2 21 متعدد السطوح

الإسقاطات المتعامدة في المستوى E ₆ Coxeter
2 ₂₁	تم تصحيح 2 ₂₁
( 1 ₂₂ )	مُصحّح 2 ₂₁ ( مُصحّح 1 ₂₂ )

في الهندسة سداسية الأبعاد ، يعد متعدد السطوح 2 ₂₁ متعدد السطوح سداسي الأبعاد موحدًا ، تم إنشاؤه ضمن تماثل المجموعة E _6. اكتشفه ثورولد جوسيت ، ونشره في ورقته البحثية عام 1900. أطلق عليه اسم الشكل شبه المنتظم سداسي الأبعاد . ^[1] ويُطلق عليه أيضًا متعدد السطوح شليفلي .

رمز Coxeter الخاص به هو 2 ₂₁ ، والذي يصف مخطط Coxeter-Dynkin المتشعب الخاص به ، مع حلقة واحدة في نهاية أحد تسلسلات العقدتين. كما درس ^[2] ارتباطه بالخطوط السبعة والعشرين على السطح المكعب ، والتي تتوافق بشكل طبيعي مع رؤوس 2 ₂₁ .

يتم إنشاء 2 ₂₁ المصحح من خلال نقاط عند الحواف الوسطى لـ 2 _21. يتم إنشاء 2 ₂₁ المصحح ثنائيًا من خلال نقاط عند مراكز وجه المثلث لـ 2 ₂₁ ، وهو نفس 1 ₂₂ المصحح .

هذه متعددات السطوح هي جزء من عائلة مكونة من 39 متعدد سطوح محدب وموحد في 6 أبعاد ، وتتكون من أوجه موحدة ذات 5 متعددات سطوح وأشكال رؤوس ، ويتم تحديدها من خلال جميع تبديلات الحلقات في مخطط كوكستر-دينكين هذا :.

2_21 متعدد السطوح

2 ₂₁ متعدد السطوح
يكتب	متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه
عائلة	ك ₂₁ متعدد السطوح
رمز شلايفلي	{3,3,3 ^2,1 }
رمز كوكستر	2 ₂₁
مخطط كوكستر-داينكين	أو
5 وجوه	99 المجموع: 27 2 ₁₁ 72 {3 ⁴ }
4 وجوه	648: 432 {3 ³ } 216 {3 ³ }
الخلايا	1080 {3,3}
وجوه	720 {3}
الحواف	216
رؤوس	27
شكل الرأس	1 ₂₁ ( 5-نصف مكعب )
مضلع بتري	اثني عشري
مجموعة كوكستر	E ₆ ، [3 ^2,2,1 ]، الترتيب 51840
ملكيات	محدب

يحتوي الشكل 2 ₂₁ على 27 رأسًا و99 وجهًا: 27 مستطيلًا خماسيًا و72 مستطيلًا خماسيًا . شكل رأسه عبارة عن نصف مكعب خماسي .

للتوضيح، غالبًا ما يتم عرض هذا متعدد السطوح سداسي الأبعاد في اتجاه إسقاط متعامد منحرف خاص يناسب رؤوسه الـ 27 داخل مضلع منتظم مكون من 12 ضلعًا (يُسمى مضلع بتري ). يتم رسم حوافه الـ 216 بين حلقتين من 12 رأسًا، وإسقاط 3 رؤوس في المركز. يمكن أيضًا استخراج العناصر الأعلى (الوجوه والخلايا وما إلى ذلك) ورسمها على هذا الإسقاط.

يُعد رسم Schläfli الهيكل العظمي أحادي السطوح لهذا متعدد السطوح.

أسماء بديلة

أطلق عليه EL Elte اسم V ₂₇ (بسبب رؤوسه الـ 27) في قائمته التي وضعها عام 1912 لمتعددات السطوح شبه المنتظمة. ^[3]
Icosihepta-heptacontidi-peton - بوليبيتون مكون من 27 إلى 72 وجهًا (اختصارًا jak) (جوناثان باورز) ^[4]

الإحداثيات

يمكن التعبير عن الرؤوس الـ 27 في الفضاء 8 كشكل حافة لمتعدد السطوح 4 ₂₁ :

(-2، 0، 0، 0،-2، 0، 0، 0)،
( 0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0,-2, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0,-2,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 0,-2, 0, 0,-2),
( 0, 0, 0, 0, 0,-2,-2, 0)

( 2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 2, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 2,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 2)

(-1،-1،-1،-1،-1،-1،-1،-1،-1)،
(-1،-1،-1، 1،-1،-1،-1، 1)،
(-1،-1، 1،-1،-1،-1،-1،-1، 1)،
(-1،-1، 1، 1،-1،-1،-1،-1)،
(-1، 1،-1،-1،-1،-1،-1،-1، 1)،
(-1، 1،-1، 1،-1،-1،-1،-1)،
(-1، 1، 1،-1،-1،-1،-1،-1)،
( 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),
( 1،-1، 1،-1،-1،-1،-1،-1)،
( 1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),
( 1، 1،-1،-1،-1،-1،-1،-1،-1)،
(-1، 1، 1، 1، -1، -1، -1، 1)،
( 1،-1، 1، 1،-1،-1،-1، 1)،
( 1، 1،-1، 1،-1،-1،-1، 1)،
( 1، 1، 1،-1،-1،-1،-1، 1)،
( 1، 1، 1، 1،-1،-1،-1،-1)

بناء

يعتمد بناؤه على المجموعة E ₆ .

يمكن استخراج معلومات الوجه من مخطط Coxeter-Dynkin الخاص به ،.

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير يترك 5-simplex ،.

يؤدي إزالة العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطولين إلى ترك 5-orthoplex في شكله المتبادل: ( 2 ₁₁ )،.

كل وجه بسيط يلامس وجهًا من 5 أوجه أورثوبليكس، في حين أن الوجوه البديلة للأورثوبليكس تلامس إما وجهًا بسيطًا أو أورثوبليكس آخر.

يتم تحديد شكل الرأس عن طريق إزالة العقدة ذات الحلقات ووضع حلقات على العقدة المجاورة. وهذا يجعل 5-demicube (1 ₂₁ polytope)،. شكل الحافة هو شكل الرأس لشكل الرأس، وهو متعدد السطوح مصحح مكون من 5 خلايا ، (0 ₂₁ متعدد السطوح)،.

كما هو موضح في مصفوفة التكوين ، يمكن اشتقاق عدد العناصر من أوامر مجموعة Coxeter . ^[5]

هـ ₆	وجه ك	ف _ك	ف ₀	ف ₁	ف ₂	ف ₃	ف ₄		ف ₅		ك -شكل	ملحوظات
د ₅	( )	ف ₀	27	16	80	160	80	40	16	10	ح{4،3،3،3}	ع ₆ /د ₅ = 51840/1920 = 27
أ ₄ أ ₁	{ }	ف ₁	2	216	10	30	20	10	5	5	ر{3،3،3}	ه ₆ / أ ₄ أ ₁ = 51840/120/2 = 216
أ ₂ أ ₂ أ ₁	{3}	ف ₂	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}س{ }	ه ₆ / أ ₂ أ ₂ أ ₁ = 51840/6/6/2 = 720
أ ₃ أ ₁	{3,3}	ف ₃	4	6	4	1080	2	1	1	2	{ }ف( )	ه ₆ / أ ₃ أ ₁ = 51840/24/2 = 1080
أ ₄	{3،3،3}	ف ₄	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	ع ₆ /أ ₄ = 51840/120 = 432
أ ₄ أ ₁	{3،3،3}	ف ₄	5	10	10	5	*	216	0	2	{ }	ه ₆ / أ ₄ أ ₁ = 51840/120/2 = 216
أ ₅	{3،3،3،3}	ف ₅	6	15	20	15	6	0	72	*	( )	ع ₆ /أ ₅ = 51840/720 = 72
د ₅	{3،3،3،4}	ف ₅	10	40	80	80	16	16	*	27	( )	ع ₆ /د ₅ = 51840/1920 = 27

الصور

يتم تلوين الرؤوس حسب تعددها في هذا الإسقاط، بترتيب تصاعدي: الأحمر، البرتقالي، الأصفر. يتم إعطاء عدد الرؤوس حسب اللون بين قوسين.

إسقاطات تقويمية لطائرة كوكستر
هـ6 [12]	د5 [8]	د4 / أ2 [6]	ب6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
أ5 [6]	أ4 [5]	أ3 / د3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1،4،7)

الطي الهندسي

يرتبط الشكل 2 ₂₁ بالخلية المكونة من 24 خلية من خلال طي هندسي لمخططات Coxeter-Dynkin E6/F4 . ويمكن رؤية ذلك في إسقاطات مستوي Coxeter . يتم إسقاط الرؤوس الـ 24 للخلية المكونة من 24 خلية في نفس الحلقتين كما هو موضح في الشكل 2 ₂₁ .

هـ ₆	ف ₄
2 ₂₁	24 خلية

يمكن لهذا متعدد السطوح أن يشكل فضاء إقليديًا مكونًا من 6 أضلاع، مكونًا بذلك قرص العسل 2 ₂₂ باستخدام مخطط كوكستر-داينكين التالي:.

متعددات السطوح المعقدة ذات الصلة

المضلع المركب المنتظم ₃ {3} ₃ {3} ₃ ،، في له تمثيل حقيقي مثل متعدد السطوح 2 ₂₁ ، $\mathbb {C} ^{2}$ ، في الفضاء رباعي الأبعاد. يُطلق عليه اسم متعدد السطوح الهسي نسبة إلى إدموند هيس . يحتوي على 27 رأسًا و72 حافة ثلاثية و27 وجهًا 3{3}3. مجموعته الانعكاسية المعقدة هي ₃ [3] ₃ [3] ₃ ، من الدرجة 648.

متعددات السطوح ذات الصلة

الشكل 2 ₂₁ هو الشكل الرابع في سلسلة الأبعاد من متعددات السطوح شبه المنتظمة . كل متعدد سطوح منتظم متدرج يتكون من شكل رأسي لمتعدد السطوح السابق. حدد ثورولد جوسيت هذه السلسلة في عام 1900 على أنها تحتوي على جميع أوجه متعددات السطوح المنتظمة ، وتحتوي على جميع الأشكال البسيطة والأورثوبليكسات .

ك ₂₁ شخصية في أبعاد ن
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ع _ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ ₃ = أ ₂ أ ₁	هـ ₄ = أ ₄	هـ ₅ = د ₅	هـ ₆	هـ ₇	هـ ₈	ع ₉ = = ع ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	ع ₁₀ = = ع ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
مخطط كوكستر
التماثل	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4،2،1 ]	[3 ^5،2،1 ]	[3 ^6،2،1 ]
طلب	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁	221	3 ₂₁	4 ₂₁	5 ₂₁	6 ₂₁

متعدد السطوح 2 ₂₁ هو الرابع في السلسلة البعدية 2 _k2 .

2 _{ك 1} شخصية في أبعاد n
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ ₃ = أ ₂ أ ₁	هـ ₄ = أ ₄	هـ ₅ = د ₅	هـ ₆	هـ ₇	هـ ₈	ع ₉ = = ع ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	ع ₁₀ = = ع ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
مخطط كوكستر
التماثل	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[[3 ^1,2,1 ]]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4،2،1 ]	[3 ^5،2،1 ]	[3 ^6،2،1 ]
طلب	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	2 _−1,1	2 ₀₁	2 ₁₁	221	2 ₃₁	2 ₄₁	2 ₅₁	2 ₆₁

متعدد السطوح 2 ₂₁ هو الثاني في السلسلة البعدية 2 _2k .

2 _2k شخصية من أبعاد n
فضاء	محدود			إقليدي	زائدي
ن	4	5	6	7	8
مجموعة كوكستر	أ ₂ أ ₂	أ ₅	هـ ₆	${\tilde {E}}_{6}$ =هـ ₆⁺	هـ ₆⁺⁺
مخطط كوكستر
الرسم البياني				∞	∞
اسم	2 _2,-1	2 ₂₀	221	2 ₂₂	223

متعدد السطوح 2_21 المصحح

متعدد السطوح المصحح 2 ₂₁
يكتب	متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه
رمز شلايفلي	ت ₁ {3،3،3 ^2،1 }
رمز كوكستر	ت ₁ (2 ₂₁ )
مخطط كوكستر-داينكين	أو
5 وجوه	126 المجموع: 72 ت ₁ {3 ⁴ } 27 ت ₁ {3 ^3،4 } 27 ت ₁ {3،3 ^2،1 }
4 وجوه	1350
الخلايا	4320
وجوه	5040
الحواف	2160
رؤوس	216
شكل الرأس	منشور مصحح ذو 5 خلايا
مجموعة كوكستر	E ₆ ، [3 ^2,2,1 ]، الترتيب 51840
ملكيات	محدب

يحتوي الشكل 2 ₂₁ المصحح على 216 رأسًا و126 وجهًا: 72 من أشكال 5-simpleces المصححة ، و27 من أشكال 5-orthoplexes المصححة ، و27 من أشكال 5-demicubes . شكل رأسه عبارة عن منشور مصحح مكون من 5 خلايا .

أسماء بديلة

إيكوسيهبتا-هيبتاكونتيدي-بيتون مصحح كبوليبيتون مصحح مكون من 27 إلى 72 وجهًا (الاختصار روجاك) (جوناثان باورز) ^[6]

بناء

يعتمد بناؤه على المجموعة E ₆ ويمكن استخراج المعلومات من مخطط Coxeter-Dynkin الحلقي الذي يمثل هذا متعدد السطوح:.

إزالة الحلقة الموجودة على الفرع القصير يترك 5-simplex المعدل ،.

يؤدي إزالة الحلقة الموجودة في نهاية الفرع الآخر بطول 2 إلى ترك 5-orthoplex المعدل في شكله المتبادل: t ₁ (2 ₁₁ ) ،.

يؤدي إزالة الحلقة الموجودة في نهاية نفس الفرع بطول 2 إلى ترك نصف مكعب 5 : (1 ₂₁ ) ،.

يتم تحديد شكل الرأس بإزالة الحلقة ذات الحلقات وربط الحلقة المجاورة. وهذا يجعل المنشور المصحح المكون من 5 خلايا ، t ₁ {3,3,3}x{}،.

الصور

يتم تلوين الرؤوس حسب تعددها في هذا الإسقاط، بترتيب تدريجي: الأحمر، البرتقالي، الأصفر.

إسقاطات تقويمية لطائرة كوكستر
هـ6 [12]	د5 [8]	د4 / أ2 [6]

أ5 [6]	أ4 [5]	أ3 / د3 [4]

متعدد السطوح المقطوع 2_21

متعدد السطوح المقطوع 2 ₂₁
يكتب	متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه
رمز شلايفلي	ت{3،3،3 ^2،1 }
رمز كوكستر	ت(2 ₂₁ )
مخطط كوكستر-داينكين	أو
5 وجوه	72+27+27
4 وجوه	432+216+432+270
الخلايا	1080+2160+1080
وجوه	720+4320
الحواف	216+2160
رؤوس	432
شكل الرأس	( ) فـر{3,3,3}
مجموعة كوكستر	E ₆ ، [3 ^2,2,1 ]، الترتيب 51840
ملكيات	محدب

يحتوي الشكل المقطوع 2 ₂₁ على 432 رأسًا و5040 حافة و4320 وجهًا و1350 خلية و126 وجهًا رباعيًا. شكل رأسه عبارة عن هرم مصحح مكون من 5 خلايا .

الصور

يتم تلوين الرؤوس حسب تعددها في هذا الإسقاط، بترتيب تدريجي: الأحمر، البرتقالي، الأصفر، الأخضر، السماوي، الأزرق، الأرجواني.

إسقاطات تقويمية لطائرة كوكستر
هـ6 [12]	د5 [8]	د4 / أ2 [6]

أ5 [6]	أ4 [5]	أ3 / د3 [4]

انظر أيضا

قائمة متعددات السطوح E6

ملحوظات

^ جوسيت، 1900
^ Coxeter, HSM (1940). "متعدد السطوح 2 ₂₁ الذي تتوافق رؤوسه السبعة والعشرون مع الخطوط الموجودة على السطح المكعب العام". Amer. J. Math . 62 (1): 457– 486. doi :10.2307/2371466. JSTOR 2371466.
^ إلتي، 1912
^ كليتسينج (x3o3o3o3o *c3o - جاك)
^ Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203
^ كليتسينج، (o3x3o3o3o *c3o - روجاك)

مراجع

ت. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد n ، رسول الرياضيات، ماكميلان، 1900
إلتي، إي إل (1912)، متعددات السطوح شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة ، جرونينجن: جامعة جرونينجن
الكالييدوسكوب: كتابات مختارة لـ HSM Coxeter ، تحرير F. Arthur Sherk، Peter McMullen، Anthony C. Thompson، Asia Ivic Weiss، Wiley-Interscience Publication، 1995، ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (ورقة 17) كوكستر ، تطور مخططات كوكستر-دينكين ، [Nieuw Ar Chief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] انظر الشكل 1: (ص 232) (الرسم البياني لحافة العقدة للبوليتوب)
كليتزينج، ريتشارد. "متعددات السطوح المنتظمة سداسية الأبعاد (متعددات السطوح)".x3o3o3o3o *c3o - جاك، o3x3o3o3o *c3o - روجاك

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ _ن	ب _ن	أنا ₂ (ص) / د _ن	ع ₆ / ع ₇ / ع ₈ / ف ₄ / ج ₂	ح _ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 ₂₂ • 221
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 _ك2 • 2 _ك1 • ك ₂₁	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] جوسيت، 1900

[2] Coxeter, HSM (1940). "متعدد السطوح 2 ₂₁ الذي تتوافق رؤوسه السبعة والعشرون مع الخطوط الموجودة على السطح المكعب العام". Amer. J. Math . 62 (1): 457– 486. doi :10.2307/2371466. JSTOR 2371466.

[3] إلتي، 1912

[4] كليتسينج (x3o3o3o3o *c3o - جاك)

[5] Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203

[6] كليتسينج، (o3x3o3o3o *c3o - روجاك)

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗