الميكانيكا التحليلية

في الفيزياء النظرية والفيزياء الرياضية ، تُعرف الميكانيكا التحليلية ، أو الميكانيكا النظرية ، بأنها مجموعة من الصيغ المترابطة للميكانيكا الكلاسيكية . تستخدم الميكانيكا التحليلية خصائص الحركة القياسية التي تُمثل النظام ككل، وعادةً ما تكون طاقته الحركية وطاقته الكامنة . تُشتق معادلات الحركة من الكمية القياسية من خلال مبدأ أساسي يتعلق بتغيرها .

طُوِّرت الميكانيكا التحليلية على يد العديد من العلماء والرياضيين خلال القرن الثامن عشر وما بعده، بعد الميكانيكا النيوتونية . تُعنى الميكانيكا النيوتونية بالكميات المتجهة للحركة، ولا سيما التسارعات والزخم والقوى ، لمكونات النظام؛ ويُمكن تسميتها أيضًا بالميكانيكا المتجهة . ^{[ 1 ]} الكمية القياسية هي كمية، بينما الكمية المتجهة هي كمية واتجاه. نتائج هذين المنهجين المختلفين متكافئة، لكن منهج الميكانيكا التحليلية يتميز بالعديد من المزايا في حل المسائل المعقدة.

تستفيد الميكانيكا التحليلية من قيود النظام لحل المسائل. تحدّ هذه القيود من درجات حرية النظام، ويمكن استخدامها لتقليل عدد الإحداثيات اللازمة لحساب الحركة. يتناسب هذا الأسلوب مع أي اختيار للإحداثيات، والمعروفة في هذا السياق بالإحداثيات المعممة . تُعبّر طاقة الحركة وطاقة الوضع للنظام باستخدام هذه الإحداثيات المعممة أو الزخم، ويمكن صياغة معادلات الحركة بسهولة، مما يسمح بحل العديد من المسائل الميكانيكية بكفاءة أعلى من الطرق المتجهة بالكامل. مع ذلك، لا تُجدي هذه الطريقة نفعًا دائمًا مع القوى غير المحافظة أو القوى المبددة للطاقة كالاحتكاك ، وفي هذه الحالة قد يُلجأ إلى الميكانيكا النيوتونية.

ينقسم علم الميكانيكا التحليلية إلى فرعين رئيسيين: ميكانيكا لاغرانج (التي تستخدم الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة المناظرة لها في فضاء التكوين ) وميكانيكا هاميلتون (التي تستخدم الإحداثيات والزخم المناظر لها في فضاء الطور ). يكافئ كلا الفرعين تحويل ليجندر للإحداثيات المعممة والسرعات والزخم؛ لذا، يحتوي كلاهما على المعلومات نفسها لوصف ديناميكيات النظام. توجد صيغ أخرى مثل نظرية هاميلتون-جاكوبي ، وميكانيكا روث ، ومعادلة أبيل للحركة . يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة للجسيمات والحقول، بأي صيغة كانت، من النتيجة واسعة الانتشار المعروفة بمبدأ الفعل الأدنى . ومن هذه النتائج نظرية نوثر ، التي تربط قوانين الحفظ بتناظراتها .

لا تُقدّم الميكانيكا التحليلية فيزياء جديدة، وليست أكثر عمومية من الميكانيكا النيوتونية. بل هي مجموعة من الصيغ المتكافئة ذات تطبيقات واسعة. في الواقع، يمكن استخدام المبادئ والصيغ نفسها في الميكانيكا النسبية والنسبية العامة ، ومع بعض التعديلات، في ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي .

تُستخدم الميكانيكا التحليلية على نطاق واسع، من الفيزياء الأساسية إلى الرياضيات التطبيقية ، وخاصة نظرية الفوضى .

تُطبَّق أساليب الميكانيكا التحليلية على الجسيمات المنفصلة، ​​التي يمتلك كل منها عددًا محدودًا من درجات الحرية. ويمكن تعديلها لوصف الحقول المتصلة أو الموائع، التي تمتلك عددًا لا نهائيًا من درجات الحرية. وتتشابه التعريفات والمعادلات تشابهًا وثيقًا مع تلك الخاصة بالميكانيكا.

يهدف علم الميكانيكا إلى حل المشكلات الميكانيكية، كتلك التي تظهر في الفيزياء والهندسة. انطلاقًا من نظام فيزيائي - كآلية أو نظام نجمي - يُطوَّر نموذج رياضي على شكل معادلة تفاضلية. ويمكن حل هذا النموذج عدديًا أو تحليليًا لتحديد حركة النظام.

يصف منهج نيوتن المتجهي في الميكانيكا الحركة باستخدام كميات متجهة كالقوة والسرعة والتسارع . تُحدد هذه الكميات حركة جسم مثالي يُفترض أنه "نقطة كتلة" أو " جسيم " يُفهم على أنه نقطة واحدة مُرتبطة بكتلة. وقد طُبقت طريقة نيوتن بنجاح على نطاق واسع من المسائل الفيزيائية، بما في ذلك حركة جسيم في مجال جاذبية الأرض وحركة الكواكب حول الشمس. في هذا المنهج، تصف قوانين نيوتن الحركة بمعادلة تفاضلية، ثم تُختزل المسألة إلى حل تلك المعادلة.

عندما يحتوي نظام ميكانيكي على العديد من الجسيمات (مثل آلية معقدة أو سائل )، يصعب تطبيق منهج نيوتن. يمكن استخدام منهج نيوتن، مع اتخاذ الاحتياطات اللازمة، أي عزل كل جسيم على حدة عن غيره، وتحديد جميع القوى المؤثرة عليه. هذا التحليل معقد حتى في الأنظمة البسيطة نسبيًا. اعتقد نيوتن أن قانونه الثالث "لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومعاكس له في الاتجاه" سيتكفل بجميع التعقيدات. هذا غير صحيح حتى بالنسبة لأنظمة بسيطة مثل دوران جسم صلب . في الأنظمة الأكثر تعقيدًا، لا يستطيع المنهج الاتجاهي تقديم وصف كافٍ.

يُبسّط النهج التحليلي المسائل بمعالجة الأنظمة الميكانيكية كمجموعات من الجسيمات المتفاعلة، بدلاً من اعتبار كل جسيم وحدةً معزولة. في النهج الاتجاهي، يجب تحديد القوى بشكل فردي لكل جسيم، بينما يكفي في النهج التحليلي معرفة دالة واحدة تتضمن ضمنيًا جميع القوى المؤثرة على النظام وداخله. غالبًا ما يتم هذا التبسيط باستخدام شروط حركية محددة مسبقًا . مع ذلك، لا يتطلب النهج التحليلي معرفة هذه القوى، ويفترض وجود هذه الشروط الحركية.

مع ذلك، يتطلب اشتقاق معادلات الحركة لنظام ميكانيكي معقد أساسًا موحدًا تُستنتج منه. ويُوفر هذا الأساس من خلال مبادئ التغير المختلفة : فلكل مجموعة من المعادلات مبدأ يُعبر عن معنى المجموعة بأكملها. وبالنظر إلى كمية أساسية وعالمية تُسمى الفعل ، فإن مبدأ ثبات هذا الفعل تحت تغير طفيف في كمية ميكانيكية أخرى يُولد مجموعة المعادلات التفاضلية المطلوبة. ولا يتطلب بيان المبدأ أي نظام إحداثيات خاص ، وتُعبر جميع النتائج بإحداثيات معممة . وهذا يعني أن معادلات الحركة التحليلية لا تتغير عند تحويل الإحداثيات ، وهي خاصية ثبات تفتقر إليها معادلات الحركة المتجهة. ^{[ 2 ]}

ليس من الواضح تمامًا ما المقصود بـ"حل" مجموعة من المعادلات التفاضلية. تُعتبر المسألة محلولة عندما تُعبّر إحداثيات الجسيمات عند الزمن t عن دوال بسيطة لـ t وللمعاملات التي تُحدد المواضع والسرعات الابتدائية. مع ذلك، فإن مفهوم "الدالة البسيطة" ليس مفهومًا دقيقًا : ففي الوقت الحاضر، لا تُعتبر الدالة f ( t ) تعبيرًا رسميًا في t ( دالة أولية ) كما كان الحال في زمن نيوتن، بل تُعتبر عمومًا كميةً مُحددةً بواسطة t ، ولا يُمكن رسم خط فاصل واضح بين الدوال "البسيطة" و"غير البسيطة". إذا تحدثنا فقط عن "الدوال"، فإن كل مسألة ميكانيكية تُحل بمجرد صياغتها بشكل صحيح في المعادلات التفاضلية، لأن الشروط الابتدائية و t تُحدد الإحداثيات عند t . هذه حقيقة، خاصةً في الوقت الحاضر مع أساليب النمذجة الحاسوبية الحديثة التي تُوفر حلولًا حسابية للمسائل الميكانيكية بأي درجة مطلوبة من الدقة، حيث تُستبدل المعادلات التفاضلية بمعادلات الفرق .

مع ذلك، ورغم عدم وجود تعريفات دقيقة، فمن الواضح أن مسألة الجسمين لها حل بسيط، بينما مسألة الأجسام الثلاثة ليست كذلك. تُحل مسألة الجسمين بصيغ تتضمن معاملات؛ ويمكن تغيير قيمها لدراسة فئة جميع الحلول، أي البنية الرياضية للمسألة. علاوة على ذلك، يمكن رسم صورة ذهنية أو تخطيطية دقيقة لحركة جسمين، ويمكن أن تكون هذه الصورة واقعية ودقيقة تمامًا كالأجسام الحقيقية المتحركة والمتفاعلة. في مسألة الأجسام الثلاثة، يمكن أيضًا إسناد قيم محددة للمعاملات؛ إلا أن الحل عند هذه القيم المحددة أو مجموعة من هذه الحلول لا يكشف عن البنية الرياضية للمسألة. وكما هو الحال في العديد من المسائل الأخرى، لا يمكن توضيح البنية الرياضية إلا بفحص المعادلات التفاضلية نفسها.

يهدف علم الميكانيكا التحليلية إلى ما هو أبعد من ذلك: ليس إلى فهم البنية الرياضية لمسألة ميكانيكية واحدة، بل إلى فهم بنية فئة من المسائل واسعة النطاق لدرجة أنها تشمل معظم فروع الميكانيكا. ويركز هذا العلم على الأنظمة التي تنطبق عليها معادلات الحركة اللاغرانجية أو الهاميلتونية، والتي تتضمن بالفعل نطاقًا واسعًا جدًا من المسائل. ^{[ 3 ]}

يهدف تطوير الميكانيكا التحليلية إلى تحقيق هدفين رئيسيين: (أ) توسيع نطاق المسائل القابلة للحل من خلال تطوير تقنيات قياسية ذات تطبيقات واسعة، و(ب) فهم البنية الرياضية للميكانيكا. مع ذلك، على المدى البعيد، قد يُسهم الهدف (ب) في تحقيق الهدف (أ) أكثر من التركيز على مسائل محددة سبق تصميم طرق لحلها.

إدخال الإحداثيات المعممة ودالة لاغرانج الأساسية:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

حيث T هي الطاقة الحركية الكلية و V هي الطاقة الكامنة الكلية للنظام بأكمله، ثم إما باتباع حساب التفاضل والتكامل أو باستخدام الصيغة أعلاه - يؤدي إلى معادلات أويلر-لاغرانج ؛

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

وهي عبارة عن مجموعة من N معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية ، واحدة لكل q _i ( t ).

تحدد هذه الصيغة المسار الفعلي الذي تتبعه الحركة على أنه اختيار المسار الذي يكون فيه التكامل الزمني للطاقة الحركية أقل ما يمكن، بافتراض أن الطاقة الكلية ثابتة، وعدم فرض أي شروط على وقت العبور.

تستخدم الصيغة اللاغرانجية فضاء التكوين للنظام، وهو مجموعة جميع الإحداثيات المعممة الممكنة:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

أين${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$هو فضاء حقيقي ذو N بُعد (انظر أيضًا ترميز بناء المجموعة ). يُطلق على الحل الخاص لمعادلات أويلر-لاغرانج اسم مسار (تكوين) أو مسار ، أي قيمة q ( t ) محددة تخضع للشروط الابتدائية المطلوبة . تشكل الحلول العامة مجموعة من التكوينات الممكنة كدوال للزمن.

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

يمكن تعريف فضاء التكوين بشكل أكثر عمومية، بل وأكثر عمقًا، من حيث المشعبات الطوبولوجية وحزمة المماس .

يستبدل تحويل ليجندر لللاغرانجيان الإحداثيات والسرعات المعممة ( q , q̇ ) بـ ( q , p )؛ الإحداثيات المعممة والزخم المعمم المترافق مع الإحداثيات المعممة:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

ويقدم الهاميلتوني (الذي يكون بدلالة الإحداثيات المعممة والزخم):

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

أين${\displaystyle \cdot }$يشير إلى الضرب النقطي ، مما يؤدي أيضًا إلى معادلات هاميلتون :

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

وهي الآن مجموعة من 2N معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى، معادلة واحدة لكل من q _i ( t ) و p _i ( t ). وترتبط نتيجة أخرى من تحويل ليجندر بالمشتقات الزمنية للدالة لاغرانجية والدالة هاميلتونية:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

والتي تُعتبر غالبًا إحدى معادلات هاميلتون للحركة بالإضافة إلى المعادلات الأخرى. ويمكن كتابة الزخم المعمم بدلالة القوى المعممة بنفس طريقة قانون نيوتن الثاني.

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

على غرار فضاء التكوين، فإن مجموعة جميع الزخمات هي فضاء الزخم المعمم :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

يشير مصطلح "فضاء الزخم" أيضًا إلى " فضاء k "؛ وهو مجموعة جميع متجهات الموجة (المعطاة بواسطة علاقات دي برولي ) كما هو مستخدم في ميكانيكا الكم ونظرية الموجات .

تشكل مجموعة جميع المواضع والزخمات فضاء الطور :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

أي، حاصل الضرب الديكارتي لفضاء التكوين وفضاء الزخم المعمم.

يُطلق على حلٍّ مُحدد لمعادلات هاميلتون اسم مسار الطور ، وهو منحنى مُحدد ( q ( t ), p ( t )) يخضع للشروط الابتدائية المطلوبة. وتُسمى مجموعة جميع مسارات الطور، وهي الحل العام للمعادلات التفاضلية، صورة الطور .

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

فيما يلي خصائص متداخلة بين دالتي لاغرانج وهاملتون. ^{[ 5 ] [ 8 ]}

• جميع الإحداثيات المعممة الفردية qᵢ ₍ t ) والسرعات q̇ᵢ ₍ t ) والزخم pᵢ ₍ t ) لكل درجة حرية مستقلة عن بعضها البعض. ويعني الاعتماد الزمني الصريح للدالة أنها تتضمن الزمن t كمتغير بالإضافة إلى q ( t ) و p ( t )، وليس مجرد وسيط من خلال q ( t ) و p ( t ) ، وهو ما يعني الاستقلال الزمني الصريح.
• تكون دالة لاغرانج ثابتة تحت إضافة المشتقة الزمنية الكلية لأي دالة لـ q' و t ، أي:$${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$لذا فإن كل من لاغرانجيان L و L يصفان نفس الحركة تمامًا . بعبارة أخرى، فإن لاغرانجيان النظام ليس فريدًا.
• وبالمثل، فإن الهاميلتوني ثابت تحت إضافة المشتق الزمني الجزئي لأي دالة لـ q و p و t ، أي:$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$( يُعدّ الحرف K من الأحرف الشائعة الاستخدام في هذه الحالة). تُستخدم هذه الخاصية في التحويلات الأساسية (انظر أدناه).
• إذا كان لاغرانجيان مستقلاً عن بعض الإحداثيات المعممة، فإن الزخم المعمم المرافق لتلك الإحداثيات يكون ثوابت للحركة ، أي أنه محفوظ ، وهذا يتبع مباشرة من معادلات لاغرانج:$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$تُعتبر هذه الإحداثيات " دورية " أو "قابلة للإهمال". ويمكن إثبات أن الهاميلتوني دوري أيضاً في نفس الإحداثيات المعممة تماماً.
• إذا كان اللاغرانجيان مستقلاً عن الزمن، فإن الهاميلتونيان يكون أيضاً مستقلاً عن الزمن (أي أن كلاهما ثابت في الزمن).
• إذا كانت الطاقة الحركية دالة متجانسة من الدرجة الثانية للسرعات المعممة، وكان لاغرانجيان مستقلاً عن الزمن بشكل صريح، فإن:$${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$حيث λ ثابت، فإن الهاميلتوني سيكون الطاقة المحفوظة الكلية ، والتي تساوي إجمالي الطاقة الحركية والكامنة للنظام:$${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$هذا هو الأساس لمعادلة شرودنغر ، وإدخال المؤثرات الكمومية يؤدي مباشرة إلى الحصول عليها.

الفعل هو كمية أخرى في الميكانيكا التحليلية تُعرَّف على أنها دالة للدالة اللاغرانجية:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

إحدى الطرق العامة لإيجاد معادلات الحركة من الفعل هي مبدأ الفعل الأدنى : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

حيث يكون وقت المغادرة t1 ووقت الوصول t2 ثابتين. ^{[ 1 ]} يشير مصطلح "المسار" أو "المسيرة" إلى _التطور الزمني للنظام كمسار عبر فضاء التكوين _.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بمعنى آخر، q ( t ) يرسم مسارًا في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إن المسار الذي يتطلب أقل قدر من الإجراءات هو المسار الذي يسلكه النظام.

انطلاقاً من هذا المبدأ، يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة في الميكانيكا الكلاسيكية. ويمكن توسيع هذا النهج ليشمل الحقول بدلاً من نظام الجسيمات (انظر أدناه)، وهو أساس صياغة التكامل المساري في ميكانيكا الكم ، ^{[ 11 ] [ 12 ]} ويُستخدم لحساب الحركة الجيوديسية في النسبية العامة . ^{[ 13 ]}

التحولات الكنسية

إن ثبات الهاميلتوني (تحت إضافة المشتق الزمني الجزئي لدالة اختيارية لـ p و q و t ) يسمح بتحويل الهاميلتوني في مجموعة واحدة من الإحداثيات q والزخم p إلى مجموعة جديدة Q = Q ( q , p , t ) و P = P ( q , p , t )، بأربع طرق ممكنة:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

مع مراعاة القيود المفروضة على P و Q بحيث يكون نظام هاميلتوني المحول كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

تُسمى التحويلات المذكورة أعلاه بالتحويلات الأساسية ، وتُسمى كل دالة G _{_n} دالة مولدة من النوع n . يُتيح تحويل الإحداثيات والزخم تبسيط حل معادلات هاميلتون لمسألة معينة.

إن اختيار Q و P اختياري تمامًا، ولكن ليس كل اختيار يؤدي إلى تحويل قانوني. أحد المعايير البسيطة لكون التحويل q → Q و p → P قانونيًا هو أن يكون قوس بواسون مساويًا للواحد.

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

لكل i = 1، 2، ... N. إذا لم يتحقق هذا الشرط، فإن التحويل ليس تحويلاً قانونياً. ^{[ 5 ]}

معادلة هاميلتون -جاكوبي

بوضع الهاميلتوني المحول بشكل قانوني K = 0، ودالة التوليد من النوع 2 مساوية لدالة هاميلتون الرئيسية (وأيضًا دالة الفعل).${\displaystyle {\mathcal {S}}}$) بالإضافة إلى ثابت اختياري C :

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

تصبح الزخمات المعممة:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

وإذا كان P ثابتًا، فيمكن اشتقاق معادلة هاميلتونيان-جاكوبي (HJE) من التحويل الكنسي من النوع 2:

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

حيث H هو الهاميلتوني كما سبق:

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

ومن الدوال الأخرى ذات الصلة دالة هاميلتون المميزة

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

تُستخدم لحل معادلة هاميلتون-جاكوبي عن طريق الفصل الجمعي للمتغيرات من أجل هاميلتوني مستقل عن الزمن H.

تؤدي دراسة حلول معادلات هاميلتون-جاكوبي بشكل طبيعي إلى دراسة المشعبات التبسيطية والطوبولوجيا التبسيطية . ^{[ 14 ] [ 15 ]} في هذه الصياغة، تكون حلول معادلات هاميلتون-جاكوبي عبارة عن منحنيات تكاملية لحقول متجهات هاميلتونية .

ميكانيكا روثيان هي صياغة هجينة لميكانيكا لاغرانج وهاملتون، وهي غير شائعة الاستخدام ولكنها مفيدة بشكل خاص لإزالة الإحداثيات الدورية. إذا كان لاغرانجيان نظام ما يحتوي على s إحداثيات دورية q = q₁ , q₂ _, ... qₛ ذات زخم مترافق p = p₁ _, p₂ _, ... _pₛ ، مع كون بقية الإحداثيات غير دورية ويرمز لها بـ _ζ = ζ₁ , ζ₂ , _... , ζₙ₋ₛ _{، فيمكن} إزالتها عن طريق _إدخال ميكانيكا روثيان .

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

مما يؤدي إلى مجموعة من معادلات هاميلتونية من الدرجة الثانية للإحداثيات الدورية q ،

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

ومعادلات لاغرانج N − s في الإحداثيات غير الدورية ζ .

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

بهذه الطريقة، على الرغم من أن دالة روثيان لها شكل دالة هاميلتونيان، إلا أنه يمكن اعتبارها دالة لاغرانجيان ذات N − s درجة من الحرية.

لا يشترط أن تكون الإحداثيات q دورية، فالتقسيم بين الإحداثيات التي تدخل في معادلات هاميلتون وتلك التي تدخل في معادلات لاغرانج هو تقسيم اعتباطي. من الأنسب ببساطة أن تستبعد معادلات هاميلتون الإحداثيات الدورية، تاركةً الإحداثيات غير الدورية لمعادلات لاغرانج للحركة.

تتضمن معادلة حركة أبيل تسارعات معممة، والمشتقات الزمنية الثانية للإحداثيات المعممة:

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

بالإضافة إلى القوى المعممة المذكورة أعلاه في مبدأ دالمبير. المعادلات هي

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

أين

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

يمثل تسارع الجسيم k ، وهو المشتق الزمني الثاني لمتجه موضعه. يُعبَّر عن كل تسارع a _k بدلالة التسارعات المعممة α _r ، وبالمثل، يُعبَّر عن كل r _{k بدلالة الإحداثيات المعممة} q _r .

تحويلات التناظر في الفضاء والزمن الكلاسيكيين

يمكن وصف كل تحويل بواسطة مؤثر (أي دالة تعمل على متغيرات الموضع r أو الزخم p لتغييرها). فيما يلي الحالات التي لا يُغير فيها المؤثر r أو p ، أي حالات التناظر. ^{[ 11 ]}

تحويل	المشغل	موضع	دَفعَة
التناظر الانتقالي	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
ترجمة الوقت	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
الثبات الدوراني	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
تحويلات جاليليو	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
التكافؤ	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
التناظر على شكل حرف T	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

حيث R ( n̂ , θ) هي مصفوفة الدوران حول محور محدد بواسطة متجه الوحدة n̂ والزاوية θ.

نظرية نوثر

تنص نظرية نوثر على أن تحويل التناظر المستمر للفعل يتوافق مع قانون الحفظ ، أي أن الفعل (وبالتالي لاغرانجيان) لا يتغير تحت تحويل يتم تحديده بواسطة المعامل s : $${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$ يصف لاغرانجيان نفس الحركة بغض النظر عن s ، والتي يمكن أن تكون طولًا أو زاوية دوران أو زمنًا. وستبقى كميات الحركة المقابلة لـ q محفوظة. ^{[ 5 ]}

• ميكانيكا لاغرانج
• ميكانيكا هاميلتون
• الميكانيكا النظرية
• الميكانيكا الكلاسيكية
• معادلة هاميلتون-جاكوبي
• مبدأ هاميلتون
• علم الحركة
• علم الحركة (الفيزياء)
• الآليات غير المستقلة
• معادلة أودواديا-كالابا