الفضاء سداسي الأبعاد

يُطلق على متعدد السطوح في ستة أبعاد اسم متعدد السطوح 6. أكثرها دراسةً هي متعددات السطوح المنتظمة ، والتي لا يوجد منها سوى ثلاثة في ستة أبعاد : متعدد السطوح البسيط 6 ، ومكعب 6 ، ومتعدد السطوح المتعامد 6. وهناك عائلة أوسع من متعددات السطوح المنتظمة 6 ، المُنشأة من مجالات التناظر الأساسية للانعكاس، حيث يُحدد كل مجال بواسطة زمرة كوكسيتر . يُحدد كل متعدد سطوح منتظم بواسطة مخطط كوكسيتر-دينكين الحلقي . يُعد نصف المكعب 6 متعدد سطوح فريدًا من عائلة D6 _، بينما _يُعد كل من ₂₂₁ و 122 متعددي سطوح من عائلة _E6 .

متعددات الوجوه المنتظمة في ستة أبعاد (معروضة كإسقاطات متعامدة في كل مستوى من مستويات تناظر كوكسيتر )

أ 6	ب 6		د 6	E 6
6-simplex {3,3,3,3,3}	مكعب سداسي {4،3،3،3،3}	6-orthoplex {3,3,3,3,4}	مكعب نصفي سداسي = {3،3،3،1 } = h{4،3،3،3،3}	2 21 = {3,3,3 2,1 }	1 22 = {3,3 2,2 }

الكرة الخماسية، أو الكرة الفائقة في ستة أبعاد، هي سطح خماسي الأبعاد متساوي البعد عن نقطة ما. رمزها S₅ ^، ومعادلة الكرة الخماسية، نصف قطرها r ، ومركزها نقطة الأصل هي:

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

حجم الفضاء سداسي الأبعاد المحصور بهذه الكرة الخماسية الأبعاد هو

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

وهو 5.16771 × r ⁶ ، أو 0.0807 من أصغر مكعب سداسي يحتوي على الكرة الخماسية.

الكرة السداسية، أو الكرة الفائقة في سبعة أبعاد، هي سطح سداسي الأبعاد متساوي البعد عن نقطة ما. رمزها S₆ ، ومعادلة الكرة السداسية، نصف قطرها r ^، ومركزها نقطة الأصل هي:

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

حجم الفضاء المحصور بهذه الكرة السداسية هو

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

وهو 4.72477 × r ⁷ ، أو 0.0369 من أصغر مكعب 7 يحتوي على الكرة 6.

في الفضاء الإقليدي سداسي الأبعاد، يمكن رسم ستة محاور متعامدة تمر عبر أي نقطة. تشكل هذه المحاور مجموعة متماثلة مع محاور التناظر الخماسية الستة للمجسم العشري الوجوه المنتظم، مما يوفر إسقاطًا متناظرًا عشروني الوجوه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يلعب هذا الإسقاط دورًا رئيسيًا في علم البلورات شبه الدورية العشرية الوجوه .

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمتلك التحويل الصلب ست درجات حرية ، ثلاث منها إزاحات على طول محاور الإحداثيات الثلاثة، وثلاث أخرى من مجموعة الدوران SO(3) . غالبًا ما تُعالج هذه التحويلات بشكل منفصل نظرًا لاختلاف بنيتها الهندسية اختلافًا كبيرًا، ولكن توجد طرق للتعامل معها تُعاملها ككائن واحد سداسي الأبعاد.

فضاء الطور

فضاء الطور هو فضاء يتكون من موضع وزخم الجسيم، ويمكن تمثيلهما معًا في مخطط طوري لتوضيح العلاقة بين الكميات. يمتلك الجسيم العام المتحرك في ثلاثة أبعاد فضاء طور بستة أبعاد، وهو عدد كبير جدًا بحيث لا يمكن تمثيله بيانيًا، ولكن يمكن تحليله رياضيًا. ^{[ 1 ]}

تتمتع مجموعة الدوران في أربعة أبعاد، SO(4)، بست درجات حرية. ويتضح ذلك من خلال النظر إلى المصفوفة 4 × 4 التي تمثل الدوران: بما أنها مصفوفة متعامدة، فإن عناصرها، باستثناء تغيير الإشارة، تُحدد، على سبيل المثال، بالعناصر الستة الموجودة أعلى القطر الرئيسي. إلا أن هذه المجموعة ليست خطية، ولها بنية أكثر تعقيدًا من التطبيقات الأخرى التي تم استعراضها حتى الآن.

هناك طريقة أخرى للنظر إلى هذه المجموعة وهي ضرب الكواترنيونات . يمكن تحقيق كل دوران في أربعة أبعاد بضرب متجه ما بزوج من الكواترنيونات الوحدوية ، أحدهما قبل المتجه والآخر بعده. هذه الكواترنيونات فريدة، باستثناء تغيير الإشارة لكليهما، وتولد جميع الدورانات عند استخدامها بهذه الطريقة، لذا فإن حاصل ضرب مجموعاتها، ^S³ × S³ ^، هو غطاء مزدوج لـ SO(4)، الذي يجب أن يكون له ستة أبعاد.

على الرغم من أن الفضاء الذي نعيش فيه يُعتبر ثلاثي الأبعاد، إلا أن هناك تطبيقات عملية للفضاء رباعي الأبعاد. فالكواترنيونات، وهي إحدى طرق وصف الدوران في ثلاثة أبعاد، تتكون من فضاء رباعي الأبعاد. فالدوران بين الكواترنيونات، لأغراض الاستيفاء مثلاً، يحدث في أربعة أبعاد. والزمكان ، الذي يتكون من ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني واحد، هو أيضاً رباعي الأبعاد، وإن كان ببنية مختلفة عن الفضاء الإقليدي .

في الكهرومغناطيسية ، يُنظر إلى المجال الكهرومغناطيسي عمومًا على أنه يتكون من عنصرين: المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي . وكلاهما حقلان متجهان ثلاثيا الأبعاد ، يرتبطان ببعضهما البعض من خلال معادلات ماكسويل . وثمة نهج آخر يتمثل في دمجهما في عنصر واحد، وهو موتر الكهرومغناطيسية سداسي الأبعاد ، وهو تمثيل ذو قيم موترية أو ثنائية المتجهات للمجال الكهرومغناطيسي. وباستخدام هذا النهج، يمكن اختصار معادلات ماكسويل من أربع معادلات إلى معادلة واحدة موجزة للغاية.

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

حيث F هو الشكل ثنائي الاتجاه للموتر الكهرومغناطيسي، وJ هو التيار الرباعي ، و∂ هو مؤثر تفاضلي مناسب . ^{[ 2 ]}

في الفيزياء، تُعدّ نظرية الأوتار محاولةً لوصف النسبية العامة وميكانيكا الكم بنموذج رياضي واحد. ورغم أنها محاولة لنمذجة كوننا، إلا أنها تجري في فضاء ذي أبعادٍ تتجاوز أبعاد الزمكان الأربعة المألوفة لدينا. وعلى وجه الخصوص، تدور بعض نظريات الأوتار في فضاء ذي عشرة أبعاد، ما يُضيف ستة أبعاد إضافية. هذه الأبعاد الإضافية ضرورية للنظرية، ولكن نظرًا لعدم إمكانية رصدها، يُعتقد أنها مختلفة تمامًا، وربما تكون مضغوطة لتشكيل فضاء سداسي الأبعاد ذي هندسةٍ خاصةٍ صغيرةٍ جدًا بحيث لا يمكن رصدها.

منذ عام 1997، ظهرت نظرية أوتار أخرى تعمل في ستة أبعاد. تُعرف نظريات الأوتار الصغيرة بأنها نظريات أوتار غير جاذبية في خمسة وستة أبعاد، وتنشأ عند النظر في حدود نظرية الأوتار ذات العشرة أبعاد. ^{[ 3 ]}

يمكن ربط عدد من التطبيقات المذكورة أعلاه ببعضها البعض جبريًا من خلال النظر في المتجهات الثنائية الحقيقية ذات الأبعاد الستة في أربعة أبعاد. ويمكن كتابة هذه المتجهات على النحو التالي:${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$بالنسبة لمجموعة المتجهات الثنائية في الفضاء الإقليدي أو${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{3,1}}$بالنسبة لمجموعة المتجهات الثنائية في الزمكان. إحداثيات بلوكر هي متجهات ثنائية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$بينما الموتر الكهرومغناطيسي الذي نوقش في القسم السابق هو متجه ثنائي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$يمكن استخدام المتجهات الثنائية لتوليد الدورانات في أي من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$من خلال الخريطة الأسية (على سبيل المثال، تطبيق الخريطة الأسية على جميع المتجهات الثنائية في${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$يُنشئ جميع عمليات الدوران في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ويمكن ربطها أيضًا بالتحويلات العامة في ثلاثة أبعاد من خلال الإحداثيات المتجانسة، والتي يمكن اعتبارها دورانات معدلة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

تنشأ المتجهات الثنائية من مجموع جميع الضرب الخارجي الممكن بين أزواج من المتجهات الرباعية. ولذلك، فإن لها 6 مركبات ،  ويمكن كتابتها بشكل عام على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {ه} _{34}}$

هي أول متجهات ثنائية لا يمكن توليدها جميعًا من خلال ضرب أزواج من المتجهات. أما تلك التي يمكن توليدها فهي متجهات ثنائية بسيطة ، والدورانات التي تولدها هي دورانات بسيطة . أما الدورانات الأخرى في أربعة أبعاد فهي دورانات مزدوجة ودورانات متساوية الميل ، وتتوافق مع متجهات ثنائية غير بسيطة لا يمكن توليدها من خلال ضرب إسفيني واحد. ^{[ 4 ]}

في عام ١٩٠١، نشر جيه دبليو جيبس ​​عملاً عن المتجهات تضمن كمية سداسية الأبعاد أطلق عليها اسم المتجه الثنائي . يتكون هذا المتجه من متجهين ثلاثيي الأبعاد في شكل واحد، وقد استخدمه لوصف القطوع الناقصة في ثلاثة أبعاد. وقد تراجع استخدامه مع تطور تقنيات أخرى، وأصبح اسم المتجه الثنائي مرتبطًا بشكل أوثق بالجبر الهندسي. ^{[ ٥ ]}