هندسة سيارات الأجرة

في أي فضاء متري ، تُعرَّف الكرة بأنها مجموعة من النقاط على مسافة ثابتة، نصف قطرها ، من نقطة مركزية محددة . وبينما تكون الكرة الإقليدية مستديرة ومتناظرة دورانيًا، فإن شكل الكرة، وفقًا لمسافة التاكسي، هو متعدد السطوح متقاطع ، وهو تعميم ذو أبعاد n لثماني السطوح المنتظم ، الذي تكون نقاطه${\displaystyle \mathbf {p} }$تحقق المعادلة التالية:

$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-c_{i}\right|=r,}$$

أين${\displaystyle \mathbf {c} }$يمثل المركز و r نصف القطر. النقاط${\displaystyle \mathbf {p} }$على الكرة الوحدة ، كرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل ، تحقق المعادلة${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

في هندسة سيارات الأجرة ثنائية الأبعاد، تُمثل الكرة (التي تُسمى دائرة ) مربعًا مُوجهًا قطريًا على محاور الإحداثيات. تُظهر الصورة على اليمين باللون الأحمر مجموعة جميع النقاط على شبكة مربعة بمسافة ثابتة من المركز الأزرق. مع زيادة دقة الشبكة، يزداد عدد النقاط الحمراء، وفي النهاية تُشكل مربعًا مائلًا متصلًا. يبلغ طول كل ضلع 2r ، لذا فإن محيط الدائرة يساوي 8r . وبالتالي، في هندسة سيارات الأجرة، فإن قيمة π ، وهي نسبة المحيط إلى القطر ، تساوي 4.

الكرة المغلقة (أو القرص المغلق في الحالة ثنائية الأبعاد) هي كرة مملوءة، وهي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة أقل من أو تساوي نصف القطر عن مركز محدد. بالنسبة للأتمتة الخلوية على شبكة مربعة، فإن قرص التاكسي هو جوار فون نيومان الذي يبلغ مداه r من مركزه.

الدائرة التي نصف قطرها r، والمستخدمة في حساب مسافة تشيبيشيف ( المقياس L∞ ) على مستوى ثنائي الأبعاد، هي أيضاً مربع طول ضلعه 2r موازٍ لمحاور الإحداثيات. لذا _، يمكن اعتبار مسافة تشيبيشيف في المستوى الثنائي مكافئة، بالتدوير والقياس، لمسافة سيارة الأجرة في المستوى الثنائي. مع ذلك، لا يمكن تعميم هذا التكافؤ بين مقياسي L1 _و L∞ _{على الأبعاد الأعلى.}

عندما يكون لكل زوج في مجموعة من هذه الدوائر تقاطع غير فارغ، توجد نقطة تقاطع للمجموعة بأكملها؛ لذلك، تشكل مسافة مانهاتن فضاءً متريًا حقنيًا .

يترك${\displaystyle y=f(x)}$لتكن دالة قابلة للتفاضل باستمرار .${\displaystyle s}$ليكن طول قوس سيارة الأجرة في الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$على فترة زمنية معينة${\displaystyle [a,b]}$خذ تجزئة للفترة إلى فترات جزئية متساوية ومتناهية الصغر، ولتكن${\displaystyle \Delta s_{i}}$ليكن طول سيارة الأجرة${\displaystyle i}$القوس الفرعي رقم -th. ثم ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

بحسب نظرية القيمة المتوسطة ، توجد نقطة ما${\displaystyle x_{i}^{*}}$بين${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle x_{i-1}}$بحيث${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$[ ^{7 ]} عندئذٍ يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو ^التالي

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\,\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

ثم${\displaystyle s}$يُعطى كمجموع كل تقسيم لـ${\displaystyle s}$على${\displaystyle [a,b]}$عندما تصبح صغيرة بشكل تعسفي : $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx.\end{aligned}}}$$ لاختبار ذلك، خذ دائرة سيارة الأجرة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$مركزها نقطة الأصل. منحنىها في الربع الأول يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle f(x)=-x+r}$طوله

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+\left|-1\right|\,dx=2r.}$$

بضرب هذه القيمة في${\displaystyle 4}$لحساب الأرباع المتبقية،${\displaystyle 8r}$وهو ما يتوافق مع محيط دائرة سيارة الأجرة. ^{[ 8 ]} الآن خذ الدائرة الإقليدية ذات نصف القطر${\displaystyle r}$مركزها نقطة الأصل، والتي تُعطى بواسطة${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$يُعطى طول قوسها في الربع الأول بالصيغة التالية:

$$\begin{aligned} \right| \displaystyle \begin{aligned} \right| \int_{0}^{r} ...$$

بأخذ الأرباع المتبقية في الاعتبار، نحصل على${\displaystyle 4\times 2r=8r}$مرة أخرى. لذلك، فإن محيط دائرة سيارة الأجرة ومحيط الدائرة الإقليدية في مقياس سيارة الأجرة متساويان. ^{[ 9 ]} في الواقع، لأي دالة${\displaystyle f}$أي أنها رتيبة وقابلة للتفاضل مع مشتقة متصلة على فترة${\displaystyle [a,b]}$، طول قوس${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle [a,b]}$يكون${\displaystyle (ba)+\left|f(b)-f(a)\right|}$[ ^{10 ]​}

يكون المثلثان متطابقين إذا وفقط إذا كانت ثلاثة أضلاع متناظرة متساوية في الطول وثلاث زوايا متناظرة متساوية في القياس. توجد عدة نظريات تضمن تطابق المثلثات في الهندسة الإقليدية، وهي: نظرية الزاوية-الزاوية-الضلع (AAS)، ونظرية الزاوية-الضلع-الزاوية (ASA)، ونظرية الضلع-الزاوية-الضلع (SAS)، ونظرية الضلع-الضلع-الضلع (SSS). أما في هندسة سيارات الأجرة، فإن نظرية SASAS فقط هي التي تضمن تطابق المثلثات. ^{[ 11 ]}

لنأخذ، على سبيل المثال، مثلثين قائمي الزاوية متساويي الساقين، قياس زواياهما 45-90-45 درجة. يبلغ طول ضلعي المثلثين 2، لكن الوترين غير متطابقين. هذا المثال المضاد يُلغي نظريات تطابق المثلثات AAS وASA وSAS. كما يُلغي نظريات تطابق المثلثات AASS وAAAS وحتى ASASA. فوجود ثلاث زوايا متطابقة وضلعين لا يضمن تطابق المثلثات في هندسة المثلثات. لذلك، فإن نظرية تطابق المثلثات الوحيدة في هندسة المثلثات هي SASAS، حيث يجب أن تكون جميع الأضلاع الثلاثة المتناظرة متطابقة، وأن تكون زاويتان متناظرتان على الأقل متطابقتين. ^{[ 12 ]} ويعود هذا الاستنتاج أساسًا إلى أن طول القطعة المستقيمة يعتمد على اتجاهها في هندسة المثلثات.

عند حل نظام غير محدد من المعادلات الخطية، يتم التعبير عن حد التنظيم لمتجه المعاملات بدلالة${\displaystyle \ell _{1}}$معيار (هندسة سيارة الأجرة) للمتجه. ^{[ 13 ]} يظهر هذا النهج في إطار استعادة الإشارة المسمى الاستشعار المضغوط .

يمكن استخدام هندسة سيارات الأجرة لتقييم الاختلافات في توزيعات التردد المنفصلة. على سبيل المثال، في عملية ربط الحمض النووي الريبوزي (RNA) ، يمكن مقارنة التوزيعات الموضعية للسداسيات ، التي تُظهر احتمالية ظهور كل سداسي عند كل نيوكليوتيد مُحدد بالقرب من موقع الربط، بمسافة L1. يمكن تمثيل كل توزيع موضعي كمتجه، حيث يُمثل كل عنصر فيه احتمالية بدء السداسي عند نيوكليوتيد مُعين. تشير مسافة L1 الكبيرة بين المتجهين إلى اختلاف كبير في طبيعة التوزيعات، بينما تشير المسافة الصغيرة إلى توزيعات متشابهة الشكل. هذا يُعادل قياس المساحة بين منحنيي التوزيع، لأن مساحة كل جزء هي الفرق المطلق بين احتمالات المنحنيين عند تلك النقطة. عند جمعها لجميع الأجزاء، فإنها تُعطي نفس مقياس مسافة L1. ^{[ 14 ]}