خط العرض

في الملاحة الفلكية ، يُحدد خط العرض باستخدام طريقة ارتفاع خط الزوال . ويتطلب قياس خط العرض بدقة أكبر فهم مجال جاذبية الأرض، سواءً لتركيب أجهزة قياس الزوايا أو لتحديد مدارات أقمار نظام تحديد المواقع العالمي (GPS). ويُعرف علم الجيوديسيا بدراسة شكل الأرض ومجال جاذبيتها .

تتكون شبكة الإحداثيات من خطوط العرض والطول الثابتة، والتي تُنشأ بالرجوع إلى محور دوران الأرض. وتُعدّ القطبين نقطتي المرجع الأساسيتين، حيث يتقاطع محور دوران الأرض مع سطح الأرض. تتقاطع المستويات التي تحتوي على محور الدوران مع سطح الأرض عند خطوط الطول ؛ وتُحدد الزاوية بين أي مستوى من مستويات خط الطول والمستوى المار بخط غرينتش خط الطول؛ فخطوط الطول هي خطوط ذات خطوط طول ثابتة. يتقاطع المستوى المار بمركز الأرض والعمودي على محور الدوران مع سطح الأرض عند دائرة عظمى تُسمى خط الاستواء . تتقاطع المستويات الموازية لمستوى خط الاستواء مع سطح الأرض في دوائر ذات خطوط عرض ثابتة؛ وهذه هي دوائر العرض. يقع خط الاستواء عند خط عرض 0°، ويقع القطب الشمالي عند خط عرض 90° شمالاً (يُكتب 90°  شمالاً أو +90°)، ويقع القطب الجنوبي عند خط عرض 90° جنوباً (يُكتب 90°  جنوباً أو -90°). خط عرض أي نقطة هو الزاوية بين مستوى خط الاستواء والعمودي على سطح الكرة عند تلك النقطة؛ ويكون العمودي على سطح الكرة موازياً للمتجه القطري.

يُطلق على خط العرض، كما هو محدد بهذه الطريقة للكرة، غالبًا اسم خط العرض الكروي، لتجنب الالتباس مع خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة المحددة في الأقسام اللاحقة من هذه المقالة.

إلى جانب خط الاستواء، هناك أربعة خطوط عرض أخرى ذات أهمية:

الدائرة القطبية الشمالية	66° 34′ (66.57°) شمالاً
مدار السرطان	23° 26′ (23.43°) شمالاً
مدار الجدي	23° 26′ (23.43°) جنوباً
الدائرة القطبية الجنوبية	66° 34′ (66.57°) جنوباً

يُطلق على مستوى مدار الأرض حول الشمس اسم دائرة البروج ، بينما يُطلق على المستوى العمودي على محور دوران الأرض اسم المستوى الاستوائي. تُسمى الزاوية بين دائرة البروج والمستوى الاستوائي بأسماء مختلفة، منها ميل دائرة البروج، أو انحرافها، أو ميل محورها، ويُرمز لها اصطلاحًا بالرمز i . يساوي خط عرض الدوائر المدارية قيمة i، بينما يساوي خط عرض الدوائر القطبية مكملها (90° - i ). يتغير محور الدوران ببطء مع مرور الوقت، والقيم المذكورة هنا هي قيم الحقبة الحالية . يُناقش التغير الزمني بمزيد من التفصيل في مقال ميل محور الأرض . ^{[ أ ]}

يوضح الشكل هندسة مقطع عرضي للمستوى العمودي على مسار الشمس الظاهري، والذي يمر بمركزي الأرض والشمس عند الانقلاب الشتوي في ديسمبر، عندما تكون الشمس فوق مدار الجدي . تكون خطوط العرض القطبية الجنوبية الواقعة أسفل الدائرة القطبية الجنوبية نهارية، بينما تكون خطوط العرض القطبية الشمالية الواقعة فوق الدائرة القطبية الشمالية ليلية. ينعكس الوضع عند الانقلاب الشتوي في يونيو، عندما تكون الشمس فوق مدار السرطان. فقط عند خطوط العرض الواقعة بين المدارين يكون من الممكن أن تكون الشمس فوق الرأس مباشرة (عند سمت الرأس ).

لا توجد قاعدة عامة في إسقاطات الخرائط تحدد كيفية ظهور خطوط الطول ودوائر العرض. توضح الأمثلة أدناه خطوط العرض المحددة (كخطوط حمراء) في إسقاط ميركاتور الشائع الاستخدام وإسقاط ميركاتور المستعرض . في الأول، تكون خطوط العرض أفقية وخطوط الطول رأسية، بينما في الثاني، لا توجد علاقة دقيقة بين خطوط العرض وخطوط الطول والأفقي والرأسي: فكلاهما منحنيات معقدة.

	ميركاتور العادي		ميركاتور المستعرض
		\

في عام ١٦٨٧، نشر إسحاق نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، حيث أثبت فيه أن الجسم السائل الدوار الذي يخضع لجاذبية ذاتية في حالة اتزان يتخذ شكل قطع ناقص مفلطح. ^{[ ٣ ]} (يستخدم هذا المقال مصطلح " القطع الناقص" بدلاً من المصطلح الأقدم " الجسم الكروي "). وقد تأكدت نتيجة نيوتن من خلال القياسات الجيوديسية في القرن الثامن عشر. (انظر: قوس الزوال ). القطع الناقص المفلطح هو السطح ثلاثي الأبعاد الناتج عن دوران القطع الناقص حول محوره الأصغر. ويُختصر مصطلح "القطع الناقص الدوراني المفلطح" إلى "القطع الناقص" في بقية هذا المقال. (تُسمى القطع الناقصة التي لا تمتلك محور تناظر بالقطع الناقص ثلاثي المحاور ).

استُخدمت العديد من الأشكال الإهليلجية المرجعية المختلفة في تاريخ علم الجيوديسيا . في عصر ما قبل الأقمار الصناعية، صُممت هذه الأشكال لتوفير مطابقة جيدة للجيود على مساحة محدودة من المسح، ولكن مع ظهور نظام تحديد المواقع العالمي (GPS )، أصبح من الطبيعي استخدام أشكال إهليلجية مرجعية (مثل WGS84 ) مركزها مركز كتلة الأرض ومحورها الثانوي محاذٍ لمحور دوران الأرض. عادةً ما تقع هذه الأشكال الإهليلجية المتمركزة حول الأرض ضمن نطاق 100 متر (330 قدمًا) من الجيود. بما أن خط العرض يُحدد بالنسبة إلى شكل إهليلجي، فإن موقع أي نقطة معينة يختلف على كل شكل إهليلجي: لا يمكن تحديد خطي العرض والطول لمعلم جغرافي بدقة دون تحديد الشكل الإهليلجي المستخدم. تعتمد العديد من الخرائط التي تحتفظ بها الهيئات الوطنية على أشكال إهليلجية قديمة، لذا يجب معرفة كيفية تحويل قيم خطي العرض والطول من شكل إهليلجي إلى آخر. تتضمن أجهزة تحديد المواقع العالمية (GPS) برامج لإجراء تحويلات البيانات التي تربط نظام WGS84 بالقطع الناقص المرجعي المحلي مع الشبكة المرتبطة به.  

يتحدد شكل القطع الناقص الدوراني بشكل القطع الناقص الذي يدور حول محوره الأصغر (الأقصر). ويتطلب ذلك معيارين. الأول هو دائمًا نصف القطر الاستوائي، وهو المحور شبه الأكبر ، ويرمز له بـ a . أما المعيار الثاني فهو عادةً: (1)  نصف القطر القطبي أو المحور شبه الأصغر ، ويرمز له بـ b ؛ أو (2) التسطح  (الأول) ، ويرمز له بـ f ؛ أو (3) اللامركزية ، ويرمز لها بـ e . هذه المعايير ليست مستقلة، بل ترتبط ببعضها البعض. 

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.}$

Many other parameters (see ellipse, ellipsoid) appear in the study of geodesy, geophysics and map projections but they can all be expressed in terms of one or two members of the set a, b, f and e. Both f and e are small and often appear in series expansions in calculations; they are of the order ⁠1/298⁠ and 0.0818 respectively. Values for a number of ellipsoids are given in Figure of the Earth. Reference ellipsoids are usually defined by the semi-major axis and the inverse flattening, ⁠1/f⁠. For example, the defining values for the WGS84 ellipsoid, used by all GPS devices, are^[4]

• a (equatorial radius): 6378137.0 m exactly
• ⁠1/f⁠ (inverse flattening): 298.257223563 exactly

from which are derived

• b (polar radius): 6356752.31425 m
• e² (eccentricity squared): 0.00669437999014

The difference between the semi-major and semi-minor axes is about 21 km (13 miles) and as fraction of the semi-major axis it equals the flattening; on a computer monitor the ellipsoid could be sized as 300 by 299 pixels. This would barely be distinguishable from a 300-by-300-pixel sphere, so illustrations usually exaggerate the flattening.

The graticule on the ellipsoid is constructed in exactly the same way as on the sphere. The normal at a point on the surface of an ellipsoid does not pass through the centre, except for points on the equator or at the poles, but the definition of latitude remains unchanged as the angle between the normal and the equatorial plane. The terminology for latitude must be made more precise by distinguishing:

• Geodetic latitude: the angle between the normal and the equatorial plane. The standard notation in English publications is ϕ. This is the definition assumed when the word latitude is used without qualification. The definition must be accompanied with a specification of the ellipsoid.
• خط العرض الجيومركزي (المعروف أيضًا بخط العرض الكروي ، نسبةً إلى الزاوية القطبية ثلاثية الأبعاد ): هو الزاوية المحصورة بين نصف القطر (من المركز إلى النقطة على السطح) والمستوى الاستوائي. (انظر الشكلأدناه ) . لا يوجد رمز موحد: تتضمن الأمثلة من نصوص مختلفة الرموز θ و ψ و q و ϕ′ و ϕc _و ϕg _. يستخدم هذا المقال الرمز θ .

يجب استخدام مصطلح "خط العرض الجغرافي" بحذر، إذ يستخدمه بعض المؤلفين كمرادف لخط العرض الجيوديسي، بينما يستخدمه آخرون كبديل لخط العرض الفلكي . ويُفترض أن يشير مصطلح "خط العرض" (بدون تحديد) عادةً إلى خط العرض الجيوديسي.

تتضح أهمية تحديد المرجع الإحداثي من خلال مثال بسيط. على سطح الإهليلج المرجعي لنظام WGS84، يقع مركز برج إيفل عند خط عرض جيوديسي 48°  51′  29″  شمالًا، أو 48.8583°  شمالًا، وخط طول 2°  17′  40″  شرقًا، أو 2.2944° شرقًا. وتُحدد الإحداثيات نفسها على سطح الإهليلج ED50 نقطة على الأرض تبعد 140 مترًا (460 قدمًا) عن البرج. قد يُظهر البحث على الإنترنت عدة قيم مختلفة لخط عرض البرج؛ ونادرًا ما يُحدد سطح الإهليلج المرجعي.

على سطح الكرة، يمر العمودي عبر المركز، وبالتالي فإن خط العرض ( ϕ ) يساوي الزاوية المحصورة عند المركز بواسطة قوس خط الزوال الواصل من خط الاستواء إلى النقطة المعنية. إذا رمزنا لمسافة خط الزوال بـ m ( ϕ )، فإن $${\displaystyle m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {درجة} }=R\phi _{\mathrm {راديان} }}$$ حيث يرمز R إلى متوسط ​​نصف قطر الأرض. R يساوي 6371 كم أو 3959 ميلاً . لا يُناسب استخدام قيمة أعلى لـ R، لأن الحصول على نتائج أكثر دقة يتطلب نموذجًا بيضاويًا. بهذه القيمة لـ R، يبلغ طول خط الزوال لدرجة واحدة من خط العرض على الكرة الأرضية 111.2 كم (69.1 ميلًا بريًا) (60.0 ميلًا بحريًا). يبلغ طول دقيقة واحدة من خط العرض 1.853 كم (1.151 ميلًا بريًا) (1.00 ميلًا بحريًا)، بينما يبلغ طول ثانية واحدة من خط العرض 30.8 مترًا أو 101 قدمًا (انظر الميل البحري ).  

في قوس الزوال والنصوص القياسية ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} تبين أن المسافة على طول خط الزوال من خط العرض ϕ إلى خط الاستواء تعطى بواسطة ( ϕ بالراديان).

$${\displaystyle m(\phi )=\int _{0}^{\phi}M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{- {\frac {3}{2}}}\,d\phi '}$$

حيث M ( ϕ ) هو نصف قطر الانحناء الزوالي .

المسافة ربع خط الزوال من خط الاستواء إلى القطب هي

$${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,}$$

بالنسبة لنظام WGS84، تكون هذه المسافة هي10001.965729 كم  .​​​

يُعدّ حساب تكامل مسافة خط الزوال أساسيًا في العديد من الدراسات في علم المساحة الجيوديسية وإسقاط الخرائط. ويمكن حسابه بتوسيع التكامل باستخدام متسلسلة ذات الحدين وتكامل كل حد على حدة: انظر قوس خط الزوال لمزيد من التفاصيل. يُعطى طول قوس خط الزوال بين خطي عرض مُحددين باستبدال حدود التكامل بخطوط العرض المعنية. ويُعطى طول قوس خط زوال صغير بالمعادلتين ^{[ 6 ] و[ 7 ].}

$${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$$

${\displaystyle \phi }$	Δ 1 خط عرض	Δ 1 طويل
0°	110.574  كم	111.320  كم
15 درجة	110.649  كم	107.550  كم
30 درجة	110.852  كم	96.486  كم
45 درجة	111.132  كم	78.847  كم
60 درجة	111.412  كم	55800  كم
75 درجة	111.618  كم	28.902  كم
90 درجة	111.694  كم	0.000  كم

عندما يكون فرق خط العرض درجة واحدة، وهو ما يعادل π / 180 راديان ، فإن مسافة القوس تكون حوالي $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

المسافة بالأمتار (مصححة بدقة 0.01 متر) بين خطوط العرض${\displaystyle \phi }$ -  0.5 درجة و${\displaystyle \phi }$ +  0.5 درجة على شكل كروي WGS84 $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$$

يُظهر الجدول تغير هذه المسافة مع خط العرض (على نظام WGS84 ) إلى جانب طول درجة خط الطول (المسافة من الشرق إلى الغرب): $${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,}$$توفر الوكالة الوطنية للاستخبارات الجغرافية المكانية التابعة للحكومة الأمريكية (NGA) حاسبة لأي خط عرض. ^{[ 8 ]}

خط العرض الجيومركزي هو الزاوية بين المستوى الاستوائي ونصف القطر من المركز إلى نقطة الاهتمام.

عندما تكون النقطة على سطح القطع الناقص، تكون العلاقة بين خط العرض الجيومركزي ( θ ) وخط العرض الجيوديسي ( ϕ ) كما يلي:

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

بالنسبة للنقاط التي لا تقع على سطح القطع الناقص، تتضمن العلاقة بالإضافة إلى ذلك ارتفاع القطع الناقص h :

${\displaystyle \theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)}$

حيث N هو نصف قطر الانحناء الرأسي الأساسي. تتساوى خطوط العرض الجيوديسية والجيومركزية عند خط الاستواء والقطبين، لكنها تختلف عند خطوط العرض الأخرى ببضع دقائق قوسية. بافتراض أن قيمة مربع الانحراف المركزي هي 0.0067 (وهي تعتمد على اختيار القطع الناقص)، فإن أقصى فرق هو${\displaystyle \phi {-}\theta }$يمكن إثبات أن المسافة تبلغ حوالي 11.5 دقيقة قوسية عند خط عرض جيوديسي يبلغ حوالي 45°  6′. ^{[ ب ]}

يُعرَّف خط العرض البارامتري، أو خط العرض المُختزل ، β ، بأنه نصف القطر المرسوم من مركز القطع الناقص إلى النقطة Q على الكرة المحيطة (نصف قطرها a )، والتي تُمثل إسقاطًا موازيًا لمحور الأرض لنقطة P على القطع الناقص عند خط العرض ϕ . وقد طُوِّر هذا المفهوم بواسطة ليجندر ^{[ 11 ]} وبيسل ^{[ 12 ]} اللذين حلا مسائل الخطوط الجيوديسية على القطع الناقص بتحويلها إلى مسألة مكافئة للخطوط الجيوديسية الكروية باستخدام خط العرض الأصغر هذا. كما يُستخدم رمز بيسل، u ( ϕ ) ، في المراجع الحالية. ويرتبط خط العرض البارامتري بخط العرض الجيوديسي بالعلاقة التالية: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

ينشأ الاسم البديل من تحديد معلمات معادلة القطع الناقص الذي يصف مقطعًا من خط الزوال. بدلالة الإحداثيات الديكارتية p ، وهي المسافة من المحور الأصغر، و z ، وهي المسافة فوق المستوى الاستوائي، تكون معادلة القطع الناقص كما يلي:

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

يتم تحديد الإحداثيات الديكارتية للنقطة بواسطة

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

اقترح كايلي مصطلح خط العرض البارامتري بسبب شكل هذه المعادلات. ^{[ 13 ]}

لا يُستخدم خط العرض البارامتري في نظرية إسقاطات الخرائط. ويتمثل أهم تطبيقاته في نظرية الجيوديسيات الإهليلجية ( فينسنتي ، كارني ^{[ 14 ]} ).

خط العرض التصحيحي ، μ ، هو مسافة خط الزوال التي تم قياسها بحيث تكون قيمتها عند القطبين مساوية لـ 90 درجة أو π / 2 راديان :

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

حيث تكون المسافة الزوالية من خط الاستواء إلى خط العرض ϕ (انظر قوس الزوال )

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

وطول ربع دائرة خط الزوال من خط الاستواء إلى القطب ( المسافة القطبية ) هو

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

استخدام خط العرض المصحح لتحديد خط عرض على كرة نصف قطرها

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

يُعرّف هذا الإسقاط إسقاطًا من القطع الناقص إلى الكرة بحيث تكون جميع خطوط الطول ذات أطوال حقيقية ومقياس موحد. ويمكن بعد ذلك إسقاط الكرة على المستوى بإسقاط مستطيل متساوي الأبعاد للحصول على إسقاط مزدوج من القطع الناقص إلى المستوى بحيث تكون جميع خطوط الطول ذات أطوال حقيقية ومقياس موحد. ومن أمثلة استخدام خط العرض المصحح الإسقاط المخروطي متساوي المسافات (سنايدر، القسم 16). ^{[ 9 ]} كما أن لخط العرض المصحح أهمية بالغة في إنشاء إسقاط ميركاتور المستعرض .

خط العرض الذاتي (بعد الكلمة اليونانية التي تعني " نفس المنطقة ")، ξ ، يعطي إسقاطًا متساوي المساحة على الكرة.

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

ويُؤخذ نصف قطر الكرة على النحو التالي

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

من الأمثلة على استخدام خط العرض الذاتي إسقاط ألبرز المخروطي متساوي المساحة . ^{[ 9 ] : §14}

خط العرض المطابق ، χ ، يعطي تحويلاً يحافظ على الزاوية ( مطابقاً ) للكرة. ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

حيث gd( x ) هي دالة غودرمان . (انظر أيضًا إسقاط ميركاتور .)

يُعرّف خط العرض المطابق تحويلاً من القطع الناقص إلى كرة ذات نصف قطر اختياري ، بحيث تكون زاوية تقاطع أي خطين على القطع الناقص مساوية للزاوية المقابلة على الكرة (مما يحافظ على شكل العناصر الصغيرة ). ويُعطي تحويل مطابق آخر من الكرة إلى المستوى إسقاطًا مزدوجًا مطابقًا من القطع الناقص إلى المستوى. وهذه ليست الطريقة الوحيدة لإنشاء مثل هذا الإسقاط المطابق. فعلى سبيل المثال، النسخة "الدقيقة" من إسقاط ميركاتور المستعرض على القطع الناقص ليست إسقاطًا مزدوجًا. (إلا أنها تتضمن تعميمًا لخط العرض المطابق إلى المستوى المركب).

يُستخدم خط العرض المتساوي القياس ، ψ ، في تطوير النسخ الإهليلجية من إسقاط ميركاتور العادي وإسقاط ميركاتور المستعرض . وتنشأ تسمية "متساوي القياس" من حقيقة أنه عند أي نقطة على سطح الإهليلج، تؤدي الزيادات المتساوية في ψ وخط الطول λ إلى إزاحات متساوية في المسافة على طول خطوط الطول وخطوط العرض على التوالي. وتقسم شبكة الإحداثيات، المحددة بخطوط ψ و λ الثابتة ، سطح الإهليلج إلى شبكة من المربعات (بأحجام متفاوتة). ويكون خط العرض المتساوي القياس صفرًا عند خط الاستواء، ولكنه يتباعد بسرعة عن خط العرض الجيوديسي، ويؤول إلى اللانهاية عند القطبين. ويُذكر الترميز التقليدي في سنايدر (صفحة 15): ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

بالنسبة للإسقاط المركاتوري العادي (على السطح الإهليلجي)، تحدد هذه الدالة تباعد خطوط العرض: إذا كان طول خط الاستواء على الإسقاط هو E (بوحدات الطول أو البكسل)، فإن المسافة y لخط عرض ذي خط عرض ϕ من خط الاستواء هي

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

يرتبط خط العرض المتساوي القياس ψ ارتباطًا وثيقًا بخط العرض المطابق χ :

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

تُعطي الصيغ الواردة في الأقسام السابقة خط العرض المساعد بدلالة خط العرض الجيوديسي. يمكن عكس تعابير خطوط العرض الجيومركزية والبارامترية مباشرةً، لكن هذا غير ممكن في الحالات الأربع المتبقية: خطوط العرض المصححة، والذاتية، والمتطابقة، والمتساوية القياس. توجد طريقتان للمضي قدمًا.

• تتمثل الطريقة الأولى في إجراء عملية عكس عددية للمعادلة الأساسية لكل قيمة محددة من قيم خط العرض المساعد. وتشمل الطرق المتاحة التكرار بنقطة ثابتة وإيجاد جذور نيوتن-رافسون .
  • عند التحويل من الإحداثيات المتساوية القياس أو الإحداثيات المطابقة إلى الإحداثيات الجيوديسية، فإن تكرارين لخوارزمية نيوتن-رافسون يعطيان دقة مضاعفة . ^{[ 16 ]}
• أما النهج الآخر، والأكثر فائدة، فهو التعبير عن خط العرض المساعد كمتسلسلة بدلالة خط العرض الجيوديسي، ثم عكس هذه المتسلسلة باستخدام طريقة لاغرانج العكسية . وقد قدم آدامز هذه المتسلسلات باستخدام متسلسلات تايلور، مع إعطاء المعاملات بدلالة الانحراف المركزي. ^{[ 10 ]} كما قدم أوريهويلا ^{[ 17 ]} متسلسلات للتحويلات بين جميع أزواج خطوط العرض المساعدة بدلالة التسطيح الثالث، n = ( a - b ) / ( a ​​+ b ) . وأثبت كارني ^{[ 18 ]} أن أخطاء القطع لهذه المتسلسلات أصغر باستمرار من أخطاء المتسلسلات المكافئة بدلالة الانحراف المركزي. ولا يمكن تطبيق طريقة المتسلسلات على خط العرض المتساوي القياس، ويتعين إيجاد خط العرض المطابق في خطوة وسيطة. ^{[ 6 ]}

يُظهر الرسم البياني على اليمين الفرق بين خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة الأخرى غير خط العرض المتساوي القياس (الذي يتباعد إلى ما لا نهاية عند القطبين) في حالة القطع الناقص WGS84. الفروق الموضحة في الرسم البياني مُقاسة بالدقائق القوسية. في نصف الكرة الشمالي (خطوط العرض الموجبة)، θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ ؛ أما في نصف الكرة الجنوبي (خطوط العرض السالبة)، فتنعكس هذه المتباينات، حيث تتساوى عند خط الاستواء والقطبين. على الرغم من أن الرسم البياني يبدو متناظرًا حول 45 درجة، إلا أن أدنى نقاط المنحنيات تقع فعليًا بين 45° 2′ و45° 6′. بعض نقاط البيانات التمثيلية مُدرجة في الجدول أدناه. تكاد خطوط العرض المطابقة والمركزية للأرض لا يمكن تمييزها، وهي حقيقة استُغلت في أيام الآلات الحاسبة اليدوية لتسريع إنشاء إسقاطات الخرائط. ^{[ 9 ] : 108}

بالنسبة للرتبة الأولى في التسطيح f ، يمكن التعبير عن خطوط العرض المساعدة على النحو التالي: ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕ حيث يأخذ الثابت C القيم [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] لـ ζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ].

عند نقطة عشوائية P، نعتبر الخط PN عموديًا على سطح الإهليلج المرجعي. الإحداثيات الجيوديسية P( ɸ , λ , h ) هي خط العرض وخط الطول للنقطة N على سطح الإهليلج، والمسافة PN . يختلف هذا الارتفاع عن الارتفاع فوق سطح الجيود أو عن ارتفاع مرجعي، مثل الارتفاع فوق مستوى سطح البحر المتوسط ​​في موقع محدد. كما يختلف اتجاه PN عن اتجاه خط الشاقول الرأسي. تتطلب العلاقة بين هذه الارتفاعات المختلفة معرفة شكل سطح الجيود ومجال جاذبية الأرض.

خط العرض الجيومركزي θ هو مكمل الزاوية القطبية أو خط العرض المترافق θ′ في الإحداثيات القطبية الكروية التقليدية ، حيث تكون إحداثيات النقطة P( r , θ ′, λ ) ، و r هي المسافة بين النقطة P والمركز O ، و θ′ هي الزاوية بين متجه نصف القطر والمحور القطبي، و λ هو خط الطول. ولأن العمودي عند أي نقطة على سطح القطع الناقص لا يمر بالمركز، فمن الواضح أن النقاط P' على هذا العمود، والتي لها جميعًا نفس خط العرض الجيوديسي، سيكون لها خطوط عرض جيومركزية مختلفة. تُستخدم أنظمة الإحداثيات القطبية الكروية في تحليل مجال الجاذبية.

يمكن أيضًا توسيع نطاق خط العرض البارامتري ليشمل نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد. بالنسبة لنقطة P لا تقع على القطع الناقص المرجعي (نصفا المحورين OA و OB )، يتم إنشاء قطع ناقص مساعد متطابق البؤرة (نفس البؤرتين F و F′ ) مع القطع الناقص المرجعي: الشرط الضروري هو أن يكون حاصل ضرب نصف المحور الأكبر في اللامركزية ae متساويًا لكلا القطعين الناقصين. ليكن u نصف المحور الأصغر ( OD ) للقطع الناقص المساعد. ولتكن β خط العرض البارامتري للنقطة P على القطع الناقص المساعد. تُعرّف المجموعة ( u , β , λ ) الإحداثيات التوافقية الإهليلجية ^{[ 19 ]} أو ببساطة الإحداثيات الإهليلجية ^{[ 5 ] : §4.2.2} (مع العلم أن هذا المصطلح يُستخدم أيضًا للإشارة إلى الإحداثيات الجيوديسية). تُعدّ هذه الإحداثيات الخيار الأمثل في نماذج مجال الجاذبية لجسم إهليلجي دوّار. ينطبق ما سبق على الإهليلج ثنائي المحور (الكروي، كما في إحداثيات الإكروي المفلطح )؛ وللحصول على تعميم، انظر إحداثيات الإهليلج ثلاثي المحور .

لم تُعرض هنا العلاقات بين أنظمة الإحداثيات المذكورة أعلاه، وكذلك الإحداثيات الديكارتية. يمكن إيجاد التحويل بين الإحداثيات الجيوديسية والديكارتية في تحويل الإحداثيات الجغرافية . تُبيّن العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية الكروية في نظام الإحداثيات الكروية . وتُناقش العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات الإهليلجية في مرجع تورج. ^{[ 5 ]}