقارب، بالضرورة إلى $ζ$ . ^{[ 18 ]}

أدخل جوزيف فورييه تعديلاً على طريقة نيوتن بدءاً من نقطة النهاية اليمنى:

y_{i+1}=y_{i}-{\frac {f(y_{i})}{f'(x_{i})}}.

هذه المتتالية متناقصة بشكل رتيب ومتقاربة. بالانتقال إلى النهاية في هذا التعريف، يمكن ملاحظة أن نهاية $yᵢ يجب$ أن تكون أيضًا الصفر $ζ$ . ^{[ 18 ]}

لذا، في حالة دالة مقعرة متزايدة ذات صفر، فإن التهيئة غير ذات أهمية إلى حد كبير. ستتقارب طريقة نيوتن التكرارية بدءًا من أي مكان على يسار الصفر، وكذلك طريقة نيوتن التكرارية المعدلة لفورييه بدءًا من أي مكان على يمين الصفر. يمكن تحديد الدقة في أي خطوة من خطوات التكرار مباشرةً من الفرق بين موقع التكرار من اليسار وموقع التكرار من اليمين. إذا كانت الدالة $f$ قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر، فيمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية تايلور .

\lim _{i\to \infty }{\frac {y_{i+1}-x_{i+1}}{(y_{i}-x_{i})^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {f''(\zeta )}{f'(\zeta )}},

مما يدل على أن هذا الاختلاف في المواقع يتقارب تربيعيًا إلى الصفر. ^{[ 18 ]}

يمكن تعميم كل ما سبق على أنظمة المعادلات متعددة المتغيرات، مع العلم أن مفاهيم الرتابة والتقعر في هذا السياق أكثر تعقيدًا. ^{[ 19 ]} في حالة المعادلات المفردة ذات المتغير الواحد، يمكن تعميم التقارب الرتيب لطريقة نيوتن لاستبدال التقعر بشروط إيجابية أو سلبية على مشتقة من رتبة أعلى للدالة $f$ . مع ذلك، في هذا التعميم، يتم تعديل تكرار نيوتن ليعتمد على كثيرات حدود تايلور بدلًا من المماس . في حالة التقعر، يتطابق هذا التعديل مع طريقة نيوتن القياسية. ^{[ 20 ]}

خطأ في حالة $n>1$ متغير

إذا بحثنا عن جذر دالة واحدة $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R}$ ثم الخطأ $\epsilon _{n}=x_{n}-\alpha$ هو متجه بحيث تخضع مركباته $\epsilon _{k}^{(n+1)}={\frac {1}{2}}(\epsilon ^{(n)})^{T}Q_{k}\epsilon ^{(n)}+O(\|\epsilon ^{(n)}\|^{3})$ أين $Q_{k}$ هي صيغة تربيعية: $(Q_{k})_{i,j}=\sum _{\ell }((D^{2}f)^{-1})_{i,\ell }{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{\ell }}}$ تم التقييم عند الجذر $\alpha$ (أين $D^{2}f$ (هي مصفوفة هيسيان للمشتقة الثانية).

أمثلة

استخدام طريقة نيوتن لحساب الجذور التربيعية

تُعدّ طريقة نيوتن إحدى الطرق المعروفة لحساب الجذور التربيعية . بفرض وجود عدد موجب $a$ ، فإنّ مسألة إيجاد عدد $x$ بحيث يكون $x²$ $= a تُكافئ$ إيجاد جذر للدالة $f (x) = x² - a$ . وتُعطى تكرارات نيوتن المُعرّفة بهذه الدالة بالصيغة ^[ $21$ ^]^.

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)

.

يتزامن هذا مع طريقة "بابل" لإيجاد الجذور التربيعية $،$ والتي تقوم على استبدال الجذر التقريبي $xⁿ$ بالمتوسط الحسابي لـ $xⁿ و$ a $/$ $xⁿ$ $.$ $وبإجراء هذه العملية ،$ يُمكن حساب الجذر التربيعي بدقة مطلوبة باستخدام العمليات الحسابية الأساسية فقط .

تُظهر الجداول الثلاثة التالية أمثلة على نتيجة هذه العملية الحسابية لإيجاد الجذر التربيعي للعدد 612، مع تهيئة التكرار بالقيم 1 و10 و-20. يتم الحصول على كل صف في عمود " $x n$ " بتطبيق الصيغة السابقة على القيمة التي تعلوه، على سبيل المثال

306.5={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {612}{1}}\right).

$س ن$	$f (x n)$	$س ن$	$f (x n)$	$س ن$	$f (x n)$
1	-611	10	-512	-2 0	-212
306.5	9.3330 × 10 ⁴	35.6	655.36	-2 5.3	28.09
154.2483686786	2.3180 × 10 ⁴	2 6.3955056180	84.722	-24.7 448616601	0.30818
79.1079978644	5.6461 × 10 ³	24.7 906354925	2.5756	-24.73863 45374	3.8777 × 10 ⁻⁵
43.4221286822	1.2735 × 10 ³	24.7386 882941	2.6985 × 10 ⁻³	-24.7386337537	6.1424 × 10 ⁻¹³
2 8.7581624288	215.03	24.738633753 8	2.9746 × 10 ⁻⁹
2 5.0195385369	13.977
24.7 402106712	7.8024 × 10 ⁻²
24.738633 8040	2.4865 × 10 ⁻⁶
24.7386337537	2.5256 × 10 ⁻¹⁵

الأرقام الصحيحة مُسطّرة. يتضح أنه ببضع تكرارات فقط، يمكن الحصول على حل دقيق يصل إلى عدة منازل عشرية. يُبين الجدول الأول أن هذا صحيح حتى لو تم تهيئة تكرار نيوتن بالقيمة التخمينية غير الدقيقة $1$ .

عند حساب أي جذر تربيعي غير صفري، يجب أن تكون المشتقة الأولى للدالة $f$ غير صفرية عند الجذر، وأن تكون $f$ دالة سلسة. لذا، حتى قبل أي عملية حسابية، من المعروف أن أي تكرار نيوتن متقارب له معدل تقارب تربيعي. ويتجلى ذلك في الجداول أعلاه من خلال حقيقة أنه بمجرد اقتراب تكرار نيوتن من الجذر، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا مع كل تكرار.

حل المعادلة $cos$ $(x) = x³$ باستخدام طريقة نيوتن

لنفترض مسألة إيجاد العدد الموجب $x$ الذي يحقق $cos$ $(x) = x³$ . يمكننا إعادة صياغة ذلك على أنه إيجاد جذر الدالة $f (x) = cos($ $x$ $)$ $-$ $x³$ $.$ لدينا $f' (x) = -sin (x) -$ $3x²$ . بما أن $cos($ $x$ $)$ $\leq 1$ لجميع $قيم x$ و $x³ > 1 لجميع$ قيم $x$ $> 1$ ، فإننا نعلم أن الحل يقع بين 0 و1.

$قيمة ابتدائية تساوي صفرًا ستؤدي إلى نتيجة غير محددة ،$ مما يوضح أهمية استخدام نقطة بداية قريبة من الحل. على سبيل المثال، مع قيمة ابتدائية $x₀ = 0.5$ ، فإن المتتالية التي تُعطى بطريقة نيوتن هي:

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}$

الأرقام الصحيحة مُسطّرة في المثال أعلاه. على وجه الخصوص، $العدد x 6$ صحيح حتى 12 منزلة عشرية. نلاحظ أن عدد الأرقام الصحيحة بعد الفاصلة العشرية يزداد من 2 (للعدد $x 3$ ) إلى 5 و10، مما يُبيّن التقارب التربيعي.

تركيبات متعددة الأبعاد

أنظمة المعادلات

$k$ متغيرات، $k$ دوال

يمكن أيضًا استخدام طريقة نيوتن لحل أنظمة من $k$ معادلات، والتي تتمثل في إيجاد أصفار (متزامنة) لـ $k$ دالة قابلة للتفاضل باستمرار $f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} .$ هذا يكافئ إيجاد أصفار دالة متجهة واحدة $F:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}.$ في الصيغة المذكورة أعلاه، تُستبدل القيم العددية $x n بالمتجهات$ $x n$ ، وبدلاً من قسمة الدالة $f (xn) على$ مشتقتها $f' (x n )$ ، يجب ضرب الدالة $F (x n)$ من اليسار في معكوس مصفوفة جاكوبي $J $ $F$ $($ $x$ $n$ $) من الرتبة$ $k \times k$ . ^[²²^]^[²³^]^[²⁴^] ينتج عن ذلك التعبير التالي:

$\mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-J_{F}(\mathbf {x} _{n})^{-1}F(\mathbf {x} _{n}).$

أو عن طريق حل نظام المعادلات الخطية

$J_{F}(\mathbf {x} _{n})(\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n})=-F(\mathbf {x} _{n})$

بالنسبة للمجهول $x n + 1 - x n$ . ^{[ 25 ]}

$k$ متغيرات، $m$ معادلات، حيث $m > k$

يمكن استخدام صيغة نيوتن ذات البعد $k$ لحل أنظمة المعادلات غير الخطية التي يزيد عدد عناصرها عن k، وذلك إذا استخدمت الخوارزمية $المعكوس$ $المعمم$ $لمصفوفة جاكوبي غير المربعة J⁺ = (J₁T₁J₂$ ) ⁻¹J₁T₁ بدلاً من $معكوس J₁ . إذا لم يكن$ للنظام $غير$ $الخطي$ حل ، تحاول الطريقة إيجاد حل باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية . راجع خوارزمية $جاوس$ -نيوتن لمزيد من المعلومات.

مثال

يُراد صنع علبة حليب ^{[ 26 ]} بسعة لترين من لوح كرتون مشمع مع تداخل 5 مم. ويُشترط استخدام أقل مساحة سطحية ممكنة للعلبة.

لنفترض أن عرض الكرتون وامتداده وارتفاعه يُرمز لها بـ $w$ ، $b$ و $h$ على التوالي، بالملليمترات. المساحة السطحية الكلية، $A$ ، يتم تحديده بواسطة

$A=(2b+2w+5)(h+b+10).$

بما أن 2 باينت تساوي تقريبًا 1.136 لتر، و 1 لتر يساوي $1000000mm^{3}$ ويترتب على ذلك أيضاً أن

$hbw=1136000.$

حل لـ $w$ أعطِ

$w={\frac {1136000}{hb}}.$

تأجير $\mathbf {x} =\left[b,h\right]\in {\mathbb {R} }^{2}$ ليكن متجهًا لمجهولين، $b$ و $h$ ويمكن التعبير عن مساحة السطح على النحو التالي:

$A(\mathbf {x} )=(h+b+10)\left({\frac {2272000}{hb}}+2b+5\right).$

إن تقليل هذه الدالة يستلزم مساواة مشتقاتها الجزئية بالصفر، مما يعطي

${\frac {\partial A}{\partial b}}={\frac {2272000}{hb}}+2b+5+(h+b+10)\left({\frac {-2272000}{hb^{2}}}+2\right)=0$

و

${\frac {\partial A}{\partial h}}={\frac {2272000}{hb}}+2b+5-(h+b+10)\left({\frac {2272000}{h^{2}b}}\right)=0.$

لتبسيط الترميز، دع

$f_{1}(\mathbf {x} )={\frac {\partial A}{\partial b}}$

و

$f_{2}(\mathbf {x} )={\frac {\partial A}{\partial h}}.$

متجه الدالة $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ وبالتالي

$\mathbf {F} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&f_{1}(\mathbf {x} )\\~&f_{2}(\mathbf {x} )\end{aligned}}\end{bmatrix}}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&{\frac {2272000}{hb}}+2b+5+(h+b+10)\left({\frac {-2272000}{hb^{2}}}+2\right)\\~&{\frac {2272000}{hb}}+2b+5-(h+b+10)\left({\frac {2272000}{h^{2}b}}\right)\end{aligned}}\end{bmatrix}}$

ومصفوفة جاكوبي $\mathbf {J} (\mathbf {x} )$ يكون

${\begin{aligned}\mathbf {J} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}~{\frac {\ \partial {f_{1}}\ }{\partial {b}}}\ &~{\frac {\ \partial {f_{1}}\ }{\partial {h}}}~\\~{\frac {\ \partial {f_{2}}\ }{\partial {b}}}\ &~{\frac {\ \partial {f_{2}}\ }{\partial {h}}}~\end{bmatrix}}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&{\frac {4544000}{b^{3}}}+{\frac {45440000}{hb^{3}}}+4\ &&{\frac {22720000}{h^{2}b^{2}}}+2\\~&{\frac {22720000}{h^{2}b^{2}}}+2\ &&{\frac {4544000}{h^{3}}}+{\frac {45440000}{bh^{3}}}\end{aligned}}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

تطبيق طريقة نيوتن مع التخمين الأولي $\mathbf {x} _{0}=\left[100,100\right]$ وبمعيار توقف قدره $\|\ \mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{i-1}\|_{2}<10^{-6}$ ينتج عنه التكرارات التالية:

التكرار	متجه الحل	متجه الدالة	$\\|\ \mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{i-1}\\|_{2}$
0	$\mathbf {x} _{0}=\left[100,100\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad 375.08\\~&-44.92\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	-
1	$\mathbf {x} _{1}=\left[50.65005676,130.97635116\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{1})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-463.68614\\~&-52.28917\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$58.26621$
2	$\mathbf {x} _{2}=\left[61.13942172,141.66959565\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{2})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-97.81322\\~&-4.43882\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$14.97906$
3	$\mathbf {x} _{3}=\left[65.25438802,138.96065693\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{3})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-8.02502\\~&-0.18087\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$4.92659$
4	$\mathbf {x} _{4}=\left[65.66834067,138.57077218\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{4})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad -6.74172\times 10^{-2}\\~&-3.29704\times 10^{-3}\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$5.68654\times 10^{-1}$
5	$\mathbf {x} _{5}=\left[65.67176491,138.56848995\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{5})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-4.55250\times 10^{-6}\\~&-1.28993\times 10^{-7}\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$4.11509\times 10^{-3}$
6	$\mathbf {x} _{6}=\left[65.67176515,138.56848974\right]$	$\mathbf {F} (\mathbf {x} _{6})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad -5.68434\times 10^{-14}\\~&-1.13687\times 10^{-13}\end{aligned}}\end{bmatrix}}$	$3.15703\times 10^{-7}$

رسم بياني لسطح دالة مساحة السطح، مع إظهار النقطة الدنيا.

لإثبات ذلك $\mathbf {x} _{8}=\left[65.67176536,138.5684895\right]$ يقلل $A(\mathbf {x} )$ يكفي إثبات أن مصفوفة هيسيان الخاصة بها موجبة تمامًا. في هذه الحالة، تكون مصفوفة هيسيان ببساطة

$\mathbf {J} (\mathbf {x} _{8})\approx {\begin{bmatrix}~20.15939696&~2.27436075~\\~2.27436075&~1.9678865~\end{bmatrix}}.$

متعددة الحدود المميزة لهذه المصفوفة هي

$\lambda ^{2}-22.12728346\lambda +34.49868830=0$ .

بتطبيق الصيغة التربيعية نحصل على القيمتين الذاتيتين كما يلي:

$\lambda _{1}={\frac {22.12728346+{\sqrt {351.62192}}}{2}}\approx 20.43943$

و

$\lambda _{2}={\frac {22.12728346-{\sqrt {351.62192}}}{2}}\approx 1.68784.$

بما أن جميع القيم الذاتية موجبة، $\mathbf {J} (\mathbf {x} _{8})$ هي موجبة محددة، وبالتالي $\mathbf {x} _{8}$ هو الحد الأدنى.

الوظائف المعقدة

عند التعامل مع الدوال المركبة ، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرةً لإيجاد أصفارها. ^{[ 27 ]} لكل صفر نطاق جذب في المستوى المركب، وهو مجموعة جميع القيم الابتدائية التي تؤدي إلى تقارب الطريقة نحو ذلك الصفر تحديدًا. يمكن تمثيل هذه المجموعات كما في الصورة الموضحة. بالنسبة للعديد من الدوال المركبة، تكون حدود نطاقات الجذب كسورًا هندسية .

$في بعض الحالات ،$ توجد مناطق في المستوى المركب لا تقع ضمن أي من مناطق الجذب هذه، مما يعني أن التكرارات لا تتقارب. على سبيل المثال، ^{[ 28 ]} إذا استخدمنا شرطًا ابتدائيًا حقيقيًا للبحث عن جذر للمعادلة $x² + 1$ ، فإن جميع التكرارات اللاحقة ستكون أعدادًا حقيقية، وبالتالي لا يمكن للتكرارات أن تتقارب إلى أي من الجذرين، لأن كلا الجذرين غير حقيقيين. في هذه الحالة، تؤدي جميع الشروط الابتدائية الحقيقية تقريبًا إلى سلوك فوضوي ، بينما تتكرر بعض الشروط الابتدائية إما إلى ما لا نهاية أو إلى دورات متكررة ذات طول محدود.

أظهر كورت ماكمولين أنه بالنسبة لأي خوارزمية تكرارية بحتة ممكنة، مشابهة لطريقة نيوتن، فإن الخوارزمية ستتباعد في بعض المناطق المفتوحة من المستوى المركب عند تطبيقها على كثير حدود من الدرجة الرابعة أو أعلى. ومع ذلك، قدم ماكمولين خوارزمية متقاربة عمومًا لكثيرات الحدود من الدرجة الثالثة. ^{[ 29 ]} علاوة على ذلك، قام هوبارد وشلايشر وسوذرلاند بإنشاء مجموعة شاملة من نقاط البداية لطريقة نيوتن: لكل درجة $d$ ، توجد مجموعة قابلة للإنشاء بشكل صريح تضم حوالي $1.11 d (log d) 2$ نقطة، بحيث يمكن إيجاد كل جذر لأي كثير حدود مُعَيَّر بشكل مناسب من الدرجة $d$ ، وذلك عن طريق تكرار نيوتن بدءًا من نقطة واحدة على الأقل من المجموعة. ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

في فضاء باناش

ثمة تعميم آخر يتمثل في طريقة نيوتن لإيجاد جذر دالة F $معرفة$ في فضاء باناخ . في هذه الحالة، تكون الصيغة كالتالي:

$X_{n+1}=X_{n}-{\bigl (}F'(X_{n}){\bigr )}^{-1}F(X_{n}),\,$

حيث $F' (Xn)$ هي مشتقة فريشيه المحسوبة عند $Xn$ $.$ يشترط أن تكون مشتقة فريشيه قابلة للعكس بشكل محدود عند كل $Xn$ $حتى$ تكون الطريقة قابلة للتطبيق. ويُعطى شرط وجود الجذر وتقاربه من خلال $نظرية$ نيوتن-كانتوروفيتش . ^{[ 32 ]}

تكرار ناش-موسر

في خمسينيات القرن العشرين، طوّر جون ناش نسخةً من طريقة نيوتن لتطبيقها على مشكلة بناء تمثيلات متساوية القياس لمتشعبات ريمانية عامة في الفضاء الإقليدي . وقد جعلت مشكلة فقدان المشتقات ، المطروحة في هذا السياق، تكرار نيوتن القياسي غير قابل للتطبيق، إذ لا يمكن الاستمرار فيه إلى ما لا نهاية (ناهيك عن تقاربه). تضمن حل ناش إدخال عوامل التنعيم في التكرار. وقد تمكن من إثبات تقارب طريقة نيوتن المُنعّمة، بهدف إثبات نظرية دالة ضمنية للتمثيلات متساوية القياس. في ستينيات القرن العشرين، بيّن يورغن موزر أن طرق ناش تتمتع بمرونة كافية لتطبيقها على مشاكل تتجاوز التمثيلات متساوية القياس، لا سيما في علم الميكانيكا السماوية . ومنذ ذلك الحين، وجد عدد من علماء الرياضيات، بمن فيهم ميخائيل غروموف وريتشارد هاميلتون ، نسخًا مجردة معممة لنظرية ناش-موزر. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} في صياغة هاميلتون، تشكل نظرية ناش-موسر تعميمًا لطريقة نيوتن في فضاء باناخ والتي تحدث في فضاءات فريشيه معينة .

التعديلات

طرق شبه نيوتن

عندما يكون المصفوفة اليعقوبية غير متاحة أو مكلفة للغاية للحساب في كل تكرار، يمكن استخدام طريقة شبه نيوتن .

طريقة تشيبيشيف من الدرجة الثالثة

بما أن متسلسلات تايلور ذات الرتب العليا توفر تقريبات محلية أكثر دقة للدالة $f$ ، فمن المنطقي التساؤل عن سبب اعتماد طريقة نيوتن على تقريب تايلور من الرتبة الثانية فقط. في القرن التاسع عشر، استكشف عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف هذه الفكرة من خلال تطوير صيغة معدلة من طريقة نيوتن تستخدم تقريبات تكعيبية. ^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

حول الأعداد $p -adic$

في التحليل $p -adic،$ تُعدّ ليمّة هينسل الطريقة القياسية لإثبات أن معادلة متعددة الحدود في متغير واحد لها جذر $p$ -adic ، وهي تستخدم الاستدعاء الذاتي من طريقة نيوتن على الأعداد $p$ -adic. ونظرًا لسلوك الجمع والضرب الأكثر استقرارًا في الأعداد $p$ -adic مقارنةً بالأعداد الحقيقية (وتحديدًا، كرة الوحدة في الأعداد $p$ -adic هي حلقة)، يُمكن ضمان التقارب في ليمّة هينسل بفرضيات أبسط بكثير من تلك التي تُضمن في طريقة نيوتن الكلاسيكية على خط الأعداد الحقيقية.

$q$ - التناظري

يمكن تعميم طريقة نيوتن باستخدام نظير $q$ للمشتقة المعتادة. ^{[ 38 ]}

طرق نيوتن المعدلة

إجراء ماهلي

للمعادلة غير الخطية حلول متعددة بشكل عام. ولكن إذا لم تكن القيمة الابتدائية مناسبة، فقد لا تتقارب طريقة نيوتن إلى الحل المطلوب أو قد تتقارب إلى نفس الحل الذي تم إيجاده سابقًا. عندما نكون قد وجدنا بالفعل $N$ حلاً لـ $f(x)=0$ ثم يمكن إيجاد الجذر التالي بتطبيق طريقة نيوتن على المعادلة التالية: ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

$F(x)={\frac {f(x)}{\prod _{i=1}^{N}(x-x_{i})}}=0.$

تُطبق هذه الطريقة للحصول على أصفار دالة بيسل من النوع الثاني. ^{[ 41 ]}

طريقة هيرانو المعدلة لنيوتن

طريقة نيوتن المعدلة لهيرانو هي تعديل يحافظ على تقارب طريقة نيوتن ويتجنب عدم الاستقرار. ^{[ 42 ]} وقد طُوّرت لحل كثيرات الحدود المعقدة.

طريقة نيوتن الفاصلية

يُعدّ دمج طريقة نيوتن مع حساب الفترات مفيدًا جدًا في بعض السياقات. فهو يُوفّر معيارًا للتوقف أكثر موثوقية من المعايير المعتادة (التي تتمثل في قيمة صغيرة للدالة أو تغير طفيف في المتغير بين التكرارات المتتالية). كما يُمكن لهذا الدمج اكتشاف الحالات التي تتقارب فيها طريقة نيوتن نظريًا ولكنها تتباعد عدديًا بسبب عدم كفاية دقة الفاصلة العائمة (وهذا هو الحال عادةً مع كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية، حيث يُمكن لتغيير طفيف جدًا في المتغير أن يُغيّر قيمة الدالة بشكل كبير؛ انظر كثيرة حدود ويلكنسون ). ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}

لنفترض أن $f \to C 1 (X)$ ، حيث $X$ هي فترة حقيقية، ولنفترض أن لدينا امتدادًا للفترة $F'$ لـ $f'$ ، مما يعني أن $F'$ تأخذ كمدخل فترة $Y \subseteq X$ وتخرج فترة $F' (Y)$ بحيث:

${\begin{aligned}F'([y,y])&=\{f'(y)\}\\[5pt]F'(Y)&\supseteq \{f'(y)\mid y\in Y\}.\end{aligned}}$

نفترض أيضًا أن $0 \notin F' (X)$ ، وبالتالي فإن $f$ لها جذر واحد على الأكثر في $X.$ ثم نُعرّف مؤثر نيوتن الفاصل الزمني كما يلي:

$N(Y)=m-{\frac {f(m)}{F'(Y)}}=\left\{\left.m-{\frac {f(m)}{z}}~\right|~z\in F'(Y)\right\}$

حيث $m \in Y.$ لاحظ أن الفرضية على $F'$ تستلزم أن $N (Y)$ معرفة جيدًا وأنها فترة (انظر حساب الفترات لمزيد من التفاصيل حول عمليات الفترات). وهذا يؤدي بشكل طبيعي إلى المتتالية التالية:

${\begin{aligned}X_{0}&=X\\X_{k+1}&=N(X_{k})\cap X_{k}.\end{aligned}}$

تضمن نظرية القيمة المتوسطة أنه إذا كان هناك جذر للدالة $f$ في $Xk ،$ فإنه يوجد أيضًا في $Xk$ $+ 1$ . علاوة على ذلك، تضمن الفرضية المتعلقة بـ $F' أن$ $حجم Xk$ $+ 1$ لا يتجاوز نصف حجم $Xk$ عندما تكون $m$ هي نقطة منتصف $Y$ $،$ وبالتالي فإن هذه المتتالية تتقارب نحو $[x*, x*]$ ، حيث $x*$ هو جذر الدالة $f$ في $X.$

إذا كانت $F' (X)$ تحتوي على 0 بشكل صارم، فإن استخدام قسمة الفترة الممتدة ينتج اتحاد فترتين لـ $N (X)$ ؛ وبالتالي يتم فصل الجذور المتعددة وتقييدها تلقائيًا.

التطبيقات

مسائل التصغير والتعظيم

يمكن استخدام طريقة نيوتن لإيجاد القيم الصغرى أو العظمى للدالة $f (x)$ . تكون المشتقة صفرًا عند القيم الصغرى أو العظمى، لذا يمكن إيجاد القيم الصغرى والعظمى المحلية بتطبيق طريقة نيوتن على المشتقة. ^{[ 45 ]} تصبح عملية التكرار كما يلي:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})}{f''(x_{n})}}.$

المعكوسات الضربية للأعداد ومتسلسلات القوى

من التطبيقات المهمة قسمة نيوتن-رافسون ، التي تُستخدم لإيجاد مقلوب العدد $a$ بسرعة ، باستخدام الضرب والطرح فقط، أي العدد x الذي يحقق المعادلة $1$ $/$ x $=$ $a$ $.$ $ويمكننا$ $إعادة$ صياغة ذلك على أنه $إيجاد$ صفر $الدالة$ $f$ $($ $x$ $)$ $=$ $1$ $/$ $x$ $-$ $a$ $.$ لدينا $f$ $'$ $($ $x$ $)$ $=$ $-1$ $/$ $x²$ $.$

تكرار نيوتن هو

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}+{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-a}{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}=x_{n}(2-ax_{n}).$

لذلك، فإن تكرار نيوتن لا يحتاج إلا إلى عمليتي ضرب وعملية طرح واحدة.

تُعد هذه الطريقة فعالة للغاية أيضًا لحساب المعكوس الضربي لسلسلة القوى .

حل المعادلات المتسامية

يمكن حل العديد من المعادلات المتسامية بدقة عالية باستخدام طريقة نيوتن. على سبيل المثال، يتطلب إيجاد دالة كثافة الاحتمال التراكمي ، كالتوزيع الطبيعي، لملاءمة احتمال معلوم، عادةً دوالًا تكاملية لا توجد لها طرق معروفة لحلها بصيغة مغلقة. مع ذلك، فإن حساب المشتقات اللازمة لحلها عدديًا باستخدام طريقة نيوتن معروف عمومًا، مما يجعل الحلول العددية ممكنة. للاطلاع على مثال، انظر الحل العددي للتوزيع التراكمي الطبيعي العكسي .

التحقق العددي من حلول المعادلات غير الخطية

تم إثبات التحقق العددي من حلول المعادلات غير الخطية باستخدام طريقة نيوتن عدة مرات وتكوين مجموعة من الحلول المرشحة.

الخوارزمية

يصف الكود الزائف التالي تطبيقًا محتملاً لطريقة نيوتن.

المدخلات: دالة حقيقية القيمة، f؛ مشتقة الدالة، f′؛ قيمة ابتدائية للجذر، x0؛ التسامح المطلوب، TOL؛ الحد الأقصى لعدد التكرارات، MAX_IT أصغر عدد نرغب في القسمة عليه، ε الناتج: قيمة x بحيث يكون f ( x ) ≈ 0، x ← x0، من أجل i ← 1 إلى MAX_IT ، إذا كان | f′ ( x )| < ε ، اطبع ("المشتقة قريبة جدًا من الصفر.")، ثم أرجع. نهاية الحلقة. xNew ← x - f ( x ) / f′ ( x )، إذا كان | xNew - x | < TOL ، فأرجع xNew. نهاية الحلقة. x ← xNew، ثم اطبع ( " لم يتم العثور على حل.")

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ فاولر، ديفيد؛ روبسون، إليانور (1998). "تقريبات الجذر التربيعي في الرياضيات البابلية القديمة: YBC 7289 في سياقها" . Historia Mathematica . 25 (4): 366–378 . doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .
1 2 3 يبما، تجالينج ج. (1995). "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون" . مجلة SIAM . 37 (4): 531-551 . doi : 10.1137/1037125 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2132904 .
1 2 محمد سروار مرشد (2022). "طريقة نيوتن المعززة للتحسين: تفسير المعدل الخطي العالمي والزخم". arXiv : 2205.11033 [ math.OC ].
1 2 كاجوري، فلوريان (1911). "ملاحظة تاريخية حول طريقة نيوتن-رافسون للتقريب" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 18 (2): 29-32 . doi : 10.2307/2973939 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2973939 .
↑ غوتشيارديني، نيكولو (2009). إسحاق نيوتن حول اليقين الرياضي والمنهج . التحويلات. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ص 158-159 . ISBN 978-0-262-01317-8. OCLC 282968643 .
↑ يبما، تجالينج ج. (1995). "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون" . مجلة SIAM . 37 (4): 531-551 . doi : 10.1137/1037125 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2132904 .
↑ "تاكاكازو سيكي - سيرة ذاتية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2024 .
↑ واليس، جون (1685). رسالة في الجبر، تاريخيًا وعمليًا . أكسفورد: ريتشارد ديفيس. doi : 10.3931/e-rara-8842 .
^ رافسون ، جوزيف (1697). تحليل Æequationum Universalis (باللغة اللاتينية) ( الطبعة الثانية). لندن: توماس براديل. دوى : 10.3931/e-rara-13516 .
↑ "طرق نيوتن المُسرّعة والمُعدّلة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 مايو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مارس 2016 .
1 2 ج. إ. دينيس الابن وروبرت ب. شنابل. الطرق العددية للتحسين غير المقيد والمعادلات غير الخطية. SIAM
↑ أنتوني رالستون وفيليب رابينوفيتز. دورة تمهيدية في التحليل العددي، الطبعة الثانية
↑ يوري نيستيروف. محاضرات في التحسين المحدب، الطبعة الثانية. سبرينغر، التحسين وتطبيقاته، المجلد 137.
↑ سولي ومايرز 2003 .
1 2 3 كينيث ل. جود. الأساليب العددية في الاقتصاد. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
↑ ريابينكي، فيكتور س.؛ تسينكوف، سيميون ف. (2006)، مقدمة نظرية في التحليل العددي ، مطبعة سي آر سي، ص 243، رقم ISBN 9781584886075.
^ سولي ومايرز 2003 ، تمرين 1.6
1 2 3 أوستروفسكي، أ.م. (1973). حل المعادلات في الفضاءات الإقليدية وفضاءات باناخ . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 9 (الطبعة الثالثة من الطبعة الأصلية لعام 1960 ). نيويورك - لندن: دار النشر الأكاديمية . MR 0359306. Zbl 0304.65002 .
^ أورتيجا وراينبولت، القسم 13.3
↑ تراوب، جيه إف (1964). الطرق التكرارية لحل المعادلات . سلسلة برنتيس هول في الحوسبة الآلية. إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، إنك . MR 0169356. Zbl 0121.11204 .
↑ جونسون، ستيفن ج. (4 فبراير 2015). "الجذور التربيعية باستخدام طريقة نيوتن" (ملف PDF) . دورة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 18.335 - الطرق العددية . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تاريخ الاسترجاع: 5 نوفمبر 2025 .
↑ بيردن، بيرتون؛ فيرز، ج. دوغلاس؛ رونولدز، ألبرت سي (يوليو 1981). التحليل العددي ( الطبعة الثانية). بوسطن، ماساتشوستس، الولايات المتحدة: بريندل، ويبر وشميدت. الصفحات 448-452 . ISBN 0-87150-314-X. OCLC 1036752194 .
↑ إيفانز، جوين أ. (1995). التحليل العددي العملي . تشيتشستر: جون وايلي وأولاده. ص 30-33 . ISBN 0471955353. OCLC 1319419671 .
^ ديميدوفيتش، بوريس بافلوفيتش؛ مارون، إسحاق أبراموفيتش (1981). الرياضيات الحاسوبية ( الطبعة الثالثة). موسكو: دار النشر مير. ص 460 – 478. ISBN 9780828507042.
↑ كيوسالاس، جان (مارس 2013). الأساليب العددية في الهندسة باستخدام بايثون 3 ( الطبعة الثالثة). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 175-176 . ISBN 978-1-107-03385-6.
↑ جيمس، جلين (1993). الرياضيات الهندسية الحديثة المتقدمة . ووكينغهام، إنجلترا: أديسون-ويسلي. ISBN 0201565196.
↑ هنريسي، بيتر (1974). التحليل المركب التطبيقي والحسابي . المجلد 1. وايلي. ISBN 9780471598923.
↑ سترانج، جيلبرت (يناير 1991). "بحث فوضوي عن $i$ ". مجلة الرياضيات الجامعية . 22 (1): 3-12 . doi : 10.2307/2686733 . JSTOR 2686733 .
↑ ماكمولين، كورت (1987). "عائلات الدوال الكسرية وخوارزميات البحث عن الجذور التكرارية" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 125 (3): 467-493 . doi : 10.2307/1971408 . JSTOR 1971408 .
↑ هوبارد، جون؛ شلايشر، ديرك؛ ساذرلاند، سكوت (2001). "كيفية إيجاد جميع جذور كثيرات الحدود المركبة باستخدام طريقة نيوتن". Inventiones Mathematicae . 146 (1): 1–33 . doi : 10.1007/s002220100149 .
↑ هوبارد، جون؛ شلايشر، ديرك؛ ساذرلاند، سكوت (أكتوبر 2001). "كيفية إيجاد جميع جذور كثيرات الحدود المركبة باستخدام طريقة نيوتن" . Inventiones Mathematicae . 146 (1): 1–33 . Bibcode : 2001InMat.146....1H . doi : 10.1007/s002220100149 . ISSN 0020-9910 . S2CID 12603806 .
↑ ياماموتو، تيتسورو (2001). "التطورات التاريخية في تحليل التقارب لطرق نيوتن وما يشابهها". في: بريزينسكي، سي.؛ وويتاك، إل. (محرران). التحليل العددي: التطورات التاريخية في القرن العشرين . نورث هولاند. ص 241-263 . ISBN 0-444-50617-9.
↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1982). " نظرية الدالة العكسية لناش وموزر" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 7 (1): 65-222 . doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15004-2 . MR 0656198. Zbl 0499.58003 .
^ جروموف، ميخائيل (1986). العلاقات التفاضلية الجزئية . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). المجلد. 9. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . دوى : 10.1007/978-3-662-02267-2 . رقم ISBN 3-540-12177-3MR 0864505 .
^ تشيبيشيف، بافنوتي لفوفيتش؛ بيرنشتاين، سيرجي ناتانوفيتش (1947). بولنوي سوبراني سوشينيني . Izd-vo Akademii nauk SSSR.
↑ أحمدي، أمير علي؛ شودري، أبرار؛ تشانغ، جيفري (2024). "طرق نيوتن من الرتبة العليا ذات عمل متعدد الحدود لكل تكرار" . التقدم في الرياضيات . 452 109808. arXiv : 2311.06374 . doi : 10.1016/j.aim.2024.109808 .
↑ هارتنيت، كيفن (24 مارس 2025). "بعد ثلاثمائة عام، أداة من أدوات إسحاق نيوتن تحصل على تحديث" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه في 3 أبريل 2025 .
^ راجكوفيتش، بريدراج م. ستانكوفيتش، ميومير S .؛ مارينكوفيتش، سلانا د. (2002). "نظريات القيمة المتوسطة في $q$-حساب التفاضل والتكامل" . ماتيماتيكي فيسنيك . 54 ( 3– 4): 171–178 .
↑ بريس وآخرون 2007
↑ ستوير، جوزيف؛ بوليرش، رولاند (1980). مقدمة في التحليل العددي . ص 279. OCLC 1244842246 .
^ تشانغ ، شانجي. جين، جيانمينغ (1996). حساب الوظائف الخاصة . وايلي. رقم ISBN 9780471119630.
↑ موروتو، كازو (1982). "التقارب العالمي لتكرار نيوتن المعدل للمعادلات الجبرية". مجلة SIAM للتحليل العددي . 19 (4): 793-799 . Bibcode : 1982SJNA...19..793M . doi : 10.1137/0719055 .
↑ مور، ر. إي. (1979). طرق وتطبيقات تحليل الفترات (المجلد 2). سيام.
↑ هانسن، إي. (1978). الأشكال الفاصلية لطريقة نيوتن. الحوسبة ، 20(2)، 153-163.
↑ بويد، ستيفن ؛ فاندنبيرغ، ليفين (2004). التحسين المحدب . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511804441 . ISBN 0-521-83378-7. السيد 2061575 . زبل 1058.90049 .

مراجع

جيل، أ.؛ سيغورا، ج.؛ تيمي، ن.م. (2007). الطرق العددية للدوال الخاصة . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-0-89871-634-4.
سولي، إندري ؛ مايرز، ديفيد (2003). مقدمة في التحليل العددي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-00794-1.

للمزيد من القراءة

كيندال إي. أتكينسون: مقدمة في التحليل العددي ، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-62489-6(1989).
تجالينج ج. يبما: "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون"، مجلة SIAM، المجلد 37، العدد 4، (1995)، الصفحات 531-551. doi : 10.1137/1037125 .
بونان، ج. فريدريك؛ جيلبرت، ج. تشارلز؛ ليمارشال، كلود ؛ ساغاستيزابال، كلوديا أ. (2006). التحسين العددي: الجوانب النظرية والعملية . Universitext (الطبعة الثانية المنقحة من ترجمة الطبعة الفرنسية لعام 1997). برلين: Springer-Verlag. الصفحات: xiv+490. doi : 10.1007/978-3-540-35447-5 . ISBN 3-540-35445-XMR 2265882 .
بي. دويفلهارد: طرق نيوتن للمسائل غير الخطية: الثبات الأفيني والخوارزميات التكيفية ، سبرينغر برلين (سلسلة في الرياضيات الحاسوبية، المجلد 35) (2004). ISBN 3-540-21099-7.
سي تي كيلي: حل المعادلات غير الخطية باستخدام طريقة نيوتن ، سيام (أساسيات الخوارزميات، 1) (2003). رقم ISBN 0-89871-546-6.
JM Ortega و WC Rheinboldt: الحل التكراري للمعادلات غير الخطية في عدة متغيرات ، SIAM (كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية) (2000). ISBN 0-89871-461-3.
بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007). "الفصل 9. إيجاد الجذور وأخذ عينات مهمة من مجموعات المعادلات غير الخطية" . وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية ( الطبعة الثالثة). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-88068-8.انظر على وجه الخصوص الأقسام 9.4 و 9.6 و 9.7 .
أفرييل، موردخاي (1976).البرمجة غير الخطية: التحليل والأساليببرنتيس هول. الصفحات ٢١٦-٢٢١ . رقم الكتاب المعياري الدولي 0-13-623603-0.

روابط خارجية

"طريقة نيوتن" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
وايسشتاين، إريك دبليو. "طريقة نيوتن" . عالم الرياضيات .
طريقة نيوتن، سيتيزنديوم.
ماثيوز، ج.، طرق نيوتن المعجلة والمعدلة، ملاحظات الدورة.
وو، إكس، جذور المعادلات، ملاحظات الدورة.

[1] فاولر، ديفيد؛ روبسون، إليانور (1998). "تقريبات الجذر التربيعي في الرياضيات البابلية القديمة: YBC 7289 في سياقها" . Historia Mathematica . 25 (4): 366–378 . doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .

[:1-2] 1 2 3 يبما، تجالينج ج. (1995). "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون" . مجلة SIAM . 37 (4): 531-551 . doi : 10.1137/1037125 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2132904 .

[arxiv|2205.11033-3] 1 2 محمد سروار مرشد (2022). "طريقة نيوتن المعززة للتحسين: تفسير المعدل الخطي العالمي والزخم". arXiv : 2205.11033 [ math.OC ].

[:0-4] 1 2 كاجوري، فلوريان (1911). "ملاحظة تاريخية حول طريقة نيوتن-رافسون للتقريب" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 18 (2): 29-32 . doi : 10.2307/2973939 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2973939 .

[5] غوتشيارديني، نيكولو (2009). إسحاق نيوتن حول اليقين الرياضي والمنهج . التحويلات. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ص 158-159 . ISBN 978-0-262-01317-8. OCLC 282968643 .

[6] يبما، تجالينج ج. (1995). "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون" . مجلة SIAM . 37 (4): 531-551 . doi : 10.1137/1037125 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2132904 .

[7] "تاكاكازو سيكي - سيرة ذاتية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2024 .

[8] واليس، جون (1685). رسالة في الجبر، تاريخيًا وعمليًا . أكسفورد: ريتشارد ديفيس. doi : 10.3931/e-rara-8842 .

[9] رافسون ، جوزيف (1697). تحليل Æequationum Universalis (باللغة اللاتينية) ( الطبعة الثانية). لندن: توماس براديل. دوى : 10.3931/e-rara-13516 .

[10] "طرق نيوتن المُسرّعة والمُعدّلة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 مايو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مارس 2016 .

[dennis-11] 1 2 ج. إ. دينيس الابن وروبرت ب. شنابل. الطرق العددية للتحسين غير المقيد والمعادلات غير الخطية. SIAM

[12] أنتوني رالستون وفيليب رابينوفيتز. دورة تمهيدية في التحليل العددي، الطبعة الثانية

[13] يوري نيستيروف. محاضرات في التحسين المحدب، الطبعة الثانية. سبرينغر، التحسين وتطبيقاته، المجلد 137.

[FOOTNOTESüliMayers2003-14] سولي ومايرز 2003 .

[judd-15] 1 2 3 كينيث ل. جود. الأساليب العددية في الاقتصاد. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

[16] ريابينكي، فيكتور س.؛ تسينكوف، سيميون ف. (2006)، مقدمة نظرية في التحليل العددي ، مطبعة سي آر سي، ص 243، رقم ISBN 9781584886075.

[17] سولي ومايرز 2003 ، تمرين 1.6

[ostrowski-18] 1 2 3 أوستروفسكي، أ.م. (1973). حل المعادلات في الفضاءات الإقليدية وفضاءات باناخ . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 9 (الطبعة الثالثة من الطبعة الأصلية لعام 1960 ). نيويورك - لندن: دار النشر الأكاديمية . MR 0359306. Zbl 0304.65002 .

[19] أورتيجا وراينبولت، القسم 13.3

[20] تراوب، جيه إف (1964). الطرق التكرارية لحل المعادلات . سلسلة برنتيس هول في الحوسبة الآلية. إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، إنك . MR 0169356. Zbl 0121.11204 .

[21] جونسون، ستيفن ج. (4 فبراير 2015). "الجذور التربيعية باستخدام طريقة نيوتن" (ملف PDF) . دورة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 18.335 - الطرق العددية . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تاريخ الاسترجاع: 5 نوفمبر 2025 .

[:3-22] بيردن، بيرتون؛ فيرز، ج. دوغلاس؛ رونولدز، ألبرت سي (يوليو 1981). التحليل العددي ( الطبعة الثانية). بوسطن، ماساتشوستس، الولايات المتحدة: بريندل، ويبر وشميدت. الصفحات 448-452 . ISBN 0-87150-314-X. OCLC 1036752194 .

[23] إيفانز، جوين أ. (1995). التحليل العددي العملي . تشيتشستر: جون وايلي وأولاده. ص 30-33 . ISBN 0471955353. OCLC 1319419671 .

[24] ديميدوفيتش، بوريس بافلوفيتش؛ مارون، إسحاق أبراموفيتش (1981). الرياضيات الحاسوبية ( الطبعة الثالثة). موسكو: دار النشر مير. ص 460 – 478. ISBN 9780828507042.

[25] كيوسالاس، جان (مارس 2013). الأساليب العددية في الهندسة باستخدام بايثون 3 ( الطبعة الثالثة). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 175-176 . ISBN 978-1-107-03385-6.

[GlynJamesBook-26] جيمس، جلين (1993). الرياضيات الهندسية الحديثة المتقدمة . ووكينغهام، إنجلترا: أديسون-ويسلي. ISBN 0201565196.

[27] هنريسي، بيتر (1974). التحليل المركب التطبيقي والحسابي . المجلد 1. وايلي. ISBN 9780471598923.

[28] سترانج، جيلبرت (يناير 1991). "بحث فوضوي عن $i$ ". مجلة الرياضيات الجامعية . 22 (1): 3-12 . doi : 10.2307/2686733 . JSTOR 2686733 .

[29] ماكمولين، كورت (1987). "عائلات الدوال الكسرية وخوارزميات البحث عن الجذور التكرارية" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 125 (3): 467-493 . doi : 10.2307/1971408 . JSTOR 1971408 .

[30] هوبارد، جون؛ شلايشر، ديرك؛ ساذرلاند، سكوت (2001). "كيفية إيجاد جميع جذور كثيرات الحدود المركبة باستخدام طريقة نيوتن". Inventiones Mathematicae . 146 (1): 1–33 . doi : 10.1007/s002220100149 .

[31] هوبارد، جون؛ شلايشر، ديرك؛ ساذرلاند، سكوت (أكتوبر 2001). "كيفية إيجاد جميع جذور كثيرات الحدود المركبة باستخدام طريقة نيوتن" . Inventiones Mathematicae . 146 (1): 1–33 . Bibcode : 2001InMat.146....1H . doi : 10.1007/s002220100149 . ISSN 0020-9910 . S2CID 12603806 .

[32] ياماموتو، تيتسورو (2001). "التطورات التاريخية في تحليل التقارب لطرق نيوتن وما يشابهها". في: بريزينسكي، سي.؛ وويتاك، إل. (محرران). التحليل العددي: التطورات التاريخية في القرن العشرين . نورث هولاند. ص 241-263 . ISBN 0-444-50617-9.

[33] هاميلتون، ريتشارد س. (1982). " نظرية الدالة العكسية لناش وموزر" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 7 (1): 65-222 . doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15004-2 . MR 0656198. Zbl 0499.58003 .

[34] جروموف، ميخائيل (1986). العلاقات التفاضلية الجزئية . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). المجلد. 9. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . دوى : 10.1007/978-3-662-02267-2 . رقم ISBN 3-540-12177-3MR 0864505 .

[35] تشيبيشيف، بافنوتي لفوفيتش؛ بيرنشتاين، سيرجي ناتانوفيتش (1947). بولنوي سوبراني سوشينيني . Izd-vo Akademii nauk SSSR.

[36] أحمدي، أمير علي؛ شودري، أبرار؛ تشانغ، جيفري (2024). "طرق نيوتن من الرتبة العليا ذات عمل متعدد الحدود لكل تكرار" . التقدم في الرياضيات . 452 109808. arXiv : 2311.06374 . doi : 10.1016/j.aim.2024.109808 .

[37] هارتنيت، كيفن (24 مارس 2025). "بعد ثلاثمائة عام، أداة من أدوات إسحاق نيوتن تحصل على تحديث" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه في 3 أبريل 2025 .

[38] راجكوفيتش، بريدراج م. ستانكوفيتش، ميومير S .؛ مارينكوفيتش، سلانا د. (2002). "نظريات القيمة المتوسطة في $q$-حساب التفاضل والتكامل" . ماتيماتيكي فيسنيك . 54 ( 3– 4): 171–178 .

[39] بريس وآخرون 2007

[40] ستوير، جوزيف؛ بوليرش، رولاند (1980). مقدمة في التحليل العددي . ص 279. OCLC 1244842246 .

[41] تشانغ ، شانجي. جين، جيانمينغ (1996). حساب الوظائف الخاصة . وايلي. رقم ISBN 9780471119630.

[42] موروتو، كازو (1982). "التقارب العالمي لتكرار نيوتن المعدل للمعادلات الجبرية". مجلة SIAM للتحليل العددي . 19 (4): 793-799 . Bibcode : 1982SJNA...19..793M . doi : 10.1137/0719055 .

[43] مور، ر. إي. (1979). طرق وتطبيقات تحليل الفترات (المجلد 2). سيام.

[44] هانسن، إي. (1978). الأشكال الفاصلية لطريقة نيوتن. الحوسبة ، 20(2)، 153-163.

[45] بويد، ستيفن ؛ فاندنبيرغ، ليفين (2004). التحسين المحدب . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511804441 . ISBN 0-521-83378-7. السيد 2061575 . زبل 1058.90049 .

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] بما

[ 12 ]

ثلاث

[ 14 ]

[ 15 ]

[

17

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

وصف