الجمع الفيثاغوري

المسافة الإقليدية بين نقطتين في المستوى الإقليدي ، معطاة بإحداثياتهما الديكارتية${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$و${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$، هو ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x_{1}-x_{2})\oplus (y_{1}-y_{2}).}$$وبالمثل، المسافة بين النقاط ثلاثية الأبعاد${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$و${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$يمكن إيجادها عن طريق الجمع المتكرر لنظرية فيثاغورس كما هو ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x_{1}-x_{2})\oplus (y_{1}-y_{2})\oplus (z_{1}-z_{2}).}$$

يمكن استخدام الجمع الفيثاغورسي لإيجاد طول القطر الداخلي للمستطيل أو متوازي المستطيلات . بالنسبة للمستطيل ذي الأضلاع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، طول القطر هو${\displaystyle a\oplus b}$[ ^{12 ] [ 13 ] بالنسبة} لمتوازي مستطيلات بأطوال أضلاع${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$طول قطر الجسم هو${\displaystyle a\oplus b\oplus c}$[ ^{13 ]​}

تُستخدم عملية الجمع الفيثاغورية (وتنفيذها كدالة hypot) غالبًا مع atan2الدالة (وهي صيغة ذات معلَمَين لدالة الظل العكسي ) للتحويل من الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle (x,y)}$إلى الإحداثيات القطبية${\displaystyle (r,\theta )}$: ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=x\oplus y={\mathsf {hypot}}(x,y)\\\theta &={\mathsf {atan2}}(y,x).\\\end{aligned}}}$$

الجذر التربيعي المتوسط ​​أو المتوسط ​​التربيعي لمجموعة منتهية من${\displaystyle n}$الأرقام هي${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$مضروبة في مجموعها الفيثاغورسي. هذا هو المتوسط ​​العام للأعداد. ^{[ 16 ]}

الانحراف المعياري لمجموعة من المشاهدات هو المتوسط ​​التربيعي لانحرافاتها الفردية عن المتوسط. عند جمع متغيرين عشوائيين مستقلين أو أكثر، يكون الانحراف المعياري لمجموعهما هو مجموع فيثاغورس لانحرافاتهما المعيارية. ^{[ 16 ]} وبالتالي، يمكن تفسير مجموع فيثاغورس نفسه على أنه يمثل مقدار التشويش الكلي عند دمج مصادر التشويش المستقلة. ^{[ 17 ]}

إذا تم التعامل مع التفاوتات الهندسية لأجزاء مختلفة من مجموعة ما على أنها ضوضاء مستقلة، فيمكن دمجها باستخدام مجموع فيثاغورس. ^{[ 18 ]} في العلوم التجريبية مثل الفيزياء ، يُستخدم الجمع التربيعي غالبًا لدمج مصادر عدم اليقين المختلفة في القياس . ^{[ 19 ]} ومع ذلك، فإن طريقة نشر عدم اليقين هذه لا تنطبق إلا عندما لا يكون هناك ارتباط بين مصادر عدم اليقين، ^{[ 20 ]} وقد وُجهت إليها انتقادات لخلطها بين الضوضاء التجريبية والأخطاء المنهجية . ^{[ 21 ]}

يمكن التعبير عن علاقة الطاقة والزخم في الفيزياء ، التي تصف طاقة الجسيم المتحرك، على أنها مجموع فيثاغورس$${\displaystyle E=mc^{2}\oplus pc,}$$ أين${\displaystyle m}$هي كتلة السكون للجسيم،${\displaystyle p}$زخمها ،​${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ، و${\displaystyle E}$هي الطاقة النسبية الناتجة عن الجسيم . ^{[ 22 ]}

عند دمج الإشارات، قد يكون من المفيد تصميم إشارات متعامدة في الاستقطاب أو الطور ، بحيث تُجمع بشكل تربيعي. ^{[ 23 ] [ 24 ]} في بدايات هندسة الراديو ، استُخدمت هذه الفكرة لتصميم هوائيات موجهة ، مما يسمح باستقبال الإشارات مع إلغاء التداخل من الإشارات القادمة من اتجاهات أخرى. ^{[ 23 ]} عند تطبيق التقنية نفسها في البرمجيات للحصول على إشارة موجهة من مصفوفة طورية راديوية أو فوق صوتية ، يمكن استخدام الجمع الفيثاغورسي لدمج الإشارات. ^{[ 25 ]} تشمل التطبيقات الحديثة الأخرى لهذه الفكرة تحسين كفاءة تحويل تردد الليزر . ^{[ 24 ]}

في علم النفس الفيزيائي للإدراك اللمسي ، تم اقتراح الجمع الفيثاغورسي كنموذج لشدة الاهتزاز المدركة عند دمج نوعين من الاهتزاز. ^{[ 26 ]}

في معالجة الصور ، تتكون عملية سوبل للكشف عن الحواف من خطوة التفاف لتحديد تدرج الصورة متبوعة بمجموع فيثاغورس عند كل بكسل لتحديد مقدار التدرج. ^{[ 27 ]}

تكمن صعوبة التنفيذ البسيط في أن${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$قد يحدث تجاوز أو نقص في القيمة، ما لم يتم حساب النتيجة الوسيطة بدقة موسعة . وتتمثل إحدى تقنيات التنفيذ الشائعة في تبديل القيم، إذا لزم الأمر، بحيث${\displaystyle |x|\geq |y|}$ثم استخدام الصيغة المكافئة $${\displaystyle r=|x|{\sqrt {1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}.}$$

حساب${\displaystyle y/x}$لا يمكن أن يفيض إلا إذا كان كلاهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تساوي صفرًا. إذا${\displaystyle y/x}$في حالة التدفقات السفلية، تكون النتيجة النهائية مساوية لـ${\displaystyle |x|}$وهذا صحيح ضمن دقة الحساب. يتم حساب الجذر التربيعي لقيمة بين 1 و2. وأخيرًا، يتم الضرب في${\displaystyle |x|}$لا يمكن أن يحدث تجاوز للحدود الدنيا، ولا يحدث تجاوز للحدود العليا إلا عندما تكون النتيجة كبيرة جدًا بحيث لا يمكن تمثيلها. ^{[ 31 ]}

من عيوب هذا الترتيب الجديد القسمة الإضافية بواسطة${\displaystyle x}$مما يزيد من وقت الحساب ودقته. تتجنب التطبيقات الأكثر تعقيدًا هذه التكاليف بتقسيم المدخلات إلى حالات أكثر:

• متى${\displaystyle x}$أكبر بكثير من${\displaystyle y}$،${\displaystyle x\oplus y\approx |x|}$، ضمن دقة الآلة . ^{[ 31 ]}
• متى${\displaystyle x^{2}}$في حالة حدوث تجاوزات، اضرب كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$باستخدام عامل قياس صغير (على سبيل المثال 2 ^{- 64} للدقة الفردية IEEE)، استخدم الخوارزمية البسيطة التي لن تتجاوز الآن الحد الأقصى، واضرب النتيجة في المعكوس (الكبير) (على سبيل المثال 2 ⁶⁴ ).
• متى${\displaystyle y^{2}}$في حالة التدفقات السفلية، يتم تغيير الحجم كما هو مذكور أعلاه ولكن يتم عكس عوامل تغيير الحجم لزيادة القيم الوسيطة.
• بخلاف ذلك، فإن الخوارزمية البسيطة آمنة للاستخدام.

تتيح تقنيات إضافية حساب النتيجة بدقة أكبر من الخوارزمية البسيطة، على سبيل المثال بدقة أقل من 1 ulp . ^{[ 31 ]} كما طور الباحثون خوارزميات مماثلة لحساب مجاميع فيثاغورس لأكثر من قيمتين. ^{[ 33 ]}

خوارزمية ألفا ماكس بلس بيتا مين هي تقريب عالي السرعة لعملية جمع فيثاغورس باستخدام المقارنة والضرب والجمع فقط، وتنتج قيمة خطأها أقل من 4% من النتيجة الصحيحة. ويتم حسابها كالتالي:$${\displaystyle x\oplus y\approx \alpha \cdot \max(|x|,|y|)+\beta \cdot \min(|x|,|y|)}$$ لاختيار دقيق للمعايير${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$[ ^{34 ]​}

تُستخدم دالة الجمع الفيثاغورية hypotفي العديد من لغات البرمجة ومكتباتها، ومنها: CSS ^{[ 35 ]} ، وD ^{[ 36 ]} ، وFortran ^{[ 37 ]} ، و Go ^{[ 38 ]،} وJavaScript (منذ ES2015) ^{[ 11 ]} ، وJulia ^{[ 39} ] ، وMATLAB ^{[ 40 ]} ، و PHP ^{[ 41 ]} ، و Python ^{[ 42 ]} . وتتضمن C++11 إصدارًا ثنائي الوسائط من هذه الدالة hypot، وإصدارًا ثلاثي الوسائط من دالة الجمع الفيثاغورية ^.${\displaystyle x\oplus y\oplus z}$تم تضمينها منذ C++17 . ^{[ 43 ]} يمكن استخدام تطبيق Java الخاص بها [44] بواسطة لغات JVM المتوافقة معها، بما في ذلك Apache Groovy و hypot^{Clojure و Kotlin} و Scala . [ 45 ] وبالمثل ، ^{فإن الإصدار المضمن} مع hypotRuby يمتد إلى لغات المجال الخاصة المبنية على Ruby مثل Progress Chef . ^{[ 46 ]} في Rust ، hypotيتم تنفيذها كطريقة لكائنات الفاصلة العائمة بدلاً من دالة ذات وسيطين. ^{[ 47 ]}

تتضمن مكتبة Metafont عمليتي الجمع والطرح الفيثاغوريتين كعمليات مدمجة، تحت الرمزين ++و +-+على التوالي. وتحسب عملية الطرح فيها

${\displaystyle \displaystyle a\ominus b={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$[ ^{2 ]​}