سيجل زيرو

بالنسبة لعدد صحيح q ≥ 1 ، فإن دالة ديريشليه modulo q هي دالة حسابية${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$تحقيق الخصائص التالية:

• عملية ضربية كاملة :${\textstyle \chi (mn)=\chi (م)\chi (n)}$لكل m و n ؛
• الدورية :${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$لكل n ؛
• يدعم:${\textstyle \chi (n)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$.

أي أن χ هو رفع تشاكل${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z})^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$.

الحرف التافه هو الحرف بتردد 1، والحرف الرئيسي بتردد q ، ويرمز له بـ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$، هو رفع التشاكل التافه${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$.

شخصية${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$يُطلق عليه اسم غير أولي إذا وُجد عدد صحيح ما${\textstyle d\neq q}$مع${\textstyle d\mid q}$بحيث يكون التشاكل المستحث${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$العوامل كـ

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

بالنسبة لبعض الشخصيات${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$؛ خلاف ذلك،${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$يُطلق عليه اسم بدائي .

شخصية${\textstyle \chi }$يكون حقيقياً (أو تربيعياً ) إذا كان يساوي مرافقه المركب${\displaystyle {\overline {\chi }}}$(يُعرَّف على أنه)${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$أو ما يعادل ذلك إذا${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$تتطابق رموز ديريشليه الأولية الحقيقية تطابقًا تامًا مع رموز كرونكر .${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ل${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$المميز الأساسي (أي المميز لحقل الأعداد التربيعي ). ^{[ 2 ]} إحدى طرق التعريف${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$هي بمثابة دالة حسابية ضربية كاملة محددة بواسطة (لـ p عدد أولي):

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ ينقسم إلى }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ خامل }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ يتفرع }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{ إشارة }}D.}$

لذلك من الشائع كتابة${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$، وهي أحرف أولية حقيقية modulo${\textstyle |D|}$.

دالة ديريشليه L المرتبطة بخاصية${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$يُعرَّف بأنه الامتداد التحليلي لسلسلة ديريشليه${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$محدد لـ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$حيث s متغير مركب . لـ${\displaystyle \chi }$إذا لم يكن هذا الاستمرار رئيسيًا، فهو كامل ؛ وإلا فإنه يحتوي على قطب بسيط من البقايا${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$عند s = 1 كنقطة تفردها الوحيدة. لـ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$يمكن توسيع دوال ديريشليه L إلى جداء أويلر${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$ومن ثم يترتب على ذلك أن${\textstyle L(s,\chi )}$لا توجد أصفار في هذه المنطقة. نظرية الأعداد الأولية للمتتابعات الحسابية مكافئة (بمعنى معين) لـ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$(${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$علاوة على ذلك، يمكننا من خلال المعادلة الوظيفية عكس هذه المناطق من خلال${\textstyle s\mapsto 1-s}$لنستنتج أنه باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة التي لها نفس زوجية χ ، ^{[ 3 ]} فإن جميع الأصفار الأخرى لـ${\textstyle L(s,\chi )}$يجب أن يكمن في الداخل${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$تُسمى هذه المنطقة بالشريط الحرج ، وتسمى الأصفار في هذه المنطقة بالأصفار غير التافهة .

تنص النظرية الكلاسيكية حول المناطق الخالية من الأصفار (غرونوال، ^{[ 4 ]} لاندو، ^{[ 5 ]} تيتشمارش ^{[ 6 ]} ) على وجود عدد حقيقي قابل للحساب بشكل فعال${\textstyle A>0}$بحيث أن الكتابة${\displaystyle s=\sigma +it}$بالنسبة للمتغير المركب، الدالة${\textstyle L(s,\chi )}$لا توجد أصفار في المنطقة

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{\log q+\log(|t|+2)}}}$

لو${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$غير حقيقي. إذا${\textstyle \chi }$إذا كان العدد حقيقيًا، فإنه يوجد على الأكثر صفر واحد في هذه المنطقة، والذي يجب أن يكون بالضرورة حقيقيًا وبسيطًا . هذا الصفر المحتمل هو ما يسمى بصفر سيجل .

تنص فرضية ريمان المعممة (GRH) على أنه لكل${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$جميع الأصفار غير التافهة لـ${\textstyle L(s,\chi )}$الاستلقاء على الخط$Re(s) = 1/2$.

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

هل يوجد${\textstyle \delta >0}$والتي${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$لكل مميز أساسي D مقدم${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$؟

المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

يربط تعريف أصفار سيجل، كما هو معروض، هذا التعريف بالثابت A في المنطقة الخالية من الأصفار. وهذا ما يجعل التعامل مع هذه الأصفار صعبًا في كثير من الأحيان، إذ إن قيمة الثابت A المحددة لا تُعدّ ذات أهمية كبيرة في كثير من الحالات. ^{[ 1 ]} لذا، من المعتاد استخدام عبارات أكثر تحديدًا، إما لتأكيد أو نفي وجود عائلة لانهائية من هذه الأصفار، كما في:

• الفرضية (عدم وجود أصفار سيجل): إذا${\textstyle \beta _{D}}$يشير إلى أكبر صفر حقيقي لـ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$، ثم${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

إن إمكانية وجود أو عدم وجود أصفار سيجل لها تأثير كبير في فروع نظرية الأعداد ذات الصلة الوثيقة، حيث تُعدّ فرضية "عدم وجود أصفار سيجل" بديلاً أضعف (وإن كان قويًا، وأحيانًا كافيًا تمامًا) لفرضية GRH (انظر أدناه مثالًا يتضمن نظرية سيجل-تاتسوزاوا ومسألة العدد المتساوي ). ويمكن صياغة عبارة "عدم وجود أصفار سيجل" بشكل مكافئ دون الإشارة إلى الأصفار صراحةً على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

يمكن استنتاج التكافؤ، على سبيل المثال، باستخدام المناطق الخالية من الأصفار والتقديرات الكلاسيكية لعدد الأصفار غير التافهة لـ${\textstyle L(s,\chi )}$حتى ارتفاع معين. ^{[ 7 ]}

في عام 1951، أثبت تيكاو تاتسوزاوا نسخة "شبه" فعالة من نظرية سيجل، ^{[ 10 ]} موضحًا أنه لأي قيمة ثابتة${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$، لو${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$ثم

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

باستثناء عنصر تمييز أساسي واحد على الأكثر. وباستخدام "الفعالية شبه الكاملة" لهذه النتيجة، أظهر بي جيه واينبرغر (1973) ^{[ 11 ]} أن قائمة أويلر المكونة من 65 عددًا متساويًا كاملة باستثناء عنصرين على الأكثر. ^{[ 12 ]}

ثمة معنى يمكن من خلاله اعتبار الصعوبة المرتبطة بظاهرة أصفار سيجل بشكل عام محصورة تمامًا في الامتدادات التربيعية. ومن نتائج نظرية كرونكر-ويبر ، على سبيل المثال، أن دالة زيتا ديديكيند${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$حقل عددي أبيلي${\textstyle K/\mathbb {Q} }$يمكن كتابتها كحاصل ضرب دوال ديريشليه L. ^{[ 14 ]} وبالتالي، إذا${\textstyle \zeta _{K}(s)}$إذا كان له صفر سيجل، فلا بد من وجود حقل فرعي ما${\textstyle F\subseteq K}$مع${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$بحيث${\textstyle \zeta _{F}(s)}$لديه صفر سيجل.

أما بالنسبة للحالة غير الأبيلية${\textstyle \zeta _{K}(s)}$لا يمكن تحليلها إلا إلى دوال آرتين L الأكثر تعقيدًا ، وينطبق الشيء نفسه:

• نظرية ( ستارك ، 1974) . ^{[ 15 ]} ليكن${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ليكن حقل عدد من الدرجة n > 1. يوجد ثابت${\textstyle c(n)}$(${\textstyle =4}$لو${\textstyle K/\mathbb {Q} }$هذا طبيعي،${\textstyle =4n!}$وإلا) بحيث إذا كان هناك حقيقي${\textstyle \beta }$في النطاق

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

مع${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$ثم يوجد حقل فرعي تربيعي${\textstyle F\subseteq K}$بحيث${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$. هنا،${\textstyle \Delta _{K}}$هو المجال المميز للامتداد${\textstyle K/\mathbb {Q} }$.

في عام 1918، أظهر إريك هيكي أنه "لا توجد أصفار سيجل" لـ${\textstyle D<0}$يشير ذلك إلى أن${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$^{[ 5 ]} (انظرمسألة رقم الفئةللمقارنة). يمكن توسيع هذا إلى تكافؤ، لأنه نتيجة لنظرية 3 فيجرانفيل–ستارك(2000): ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

حيث يمتد الجمع على الأشكال التربيعية الثنائية المختزلة${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$من التمييز${\textstyle D}$باستخدام هذا، أظهر جرانفيل وستارك أن صياغة موحدة معينة لتخمين abc لحقول الأعداد تعني "عدم وجود أصفار سيجل" للمميزات السالبة.

في عام 1976، أثبت دوريان غولدفليد ^{[ 17 ]} الحد الأدنى الفعال غير المشروط التالي لـ${\textstyle h(D)}$:

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

مكافئ آخر لـ "عدم وجود أصفار سيجل" لـ${\textstyle D<0}$يمكن تحديدها بدلالة الحدود العليا لارتفاعات المعاملات المفردة :

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

أين:

• ${\textstyle h}$هو الارتفاع اللوغاريتمي المطلق البسيط لحقول الأرقام؛
• ${\textstyle j}$هي الدالة الثابتة بالنسبة لـ j ؛
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

الرقم${\textstyle j(\tau _{D})}$يُنشئ حقل فئة هيلبرت الخاص بـ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$وهو أقصى امتداد أبيلي غير متفرع له. ^{[ 18 ]} هذا التكافؤ هو نتيجة مباشرة للنتائج الواردة في غرانفيل-ستارك (2000)، ^{[ 16 ]} ويمكن رؤيته في سي. تافولا (2019). ^{[ 19 ]}

توصل بيير كولميز (1993، ^{[ 20 ]} 1998 ^{[ 21 ]} ) إلى علاقة دقيقة بين الارتفاعات وقيم دوال L، حيث أظهر أنه بالنسبة لمنحنى إهليلجي${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$مع الضرب المركب بواسطة${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$لدينا

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

أين${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$يشير إلى ارتفاع فالتينغز . ^{[ 22 ]} باستخدام المتطابقات${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$^{[ 23 ]} و${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$[ ^{24 ]} كما توفر نظرية كولميز برهانًا على التكافؤ أعلاه ^.

ومن النتائج اللافتة للنظر في هذا الاتجاه نتيجة روجر هيث براون لعام 1983 ^{[ 25 ]} والتي، تبعاً لتيرينس تاو [ ^{26 ] ،} يمكن صياغتها على النحو التالي:

• نظرية (هيث-براون، 1983) . واحدة على الأقل من العبارات التالية صحيحة: (1) لا توجد أصفار سيجل. ( 2) يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأم .

تشير مشكلة التكافؤ في نظرية الغربلة عمومًا إلى عجز حجج الغربلة، بشكل عام، عن تحديد ما إذا كان للعدد الصحيح عدد زوجي أو فردي من القواسم الأولية. يؤدي هذا إلى انحراف العديد من الحدود العليا في تقديرات الغربلة، مثل تلك المستمدة من الغربال الخطي ^{[ 27 ]،} عن القيمة المتوقعة بمعامل 2. في عام 2020، بيّن غرانفيل ^{[ 28 ]} أنه بافتراض وجود أصفار سيجل، تكون الحدود العليا العامة لمشكلة فترات الغربلة مثالية، مما يعني أن المعامل الإضافي 2 الناتج عن ظاهرة التكافؤ لا يُعدّ قيدًا مصطنعًا على الطريقة.