Actual and potential infinity

الموسوعة الحرة

In the philosophy of mathematics, the abstraction of actual infinity, also called completed infinity,[1] involves infinite entities as given, actual and completed objects. Actual infinity is to be contrasted with potential infinity, in which an endless process (such as "add 1 to the previous number") produces a sequence with no last element, and where each individual result is finite and is achieved in a finite number of steps. This type of process occurs in mathematics, for instance, in standard formalizations of the notions of mathematical induction, infinite series, infinite products, and limits.[2]

The concept of actual infinity was introduced into mathematics near the end of the 19th century by Georg Cantor with his theory of infinite sets, and was later formalized into Zermelo–Fraenkel set theory. This theory, which is presently commonly accepted as a foundation of mathematics, contains the axiom of infinity, which means that the natural numbers form a set (necessarily infinite). A great discovery of Cantor is that, if one accepts infinite sets, then there are different sizes (cardinalities) of infinite sets, and, in particular, the cardinal of the continuum of the real numbers is strictly larger than the cardinal of the natural numbers.

Anaximander

The ancient Greek term for the potential or improper infinite was apeiron (unlimited or indefinite), in contrast to the actual or proper infinite aphorismenon.[3]Apeiron stands opposed to that which has a peras (limit). These notions are today denoted by potentially infinite and actually infinite, respectively.

Anaximander (610–546 BC) held that the apeiron was the principle or main element composing all things. Clearly, the 'apeiron' was some sort of basic substance. Plato's notion of the apeiron is more abstract, having to do with indefinite variability. The main dialogues where Plato discusses the 'apeiron' are the late dialogues Parmenides and the Philebus.

Aristotle

Aristotle sums up the views of his predecessors on infinity as follows:

«وحدهم الفيثاغوريون يضعون اللانهائي بين موضوعات الحواس (فهم لا يعتبرون العدد منفصلاً عنها)، ويؤكدون أن ما هو خارج السماء لانهائي. أما أفلاطون، من جهة أخرى، فيرى أنه لا يوجد جسم خارج السماء (فالمُثُل ليست خارج السماء لأنها لا مكان لها)، ومع ذلك فإن اللانهائي حاضر ليس فقط في موضوعات الحواس، بل في المُثُل أيضاً.» (أرسطو) [ 4 ]

وقد تم طرح هذا الموضوع من خلال دراسة أرسطو لمفهوم "الأبيرون" - في سياق الرياضيات والفيزياء (دراسة الطبيعة):

"اتضح أن اللانهاية هي عكس ما يقوله الناس عنها. ليس ما هو "الذي لا يوجد شيء وراءه" هو اللانهاية، بل ما هو "الذي يوجد فيه دائمًا شيء وراءه". (أرسطو) [ 5 ]

ينبع الإيمان بوجود اللانهائي بشكل رئيسي من خمسة اعتبارات: [ 6 ]

  1. من طبيعة الزمن - لأنه لا نهائي.
  2. من قسمة المقادير - يستخدم علماء الرياضيات أيضًا مفهوم اللانهاية.
  3. إذا لم يتوقف الوجود والفناء، فذلك فقط لأن ما تنشأ منه الأشياء لا نهائي.
  4. لأن المحدود يجد دائماً حده في شيء ما، لذلك لا بد من عدم وجود حد، إذا كان كل شيء محدوداً دائماً بشيء مختلف عنه.
  5. والأهم من ذلك كله، سبب مناسب بشكل خاص ويطرح الصعوبة التي يشعر بها الجميع - ليس فقط العدد، بل أيضاً المقادير الرياضية وما هو خارج السماء يُفترض أن يكون لانهائياً لأنه لا ينضب في فكرنا. (أرسطو)

افترض أرسطو أن اللانهاية الحقيقية مستحيلة، لأنه لو كانت ممكنة، لكان شيء ما قد بلغ مقدارًا لانهائيًا، ولكان "أكبر من السماوات". ومع ذلك، قال إن الرياضيات المتعلقة باللانهاية لا تفقد قابليتها للتطبيق بسبب هذه الاستحالة، لأن علماء الرياضيات لا يحتاجون إلى اللانهاية لنظرياتهم، بل إلى مقدار محدود وكبير كيفما شاءوا. [ 7 ]

التمييز بين الإمكانات والواقع عند أرسطو

تناول أرسطو موضوع اللانهاية في كتابي الطبيعة والميتافيزيقا ، وميّز بين اللانهاية الفعلية واللانهاية الكامنة . اللانهاية الفعلية كاملة ومحددة، وتتألف من عدد لا نهائي من العناصر. أما اللانهاية الكامنة فهي غير كاملة أبدًا: إذ يمكن دائمًا إضافة عناصر إليها، ولكن ليس إلى عدد لا نهائي.

"فإن اللانهائي عموماً له نمط الوجود هذا: شيء واحد يؤخذ دائماً بعد شيء آخر، وكل شيء يؤخذ يكون دائماً محدوداً، ولكنه دائماً مختلف."

— أرسطو، الطبيعة ، الكتاب الثالث، الفصل السادس.

ميّز أرسطو بين اللانهاية فيما يتعلق بالجمع والقسمة.

لكن أفلاطون لديه لانهائيتان، الكبرى والصغرى.

— الفيزياء ، الكتاب الثالث، الفصل الرابع.

"كمثال على سلسلة لا نهائية محتملة فيما يتعلق بالزيادة، يمكن دائمًا إضافة رقم واحد بعد الآخر في السلسلة التي تبدأ بـ 1، 2، 3، ... ولكن عملية إضافة المزيد والمزيد من الأرقام لا يمكن استنفادها أو إكمالها."

فيما يتعلق بالقسمة، قد تبدأ سلسلة لا نهائية محتملة من عمليات القسمة، على سبيل المثال، 1، 1/2، 1/4، 1/8، 1/16، ولكن لا يمكن استنفاد عملية القسمة أو إكمالها.

"لأن حقيقة أن عملية التقسيم لا تنتهي أبداً تضمن أن هذا النشاط موجود بشكل محتمل، ولكن ليس أن اللانهائي موجود بشكل منفصل."

— الميتافيزيقا ، الكتاب التاسع، الفصل السادس.

جادل أرسطو أيضًا بأن علماء الرياضيات اليونانيين كانوا يعرفون الفرق بين اللانهائي الفعلي واللانهائي المحتمل، لكنهم "لا يحتاجون إلى اللانهائي [الفعلي] ولا يستخدمونه" ( الطبيعة، الكتاب الثالث، 2079، 29). [ 8 ]

مفكرو العصر المدرسي وعصر النهضة وعصر التنوير

التزمت الغالبية العظمى من الفلاسفة المدرسيين بشعار "Infinitum actu non datur " (لا يوجد شيء اسمه "لا شيء"). وهذا يعني أن هناك فقط لانهاية كامنة (ناشئة، غير صحيحة، "متعددة التصنيفات")، وليس لانهاية فعلية (ثابتة، صحيحة، "محددة") . ومع ذلك، كانت هناك استثناءات، على سبيل المثال في إنجلترا.

من المعروف جيداً أن جميع الفلاسفة المدرسيين في العصور الوسطى كانوا يدافعون عن مبدأ أرسطو "infinitum actu non datur" باعتباره مبدأً لا جدال فيه. ( ج. كانتور ) [ 9 ]

اللانهاية الحقيقية موجودة في العدد والزمان والكمية. (ج. بيكونثورب [9، ص  96])

خلال عصر النهضة وبحلول أوائل العصر الحديث، كانت الأصوات المؤيدة لفكرة اللانهاية الحقيقية نادرة إلى حد ما.

يتكون المتصل في الواقع من عدد لا نهائي من الأجزاء غير القابلة للتجزئة ( ج. جاليلي [9، ص.  97])

أنا من أشد المؤيدين لفكرة اللانهاية الحقيقية. ( جي دبليو لايبنتز [9، ص  97])

ومع ذلك، اتفق غالبية المفكرين في العصور ما قبل الحديثة مع المقولة الشهيرة لغوس:

أعترض على استخدام مفهوم المقدار اللانهائي كشيء مكتمل، وهو أمر غير جائز في الرياضيات. اللانهاية مجرد تعبير مجازي، أما معناها الحقيقي فهو حدٌّ تقترب منه نسب معينة إلى ما لا نهاية، بينما يُسمح لنسب أخرى بالتزايد بلا قيود. [ 10 ] ( سي إف غاوس [في رسالة إلى شوماخر ، 12 يوليو 1831])

العصر الحديث

أصبح مفهوم اللانهاية الحقيقية مقبولاً على نطاق واسع في الرياضيات. وقد بدأ هذا التغيير الجذري على يد بولزانو وكانتور في القرن التاسع عشر، وكان أحد أصول الأزمة التأسيسية للرياضيات .

عارض برنارد بولزانو ، الذي قدم مفهوم المجموعة (بالألمانية: Menge )، وجورج كانتور، الذي قدم نظرية المجموعات ، الموقف العام. وميز كانتور ثلاثة عوالم من اللانهاية: (1) لانهاية الله (التي سماها "المطلق")، (2) لانهاية الواقع (التي سماها "الطبيعة")، و(3) الأعداد والمجموعات المتسامية في الرياضيات.

سأسمي الحشد الذي يزيد عن أي حشد منتهٍ، أي الحشد الذي تكون فيه كل مجموعة منتهية [من عناصر النوع المعني] جزءًا منه فقط، حشدًا لانهائيًا. (ب. بولزانو [2، ص.  6])

وبناءً على ذلك، أميز بين اللانهاية الأزلية غير المخلوقة، أو المطلقة، وهي منسوبة إلى الله وصفاته، واللانهاية المخلوقة، أو المتسامية، التي يجب استخدامها حيثما يُراد ملاحظة لانهاية فعلية في الطبيعة المخلوقة، على سبيل المثال، فيما يتعلق، وفقًا لقناعتي الراسخة، بالعدد اللانهائي من الكائنات المخلوقة، في الكون وعلى كوكبنا الأرض، وربما حتى في كل رقعة صغيرة ممتدة من الفضاء. (جورج كانتور) [ 11 ] (ج. كانتور [8، ص  252])

الأرقام هي نتاج حر للعقل البشري. ( ر. ديديكيند [3أ، ص.  3])

يستند أحد الأدلة إلى مفهوم الله. أولًا، من كمال الله الأسمى، نستنتج إمكانية خلق المتعالي، ثم من نعمته المطلقة وجلاله، نستنتج ضرورة حدوث خلق المتعالي بالفعل. (ج. كانتور [3، ص  400])

ميّز كانتور نوعين من اللانهاية الفعلية، وهما اللانهاية المتسامية واللانهاية المطلقة، وقد أكد بشأنهما ما يلي:

يجب التمييز بين هذه المفاهيم بشكل صارم، بقدر ما يكون الأول، بالتأكيد، لانهائيًا ، ولكنه قابل للزيادة ، في حين أن الأخير غير قادر على الزيادة ، وبالتالي فهو غير قابل للتحديد كمفهوم رياضي. وهذا الخطأ نجده، على سبيل المثال، في وحدة الوجود . (جي. كانتور، Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das Aktuelle Unendliche ، in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts ، ص 375، 378) [ 12 ]

الممارسة الرياضية الحالية

أصبح مفهوم اللانهاية الحقيقية مقبولاً على نطاق واسع في الرياضيات تحت مسمى " المجموعات اللانهائية ". في الواقع، تمّت صياغة نظرية المجموعات بشكل رسمي، على سبيل المثال، من خلال نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF). إحدى بديهيات ZF هي بديهية اللانهاية ، التي تنصّ أساساً على أن الأعداد الطبيعية تُشكّل مجموعة.

أُعيدت صياغة جميع فروع الرياضيات باستخدام نظرية ZF. وعلى وجه الخصوص، تُعرَّف الخطوط والمنحنيات وجميع أنواع الفضاءات عادةً على أنها مجموعات نقاطها. وتُعدّ المجموعات غير المنتهية شائعةً لدرجة أنه عند دراسة المجموعات المنتهية، يُذكر ذلك صراحةً، كما هو الحال في الهندسة المنتهية أو الحقول المنتهية .

نظرية فيرما الأخيرة هي نظرية صيغت بلغة الحساب الابتدائي ، وتم إثباتها بعد أكثر من 350 عامًا. لم يقتصر برهان وايلز الأصلي لنظرية فيرما الأخيرة على استخدام كامل قوة ZF مع بديهية الاختيار فحسب ، بل استخدم ضمنيًا بديهية أخرى تستلزم وجود مجموعات كبيرة جدًا. تم التخلي لاحقًا عن شرط هذه البديهية الإضافية، لكن المجموعات اللانهائية لا تزال تُستخدم بشكل أساسي. لم يكن هذا عائقًا أمام اعتراف مجتمع الرياضيين بصحة البرهان.

تستخدم بعض الأعمال الحديثة حول اللانهاية المحتملة مفهوم " الواحد الإجمالي"، والذي يمكن أن يمثل القيمة "الإجمالية" للانهاية المحتملة ويسمح للمرء بإجراء بعض العمليات الحسابية عليه.

معارضة من المدرسة الحدسية

إن المعنى الرياضي لمصطلح "فعلي" في اللانهاية الفعلية مرادف لمصطلحات " محدد " أو " مكتمل " أو "ممتد" أو "وجودي " [ 13 ]، ولكن لا ينبغي الخلط بينه وبين الوجود المادي . وبالتالي، فإن مسألة ما إذا كانت الأعداد الطبيعية أو الحقيقية تُشكّل مجموعات محددة مستقلة عن مسألة ما إذا كانت الأشياء اللانهائية موجودة ماديًا في الطبيعة .

يرفض أنصار المذهب الحدسي ، بدءًا من كرونكر ، الادعاء بوجود عدد لا نهائي من الكائنات أو المجموعات الرياضية. ونتيجةً لذلك، يعيدون بناء أسس الرياضيات بطريقة لا تفترض وجود لانهائيات فعلية. في المقابل، يقبل التحليل البنائي وجود اللانهائية الكاملة للأعداد الصحيحة.

بالنسبة لأصحاب الحدس، يُوصف اللانهاية بأنها كامنة ؛ ومن المصطلحات المرادفة لهذا المفهوم: الصيرورة أو البناء . [ 13 ] على سبيل المثال، يصف ستيفن كلين مفهوم شريط آلة تورينج بأنه "شريط خطي، لانهائي (محتملًا) في كلا الاتجاهين". [ 14 ] للوصول إلى الذاكرة على الشريط، تُحرك آلة تورينج رأس القراءة على طوله في عدد محدود من الخطوات: وبالتالي، فإن الشريط "لانهائي" "محتملًا" فقط، لأنه - على الرغم من وجود القدرة دائمًا على اتخاذ خطوة أخرى - لا يتم الوصول إلى اللانهاية نفسها أبدًا. [ 15 ]

يقبل علماء الرياضيات عمومًا مفهوم اللانهايات الفعلية. [ 16 ] يُعدّ جورج كانتور أبرز علماء الرياضيات الذين دافعوا عن مفهوم اللانهايات الفعلية. فقد قرر أنه من الممكن أن تكون الأعداد الطبيعية والحقيقية مجموعات محددة، وأنه إذا رفض المرء بديهية التناهي الإقليدي (التي تنص على أن اللانهايات، منفردة ومجتمعة، هي بالضرورة منتهية)، فإنه لا يقع في أي تناقض .

التفسير التقليدي الحالي للأعداد الترتيبية والأصلية ، وفقًا لنظرية المحدودية ، هو أنها تتكون من مجموعة من الرموز الخاصة، ولغة رسمية مرتبطة بها، يمكن من خلالها صياغة العبارات. جميع هذه العبارات محدودة الطول بالضرورة. وتستند صحة هذه العمليات فقط على المبادئ الأساسية للغة الرسمية: جبر الحدود ، وإعادة كتابة الحدود ، وما إلى ذلك. وبشكل أكثر تجريدًا، توفر كل من نظرية النموذج (المحدود) ونظرية البرهان الأدوات اللازمة للتعامل مع اللانهاية. لا يشترط الإيمان باللانهاية لكتابة تعابير صحيحة جبريًا باستخدام رموز اللانهاية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ستروغاتز، ستيفن هـ. (2019). قوى لا متناهية: كيف يكشف حساب التفاضل والتكامل أسرار الكون . بوسطن: هوتون ميفلين هاركورت. ISBN 978-1-328-87998-1.
  2. ↑ فليتشر، بيتر (2006). "اللانهاية". فلسفة المنطق . دليل فلسفة العلوم. إلسيفير. ص 523-585 . doi : 10.1016/b978-044451541-4/50017-8 . ISBN  9780444515414.
  3. ↑ فينفس، بيتر ديفيد (2001). اللغة الآسرة: من لايبنتز إلى بنيامين . مطبعة جامعة ستانفورد. ص 331. ISBN  9780804739603.
  4. ↑ توماس، كينيث و.؛ توماس، توماس، أكويناس (1 يونيو 2003). تعليق على كتاب أرسطو في الطبيعة . دار نشر A&C Black. ص 163. ISBN  9781843715450.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  5. ↑ بادوفان، ريتشارد (11 سبتمبر 2002). النسبة: العلم، الفلسفة، العمارة . تايلور وفرانسيس. ص 123. ISBN  9781135811112.
  6. ↑ توماس، كينيث و.؛ توماس، توماس، أكويناس (1 يونيو 2003). تعليق على كتاب أرسطو في الطبيعة . دار نشر A&C Black. رقم ISBN 9781843715450.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  7. ↑ "مكتبة لوغوس الافتراضية: أرسطو: الطبيعة، الجزء الثالث، الفصل السابع" . logoslibrary.org . تاريخ الاسترجاع: 14 نوفمبر 2017 .
  8. ↑ ألين، ريجينالد إي. (1998). بارمنيدس لأفلاطون . حوارات أفلاطون. المجلد 4. نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ص 256. ISBN   9780300138030. OCLC 47008500 . 
  9. ^ كانتور ، جورج (1966). زيرميلو، إرنست (محرر). Gesammelte abhandlungen: استنشاق رياضي وفلسفي . جورج أولمس دار نشر. ص. 174. 
  10. ↑ ستيفن كلين 1952 (طبعة 1971):48 ينسب الجملة الأولى من هذا الاقتباس إلى (Werke VIII ص. 216).
  11. ^ كانتور ، جورج (1966). زيرميلو، إرنست (محرر). Gesammelte abhandlungen: استنشاق رياضي وفلسفي . جورج أولمس دار نشر. ص. 399. 
  12. ↑ كوهانسكي، ألكسندر سيسيل (6 يونيو 2021). النمط اليوناني للفكر في الفلسفة الغربية . مطبعة جامعة فيرلي ديكنسون. ص 271. ISBN  9780838631393. OCLC 230508222 . 
  13. 1 2 كلين 1952/1971:48.
  14. ↑ Kleene 1952/1971:48 ص. 357؛ وأيضًا "الآلة ... مزودة بشريط طباعة (محتمل) لا نهائي ..." (ص. 363).
  15. ↑ أو قد يكون "الشريط" ثابتًا، بينما يتحرك "رأس" القراءة. يقترح روجر بنروز هذا لأنه: "أشعر شخصيًا ببعض القلق حيال قيام جهازنا المحدود بتحريك شريط قد يكون لانهائيًا ذهابًا وإيابًا. فمهما كانت مادة الشريط خفيفة، قد يصعب تحريك شريط لانهائي !". يُظهر رسم بنروز رأس شريط ثابتًا يحمل علامة "™" يقرأ شريطًا مرنًا من مربعات تمتد إلى نقطة التلاشي المرئية. (انظر الصفحة 36 في كتاب روجر بنروز، 1989، عقل الإمبراطور الجديد ، مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، المملكة المتحدة، ISBN 1). 0-19-851973-7). ويحل مؤلفون آخرون هذه المشكلة عن طريق إضافة المزيد من الشريط عندما توشك الآلة على النفاد.
  16. ↑Actual infinity follows from, for example, the acceptance of the notion of the integers as a set, see J J O'Connor and E F Robertson, "Infinity".

Sources

  • Aristotle, Physics
  • Bernard Bolzano, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Reclam, Leipzig.
  • Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre, Sulzbach.
  • Georg Cantor in E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Olms, Hildesheim.
  • Richard Dedekind in 1960 Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Braunschweig.
  • Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin.
  • Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Foundations of Set Theory, 2nd edn., North Holland, Amsterdam New York.
  • Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition, 10th printing), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. ISBN 0-444-10088-1.
  • H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
  • H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor – Briefe, Springer, Berlin.
  • Abraham Robinson 1979, Selected Papers, Vol. 2, W.A.J. Luxemburg, S. Koerner (Hrsg.), North Holland, Amsterdam.