عرض ثلاثي الأبعاد

يُستمد الإسقاط المتعامد من مبادئ الهندسة الوصفية ، وهو تمثيل ثنائي الأبعاد لجسم ثلاثي الأبعاد. وهو إسقاط متوازٍ (خطوط الإسقاط متوازية في الواقع وفي مستوى الإسقاط). وهو النوع المفضل من الإسقاطات في الرسومات التنفيذية .

إذا كان العمودي على مستوى الرؤية (اتجاه الكاميرا) موازيًا لأحد المحاور الرئيسية (وهو المحور س أو ص أو ع )، فإن التحويل الرياضي يكون كما يلي: لإسقاط النقطة ثلاثية الأبعاد${\displaystyle a_{x}}$،${\displaystyle a_{y}}$،${\displaystyle a_{z}}$على النقطة ثنائية الأبعاد${\displaystyle b_{x}}$،${\displaystyle b_{y}}$باستخدام إسقاط متعامد موازٍ للمحور y (حيث يمثل y الموجب الاتجاه الأمامي - منظر جانبي)، يمكن استخدام المعادلات التالية:

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

حيث يمثل المتجه s عامل قياس اختياري، و c إزاحة اختيارية. هذه الثوابت اختيارية، ويمكن استخدامها لمحاذاة نافذة العرض بشكل صحيح. باستخدام ضرب المصفوفات ، تصبح المعادلات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

بينما تُجسّد الصور المُسقطة إسقاطًا متعامدًا الطبيعة ثلاثية الأبعاد للجسم المُسقط، إلا أنها لا تُمثله كما يُسجّل فوتوغرافيًا أو كما يراه مُشاهدٌ يُلاحظه مُباشرةً. فعلى وجه الخصوص، تكون الأطوال المتوازية في جميع نقاط الصورة المُسقطة إسقاطًا متعامدًا بنفس المقياس، بغض النظر عن بُعدها أو قربها من المُشاهد الافتراضي. ونتيجةً لذلك، لا تُقصّر الأطوال كما هو الحال في الإسقاط المنظوري.

إسقاط متعدد المشاهد

باستخدام الإسقاطات متعددة المناظر ، يتم إنتاج ما يصل إلى ست صور (تُسمى المناظر الأساسية ) لجسم ما، حيث يكون كل مستوى إسقاط موازياً لأحد محاور إحداثيات الجسم. تُوضع المناظر بالنسبة لبعضها البعض وفقاً لأحد نظامين: الإسقاط من الزاوية الأولى أو الإسقاط من الزاوية الثالثة . في كليهما، يمكن اعتبار مظهر المناظر مُسقطاً على مستويات تُشكل صندوقاً سداسياً حول الجسم. على الرغم من إمكانية رسم ستة جوانب مختلفة، إلا أن ثلاثة مناظر للرسم عادةً ما تُوفر معلومات كافية لإنشاء مجسم ثلاثي الأبعاد. تُعرف هذه المناظر باسم المنظر الأمامي ، والمنظر العلوي ، والمنظر الجانبي . كما تُستخدم أيضاً مصطلحات الواجهة ، والمسقط الأفقي ، والمقطع .

طاولة زراعة مرسومة في إسقاط خزانة بزاوية 45 درجة ونسبة 2/3

قوس حجري مرسوم من منظور عسكري

في الإسقاطات المائلة، لا تكون أشعة الإسقاط المتوازية عمودية على مستوى الرؤية كما هو الحال في الإسقاط المتعامد، بل تسقط على مستوى الإسقاط بزاوية تختلف عن 90 درجة. في كل من الإسقاط المتعامد والمائل، تظهر الخطوط المتوازية في الفضاء متوازية على الصورة المسقطة. نظرًا لبساطته، يُستخدم الإسقاط المائل حصريًا لأغراض التصوير، وليس للرسومات الهندسية الرسمية. في الرسم التصويري المائل ، تكون الزوايا المعروضة بين المحاور، بالإضافة إلى عوامل التقصير (المقياس)، اختيارية. عادةً ما يتم تقليل التشوه الناتج عن ذلك بمحاذاة أحد مستويات الجسم المصوَّر ليكون موازيًا لمستوى الإسقاط، مما يُنشئ صورة حقيقية كاملة الحجم للمستوى المُختار. من الأنواع الخاصة للإسقاطات المائلة:

تُظهر الإسقاطات المحورية صورةً لجسمٍ ما كما يُرى من زاوية مائلة، وذلك لإظهار جميع محاور الفضاء الثلاثة في صورة واحدة. ^{[ 2 ]} قد تكون الإسقاطات المحورية متعامدة أو مائلة . تُستخدم رسومات الأدوات المحورية غالبًا لتقريب الإسقاطات المنظورية، ولكن يصاحب هذا التقريب تشويه. ولأن الإسقاطات التصويرية تتضمن هذا التشويه بطبيعتها، فإنه يُمكن في رسومات الأدوات التصويرية التجاوز بشكل كبير لتوفير الجهد وتحقيق أفضل النتائج.

ينقسم الإسقاط المحوري إلى ثلاث فئات: الإسقاط المتساوي القياس ، والإسقاط ثنائي القياس ، والإسقاط ثلاثي القياس ، وذلك تبعًا للزاوية الدقيقة التي ينحرف عندها المنظر عن التعامد. ^{[ 3 ] [ 4 ]} ومن الخصائص المميزة للرسومات الإسقاطية المتعامدة أن أحد محاور الفضاء يُعرض عادةً بشكل عمودي.

مثال على قيود الإسقاط المتساوي القياس. لا يمكن تحديد فرق الارتفاع بين الكرتين الحمراء والزرقاء محليًا.

تصور سلالم بنروز درجًا يبدو أنه يصعد (عكس اتجاه عقارب الساعة) أو ينزل (مع اتجاه عقارب الساعة) ولكنه يشكل حلقة متصلة.

لا تبدو الأجسام المرسومة بالإسقاط المتوازي أكبر أو أصغر كلما اقتربت من المشاهد أو ابتعدت عنه. ورغم أن هذه الطريقة مفيدة في الرسومات المعمارية ، حيث تُؤخذ القياسات مباشرةً من الصورة، إلا أنها تُنتج تشوهًا مرئيًا، لأنها، على عكس الإسقاط المنظوري ، لا تُحاكي طريقة عمل أعيننا أو التصوير الفوتوغرافي. كما أنها قد تُؤدي بسهولة إلى حالات يصعب فيها تقدير العمق والارتفاع، كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين.

في هذا الرسم المتساوي القياس، ترتفع الكرة الزرقاء وحدتين عن الكرة الحمراء. مع ذلك، لا يظهر هذا الفرق في الارتفاع إذا غطينا النصف الأيمن من الصورة، حيث تختفي المربعات (التي تُشير إلى الارتفاع).

استُغِلَّ هذا الغموض البصري في فن الأوب آرت ، وكذلك في رسومات "الأشياء المستحيلة". تُعدّ لوحة "الشلال" (1961) للفنان إم سي إيشر ، وإن لم تستخدم الإسقاط المتوازي بشكلٍ مباشر، مثالًا شهيرًا، حيث يبدو أن قناةً من الماء تسير دون مساعدة على طول مسارٍ هابط، ثم تعود بشكلٍ متناقض إلى مصدرها. وهكذا، يبدو الماء وكأنه يخالف قانون حفظ الطاقة . ويُصوَّر مثالٌ متطرف في فيلم "بداية" (Inception) ، حيث تُغيِّر خدعة المنظور القسري اتصال درجٍ ثابت. وتستخدم لعبة الفيديو "فيز" (Fez) خدع المنظور لتحديد الأماكن التي يُمكن للاعب التحرك فيها والأماكن التي لا يُمكنه التحرك فيها، وذلك بطريقةٍ تُشبه حل الألغاز.

يتطلب الإسقاط المنظوري تعريفًا أكثر تفصيلًا مقارنةً بالإسقاطات المتعامدة. ولتسهيل فهم آلية هذا الإسقاط، يمكن تخيل الإسقاط ثنائي الأبعاد كما لو كان الجسم (أو الأجسام) يُرى من خلال عدسة كاميرا. يتحكم موضع الكاميرا واتجاهها ومجال رؤيتها في سلوك تحويل الإسقاط. تُعرَّف المتغيرات التالية لوصف هذا التحويل:

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$– الموضع ثلاثي الأبعاد للنقطة أ التي سيتم إسقاطها
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$– الموضع ثلاثي الأبعاد للنقطة C التي تمثل الكاميرا
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$– اتجاه الكاميرا (ممثلة بزوايا تايت-برايان )
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$- موضع سطح العرض بالنسبة لما سبق ذكره${\displaystyle \mathbf {c} }$^{[ 8 ]}

تستخدم معظم الاتفاقيات قيم z الموجبة (حيث يكون المستوى أمام الثقب الدقيق).${\displaystyle \mathbf {c} }$ومع ذلك، فإن قيم z السالبة أكثر دقة من الناحية الفيزيائية، ولكن الصورة ستنعكس أفقيًا وعموديًا. مما ينتج عنه:

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$– الإسقاط ثنائي الأبعاد لـ${\displaystyle \mathbf {a} .}$

متى${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$و${\displaystyle \mathbf {\theta} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$المتجه ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$يتم إسقاطها على المتجه ثنائي الأبعاد${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$.

وإلا، لحساب${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$نقوم أولاً بتعريف متجه${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$باعتبارها موضع النقطة A بالنسبة لنظام إحداثيات تحدده الكاميرا، مع نقطة الأصل في C وتدويرها بواسطة${\displaystyle \mathbf {\theta } }$بالنسبة لنظام الإحداثيات الأولي. ويتحقق ذلك عن طريق الطرح${\displaystyle \mathbf {c} }$من${\displaystyle \mathbf {a} }$ثم تطبيق الدوران بواسطة${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$إلى النتيجة. يُطلق على هذا التحويل غالبًا اسمتحويل الكاميرا ، ويمكن التعبير عنه على النحو التالي، معبرًا عن الدوران من حيث الدوران حولx وyوz(تفترض هذه الحسابات أن المحاور مرتبة كنظاممحاور يساري ^{): [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

يتوافق هذا التمثيل مع الدوران بثلاث زوايا أويلر (أو بالأحرى، زوايا تايت-برايان )، باستخدام اصطلاح xyz ، والذي يمكن تفسيره إما على أنه "الدوران حول المحاور الخارجية (محاور المشهد ) بالترتيب z ، y ، x (قراءة من اليمين إلى اليسار)" أو "الدوران حول المحاور الداخلية (محاور الكاميرا ) بالترتيب x، y، z (قراءة من اليسار إلى اليمين)". إذا لم يتم تدوير الكاميرا (${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$ثم تختفي المصفوفات (كمصفوفات متطابقة)، ويختزل هذا إلى مجرد إزاحة:${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

أو بدلاً من ذلك، دون استخدام المصفوفات (لنستبدل${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$مع${\displaystyle \mathbf {x} }$وهكذا، ويختصر${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$ل${\displaystyle cos_{\alpha }}$و${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$ل${\displaystyle sin_{\alpha }}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=cos_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} )-sin_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=sin_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))+cos_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=cos_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))-sin_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

ويمكن بعد ذلك إسقاط هذه النقطة المحولة على المستوى ثنائي الأبعاد باستخدام الصيغة (هنا، يتم استخدام x / y كمستوى إسقاط؛ قد تستخدم المراجع أيضًا x / z ): ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

أو، في شكل مصفوفة باستخدام الإحداثيات المتجانسة ، يكون النظام

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

يؤدي استخدام حجة المثلثات المتشابهة، بالاقتران مع حجة أخرى، إلى القسمة على الإحداثي المتجانس، مما ينتج عنه

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

المسافة بين المشاهد وسطح العرض،${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$، يرتبط مباشرة بمجال الرؤية، حيث${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$هي زاوية الرؤية. (ملاحظة: يفترض هذا أنك تقوم بربط النقطتين (-1،-1) و (1،1) بزوايا سطح الرؤية الخاص بك)

يمكن إعادة كتابة المعادلات المذكورة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

في أي${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$حجم الشاشة،${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$حجم سطح التسجيل ( مستشعر CCD أو فيلم فوتوغرافي )،${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$هي المسافة من سطح التسجيل إلى بؤبؤ الدخول ( مركز الكاميرا )، و${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$هي المسافة، من النقطة ثلاثية الأبعاد التي يتم إسقاطها، إلى بؤبؤ العين.

قد تكون عمليات القص والتحجيم اللاحقة ضرورية لرسم المستوى ثنائي الأبعاد على أي وسائط عرض معينة.

يستخدم الإسقاط المنظوري "الضعيف" نفس مبادئ الإسقاط المتعامد، ولكنه يتطلب تحديد عامل التكبير، مما يضمن ظهور الأجسام الأقرب أكبر في الإسقاط، والعكس صحيح. ويمكن اعتباره مزيجًا بين الإسقاط المتعامد والإسقاط المنظوري، ويمكن وصفه إما بأنه إسقاط منظوري بأعماق نقطية فردية.${\displaystyle Z_{i}}$تم استبدالها بعمق ثابت متوسط${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$[ ^{12 ]} أو ببساطة كإسقاط متعامد بالإضافة إلى تغيير المقياس ^{. [ 13 ]}

وبالتالي، يُقارب نموذج المنظور الضعيف إسقاط المنظور باستخدام نموذج أبسط، مشابه للمنظور المتعامد البحت (غير المُقاس). وهو تقريب معقول عندما يكون عمق الجسم على طول خط الرؤية صغيرًا مقارنةً بالمسافة من الكاميرا، ويكون مجال الرؤية صغيرًا. في ظل هذه الشروط، يمكن افتراض أن جميع النقاط على جسم ثلاثي الأبعاد تقع على نفس المسافة.${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$من الكاميرا دون أخطاء كبيرة في الإسقاط (مقارنة بنموذج المنظور الكامل).

معادلة

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

بافتراض البعد البؤري${\textstyle f=1}$.