مجموعة أبيلية حرة

يتكون حاصل الضرب المباشر للمجموعات من صفوف تحتوي على عنصر من كل مجموعة في حاصل الضرب، مع جمع كل عنصر على حدة. حاصل الضرب المباشر لمجموعتين أبيليتيتين حرتين هو نفسه حاصل ضرب مباشر لمجموعتين أبيليتيتين حرتين، وأساسه هو الاتحاد المنفصل لأساسي المجموعتين. ^{[ 8 ]} وبشكل أعم، فإن حاصل الضرب المباشر لأي عدد محدود من المجموعات الأبيلية الحرة هو حاصل ضرب مباشر لمجموعتين أبيليتيتين حرتين.${\displaystyle d}$على سبيل المثال، تكون الشبكة الصحيحة ذات الأبعاد متماثلة مع حاصل الضرب المباشر لـ${\displaystyle d}$نسخ من مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$المجموعة التافهة${\displaystyle \{0\}}$يُعتبر أيضًا مجموعةً تبديليةً حرة، أساسها المجموعة الفارغة . ^{[ 9 ]} ويمكن تفسيره على أنه حاصل ضرب فارغ ، أي حاصل الضرب المباشر لصفر نسخ من${\displaystyle \mathbb {Z} }$[ ^{10 ]​}

بالنسبة للعائلات اللانهائية من الزمر الأبيلية الحرة، فإن الضرب المباشر ليس بالضرورة أن يكون أبيليًا حرًا. ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، زمرة باير-سبيكر${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$، مجموعة غير معدودة تتشكل كنتيجة مباشرة لعدد معدود من نسخ${\displaystyle \mathbb {Z} }$أُثبت في عام 1937 أن زمرة μ ليست زمرة تبديلية حرة، ^{[ 11 ]} على الرغم من أن إرنست سبيكر أثبت في عام 1950 أن جميع زمرها الجزئية القابلة للعد هي زمر تبديلية حرة. ^{[ 12 ]} بدلاً من ذلك، للحصول على زمرة تبديلية حرة من عائلة لانهائية من الزمر، يجب استخدام الجمع المباشر بدلاً من الضرب المباشر. يتطابق الجمع المباشر والضرب المباشر عند تطبيقهما على عدد محدود من الزمر، لكنهما يختلفان عند تطبيقهما على عائلات لانهائية من الزمر. في الجمع المباشر، تكون العناصر عبارة عن أزواج مرتبة من عناصر كل زمرة، ولكن مع قيد أن جميع هذه العناصر، باستثناء عدد محدود منها، هي العنصر المحايد لزمرتها. يبقى المجموع المباشر لعدد لا نهائي من الزمر التبديلية الحرة زمرة تبديلية حرة. ولها أساس يتكون من أزواج مرتبة يكون فيها جميع العناصر، باستثناء عنصر واحد، هو العنصر المحايد، مع كون العنصر المتبقي جزءًا من أساس زمرته. ^{[ 8 ]}

يمكن وصف كل مجموعة أبيلية حرة بأنها مجموع مباشر لنسخ من${\displaystyle \mathbb {Z} }$، مع نسخة واحدة لكل عنصر من عناصر أساسها. ^{[ 13 ] [ 14 ]} يسمح هذا البناء بأي مجموعة${\displaystyle B}$لتصبح أساسًا لمجموعة أبيلية حرة. ^{[ 15 ]}

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle B}$يمكن للمرء أن يُعرّف مجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$عناصرها عبارة عن دوال من${\displaystyle B}$إلى الأعداد الصحيحة، حيث تشير الأقواس في الرمز العلوي إلى أنه يتم تضمين الدوال ذات القيم غير الصفرية المحدودة فقط. إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$إذا كان لدينا دالتان من هذا القبيل، فإن${\displaystyle f+g}$هي الدالة التي تكون قيمها عبارة عن مجموع القيم في${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$: إنه،${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$تعطي عملية الجمع النقطي هذه${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$بنية المجموعة الأبيلية. ^{[ 16 ]}

كل عنصر${\displaystyle x}$من المجموعة المعطاة${\displaystyle B}$يتوافق مع أحد أعضاء${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$، الوظيفة${\displaystyle e_{x}}$والتي${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ولأي غرض${\displaystyle e_{x}(y)=0}$للجميع​${\displaystyle y\neq x}$كل وظيفة${\displaystyle f}$في${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$هي عبارة عن توليفة خطية فريدة من نوعها لعدد محدود من عناصر الأساس: $${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$ وبالتالي، فإن هذه العناصر${\displaystyle e_{x}}$تشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$، و${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$هي مجموعة أبيلية حرة. وبهذه الطريقة، كل مجموعة${\displaystyle B}$يمكن جعلها أساسًا لمجموعة أبيلية حرة. ^{[ 16 ]}

عناصر${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$يمكن أيضًا كتابتها على شكل مجاميع رسمية ، وهي تعبيرات على شكل مجموع عدد محدود من الحدود، حيث يُكتب كل حد كحاصل ضرب عدد صحيح غير صفري في عنصر مميز من${\displaystyle B}$تُعتبر هذه التعبيرات متكافئة عندما تحتوي على نفس الحدود، بغض النظر عن ترتيبها، ويمكن جمعها بتكوين اتحاد الحدود، وإضافة المعاملات الصحيحة لدمج الحدود التي لها نفس عنصر الأساس، وإزالة الحدود التي ينتج عن هذا الدمج معامل صفري. [ ^{4 ] ويمكن} أيضًا تفسيرها على أنها مجموعات متعددة مُوَقَّعة من عدد محدود من العناصر.${\displaystyle B}$[ ^{17 ]​}

تمثيل المجموعة هو مجموعة من العناصر التي تولد المجموعة (بمعنى أن جميع عناصر المجموعة يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب عدد محدود من المولدات)، بالإضافة إلى "الروابط"، وهي حاصل ضرب المولدات التي تعطي عنصر الوحدة. عناصر المجموعة المعرفة بهذه الطريقة هي فئات تكافؤ لمتتاليات المولدات ومعكوساتها، ضمن علاقة تكافؤ تسمح بإدخال أو إزالة أي رابط أو زوج مولد-معكوس كمتتالية فرعية متصلة. المجموعة الأبيلية الحرة ذات الأساس${\displaystyle B}$يحتوي على عرض تقديمي تكون فيه المولدات هي عناصر${\displaystyle B}$، والمُعَلِّمات هي مُبدِّلات أزواج عناصر${\displaystyle B}$هنا ، مُبدِّل عنصرين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هو المنتج${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$يؤدي تعيين هذا المنتج إلى أسباب الهوية${\displaystyle xy}$يساوي​${\displaystyle yx}$، لهذا السبب${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تتبادل. وبشكل أعم، إذا كانت جميع أزواج المولدات تتبادل، فإن جميع أزواج نواتج المولدات تتبادل أيضًا. لذلك، فإن المجموعة المولدة من هذا العرض هي مجموعة تبديلية، وتشكل علاقات هذا العرض مجموعة علاقات دنيا ضرورية لضمان كونها تبديلية. ^{[ 18 ]}

عندما تكون مجموعة المولدات منتهية، يكون تمثيل الزمرة الأبيلية الحرة منتهيًا أيضًا، نظرًا لوجود عدد منتهٍ فقط من المبدلات المختلفة التي يمكن تضمينها في التمثيل. هذه الحقيقة، بالإضافة إلى حقيقة أن كل زمرة جزئية من زمرة أبيلية حرة هي زمرة أبيلية حرة ( انظر أدناه )، يمكن استخدامها لإثبات أن كل زمرة أبيلية مولدة منتهية يكون تمثيلها منتهيًا. لأنه، إذا${\displaystyle G}$يتم توليدها بشكل نهائي بواسطة مجموعة${\displaystyle B}$، وهو خارج قسمة المجموعة الأبيلية الحرة على${\displaystyle B}$بواسطة زمرة فرعية أبيلية حرة، الزمرة الفرعية المولدة بواسطة علاقات عرض${\displaystyle G}$ولكن بما أن هذه المجموعة الفرعية حرة تبديلية بحد ذاتها، فهي أيضًا مولدة نهائيًا، وأساسها (مع المبدلات فوق${\displaystyle B}$) تشكل مجموعة محدودة من العلاقات لعرض${\displaystyle G}$[ ^{19 ]​}

مجموعة أبيلية حرة${\displaystyle F}$مع أساس${\displaystyle B}$تتمتع بالخاصية العامة التالية : لكل دالة${\displaystyle f}$من${\displaystyle B}$إلى مجموعة أبيلية${\displaystyle A}$يوجد تماثل زمر فريد من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle A}$والذي يمتد${\displaystyle f}$^{[ 4 ] [ 9 ]} هنا ، يُعرَّف تشاكل الزمر بأنه تطبيق من زمرة إلى أخرى يتوافق مع قانون ضرب الزمر: إجراء الضرب قبل أو بعد التطبيق يُنتج النتيجة نفسها. وبموجب خاصية عامة من الخصائص الشاملة، يُبين هذا أن الزمرة الأبيلية ذات الأساس${\displaystyle B}$تكون فريدة حتى التشاكل. لذلك، يمكن استخدام الخاصية الشاملة كتعريف للمجموعة الأبيلية الحرة ذات الأساس${\displaystyle B}$إن تفرد المجموعة المحددة بهذه الخاصية يدل على أن جميع التعريفات الأخرى متكافئة. ^{[ 15 ]}

بسبب هذه الخاصية العامة، تُسمى الزمر الأبيلية الحرة "حرة": فهي الكائنات الحرة في فئة الزمر الأبيلية ، وهي الفئة التي تكون الزمر الأبيلية كائناتها والتشاكلات أسهمها. الدالة من أساس إلى زمرته الأبيلية الحرة هي دالة ، وهي دالة تحافظ على بنية الفئات، من المجموعات إلى الزمر الأبيلية، وهي دالة مرافقة للدالة النسيانية من الزمر الأبيلية إلى المجموعات. ^{[ 25 ]} مع ذلك، لا تكون الزمرة الأبيلية الحرة زمرة حرة إلا في حالتين: زمرة أبيلية حرة ذات أساس فارغ (رتبة صفر، مما يُعطي الزمرة التافهة ) أو زمرة أبيلية حرة ذات أساس يحتوي على عنصر واحد فقط (رتبة واحد، مما يُعطي الزمرة الدورية اللانهائية ). ^{[ 9 ] [ 26 ]} الزمر الأبيلية الأخرى ليست زمرًا حرة لأنه في الزمر الحرة${\displaystyle ab}$يجب أن يكون مختلفًا عن${\displaystyle ba}$لو${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي عناصر مختلفة من الأساس، بينما في الزمر الأبيلية الحرة، يجب أن يكون حاصل ضرب العنصرين متطابقًا لجميع أزواج العناصر. في الفئة العامة للزمر ، يُعدّ اشتراط أن يكون حاصل ضرب العنصرين متطابقًا شرطًا إضافيًا.${\displaystyle ab=ba}$، في حين أن هذه خاصية ضرورية في فئة المجموعات الأبيلية. ^{[ 27 ]}

لكل قاعدتين في نفس الزمرة الأبيلية الحرة نفس العدد الأصلي ، لذا فإن عدد القاعدة يشكل ثابتًا للزمرة يُعرف برتبتها. ^{[ 28 ] [ 29 ]} تكون الزمرتان الأبليتان الحرتان متماثلتين إذا وفقط إذا كانت لهما نفس الرتبة. ^{[ 4 ]} تكون الزمرة الأبيلية الحرة مولدة توليدًا منتهيًا إذا وفقط إذا كانت رتبتها عددًا منتهيًا.${\displaystyle n}$وفي هذه الحالة تكون المجموعة متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$[ ^{30 ]​}

يمكن تعميم مفهوم الرتبة هذا، من الزمر الأبيلية الحرة إلى الزمر الأبيلية التي ليست بالضرورة حرة. رتبة الزمرة الأبيلية${\displaystyle G}$يُعرَّف بأنه رتبة زمرة فرعية أبيلية حرة${\displaystyle F}$ل${\displaystyle G}$والتي تكون مجموعة القسمة${\displaystyle G/F}$هي زمرة التواء . أو بعبارة أخرى، هي عدد عناصر مجموعة جزئية قصوى من${\displaystyle G}$وهذا يُولّد زمرة فرعية حرة. الرتبة ثابتة بالنسبة للزمرة: فهي لا تعتمد على اختيار الزمرة الفرعية. ^{[ 31 ]}

كل زمرة جزئية من زمرة أبيلية حرة هي نفسها زمرة أبيلية حرة. هذه النتيجة التي توصل إليها ريتشارد ديديكيند ^{[ 32 ]} كانت بمثابة مقدمة لنظرية نيلسن-شراير المماثلة ، والتي تنص على أن كل زمرة جزئية من زمرة حرة هي زمرة حرة، وهي تعميم لحقيقة أن كل زمرة جزئية غير تافهة من الزمرة الدورية اللانهائية هي زمرة دورية لانهائية . يتطلب البرهان بديهية الاختيار . ^{[ 25 ]} يمكن إيجاد برهان باستخدام لِمّة زورن (إحدى الافتراضات المكافئة لبديهية الاختيار) في كتاب الجبر لسيرج لانغ . [ ^{33 ] يجادل} سولومون ليفشيتز وإيرفينغ كابلانسكي بأن استخدام مبدأ الترتيب الجيد بدلاً من لِمّة زورن يؤدي إلى برهان أكثر سهولة. ^{[ 14 ]}

في حالة الزمر الأبيلية الحرة المولدة نهائياً، يكون البرهان أسهل، ولا يحتاج إلى بديهية الاختيار، ويؤدي إلى نتيجة أكثر دقة.${\displaystyle G}$هي مجموعة فرعية من مجموعة أبيلية حرة مولدة منتهية${\displaystyle F}$، ثم${\displaystyle G}$مجاني وله أساس${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ل${\displaystyle F}$والأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$(أي أن كل واحد يقسم الذي يليه) بحيث${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle G.}$علاوة على ذلك، التسلسل${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$يعتمد فقط على${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$وليس على الأساس. ^{[ 34 ]} يُقدَّم برهانٌ بنائيٌّ لجزء الوجود من النظرية بواسطة أي خوارزمية تحسب الشكل الطبيعي لسميث لمصفوفة من الأعداد الصحيحة. ^{[ 35 ]} وتنتج الفرادة من حقيقة أنه لأي${\displaystyle r\leq k}$، القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصغرى من الرتبة${\displaystyle r}$لا تتغير قيمة المصفوفة أثناء حساب الشكل الطبيعي لسميث، وهي ناتج الضرب.${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$في نهاية الحساب. ^{[ 36 ]}

جميع الزمر الأبيلية الحرة خالية من الالتواء ، مما يعني أنه لا يوجد عنصر غير عنصر الزمرة المحايد.${\displaystyle x}$وعدد صحيح غير صفري${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle nx=0}$وعلى العكس من ذلك، فإن جميع الزمر الأبيلية الخالية من الالتواء والمولدة نهائياً هي زمر أبيلية حرة. ^{[ 9 ] [ 37 ]}

المجموعة الجمعية للأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$يُقدّم مثالاً على زمرة أبيلية خالية من الالتواء (ولكنها ليست مولدة نهائياً) وليست أبيلية حرة. ^{[ 38 ]} أحد أسباب ذلك${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليس العدد تبديليًا حرًا لأنه قابل للقسمة ، أي أنه لكل عنصر${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$وكل عدد صحيح غير صفري${\displaystyle n}$، من الممكن التعبير${\displaystyle x}$كمضاعف عددي${\displaystyle ny}$عنصر آخر ${\displaystyle y=x/n}$على النقيض من ذلك، فإن الزمر الأبيلية الحرة غير التافهة لا تقبل القسمة أبدًا، لأنه في الزمرة الأبيلية الحرة لا يمكن التعبير عن عناصر الأساس كمضاعفات لعناصر أخرى. ^{[ 39 ]}

يمكن وصف تناظرات أي زمرة بأنها تشاكلات زمرية ، أي التشاكلات العكسية من الزمرة إلى نفسها. في الزمر غير التبديلية، تُقسم هذه التشاكلات إلى تشاكلات داخلية وخارجية ، بينما في الزمر التبديلية، تكون جميع التشاكلات غير المحايدية خارجية. تُشكل هذه التشاكلات زمرة أخرى، هي زمرة التشاكل للزمرة المعطاة، تحت تأثير عملية التركيب . زمرة التشاكل لزمرة تبديلية حرة ذات رتبة منتهية هي زمرة تشاكل زمرة تبديلية حرة ذات رتبة منتهية.${\displaystyle n}$هي المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$والتي يمكن وصفها بشكل ملموس (لأساس محدد لمجموعة التشاكل الحر) بأنها مجموعة من${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الصحيحة القابلة للعكس تحت عملية ضرب المصفوفات . تأثيرها كتناظرات على المجموعة الأبيلية الحرة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$هو مجرد ضرب المصفوفة بالمتجه. ^{[ 40 ]}

تتشابه نظريات الرتبة الأولى لزمرتين أبيليتيتين حرتين من الرتبة اللانهائية إذا وفقط إذا كانت رتبتاهما متكافئتين من حيث منطق الرتبة الثانية . تعتمد هذه النتيجة على بنية الانعكاسات العكسية للزمر الأبيلية الحرة، أي الانعكاسات العكسية التي تمثل معكوسها الذاتي. بمعرفة أساس لزمرة أبيلية حرة، يمكن إيجاد انعكاسات عكسية تربط أي مجموعة من أزواج عناصر الأساس المنفصلة ببعضها، أو تنفي أي مجموعة فرعية مختارة من عناصر الأساس، مع تثبيت باقي عناصر الأساس. وبالعكس، لكل انعكاس عكسي لزمرة أبيلية حرة، يمكن إيجاد أساس لهذه الزمرة تكون فيه جميع عناصر الأساس إما متبادلة في أزواج، أو منفية، أو غير متغيرة بفعل الانعكاس العكسي. ^{[ 41 ]}

إذا كانت المجموعة الأبيلية الحرة هي خارج قسمة مجموعتين${\displaystyle A/B}$، ثم${\displaystyle A}$هو المجموع المباشر${\displaystyle B\oplus A/B}$[ ^{4 ]​}

بفرض وجود مجموعة أبيلية عشوائية${\displaystyle A}$توجد دائمًا مجموعة أبيلية حرة${\displaystyle F}$وتشاكل مجموعة شاملة من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle A}$إحدى طرق إنشاء تطبيق شامل على مجموعة معينة${\displaystyle A}$هو السماح${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$كن المجموعة الأبيلية الحرة${\displaystyle A}$، ممثلةً بمجاميع رسمية. ثم يمكن تعريف دالة شاملة عن طريق تعيين المجاميع الرسمية في${\displaystyle F}$إلى المجاميع المقابلة لأعضاء${\displaystyle A}$أي خرائط الإسقاط الشامل $${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$ أين${\displaystyle a_{x}}$هو معامل صحيح لعنصر الأساس${\displaystyle e_{x}}$في مجموع رسمي معين، يكون المجموع الأول في${\displaystyle F}$والمجموع الثاني هو في${\displaystyle A}$[ ^{29 ] [ 42 ] هذا التطبيق الشامل هو التشاكل الوحيد للمجموعة الذي يوسع} الدالة${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$وبالتالي يمكن اعتبار بنائها مثالاً على الخاصية الشاملة.

متى${\displaystyle F}$و${\displaystyle A}$كما هو مذكور أعلاه، النواة${\displaystyle G}$من الإسقاط الشامل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle A}$وهي أيضًا مجموعة أبيلية حرة، لأنها مجموعة فرعية من${\displaystyle F}$(المجموعة الفرعية من العناصر التي تُطابق عنصر المحايد). لذلك، تُشكّل هذه المجموعات متتالية تامة قصيرة$${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$ في أي${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$كلاهما أبيليان حر و${\displaystyle A}$متماثل مع مجموعة العوامل${\displaystyle F/G}$هذا حل مجاني لـ${\displaystyle A}$^{[ 2 ]} علاوة على ذلك ، وبافتراض بديهية الاختيار، ^{[ 43 ]} فإن الزمر الأبيلية الحرة هي تحديدًا الكائنات الإسقاطية في فئة الزمر الأبيلية . ^{[ 4 ] [ 44 ]}

في الطوبولوجيا الجبرية ، مجموع رسمي لـ${\displaystyle k}$تُسمى المُجسمات البسيطة ذات الأبعاد n بـ${\displaystyle k}$-سلسلة، ومجموعة أبيلية حرة تحتوي على مجموعة من${\displaystyle k}$تُسمى المجموعة التي تستخدم المجسمات البسيطة كأساس لها مجموعة السلسلة. ^{[ 45 ]} تُختار المجسمات البسيطة عمومًا من فضاء طوبولوجي ما ، على سبيل المثال كمجموعة من${\displaystyle k}$-العناصر البسيطة في مُركّب بسيط ، أو مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle k}$-مُجَسَّمات بسيطة في مُتَفَصِّل . أي${\displaystyle k}$للمُجَسَّم البسيط ذي الأبعاد n حدود يمكن تمثيلها كمجموع رسمي لـ${\displaystyle (k-1)}$المجسمات البسيطة ذات الأبعاد n، والخاصية العامة للمجموعات الأبيلية الحرة تسمح بتمديد عامل الحدود هذا إلى تشاكل مجموعة من${\displaystyle k}$-سلاسل إلى${\displaystyle (k-1)}$-سلاسل. يشكل نظام مجموعات السلاسل المرتبطة بواسطة عوامل الحدود بهذه الطريقة مركبًا سلاسليًا ، وتشكل دراسة المركبات السلاسلية أساس نظرية التماثل . ^{[ 46 ]}

يمكن ربط كل دالة كسرية على الأعداد المركبة بمجموعة متعددة الأعداد المركبة الموقعة${\displaystyle c_{i}}$، أصفار وأقطاب الدالة (النقاط التي تكون فيها قيمتها صفرًا أو لا نهائيًا). التعددية${\displaystyle m_{i}}$تُحدد قيمة نقطة في هذه المجموعة المتعددة بترتيبها كصفر للدالة، أو بنفي ترتيبها كقطب. ومن ثم، يمكن استخلاص الدالة نفسها من هذه البيانات، حتى عامل قياسي ، كما يلي: $${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$ إذا فُسِّرت هذه المجموعات المتعددة على أنها عناصر في زمرة أبيلية حرة على الأعداد المركبة، فإن حاصل ضرب أو قسمة دالتين كسريتين يُقابل مجموع أو فرق عنصرين من عناصر الزمرة. وبالتالي، يمكن تحليل الزمرة الضربية للدوال الكسرية إلى الزمرة الضربية للأعداد المركبة (العوامل العددية المرتبطة بكل دالة) والزمرة الأبيلية الحرة على الأعداد المركبة. تُشكِّل الدوال الكسرية التي لها قيمة حدية غير صفرية عند اللانهاية ( الدوال الميرومورفية على كرة ريمان ) زمرة جزئية من هذه الزمرة يكون فيها مجموع التعددات صفرًا. ^{[ 47 ]}

تم تعميم هذا البناء، في الهندسة الجبرية ، ليشمل مفهوم القاسم . توجد تعريفات مختلفة للقواسم، ولكنها عمومًا تُشكل تجريدًا لمتنوعة فرعية ذات بُعد مشترك واحد من تنوع جبري ، وهي مجموعة نقاط حلول نظام من المعادلات متعددة الحدود . في حالة وجود درجة حرية واحدة لنظام المعادلات (حيث تُشكل حلوله منحنى جبريًا أو سطح ريمان )، تكون للمتنوعة الفرعية بُعد مشترك واحد عندما تتكون من نقاط معزولة، وفي هذه الحالة يكون القاسم مجموعة متعددة النقاط مُوقّعة من التنوع. ^{[ 48 ]} تمتلك الدوال الميرومورفية على سطح ريمان مضغوط عددًا محدودًا من الأصفار والأقطاب، وتُشكل قواسمها زمرة فرعية من زمرة أبيلية حرة فوق نقاط السطح، حيث يُقابل ضرب الدوال أو قسمتها جمع عناصر الزمرة أو طرحها. لكي يكون عنصر من عناصر المجموعة الأبيلية الحرة قاسمًا، يجب أن يكون مجموع تعددية عناصره مساويًا للصفر، وأن يستوفي قيودًا إضافية معينة تعتمد على السطح. ^{[ 47 ]}

حلقة المجموعة المتكاملة${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$، لأي مجموعة${\displaystyle G}$، هي حلقة زمرتها الجمعية هي الزمرة الأبيلية الحرة فوق${\displaystyle G}$[ ^{49 ]} عندما^​${\displaystyle G}$هي مجموعة محدودة وأبيلية، وهي المجموعة الضربية للوحدات في${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$له بنية ناتج ضرب مباشر لمجموعة منتهية ومجموعة أبيلية حرة مولدة توليداً منتهياً. ^{[ 50 ] [ 51 ]}