استخدامات علم المثلثات

من عام 1802 حتى عام 1871، كان مشروع المسح المثلثي العظيم يهدف إلى مسح شبه القارة الهندية بدقة عالية. انطلاقًا من خط الأساس الساحلي، قام علماء الرياضيات والجغرافيا بتحديد المسافات الشاسعة عبر البلاد باستخدام التثليث. ومن أهم إنجازاته قياس ارتفاع جبال الهيمالايا، وتحديد أن جبل إيفرست هو أعلى قمة على سطح الأرض. ^{[ 2 ]}

خلال السنوات الخمس والعشرين التي سبقت اختراع اللوغاريتم عام 1614، كانت طريقة التقريب السريع هي الطريقة الوحيدة المعروفة والقابلة للتطبيق بشكل عام لتقريب حاصل الضرب بسرعة. ^{[ 3 ]} وقد اعتمدت هذه الطريقة على متطابقات الدوال المثلثية لمجموع وفروق الزوايا بدلالة حاصل ضرب الدوال المثلثية لتلك الزوايا. ^{[ 4 ]}

تستخدم العديد من المجالات علم المثلثات بطرق متقدمة يصعب حصرها في مقال واحد. وغالبًا ما تتضمن هذه الطرق ما يُعرف بمتسلسلة فورييه ، نسبةً إلى عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي جوزيف فورييه ، الذي عاش في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر . تتمتع متسلسلات فورييه بتطبيقات متنوعة بشكلٍ لافت في العديد من المجالات العلمية، ولا سيما في جميع الظواهر المتعلقة بالدورات الموسمية المذكورة آنفًا، وفي حركة الموجات، وبالتالي في دراسة الإشعاع، وعلم الصوتيات، وعلم الزلازل، وتعديل الموجات الراديوية في الإلكترونيات، وهندسة الطاقة الكهربائية. ^{[ 8 ]}

متسلسلة فورييه هي سلسلة دوال (مجموع لانهائي من الدوال) على الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+a_{1}\cos(\theta )+b_{1}\sin(\theta )+a_{2}\cos(2\theta )+b_{2}\sin(2\theta )+a_{3}\cos(3\theta )+b_{3}\cos(3\theta )\dotsb \\&\qquad =a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos(n\theta )+b_{n}\sin(n\theta ){\big )},\end{aligned}}}$

بمعاملات ذات قيم حقيقية أو مركبة${\displaystyle a_{n}}$و​​${\displaystyle b_{n}}$عندما تتقارب المتسلسلة ، فإنها تمثل دالة دورية لـ${\displaystyle \theta }$. استخدم فورييه هذه لدراسةتدفق الحرارة وانتشارها .

تُطبَّق متسلسلات فورييه أيضًا على مواضيع لا ترتبط بحركة الموجات بشكلٍ واضح. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك الضغط الرقمي ، حيث تُضغط الصور والبيانات الصوتية والمرئية إلى حجم أصغر بكثير ، مما يُسهِّل نقلها عبر شبكات الهاتف والإنترنت والبث . ومثال آخر، ذُكر سابقًا، هو الانتشار. ومن بين الأمثلة الأخرى: هندسة الأعداد ، ومسائل المحيط المتساوي ، وتكرار المسارات العشوائية ، والتبادلية التربيعية ، ونظرية النهاية المركزية ، ومتباينة هايزنبرغ .

يُعدّ مفهوم تحويل فورييه أكثر تجريدًا من مفهوم متسلسلة فورييه . تتضمن تحويلات فورييه التكاملات بدلًا من المجاميع، وتُستخدم في مجموعة متنوعة من المجالات العلمية. ^{[ 9 ]} تُعبّر العديد من القوانين الطبيعية عن طريق ربط معدلات تغير الكميات بالكميات نفسها. على سبيل المثال: يتناسب معدل تغير عدد السكان أحيانًا تناسبًا طرديًا مع (1) عدد السكان الحالي و(2) مقدار النقص في عدد السكان الحالي عن القدرة الاستيعابية . يُطلق على هذا النوع من العلاقات اسم المعادلة التفاضلية . إذا حاولنا، بناءً على هذه المعلومات، التعبير عن عدد السكان كدالة للزمن، فإننا نحاول حل المعادلة التفاضلية. يمكن استخدام تحويلات فورييه لتحويل بعض المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية معروفة طرق حلها. ^{[ 10 ]} في أي سياق علمي تقريبًا تُصادف فيه كلمات مثل الطيف أو التوافقي أو الرنين ، تكون تحويلات فورييه أو متسلسلة فورييه حاضرة.

يُعتقد أحيانًا أن معدلات الذكاء تتوزع وفقًا لمنحنى الجرس . ^{[ 11 ]} يقع حوالي 40% من المساحة تحت المنحنى في الفترة من 100 إلى 120؛ وبالمثل، يحصل حوالي 40% من السكان على درجات بين 100 و120 في اختبارات الذكاء. ويقع ما يقرب من 9% من المساحة تحت المنحنى في الفترة من 120 إلى 140؛ وبالمثل، يحصل حوالي 9% من السكان على درجات بين 120 و140 في اختبارات الذكاء، وهكذا. وبالمثل، تتوزع العديد من الأشياء الأخرى وفقًا لمنحنى الجرس، بما في ذلك أخطاء القياس في العديد من القياسات الفيزيائية. ويتعلق السبب النظري لانتشار منحنى الجرس بتحويلات فورييه، وبالتالي الدوال المثلثية . وهذا أحد التطبيقات المتنوعة لتحويلات فورييه في الإحصاء .

تُستخدم الدوال المثلثية أيضًا عندما يدرس الإحصائيون الدورات الموسمية، والتي غالبًا ما يتم تمثيلها بواسطة متسلسلات فورييه.

ثمة تلميح إلى وجود صلة بين علم المثلثات ونظرية الأعداد. وبشكل عام، يمكن القول إن نظرية الأعداد تتعامل مع الخصائص النوعية للأعداد بدلاً من خصائصها الكمية.

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

تخلص من الأوراق المالية التي ليست في أبسط صورة؛ واحتفظ فقط بالأوراق المالية التي في أبسط صورة:

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

ثم أدخل علم المثلثات:

${\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right)}$

قيمة المجموع هي -1، لأن العدد 42 له عدد فردي من العوامل الأولية، ولا يوجد أي منها مكرر: 42 = 2 × 3 × 7. (لو كان عدد العوامل غير المكررة زوجيًا ، لكان المجموع 1؛ ولو كان هناك أي عوامل أولية مكررة (مثلًا، 60 = 2 × 2 × 3 × 5)، لكان المجموع 0؛ المجموع هو دالة موبيوس عند العدد 42). يشير هذا إلى فوائد تطبيق تحليل فورييه على نظرية الأعداد.

يمكن حل أنواع مختلفة من المعادلات باستخدام علم المثلثات؛ على سبيل المثال، معادلة الفرق الخطي أو المعادلة التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة لها حلول معبر عنها بدلالة القيم الذاتية لمعادلتها المميزة؛ إذا كانت بعض القيم الذاتية مركبة ، فيمكن استبدال الحدود المركبة بدوال مثلثية ذات حدود حقيقية، مما يدل على أن المتغير الديناميكي يُظهر تذبذبات .

وبالمثل، فإن المعادلات التكعيبية ذات الحلول الحقيقية الثلاثة لها حل جبري غير مفيد لأنه يحتوي على جذور تكعيبية للأعداد المركبة؛ ومرة ​​أخرى يوجد حل بديل من حيث الدوال المثلثية للحدود الحقيقية.