مساحة تيشمولر

في الرياضيات ، فضاء تيشمولر لسطح طوبولوجي (أو تفاضلي) (حقيقي) هو فضاء يحدد معلمات الهياكل المعقدة حتى عمل التماثلات المتماثلة للتماثلات المتماثلة . سُميت فضاءات تيشمولر على اسم أوزوالد تيشمولر . ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

يمكن اعتبار كل نقطة في فضاء تيشمولر فئة تماثلية من أسطح ريمان "المميزة" ، حيث أن "العلامة" هي فئة تماثلية من التماثلات من إلى نفسها. ويمكن اعتبارها فضاء معياري للبنية الزائدية المميزة على السطح، وهذا يمنحها طوبولوجيا طبيعية تكون فيها متماثلة مع كرة البعد لسطح من جنس . وبهذه الطريقة يمكن اعتبار فضاء تيشمولر كغطاء عالمي لمساحة معيارية ريمان . ${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

تتمتع مساحة تيشمولر ببنية معقدة متشعبة ووفرة من المقاييس الطبيعية . وتشكل دراسة السمات الهندسية لهذه الهياكل المختلفة مجموعة بحثية نشطة.

الفرع الفرعي من الرياضيات الذي يدرس فضاء تايشمولر يسمى نظرية تايشمولر .

تمت دراسة فضاءات المعاملات لأسطح ريمان والمجموعات الفوشيانية ذات الصلة منذ عمل برنهارد ريمان (1826-1866)، الذي عرف أن هناك حاجة إلى معلمات لوصف الاختلافات في الهياكل المعقدة على سطح جنس . كانت الدراسة المبكرة لمساحة تيشمولر، في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين ، هندسية ومؤسسة على تفسير أسطح ريمان على أنها أسطح زائدية. وكان من بين المساهمين الرئيسيين فيليكس كلاين وهنري بوانكاريه وبول كوبي وجاكوب نيلسن وروبرت فريك وفيرنر فينشيل . ${\displaystyle 6g-6}$${\displaystyle g\geq 2}$

كانت المساهمة الرئيسية لتيشمولر في دراسة المعاملات هي إدخال الخرائط شبه المطابقة للموضوع. فهي تسمح لنا بإضفاء مزيد من العمق على دراسة مساحات المعاملات من خلال منحها ميزات إضافية لم تكن موجودة في الأعمال السابقة الأكثر بدائية. بعد الحرب العالمية الثانية، تم تطوير الموضوع بشكل أكبر في هذا السياق التحليلي، ولا سيما من قبل لارس أهلفورس وليبمان بيرس . لا تزال النظرية نشطة، مع العديد من الدراسات حول البنية المعقدة لمساحة تيشمولر (التي قدمها بيرس).

تم إحياء الوريد الهندسي في دراسة فضاء تيشمولر بعد عمل ويليام ثورستون في أواخر السبعينيات، والذي قدم ضغطًا هندسيًا استخدمه في دراسته لمجموعة فئة رسم الخرائط لسطح ما. كما تم ربط أشياء أخرى أكثر تركيبية مرتبطة بهذه المجموعة (على وجه الخصوص مجمع المنحنى ) بفضاء تيشمولر، وهذا موضوع بحث نشط للغاية في نظرية المجموعة الهندسية .

ليكن سطحًا أملسًا قابلًا للتوجيه ( متعدد شعب قابل للاشتقاق من البعد 2). بشكل غير رسمي، فضاء تيشمولر هو فضاء هياكل سطح ريمان على حتى النظير . ${\displaystyle S}$${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

يمكن تعريفه رسميًا على النحو التالي. يقال إن بنيتين معقدتين متكافئتين إذا كان هناك تشابه تفاضلي بحيث: ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {الاختلاف} (S)}$

• إنه مجسم (التفاضل معقد خطي في كل نقطة، بالنسبة للهياكل عند المصدر وعند الهدف)؛${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• فهو نظير لهوية (هناك خريطة مستمرة بحيث ).${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \operatorname {الاختلاف} (S)}$${\displaystyle \gamma (0)=f,\gamma (1)=\mathrm {Id} }$

ومن ثم فإن مساحة فئات التكافؤ للهياكل المعقدة موجودة لهذه العلاقة. ${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle S}$

التعريف المكافئ الآخر هو كما يلي: هو مساحة الأزواج حيث هو سطح ريمان وشكل تفاضلي، ويعتبر الزوجان متكافئين إذا كانا نظيرين لشكل تفاضلي متماثل. يسمى مثل هذا الزوج سطح ريمان مميز ؛ والعلامة هي الشكل التفاضلي؛ تعريف آخر للعلامات هو من خلال أنظمة المنحنيات. ^[1]${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle (X,g)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:S\to X}$${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$${\displaystyle h\circ g^{-1}:X\to Y}$

هناك مثالان بسيطان يتم حسابهما على الفور من نظرية التوحيد : يوجد هيكل معقد فريد على الكرة (انظر كرة ريمان ) ويوجد هيكلان على (المستوى المركب وقرص الوحدة) وفي كل حالة تكون مجموعة التماثلات التفاضلية الإيجابية قابلة للانكماش . وبالتالي فإن فضاء تيشمولر هو نقطة واحدة ويحتوي فضاء تيشمولر على نقطتين بالضبط. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

من الأمثلة الأكثر تعقيدًا بعض الشيء الحلقة المفتوحة ، حيث تكون مساحة تيشمولر هي الفاصل (البنية المعقدة المرتبطة بها هي سطح ريمان ). ${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\lambda <|z|<\lambda ^{-1}\}}$

المثال التالي هو الطارة، وفي هذه الحالة يمكن تحقيق أي بنية معقدة بواسطة سطح ريمان من النموذج ( منحنى إهليلجي معقد ) لعدد مركب حيث ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\},}$

هو النصف العلوي المركب للمستوى. ثم لدينا تطابق: ^[2]

${\displaystyle \mathbb {H} \longrightarrow T(\mathbb {T} ^{2})}$

${\displaystyle \tau \longmapsto (\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} ),(x,y)\mapsto x+\tau y)}$

وبالتالي فإن مساحة تيشمولر هي${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} .}$

إذا حددنا هويتنا بالمستوى الإقليدي ، فيمكن أيضًا اعتبار كل نقطة في فضاء تيشمولر كبنية مسطحة مميزة على وبالتالي فإن فضاء تيشمولر يتطابق مع مجموعة الأزواج حيث هو سطح مستو و هو تماثل تفاضلي يصل إلى نظير على . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}.}$${\displaystyle (M,f)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:\mathbb {T} ^{2}\to M}$${\displaystyle f}$

هذه هي الأسطح التي غالبًا ما تُدرس لها مساحة تيشمولر، والتي تتضمن أسطحًا مغلقة. يكون السطح من النوع المحدود إذا كان متماثل الشكل لسطح مضغوط ناقص مجموعة محدودة. إذا كان سطحًا مغلقًا من جنس ، فإن السطح الناتج عن إزالة النقاط من يُشار إليه عادةً ومساحة تيشمولر الخاصة به بواسطة${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{g,k}}$${\displaystyle T_{g,k}.}$

كل سطح قابل للتوجيه من النوع المحدود بخلاف تلك المذكورة أعلاه يسمح بمقاييس ريمان الكاملة ذات الانحناء الثابت . بالنسبة لسطح معين من النوع المحدود، يوجد تطابق بين هذه المقاييس والهياكل المعقدة كما يلي من نظرية التوحيد . وبالتالي، إذا كان من الممكن تحقيق فضاء تيشمولر كمجموعة من الأسطح الزائدية المحددة للجنس مع القمم ، فإن هذه هي مجموعة الأزواج حيث هو سطح زائدي و هو تماثل تفاضلي، modulo علاقة التكافؤ حيث و يتم تحديدها إذا كانت نظيرية لتماثل القياس. ${\displaystyle -1}$${\displaystyle 2g-2+k>0}$${\displaystyle T_{g,k}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (M,f)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:S\to M}$${\displaystyle (M,f)}$${\displaystyle (N,g)}$${\displaystyle f\circ g^{-1}}$

في جميع الحالات المحسوبة أعلاه، هناك طوبولوجيا واضحة على فضاء تيشمولر. في الحالة العامة، هناك العديد من الطرق الطبيعية لتحديد الطوبولوجيا ، وربما تكون أبسطها عبر المقاييس الزائدية ووظائف الطول. ${\displaystyle T(S)}$

إذا كان منحنى مغلقًا على وسطح زائدي مميز، فإن المنحنى يكون متماثلًا مع خط جيوديسي مغلق فريد على (حتى تحديد المعلمة). تكون القيمة عند دالة الطول المرتبطة بـ (فئة التماثل) هي: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle S}$${\displaystyle x=(M,f)}$${\displaystyle f_{*}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ell _{\alpha }(x)=\operatorname {Length} (\alpha _{x}).}$

لتكن مجموعة المنحنيات المغلقة البسيطة على . ثم الخريطة ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle T(S)\to \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle x\mapsto \left(\ell _{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in {\mathcal {S}}}}$

هو تضمين. يحتوي الفضاء على طوبولوجيا المنتج وهو مزود بالطوبولوجيا المستحثة . مع هذه الطوبولوجيا تكون متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle T(S_{g,k})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6g-6+2k}.}$

في الواقع، يمكن للمرء الحصول على تضمين مع المنحنيات، ^[3] وحتى . ^[4] وفي كلتا الحالتين، يمكن للمرء استخدام التضمين لإعطاء دليل هندسي للتماثل أعلاه. ${\displaystyle 9g-9}$${\displaystyle 6g-5+2k}$

هناك مقياس زائدي كامل فريد من نوعه لحجم محدود على الكرة ذات الثلاث ثقوب ^[5] وبالتالي فإن فضاء تيشمولر للمقاييس الكاملة ذات الحجم المحدود للانحناء الثابت عبارة عن نقطة (يتبع هذا أيضًا صيغة البعد في الفقرة السابقة). ${\displaystyle T(S_{0,3})}$

يتم تحقيق فضاءات تيشمولر بشكل طبيعي في النصف العلوي من المستوى، كما يمكن رؤيته باستخدام إحداثيات فينشل-نيلسن. ${\displaystyle T(S_{0,4})}$${\displaystyle T(S_{1,1})}$

بدلاً من الهياكل المعقدة للمقاييس الزائدية، يمكن تعريف فضاء تيشمولر باستخدام الهياكل المطابقة . في الواقع، الهياكل المطابقة هي نفس الهياكل المعقدة في بعدين (حقيقيين). ^[6] علاوة على ذلك، فإن نظرية التوحيد تعني أيضًا أنه في كل فئة مطابقة للمقاييس الريمانية على سطح يوجد مقياس فريد من الانحناء الثابت.

هناك تفسير آخر لمساحة تيشمولر وهو أنها مساحة تمثيلية لمجموعات السطح. إذا كانت زائدية، من النوع المحدود وكانت المجموعة الأساسية لـ فإن مساحة تيشمولر تكون في تطابق طبيعي مع: ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(S)}$${\displaystyle S}$

• مجموعة التمثيلات الحقنية ذات الصورة المنفصلة، ​​حتى الاقتران بعنصر ، إذا كانت مضغوطة؛${\displaystyle \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle S}$
• بشكل عام، مجموعة هذه التمثيلات، مع الشرط الإضافي الذي ينص على أن العناصر التي يتم تمثيلها بواسطة منحنيات متجانسة بحرية مع ثقب يتم إرسالها إلى عناصر مكافئة لـ ، مرة أخرى حتى الاقتران بواسطة عنصر من .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

ترسل الخريطة بنية زائدية مميزة إلى التركيب حيث هي أحادية البنية الزائدية و هي التماثل الناتج عن . ${\displaystyle (M,f)}$${\displaystyle \rho \circ f_{*}}$${\displaystyle \rho :\pi _{1}(M)\to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f_{*}:\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M)}$${\displaystyle f}$

لاحظ أن هذا يتحقق كمجموعة فرعية مغلقة تمنحها طوبولوجيا. يمكن استخدام هذا لرؤية التماثل بشكل مباشر. ^[7]${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{2g+k-1}}$${\displaystyle T(S)\cong \mathbb {R} ^{6g-6+2k}}$

يتم تعميم هذا التفسير لمساحة تيشمولر من خلال نظرية تيشمولر العليا، حيث يتم استبدال المجموعة بمجموعة لي شبه بسيطة تعسفية . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

يمكن إجراء جميع التعريفات المذكورة أعلاه ضمن الفئة الطوبولوجية بدلاً من فئة المتشعبات القابلة للتفاضل، وهذا لا يغير الكائنات.

تسمح الأسطح التي ليست من النوع المحدود أيضًا بهياكل زائدية، والتي يمكن تحديد معلماتها بواسطة فضاءات ذات أبعاد لا نهائية (متماثلة مع ). مثال آخر للفضاء ذي الأبعاد اللانهائية المرتبط بنظرية تيشمولر هو فضاء تيشمولر للتصفيح بواسطة الأسطح. ^{[8] [9]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

توجد خريطة من فضاء تايشمولر إلى فضاء معاملات أسطح ريمان التفاضلية الشكل إلى ، محددة بواسطة . إنها خريطة تغطية، وبما أنها متصلة ببساطة فهي غطاء عالمي مدور لفضاء المعاملات. ${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,f)\mapsto X}$${\displaystyle T(S)}$

مجموعة فئة التعيين هي مجموعة المجموعة المشتركة لمجموعة التماثل التفاضلي من خلال المجموعة الفرعية الطبيعية لتلك التي تكون نظيرية للهوية (يمكن عمل نفس التعريف مع التماثلات بدلاً من التماثلات التفاضلية، وبالنسبة للأسطح، لا يغير هذا المجموعة الناتجة). تعمل مجموعة التماثلات التفاضلية بشكل طبيعي على فضاء تيشمولر من خلال ${\displaystyle S}$${\displaystyle MCG(S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle g\cdot (X,f)\mapsto (X,f\circ g^{-1}).}$

إذا كانت فئة تعيين واثنان من التماثلات التفاضلية تمثلها، فإنهما متماثلان. وبالتالي، فإن فئات و هي نفسها في فضاء تيشمولر، والفعل أعلاه يحلل من خلال مجموعة فئة التعيين. ${\displaystyle \gamma \in MCG(S)}$${\displaystyle g,h}$${\displaystyle (X,f\circ g^{-1})}$${\displaystyle (X,f\circ h^{-1})}$

إن عمل مجموعة فئة التعيين على فضاء تيشمولر غير متصل بشكل صحيح ، والحاصل هو فضاء المعاملات. ${\displaystyle MCG(S)}$

تتساءل مشكلة تحقيق نيلسن عما إذا كانت أي مجموعة فرعية محدودة من مجموعة فئة التعيين لها نقطة ثابتة عالمية (نقطة ثابتة بواسطة جميع عناصر المجموعة) في فضاء تيشمولر. وبعبارات أكثر كلاسيكية، فإن السؤال هو: هل يمكن تحقيق كل مجموعة فرعية محدودة من كمجموعة من التماثلات لبعض المقاييس الزائدة الكاملة على (أو على نحو مكافئ كمجموعة من التماثلات التفاضلية الشاملة لبعض الهياكل المعقدة). وقد حل ستيفن كيركهوف هذه المشكلة . ^[10]${\displaystyle MCG(S)}$${\displaystyle S}$

ترتبط إحداثيات فينشل-نيلسن (التي سميت بهذا الاسم نسبة إلى فيرنر فينشل وجاكوب نيلسن ) في فضاء تيشمولر بتحليل البنطلونات للسطح . هذا تحليل إلى أزواج من البنطلونات ، ويرتبط بكل منحنى في التحليل طوله في المقياس الزائدي المقابل للنقطة في فضاء تيشمولر، ومعلمة حقيقية أخرى تسمى الالتواء والتي تتطلب تعريفًا أكثر تعقيدًا. ^[11]${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

في حالة وجود سطح مغلق للجنس، توجد منحنيات في تحلل البنطلون ونحصل على معلمات، وهي البعد . تحدد إحداثيات فينشيل-نيلسن في الواقع التماثل الشكلي . ^[12]${\displaystyle g}$${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle 6g-6}$${\displaystyle T(S_{g})}$${\displaystyle T(S_{g})\to ]0,+\infty [^{3g-3}\times \mathbb {R} ^{3g-3}}$

في حالة السطح المثقوب، تكون بعض أزواج السراويل "متحللة" (لها نتوء) ولا تعطي سوى معاملين للطول والالتواء. مرة أخرى في هذه الحالة، تحدد إحداثيات Fenchel–Nielsen التماثل . ${\displaystyle T(S_{g,k})\to ]0,+\infty [^{3g-3+k}\times \mathbb {R} ^{3g-3+k}}$

إذا كان السطح يسمح بتثليثات مثالية (رؤوسها هي الثقوب بالضبط). وفقًا لصيغة خاصية أويلر ، فإن مثل هذه المثلثات لها مثلثات. يحدد الهيكل الزائدي على تفاضلًا (فريدًا حتى النظير) يرسل كل مثلث إلى مثلث مثالي زائدي ، وبالتالي نقطة في . معلمات مثل هذا الهيكل هي أطوال الترجمة لكل زوج من أضلاع المثلثات الملتصقة في التثليث. ^[13] هناك مثل هذه المعلمات التي يمكن أن يأخذ كل منها أي قيمة في ، ويتوافق اكتمال الهيكل مع معادلة خطية وبالتالي نحصل على البعد الصحيح . تسمى هذه الإحداثيات إحداثيات القص . ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle S=S_{g,k}}$${\displaystyle 4g-4+2k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\to M}$${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle 6g-6+3k}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 6g-6+2k}$

بالنسبة للأسطح المغلقة، يمكن تحليل زوج من البنطلونات على أنه اتحاد مثلثين مثاليين (يمكن اعتباره مقياسًا زائديًا غير مكتمل على الكرة ذات الفتحات الثلاث ^[14] ). وبالتالي نحصل أيضًا على إحداثيات القص على . ${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle T(S_{g})}$

المسار الزلزالي البسيط في فضاء تيشمولر هو مسار يتم تحديده من خلال تغيير إحداثيات القص أو الطول لفينشل-نيلسن (للمثلثات المثالية الثابتة لسطح ما). يأتي الاسم من رؤية المثلثات المثالية أو السراويل كصفائح تكتونية والقص كحركة صفيحة.

وبشكل عام، يمكن للمرء أن يقوم برصد الزلازل على طول طبقات جيوديسية . ثم تنص نظرية ثورستون على أن نقطتين في فضاء تيشمولر متصلتان بمسار زلزالي فريد.

إن التعيين شبه المطابق بين سطحين ريمان هو تماثل متماثل يشوه البنية المطابقة بطريقة محدودة على السطح. وبصورة أكثر دقة، يمكن التمييز بينه في كل مكان تقريبًا وهناك ثابت يسمى التمدد ، بحيث ${\displaystyle K\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {|f_{z}|+|f_{\bar {z}}|}{|f_{z}|-|f_{\bar {z}}|}}\leq K}$

أين المشتقات في الإحداثيات المطابقة ومرافقها ؟ ${\displaystyle f_{z},f_{\bar {z}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\bar {z}}}$

توجد تعيينات شبه مطابقة في كل فئة نظيرية، وبالتالي فإن التعريف البديل لمساحة تيشمولر هو كما يلي. ثبِّت سطح ريمان التفاضلي إلى ، وتكون مساحة تيشمولر في تطابق طبيعي مع الأسطح المحددة حيث تكون تعيينًا شبه مطابق، حتى نفس علاقة التكافؤ المذكورة أعلاه. ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (Y,g)}$${\displaystyle g:X\to Y}$

مع التعريف أعلاه، إذا كانت هناك خريطة طبيعية من فضاء تيشمولر إلى فضاء الحلول المتغيرة المتساوية لمعادلة بلترامي التفاضلية. ^[15] فإن هذه تؤدي، عبر المشتقة الشوارتزية، إلى تفاضلات تربيعية على . ^[16] فضاء تلك هو فضاء مركب ذو بعد مركب ، وصورة فضاء تيشمولر هي مجموعة مفتوحة. ^[17] تسمى هذه الخريطة تضمين بيرس. ${\displaystyle X=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 3g-3}$

يمكن تمثيل التفاضل التربيعي بواسطة سطح ترجمة مطابق لـ . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

تنص نظرية تيشمولر ^[18] على أنه بين سطحين ريمانين محددين و يوجد دائمًا رسم شبه مطابق فريد في فئة النظائر يكون له الحد الأدنى من التمدد. تسمى هذه الخريطة رسم تيشمولر. ${\displaystyle (X,g)}$${\displaystyle (Y,h)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle h\circ g^{-1}}$

في الصورة الهندسية يعني هذا أنه لكل سطحين ريمان تفاضليين و تفاضلية يوجد مضلعان يمثلان خريطة أفينية ترسل أحدهما إلى الآخر، والتي لها أصغر تمدد بين جميع الخرائط شبه المطابقة . ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X\to Y}$

إذا كان هناك تمدد في رسم تيخمولر بينهما، فإن مسافة تيخمولر بينهما تكون بحكم التعريف . وهذا يحدد بالفعل المسافة التي يحث عليها طوبولوجيته، والتي يكون مكتملًا من أجلها. هذا هو المقياس الأكثر استخدامًا لدراسة الهندسة المترية لمساحة تيخمولر. وهو مثير للاهتمام بشكل خاص لمنظري المجموعات الهندسية. ${\displaystyle x,y\in T(S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log K}$${\displaystyle T(S)}$

توجد دالة مُعرفة بشكل مشابه، باستخدام ثوابت ليبشيتز للخرائط بين الأسطح الزائدية بدلاً من التوسعات شبه المطابقة، على ، وهي ليست متماثلة. ^[19]${\displaystyle T(S)\times T(S)}$

يتم تحديد التفاضلات التربيعية على سطح ريمان باستخدام فضاء ظل التمام عند فضاء تيشمولر. ^[20] مقياس ويل-بيترسون هو مقياس ريماني يتم تحديده بواسطة الحاصل الداخلي على التفاضلات التربيعية. ${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle L^{2}}$

هناك العديد من عمليات الضغط غير المكافئة لمساحات تيشمولر التي تمت دراستها. تعتمد العديد من عمليات الضغط السابقة على اختيار نقطة في فضاء تيشمولر وبالتالي فهي ليست ثابتة تحت المجموعة المعيارية، وهو ما قد يكون غير ملائم. وجد ويليام ثورستون لاحقًا عملية ضغط بدون هذا العيب، والتي أصبحت عملية الضغط الأكثر استخدامًا.

من خلال النظر إلى الأطوال الزائدية للمنحنيات المغلقة البسيطة لكل نقطة في فضاء تيشمولر وأخذ الإغلاق في الفضاء الإسقاطي (غير المحدود الأبعاد)، قدم ثورستون (1988) ضغطًا تتوافق نقاطه عند اللانهاية مع الصفائح المقاسة الإسقاطية. الفضاء المضغوط متماثل الشكل مع الكرة المغلقة. يتم العمل على ضغط ثورستون هذا بشكل مستمر بواسطة المجموعة المعيارية. على وجه الخصوص، أي عنصر من عناصر المجموعة المعيارية له نقطة ثابتة في ضغط ثورستون، والذي استخدمه ثورستون في تصنيفه لعناصر المجموعة المعيارية .

يتم الحصول على ضغط بيرس من خلال أخذ إغلاق صورة تضمين بيرس لمساحة تيشمولر، التي درسها بيرس (1970). يعتمد تضمين بيرس على اختيار نقطة في مساحة تيشمولر، وبالتالي فهو ليس ثابتًا تحت المجموعة المعيارية، وفي الواقع لا تعمل المجموعة المعيارية بشكل مستمر على ضغط بيرس.

تتكون "النقاط عند اللانهاية" في ضغط تيشمولر من أشعة جيوديسية (بالنسبة لمقياس تيشمولر) تبدأ من نقطة أساسية ثابتة. يعتمد هذا الضغط على اختيار نقطة الأساس وبالتالي لا يتأثر بالمجموعة المعيارية، وفي الواقع أظهر كيركهوف أن تأثير المجموعة المعيارية على فضاء تيشمولر لا يمتد إلى تأثير مستمر على هذا الضغط.

اعتبر غاردينر وماسور (1991) ضغطًا مشابهًا لضغط ثورستون، ولكن باستخدام الطول المتطرف بدلاً من الطول الزائد. تعمل المجموعة المعيارية بشكل مستمر على هذا الضغط، لكنهما أظهرا أن ضغطهما يحتوي على نقاط أكثر دقة عند اللانهاية.

لقد أجريت دراسة موسعة للخصائص الهندسية لمساحة تيشمولر المزودة بمقياس تيشمولر. وتشمل الخصائص المعروفة على نطاق واسع ما يلي:

• تحتوي فضاءات تيشمولر على فضاءات فرعية مسطحة ذات أبعاد ، ولا توجد مساحات مسطحة مدمجة شبه متساوية الأبعاد ذات أبعاد أعلى. ^[21]${\displaystyle T(S_{g,k})}$${\displaystyle 3g-3+k}$
• وعلى وجه الخصوص، إذا أو أو عندئذٍ لا يكون قطع زائد .${\displaystyle g>1}$${\displaystyle g=1,k>1}$${\displaystyle g=0,k>4}$${\displaystyle T(S_{g,k})}$

من ناحية أخرى، يظهر فضاء تيشمولر العديد من الخصائص المميزة للمساحات الزائدية، مثل:

• تتصرف بعض الجيوديسيات كما تتصرف في الفضاء الزائدي. ^[22]
• تتقارب المسارات العشوائية على فضاء تيشمولر بشكل شبه مؤكد عند نقطة على حدود ثورستون. ^[23]

يمكن تفسير بعض هذه الميزات من خلال دراسة الخرائط من فضاء تيشمولر إلى مجمع المنحنى، والذي يُعرف بأنه زائدي.

يعطي تضمين Bers بنية معقدة كمجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3g-3}.}$

نظرًا لأن فضاء تيشمولر هو متعدد الشعب المعقد، فإنه يحمل مقياس كاراثودوري . فضاء تيشمولر هو زائدي كوباياشي ومقياس كوباياشي الخاص به يتطابق مع مقياس تيشمولر. ^[24] تُستخدم هذه النتيجة الأخيرة في إثبات رويدن أن مجموعة فئة التعيين هي المجموعة الكاملة من التماثلات لمقياس تيشمولر.

يحقق تضمين Bers مساحة Teichmüller كمجال للتماثل المجسم وبالتالي فهي تحمل أيضًا مقياس بيرجمان .

مقياس ويل-بيترسون هو مقياس كايلر ولكنه ليس كاملاً.

أظهر تشنغ وياو أن هناك مقياسًا كاملًا فريدًا لكاهلر-أينشتاين على فضاء تيشمولر. ^[25] وله انحناء قياسي سلبي ثابت.

تحمل مساحة تيشمولر أيضًا مقياس كاهلر الكامل للانحناء المقطعي المحدود الذي قدمه ماكمولين (2000) وهو كاهلر زائدي.

باستثناء مقياس ويل-بيترسون غير المكتمل، فإن جميع المقاييس على فضاء تيشمولر المقدمة هنا متماثلة القياس تقريبًا مع بعضها البعض. ^[26]

• معاملات المنحنيات الجبرية
• نظرية تايشمولر p-adic
• نظرية تايشمولر بين الكون
• نموذج تيشمولر النموذجي

• أهلفورس، لارس ف. (2006). محاضرات حول التعيينات شبه المطابقة. الطبعة الثانية. مع فصول تكميلية بقلم سي جيه إيرل، آي كرا، إم شيشيكورا وجيه إتش هابارد . الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص. 8+162. رقم ISBN 978-0-8218-3644-6.
• بيرس، ليبمان (1970)، "حول حدود فضاءات تيشمولر ومجموعات كلاين. المجلد الأول"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 91 (3): 570-600، doi :10.2307/1970638، JSTOR  1970638، MR  0297992
• فتحي، ألبرت ؛ لودنباخ، فرانسوا؛ بوينارو، فالنتين (2012). عمل ثورستون على الأسطح . مطبعة جامعة برينستون. ص. xvi+254. ISBN 978-0-691-14735-2. السيد  3053012.
• جاردينر، فريدريك ب.؛ ماسور، هوارد (1991)، "هندسة الطول المتطرف لمساحة تيشمولر"، نظرية المتغيرات المعقدة التطبيقية ، 16 (2-3): 209-237، doi :10.1080/17476939108814480، MR  1099913
• إيمايوشي، يويتشي؛ تانيغوتشي، ماساهيكو (1992). مقدمة إلى فضاءات تيشمولر . سبرينغر. ص. xiv+279. ISBN 978-4-431-70088-3.
• كيركهوف، ستيفن ب. (1983). "مشكلة تحقيق نيلسن". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 117 (2): 235-265. CiteSeerX  10.1.1.353.3593 . doi :10.2307/2007076. JSTOR  2007076. MR  0690845.
• McMullen, Curtis T. (2000)، "مساحة معاملات أسطح ريمان هي مساحة زائدية حسب كايلر"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 151 (1): 327–357، arXiv : math/0010022 ، doi :10.2307/121120، JSTOR  121120، MR  1745010، S2CID  8032847
• راتكليف، جون (2006). أسس المتشعبات الزائدية، الطبعة الثانية . سبرينغر. ص. 12+779. ISBN 978-0387-33197-3.
• ثورستون، ويليام ب. (1988)، "حول هندسة وديناميكيات الأشكال التفاضلية للأسطح"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 19 (2): 417-431، doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15685-6 ، MR  0956596

• بيرس، ليبمان (1981)، "فضاءات تيشمولر ذات الأبعاد المحدودة والتعميمات"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 5 (2): 131-172، doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14933-8 ، MR  0621883
• جاردينر، فريدريك ب. (1987)، نظرية تيشمولر والتفاضلات التربيعية، الرياضيات البحتة والتطبيقية (نيويورك)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-84539-3السيد 0903027 ​
• هوبارد، جون هامال (2006)، نظرية تيشمولر وتطبيقاتها على الهندسة والطوبولوجيا والديناميكيات. المجلد 1، إصدارات ماتريكس، إيثاكا، نيويورك، رقم ISBN 978-0-9715766-2-9السيد 2245223 ​
• بابادوبولوس، أثاناسي، محرر (2007-2016)، دليل نظرية تيشمولر. المجلد الرابع (PDF) ، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، المجلد 11، 13، 17، 19، 26، الجمعية الأوروبية للرياضيات (EMS)، زيورخ، doi :10.4171/029، ISBN 978-3-03719-029-6، السيد  2284826، S2CID  9203341يحتوي المجلد الأخير على ترجمات للعديد من أوراق تيشمولر.
• Teichmüller، Oswald (1939)، “Extremal quasikonforme Abbildungen und Quadratische Differentiale”، Abh. بريوس. أكاد. ويس. الرياضيات-نات. كوالالمبور. ، 1939 (22): 197، جي إف إم  66.1252.01، إم آر  0003242
• تيشمولر، أوزوالد (1982)، أهلفورس، لارس V.؛ Gehring، Frederick W. (eds.)، Gesammelte Abhandlungen، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-10899-3السيد 0649778 ​
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]، "مساحة Teichmüller"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press