ديناميكيات طيران الطائرات

قد يكون القسم التمهيدي في هذه المقالة قصيرًا جدًا بحيث لا يمكن تلخيص النقاط الرئيسية بشكل كافٍ . يرجى التفكير في توسيع القسم التمهيدي لتوفير نظرة عامة سهلة الوصول لجميع الجوانب المهمة للمقالة. ( يوليو 2018 )

ديناميكيات الطيران هي علم توجيه المركبات الجوية والتحكم فيها في ثلاثة أبعاد. المعلمات الديناميكية للطيران الثلاثة الحرجة هي زوايا الدوران في ثلاثة أبعاد حول مركز ثقل المركبة (cg)، والمعروفة باسم الميل والانقلاب والانحراف . تُعرف هذه مجتمعة باسم موقف الطائرة ، وغالبًا ما تكون في الأساس نسبة إلى الإطار الجوي في الطيران العادي، ولكن أيضًا نسبة إلى التضاريس أثناء الإقلاع أو الهبوط، أو عند التشغيل على ارتفاع منخفض. مفهوم الموقف ليس خاصًا بالطائرات ذات الأجنحة الثابتة، ولكنه يمتد أيضًا إلى الطائرات الدوارة مثل المروحيات والمناطيد ، حيث تكون ديناميكيات الطيران المشاركة في تحديد الموقف والتحكم فيه مختلفة تمامًا.

تضبط أنظمة التحكم اتجاه المركبة حول مركز ثقلها. ويتضمن نظام التحكم أسطح تحكم تولد عند انحرافها عزمًا (أو زوجًا من الجنيحات) حول مركز ثقلها، مما يؤدي إلى تدوير الطائرة في الميلان والانقلاب والانحراف. على سبيل المثال، يأتي عزم الانحدار من قوة تُطبق على مسافة أمام أو خلف مركز ثقلها، مما يتسبب في انحدار الطائرة لأعلى أو لأسفل.

تزيد أو تقلل الطائرة ذات الأجنحة الثابتة الرفع الناتج عن الأجنحة عندما تميل بأنفها لأعلى أو لأسفل عن طريق زيادة أو تقليل زاوية الهجوم (AOA). تُعرف زاوية التدحرج أيضًا بزاوية الميل في الطائرة ذات الأجنحة الثابتة، والتي عادةً ما "تميل" لتغيير الاتجاه الأفقي للطيران. يتم تبسيط الطائرة من الأنف إلى الذيل لتقليل السحب مما يجعل من المفيد الحفاظ على زاوية الانزلاق الجانبي بالقرب من الصفر، على الرغم من أنه قد يتم "انزلاق الطائرة جانبيًا" عمدًا لزيادة السحب ومعدل الهبوط أثناء الهبوط، للحفاظ على اتجاه الطائرة كما هو اتجاه المدرج أثناء الهبوط مع الرياح المتقاطعة وأثناء الطيران بقوة غير متماثلة. ^[1]

يشير التدحرج والانحدار والانحراف إلى دورات حول المحاور المعنية بدءًا من حالة توازن طيران ثابتة محددة . تُعرف زاوية التدحرج المتوازنة بمستوى الأجنحة أو زاوية الميلان الصفري.

تُعرِّف أكثر الأعراف الجوية شيوعًا التدحرج بأنه يعمل حول المحور الطولي، موجبًا مع الجناح الأيمن (الأيمن) لأسفل. يكون الانحراف حول المحور الرأسي للجسم، موجبًا مع الأنف إلى اليمين. يكون الميل حول محور عمودي على المستوى الطولي للتناظر، موجبًا مع الأنف لأعلى. ^[2]

تُستخدم ثلاثة أنظمة إحداثيات ديكارتية يمينية بشكل متكرر في ديناميكيات الطيران. نظام الإحداثيات الأول له أصل ثابت في الإطار المرجعي للأرض:

• إطار الأرض
  • الأصل - تعسفي، ثابت بالنسبة لسطح الأرض
  • المحور X _E - موجب في اتجاه الشمال
  • المحور y _E - موجب في اتجاه الشرق
  • المحور z _E - موجب تجاه مركز الأرض

في العديد من تطبيقات ديناميكيات الطيران، يُفترض أن يكون إطار الأرض بالقصور الذاتي مع مستوى مسطح x _E و y _E ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا اعتبار إطار الأرض نظام إحداثيات كروي مع أصل في مركز الأرض.

الإطاران المرجعيان الآخران ثابتان على الجسم، حيث تتحرك الأصول مع الطائرة، وعادة ما تكون في مركز الجاذبية. بالنسبة للطائرة المتماثلة من اليمين إلى اليسار، يمكن تعريف الإطارات على النحو التالي:

• هيكل الجسم
  • الأصل - مركز ثقل الطائرة
  • المحور x- _b - موجب خارج أنف الطائرة في مستوى تماثل الطائرة
  • المحور z _b - عمودي على المحور x _b ، في مستوى تماثل الطائرة، موجب أسفل الطائرة
  • المحور y _b - عمودي على المستوى x _b ، المستوى z _b - موجب يتم تحديده بواسطة قاعدة اليد اليمنى (عمومًا، موجب خارج الجناح الأيمن)
• إطار الرياح
  • الأصل - مركز ثقل الطائرة
  • المحور x- _w - موجب في اتجاه متجه سرعة الطائرة بالنسبة للهواء
  • المحور z _-w - عمودي على المحور x- _w ، في مستوى تماثل الطائرة، موجب أسفل الطائرة
  • المحور y _w - عمودي على المستوى x _w ، المحور z _w - موجب يتم تحديده بواسطة قاعدة اليد اليمنى (عمومًا، موجب إلى اليمين)

تحتوي الطائرات غير المتماثلة على إطارات ثابتة متماثلة للجسم، ولكن يجب استخدام اتفاقيات مختلفة لاختيار الاتجاهات الدقيقة للمحورين x و z .

إطار الأرض هو إطار ملائم للتعبير عن حركية الطائرة الانتقالية والدورانية. إطار الأرض مفيد أيضًا لأنه، وفقًا لافتراضات معينة، يمكن تقريبه بالقصور الذاتي. بالإضافة إلى ذلك، يتم تثبيت قوة واحدة تؤثر على الطائرة، وهي الوزن، في اتجاه + z _E.

غالبًا ما يكون إطار الجسم محل اهتمام لأن الأصل والمحاور تظل ثابتة بالنسبة للطائرة. وهذا يعني أن التوجه النسبي للأرض وإطارات الجسم يصف موقف الطائرة. أيضًا، يكون اتجاه قوة الدفع ثابتًا بشكل عام في إطار الجسم، على الرغم من أن بعض الطائرات يمكنها تغيير هذا الاتجاه، على سبيل المثال عن طريق توجيه الدفع .

إطار الرياح هو إطار ملائم للتعبير عن القوى والعزمات الديناميكية الهوائية المؤثرة على الطائرة. وعلى وجه الخصوص، يمكن تقسيم القوة الديناميكية الهوائية الصافية إلى مكونات على _طول محاور إطار الرياح، مع قوة السحب في اتجاه −xw وقوة الرفع في اتجاه _−zw .

بالإضافة إلى تحديد إطارات المرجع، يمكن تحديد الاتجاه النسبي لإطارات المرجع. ويمكن التعبير عن الاتجاه النسبي في مجموعة متنوعة من الأشكال، بما في ذلك:

• مصفوفات الدوران
• اتجاه جيب التمام
• زوايا أويلر
• رباعيات

تعتبر زوايا أويلر المختلفة التي تربط بين إطارات المرجع الثلاثة مهمة لديناميكيات الطيران. توجد العديد من اتفاقيات زوايا أويلر، ولكن جميع تسلسلات الدوران المعروضة أدناه تستخدم اتفاقية zy'-x" . تتوافق هذه الاتفاقية مع نوع من زوايا تايت-برايان ، والتي يشار إليها عادةً بزوايا أويلر. يتم وصف هذه الاتفاقية بالتفصيل أدناه لزوايا أويلر للتدحرج والانحدار والانحراف التي تصف اتجاه إطار الجسم بالنسبة لإطار الأرض. يتم وصف المجموعات الأخرى من زوايا أويلر أدناه بالقياس.

• أولاً ، قم بتدوير محاور إطار الأرض x _E و y _E حول المحور z _E بزاوية الانحراف ψ . وينتج عن هذا إطار مرجعي وسيط مع محاور تُرمز لها x ' ,y ' ,z ' ، حيث z'=z _E.
• ثانيًا، قم بتدوير المحورين x ' و z ' حول المحور y ' بزاوية الميل θ . وينتج عن هذا إطار مرجعي وسيط آخر مع محاور يشار إليها بـ x",y" , z" ، حيث y"=y ' .
• أخيرًا، قم بتدوير المحورين y" و z" حول المحور x" بزاوية التدحرج φ . الإطار المرجعي الناتج بعد الدورات الثلاث هو إطار الجسم.

بناءً على اتفاقيات الدورات والمحاور المذكورة أعلاه:

• زاوية الانحراف ψ: الزاوية بين الشمال وإسقاط المحور الطولي للطائرة على المستوى الأفقي؛
• زاوية الميل θ: الزاوية بين المحور الطولي للطائرة والأفقي؛
• زاوية التدحرج φ: الدوران حول المحور الطولي للطائرة بعد الدوران بالانحراف والميل.

• زاوية الاتجاه σ: الزاوية بين الشمال والمكون الأفقي لمتجه السرعة، والتي تصف الاتجاه الذي تتحرك فيه الطائرة بالنسبة للاتجاهات الأساسية.
• زاوية مسار الطيران γ: هي الزاوية بين الأفقي ومتجه السرعة، والتي تصف ما إذا كانت الطائرة تصعد أم تهبط.
• زاوية الميل μ: تمثل دوران قوة الرفع حول متجه السرعة، مما قد يشير إلى ما إذا كانت الطائرة تدور أم لا .

عند إجراء الدورات الموصوفة أعلاه للحصول على إطار الجسم من إطار الأرض، يوجد هذا التشابه بين الزوايا:

• σ, ψ (الاتجاه مقابل الانحراف)
• γ, θ (مسار الطيران مقابل درجة الصوت)
• μ, φ (البنك مقابل اللفة)

• زاوية الانزلاق الجانبي β: الزاوية بين متجه السرعة وإسقاط المحور الطولي للطائرة على المستوى x _w ، y _w ، والتي تصف ما إذا كان هناك مكون جانبي لسرعة الطائرة

• زاوية الهجوم α : الزاوية بين المستويين x _و y ومحور الطائرة _الطولي ، ومن بين أمور أخرى، تعد متغيرًا مهمًا في تحديد حجم قوة الرفع

عند إجراء الدورات الموصوفة سابقًا للحصول على إطار الجسم من إطار الأرض، يوجد هذا التشابه بين الزوايا:

• β, ψ (الانزلاق الجانبي مقابل الانحراف)
• α ، θ (الهجوم مقابل الملعب)
• (φ = 0) (لا شيء مقابل التدحرج)

بين الأطر المرجعية الثلاثة هناك هذه القياسات:

• الانحراف / الاتجاه / الانزلاق الجانبي (المحور Z، عمودي)
• الملعب / مسار الطيران / زاوية الهجوم (المحور Y، الجناح)
• لفة / بنك / لا شيء (محور X، الأنف)

عند تحليل استقرار الطائرة، من المعتاد أن نأخذ في الاعتبار الاضطرابات التي تحدث في حالة الطيران المستقر الاسمي . لذا، يمكن تطبيق التحليل، على سبيل المثال، على افتراض:

طيران مستقيم ومستوي

الدوران بسرعة ثابتة

الاقتراب والهبوط

اخلع

تختلف السرعة والارتفاع وزاوية الهجوم لكل حالة طيران، بالإضافة إلى ذلك، سيتم تكوين الطائرة بشكل مختلف، على سبيل المثال عند السرعة المنخفضة قد يتم نشر اللوحات وقد يتم إنزال الهيكل السفلي .

باستثناء التصميمات غير المتماثلة (أو التصميمات المتماثلة عند انزلاق جانبي كبير)، يمكن التعامل مع معادلات الحركة الطولية (التي تتضمن قوى الانحدار والرفع) بشكل مستقل عن الحركة الجانبية (التي تتضمن التدحرج والانحراف).

يتناول ما يلي الاضطرابات التي تحدث في مسار طيران مستقيم ومستوٍ اسميًا.

للحفاظ على التحليل بسيطًا (نسبيًا)، يُفترض أن أسطح التحكم ثابتة طوال الحركة، وهذا هو الاستقرار الثابت. يتطلب التحليل الخالي من الثبات مزيدًا من التعقيد المتمثل في أخذ حركة أسطح التحكم في الاعتبار.

علاوة على ذلك، يفترض أن تتم الرحلة في الهواء الساكن، ويتم التعامل مع الطائرة كجسم صلب .

هناك ثلاث قوى تؤثر على الطائرة أثناء الطيران: الوزن ، والدفع ، والقوة الديناميكية الهوائية .

العبارة لحساب القوة الديناميكية الهوائية هي:

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=\int _{\Sigma }(-\Delta p\mathbf {n} +\mathbf {f} )\,d\sigma }$

أين:

${\displaystyle \دلتا p\equiv }$الفرق بين الضغط الساكن وضغط التيار الحر

${\displaystyle \mathbf {n} \equiv }$متجه عمودي خارجي لعنصر المساحة

${\displaystyle \mathbf {f} \equiv }$ناقل الإجهاد المماسي الذي يمارسه الهواء على الجسم

${\displaystyle \Sigma \equiv }$سطح مرجعي مناسب

من خلال إسقاطها على محاور الرياح نحصل على:

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=-(\mathbf {i} _{w}D+\mathbf {j} _{w}Q+\mathbf {k} _{w}L)}$

أين:

${\displaystyle D\equiv }$يجر

${\displaystyle Q\equiv }$القوة الجانبية

${\displaystyle L\equiv }$يرفع

الضغط الديناميكي للتيار الحر${\displaystyle \equiv q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,V^{2}}$

سطح مرجعي مناسب ( سطح الجناح في حالة الطائرات )${\displaystyle \equiv S}$

معامل الضغط ${\displaystyle \equiv C_{p}={\dfrac {p-p_{\infty }}{q}}}$

معامل الاحتكاك ${\displaystyle \equiv C_{f}={\dfrac{f}{q}}}$

معامل السحب ${\displaystyle \equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf { n} \bullet \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma }$

معامل القوة الجانبية${\displaystyle \equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma }$

معامل الرفع ${\displaystyle \equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma }$

من الضروري معرفة C _p و C _f في كل نقطة على السطح المعتبر.

في غياب التأثيرات الحرارية، هناك ثلاثة أرقام بلا أبعاد ملحوظة:

• قابلية انضغاط التدفق:

رقم ماخ ${\displaystyle \equiv M={\dfrac {V}{a}}}$

• لزوجة التدفق:

رقم رينولدز ${\displaystyle \equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu }}}$

• تخلخل التدفق:

رقم كنودسن ${\displaystyle \equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}}$

أين:

${\displaystyle a={\sqrt {kR\theta }}\equiv }$سرعة الصوت

${\displaystyle k\equiv }$ نسبة الحرارة النوعية

${\displaystyle R\equiv }$ ثابت الغاز بوحدة الكتلة

${\displaystyle \theta \equiv }$درجة الحرارة المطلقة

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\dfrac {\pi }{2R\theta }}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt {\dfrac {k\pi }{2}}}\equiv }$ متوسط ​​المسار الحر

وفقًا لـ λ، هناك ثلاث درجات تخلخل ممكنة وتسمى الحركات المقابلة لها:

• التيار المستمر (التخلخل الذي لا يمكن إهماله):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ll 1}$
• تيار الانتقال (التخلخل المعتدل):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\approx 1}$
• التيار الجزيئي الحر (التخلخل العالي):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\gg 1}$

تعتبر حركة الجسم عبر التدفق، في ديناميكيات الطيران، بمثابة تيار مستمر. في الطبقة الخارجية من الفضاء المحيط بالجسم، ستكون اللزوجة مهملة. ومع ذلك، يجب مراعاة تأثيرات اللزوجة عند تحليل التدفق بالقرب من الطبقة الحدودية .

اعتمادًا على قابلية ضغط التدفق، يمكن اعتبار أنواع مختلفة من التيارات:

• التيار دون الصوتي غير القابل للضغط :${\displaystyle 0<M<0.3}$
• التيار تحت الصوتي القابل للضغط :${\displaystyle 0.3<M<0.8}$
• التيار فوق الصوتي :${\displaystyle 0.8<M<1.2}$
• التيار فوق الصوتي :${\displaystyle 1.2<M<5}$
• التيار فوق الصوتي :${\displaystyle 5<M}$

إذا كانت هندسة الجسم ثابتة وفي حالة الطيران المتماثل (β=0 و Q=0)، فإن معاملات الضغط والاحتكاك هي وظائف تعتمد على:

${\displaystyle C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)}$

${\displaystyle C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)}$

أين:

${\displaystyle \alpha \equiv }$ زاوية الهجوم

${\displaystyle P\equiv }$نقطة معتبرة من السطح

في ظل هذه الظروف، تكون معامل السحب والرفع عبارة عن وظائف تعتمد حصريًا على زاوية هجوم الجسم وأرقام ماخ ورينولدز . ستعتمد الكفاءة الديناميكية الهوائية، التي تُعرف بأنها العلاقة بين معاملي الرفع والسحب ، على هذه المعلمات أيضًا.

${\displaystyle {\begin{cases}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E(\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}}$

من الممكن أيضًا الحصول على علاقة التبعية بين معامل السحب ومعامل الرفع . تُعرف هذه العلاقة باسم معادلة معامل السحب:

${\displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv }$معادلة معامل السحب

تتمتع الكفاءة الديناميكية الهوائية بقيمة قصوى، E _max ، بالنسبة إلى C _L حيث يلامس الخط المماس من نقطة الأصل الإحداثية معادلة معامل السحب.

يمكن تحليل معامل السحب، C _D ، بطريقتين. التحليل النموذجي الأول يفصل بين تأثيرات الضغط والاحتكاك:

${\displaystyle C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}}}$

يوجد تحلل نموذجي ثانٍ يأخذ في الاعتبار تعريف معادلة معامل السحب. يفصل هذا التحلل تأثير معامل الرفع في المعادلة، ويحصل على حدين C _D0 وC _Di. يُعرف C _D0 بمعامل السحب الطفيلي وهو معامل السحب الأساسي عند رفع صفري. يُعرف C _Di بمعامل السحب المستحث وينتج عن رفع الجسم.

${\displaystyle C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{cases}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\end{cases}}}$

إن المحاولة الجيدة لمعامل السحب المستحث هي افتراض اعتماد مكافئ للرفع

${\displaystyle C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}}$

يتم الآن حساب الكفاءة الديناميكية الهوائية على النحو التالي:

${\displaystyle E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{2{\sqrt {kC_{D0}}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di})_{Emax}=C_{D0}\end{cases}}}$

إذا كان تكوين المستوى متماثلًا بالنسبة لمستوى XY، فإن معامل السحب الأدنى يساوي السحب الطفيلي للمستوى.

${\displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}}$

في حالة أن التكوين غير متماثل بالنسبة لمستوى XY، فإن السحب الأدنى يختلف عن السحب الطفيلي. في هذه الحالات، يمكن تتبع معادلة سحب مكافئ تقريبية جديدة تترك قيمة السحب الأدنى عند قيمة رفع صفرية.

${\displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}}$

${\displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}}$

يتغير معامل الضغط مع رقم ماخ بالعلاقة الموضحة أدناه: ^[4]

${\displaystyle C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}}$

أين

• C _p هو معامل الضغط القابل للانضغاط
• C _p0 هو معامل الضغط غير القابل للضغط
• M _∞ هو رقم ماخ للتيار الحر.

هذه العلاقة دقيقة بشكل معقول عندما تكون 0.3 < M < 0.7 وعندما تكون M = 1 تصبح ∞ وهو وضع مستحيل فيزيائيًا ويسمى تفرد براندتل-جلاورت .

انظر القوة الديناميكية الهوائية

الاستقرار هو قدرة الطائرة على مواجهة الاضطرابات التي قد تطرأ على مسار رحلتها.

وفقًا لديفيد ب. ديفيز ، هناك ستة أنواع من استقرار الطائرات: استقرار السرعة، والاستقرار الطولي الثابت الخالي من العصا، والاستقرار الجانبي الثابت، والاستقرار الاتجاهي، والاستقرار التذبذبي، والاستقرار الحلزوني. ^{[5] : 164}

تكون سرعة الطائرة في رحلات الطيران مستقرة عادةً. فإذا زادت السرعة، تزداد قوة السحب، مما يقلل السرعة مرة أخرى إلى حالة التوازن لتكوينها وإعداد الدفع. وإذا انخفضت السرعة، تقل قوة السحب، وستتسارع الطائرة مرة أخرى إلى سرعة التوازن حيث يتساوى الدفع مع قوة السحب.

ومع ذلك، في الطيران البطيء، وبسبب السحب الناتج عن الرفع ، مع انخفاض السرعة، تزداد السحب (والعكس صحيح). يُعرف هذا باسم " منحنى السحب الخلفي ". ستكون الطائرة غير مستقرة من حيث السرعة، لأن الانخفاض في السرعة سيؤدي إلى انخفاض آخر في السرعة.

يشير الاستقرار الطولي إلى استقرار الطائرة في الميل. بالنسبة للطائرة المستقرة، إذا ارتفعت الطائرة، فإن الأجنحة والذيل يخلقان لحظة ميل للأسفل تميل إلى استعادة الطائرة إلى وضعها الأصلي. بالنسبة للطائرة غير المستقرة، فإن الاضطراب في الميل سيؤدي إلى زيادة لحظة الميل. الاستقرار الساكن الطولي هو قدرة الطائرة على التعافي من اضطراب أولي. يشير الاستقرار الديناميكي الطولي إلى تخميد لحظات الاستقرار هذه، مما يمنع التذبذبات المستمرة أو المتزايدة في الميل.

تتعلق ثباتية الاتجاه أو ثباتية الريشة بالاستقرار الثابت للطائرة حول المحور z. وكما هو الحال في الثبات الطولي، فمن المرغوب فيه أن تميل الطائرة إلى العودة إلى حالة التوازن عند تعرضها لشكل من أشكال اضطراب الانحراف. ولهذا السبب، يجب أن يكون ميل منحنى عزم الانحراف موجبًا. ستشير الطائرة التي تمتلك هذا النمط من الثبات دائمًا نحو الرياح النسبية، ومن هنا جاء اسم ثباتية الريشة.

It has been suggested that this section be moved into Aircraft dynamic modes. (Discuss) (April 2024)

من الشائع استنباط معادلة مميزة من الدرجة الرابعة لوصف الحركة الطولية، ثم تحليلها تقريبًا إلى وضع التردد العالي ووضع التردد المنخفض. النهج المتبع هنا هو استخدام المعرفة النوعية لسلوك الطائرات لتبسيط المعادلات منذ البداية، والوصول إلى النتيجة من خلال مسار أكثر سهولة.

وتسمى الحركتان الطوليتان (الوضعان) بالتذبذبات ذات الفترة القصيرة (SPPO)، والتذبذب الفوجي .

إن إدخالاً قصيراً (في مصطلحات أنظمة التحكم ، نبضة ) في درجة الصوت (عادةً عبر المصعد في طائرة ثابتة الجناح ذات تكوين قياسي) سيؤدي عمومًا إلى تجاوزات حول الحالة المقصوصة. يتميز الانتقال بحركة توافقية بسيطة مخمدة حول الحالة المقصوصة الجديدة. هناك تغيير ضئيل للغاية في المسار على مدار الوقت الذي يستغرقه التذبذب للتخميد.

بشكل عام، يكون هذا التذبذب عالي التردد (وبالتالي فترة قصيرة) ويتم تخميده على مدى بضع ثوانٍ. قد يتضمن أحد الأمثلة في العالم الحقيقي قيام الطيار باختيار موقف صعود جديد، على سبيل المثال 5 درجات لأعلى من الموقف الأصلي. يمكن استخدام سحب قصير وحاد للخلف على عمود التحكم، وسيؤدي عمومًا إلى تذبذبات حول حالة التشذيب الجديدة. إذا تم تخميد التذبذبات بشكل سيئ، فستستغرق الطائرة فترة طويلة من الوقت للاستقرار في الحالة الجديدة، مما قد يؤدي إلى تذبذب ناتج عن الطيار . إذا كان وضع الفترة القصيرة غير مستقر، فسيكون من المستحيل عمومًا على الطيار التحكم في الطائرة بأمان لأي فترة زمنية.

تسمى هذه الحركة التوافقية المخففة تذبذبات الملعب قصيرة الفترة ؛ وهي تنشأ من ميل الطائرة المستقرة إلى الإشارة في الاتجاه العام للطيران. وهي تشبه في طبيعتها إلى حد كبير وضعية دوارة الطقس في تكوينات الصواريخ أو الصواريخ. تتضمن الحركة بشكل أساسي موقف الملعب (ثيتا) والسقوط (ألفا). اتجاه متجه السرعة، بالنسبة للمحاور القصورية هو . متجه السرعة هو: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta -\alpha }$

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

حيث أن ، هي مكونات المحور القصوري للسرعة. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن التسارع يتناسب مع القوى ، وبالتالي فإن القوى في المحاور القصورية هي: ${\displaystyle u_{f}}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

حيث m هي الكتلة . ونظرًا لطبيعة الحركة، فإن تغير السرعة يكون مهملاً خلال فترة التذبذب، لذا: ${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

ولكن القوى تتولد عن توزيع الضغط على الجسم، ويتم إحالتها إلى متجه السرعة. ولكن مجموعة محاور السرعة (الرياح) ليست إطارًا بالقصور الذاتي ، لذا يتعين علينا تحليل قوى المحاور الثابتة إلى محاور الرياح. كما أننا نهتم فقط بالقوة على طول المحور z:

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

أو:

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

وبالكلمات، فإن قوة محور الرياح تساوي التسارع المركزي .

معادلة اللحظة هي المشتق الزمني للزخم الزاوي :

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

حيث M هو عزم الانحدار، وB هو عزم القصور الذاتي حول محور الانحدار. لنفرض أن: ، معدل الانحدار. وبالتالي، فإن معادلات الحركة، مع الإشارة إلى جميع القوى والعزوم على أنها محاور الرياح، هي: ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

نحن نهتم فقط بالاضطرابات في القوى والعزمات، بسبب الاضطرابات في الحالات وq، ومشتقاتها الزمنية. تتميز هذه الاضطرابات بمشتقات الاستقرار التي يتم تحديدها من حالة الطيران. مشتقات الاستقرار المحتملة هي: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{\alpha }}$الرفع بسبب السقوط، وهو سلبي لأن المحور z متجه للأسفل بينما السقوط الإيجابي يسبب قوة لأعلى.

${\displaystyle Z_{q}}$الرفع بسبب معدل الملعب، ينشأ من زيادة معدل سقوط الذيل، وبالتالي فهو سلبي أيضًا، ولكنه صغير مقارنةً بـ .${\displaystyle Z_{\alpha }}$

${\displaystyle M_{\alpha }}$ عزم الارتداد الناتج عن السقوط - مصطلح الاستقرار الساكن. يتطلب الاستقرار الساكن أن يكون هذا المصطلح سالبًا.

${\displaystyle M_{q}}$ لحظة الارتطام بسبب معدل الارتطام - مصطلح تخميد الارتطام، وهو دائمًا سلبي.

نظرًا لأن الذيل يعمل في مجال تدفق الجناح، فإن التغييرات في سقوط الجناح تسبب تغييرات في الغسيل السفلي، ولكن هناك تأخير في التغيير في مجال تدفق الجناح للتأثير على رفع الذيل، ويتم تمثيل ذلك كلحظة متناسبة مع معدل تغيير السقوط:

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

يؤدي تأثير الهبوط المتأخر إلى إعطاء الذيل مزيدًا من الرفع وينتج عزمًا للأسفل للأنف، لذا من المتوقع أن يكون سلبيًا. ${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

تصبح معادلات الحركة، مع قوى الاضطراب الصغيرة والعزمات، كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

يمكن التلاعب بها للحصول على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية في : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

يمثل هذا حركة توافقية بسيطة مخففة.

يجب أن نتوقع أن تكون صغيرة مقارنة بواحد، لذا فإن معامل (مصطلح "الصلابة") سيكون موجبًا، بشرط أن يكون . يهيمن على هذا التعبير ، والذي يحدد الاستقرار الساكن الطولي للطائرة، ويجب أن يكون سلبيًا للاستقرار. يتم تقليل مصطلح التخميد بواسطة تأثير الغسل السفلي، ومن الصعب تصميم طائرة ذات استجابة طبيعية سريعة وتخميد ثقيل. عادةً ما تكون الاستجابة غير مخمدة ولكنها مستقرة. ${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$${\displaystyle M_{\alpha }}$

إذا تم تثبيت المقود، فلن تحافظ الطائرة على طيران مستقيم ومستوي (باستثناء الحالة غير المحتملة التي يحدث فيها أن تكون مهيأة تمامًا للطيران المستوي عند ارتفاعها الحالي وإعداد الدفع)، ولكنها ستبدأ في الهبوط والتسوية والصعود مرة أخرى. ستكرر هذه الدورة حتى يتدخل الطيار. تسمى هذه الفترة الطويلة من التذبذب في السرعة والارتفاع بالوضع الفوجي . يتم تحليل ذلك بافتراض أن SSPO يؤدي وظيفته المناسبة ويحافظ على زاوية الهجوم بالقرب من قيمتها الاسمية. الحالتان اللتان تتأثران بشكل أساسي هما زاوية مسار الطيران (جاما) والسرعة. معادلات الاضطراب الصغيرة للحركة هي: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

وهذا يعني أن القوة المركزية تساوي الاضطراب في قوة الرفع.

بالنسبة للسرعة، الحل على طول المسار:

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

حيث g هو التسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض . التسارع على طول المسار يساوي القوة الصافية في اتجاه x ناقص مكون الوزن. لا ينبغي لنا أن نتوقع أن تعتمد المشتقات الديناميكية الهوائية المهمة على زاوية مسار الطيران، لذلك فقط و يجب أن تؤخذ في الاعتبار. هي زيادة السحب مع زيادة السرعة، فهي سلبية، وبالمثل هي زيادة الرفع بسبب زيادة السرعة، فهي أيضًا سلبية لأن الرفع يعمل بالمعنى المعاكس لمحور z. ${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$

تصبح معادلات الحركة:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

يمكن التعبير عن ذلك كمعادلة من الدرجة الثانية في زاوية مسار الطيران أو اضطراب السرعة:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

الآن أصبح الرفع مساويًا تقريبًا للوزن:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

حيث W هي كثافة الهواء، وW هي مساحة الجناح، وW هي الوزن وW هي معامل الرفع (يفترض أنه ثابت لأن السقوط ثابت)، لدينا تقريبًا: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S_{w}}$${\displaystyle c_{L}}$

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

يتم الحصول على فترة الفوجويد، T، من معامل u:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

أو:

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

نظرًا لأن الرفع أكبر كثيرًا من السحب، فإن الفوجويد يكون في أفضل الأحوال مخففًا قليلاً. قد يساعد استخدام مروحة بسرعة ثابتة. يؤدي التخميد الشديد لدوران الملعب أو القصور الذاتي الدوراني الكبير إلى زيادة الاقتران بين أوضاع الفترة القصيرة والفوجويد، بحيث يؤدي ذلك إلى تعديل الفوجويد.

في الصواريخ أو القذائف المتماثلة، يكون الاستقرار الاتجاهي في الانحراف مماثلاً لاستقرار الانحدار؛ فهو يشبه تذبذب الانحدار لفترة قصيرة، مع مكافئات مستوى الانحراف لمشتقات استقرار مستوى الانحدار. ولهذا السبب، يُعرف الاستقرار الاتجاهي للانحراف والانحدار مجتمعين باسم استقرار "الطقس" للصاروخ.

تفتقر الطائرات إلى التماثل بين الميل والانحراف، لذا فإن الاستقرار الاتجاهي في الانحراف مشتق من مجموعة مختلفة من مشتقات الاستقرار. يُطلق على المستوى المكافئ للانحراف لتذبذب الميل القصير، والذي يصف الاستقرار الاتجاهي لمستوى الانحراف، اسم التدحرج الهولندي. وعلى عكس حركات مستوى الميل، تتضمن الأوضاع الجانبية كلًا من حركة التدحرج والانحراف.

من المعتاد استنباط معادلات الحركة من خلال التلاعب الرسمي، وهو ما يعتبره المهندسون بمثابة خدعة رياضية. ويتبع النهج الحالي تحليل مستوى الملعب في صياغة المعادلات من حيث المفاهيم المألوفة إلى حد معقول.

يجب أن يؤدي تطبيق نبضة عبر دواسات الدفة إلى إحداث حركة دحرجة هولندية ، وهي التذبذب في الدحرجة والانحراف، مع تأخر حركة الدحرجة عن الانحراف بمقدار ربع دورة، بحيث تتبع أطراف الأجنحة مسارات بيضاوية فيما يتعلق بالطائرة.

معادلة الانتقال لمستوى الانحراف، كما هو الحال في مستوى الملعب، تساوي التسارع المركزي مع القوة الجانبية.

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

حيث (بيتا) هي زاوية الانزلاق الجانبي ، و Y هي القوة الجانبية و r هي معدل الانحراف. ${\displaystyle \beta }$

إن معادلات اللحظة أكثر تعقيدًا بعض الشيء. فشرط التناسب هو أن تكون الطائرة في زاوية هجوم بالنسبة لتدفق الهواء. ولا يتماشى المحور السيني للجسم مع متجه السرعة، وهو الاتجاه المرجعي لمحاور الرياح. بعبارة أخرى، لا تعد محاور الرياح محاور رئيسية (الكتلة غير موزعة بشكل متماثل حول محاور الانحراف والانقلاب). ولنتأمل هنا حركة عنصر كتلة في الموضع -z، x في اتجاه المحور الصادي، أي في مستوى الورقة.

إذا كان معدل التدحرج p، فإن سرعة الجسيم تكون:

${\displaystyle v=-pz+xr}$

تتكون هذه المعادلة من حدين، القوة المؤثرة على هذا الجسيم تكون أولاً متناسبة مع معدل تغير v، والثانية ترجع إلى التغير في اتجاه هذا المكون من السرعة أثناء تحرك الجسم. ويؤدي الحدان الأخيران إلى حاصل ضرب متقاطع لكميات صغيرة (pq، pr، qr)، والتي يتم تجاهلها لاحقًا. في هذا التحليل، يتم تجاهلها منذ البداية من أجل الوضوح. في الواقع، نفترض أن اتجاه سرعة الجسيم بسبب معدلات التدحرج والانحراف المتزامنة لا يتغير بشكل كبير طوال الحركة. مع هذا الافتراض التبسيطي، يصبح تسارع الجسيم:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

يتم تحديد عزم الانحراف بواسطة:

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

هناك لحظة انحراف إضافية بسبب إزاحة الجسيم في الاتجاه y:${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

يتم إيجاد عزم الانحراف عن طريق جمع كل جزيئات الجسم:

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

حيث N هو عزم الانحراف، وE هو حاصل ضرب القصور الذاتي، وC هو عزم القصور الذاتي حول محور الانحراف . ويؤدي منطق مماثل إلى معادلة التدحرج:

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

حيث L هو عزم الدوران و A هو عزم دوران القصور الذاتي.

الحالات هي (الانزلاق الجانبي)، وr (معدل الانحراف)، وp (معدل التدحرج)، مع عزمين N (الانحراف) وL (التدحرج)، والقوة Y (الجانبية). هناك تسعة مشتقات استقرار ذات صلة بهذه الحركة، ويوضح ما يلي كيفية نشأتها. ومع ذلك، يمكن اكتساب فهم بديهي أفضل من خلال اللعب ببساطة بطائرة نموذجية، والتفكير في كيفية تأثر القوى على كل مكون بالتغيرات في الانزلاق الجانبي والسرعة الزاوية: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y_{\beta }}$القوة الجانبية بسبب الانزلاق الجانبي (في حالة عدم وجود انحراف).

يولد الانزلاق الجانبي قوة جانبية من الزعنفة وجسم الطائرة. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان الجناح ثنائي السطوح، فإن الانزلاق الجانبي عند زاوية انحراف موجبة يزيد من السقوط على الجناح الأيمن ويقلله على الجانب الأيسر، مما ينتج عنه مكون قوة صافية معاكس مباشرة لاتجاه الانزلاق الجانبي. إن انحناء الأجنحة للخلف له نفس التأثير على السقوط، ولكن نظرًا لأن الأجنحة غير مائلة في المستوى الرأسي، فإن الانحناء للخلف وحده لا يؤثر على . ومع ذلك، يمكن استخدام الانحناء للخلف بزوايا انحناء للخلف عالية في الطائرات عالية الأداء لتعويض تأثيرات سقوط الجناح للانزلاق الجانبي. ومن الغريب أن هذا لا يعكس إشارة مساهمة تكوين الجناح في (مقارنة بحالة الانحناء للخلف). ${\displaystyle Y_{\beta }}$${\displaystyle Y_{\beta }}$

${\displaystyle Y_{p}}$القوة الجانبية بسبب معدل اللفة.

يتسبب معدل التدحرج في حدوث انزلاق عند الزعنفة، مما يؤدي إلى توليد قوة جانبية مقابلة. كما أن التدحرج الإيجابي (جناح الميمنة لأسفل) يزيد من قوة الرفع على جناح الميمنة ويقللها على الجناح الأيسر. إذا كان الجناح ثنائي السطوح، فسيؤدي هذا إلى قوة جانبية تعارض مؤقتًا ميل الانزلاق الجانبي الناتج. يمكن أن تتسبب تكوينات الجناح غير السطوحية أو المثبت في عكس إشارة القوة الجانبية إذا تم غمر تأثير الزعنفة.

${\displaystyle Y_{r}}$القوة الجانبية بسبب معدل الانحراف.

يولد الانحراف قوى جانبية بسبب وقوعها على الدفة والزعانف وجسم الطائرة.

${\displaystyle N_{\beta }}$عزم الانحراف بسبب قوى الانزلاق الجانبي.

يؤدي الانزلاق الجانبي في غياب تدخل الدفة إلى حدوث انزلاق على جسم الطائرة والذيل ، مما يؤدي إلى خلق عزم انحراف لا يتم مواجهته إلا من خلال الصلابة الاتجاهية التي تميل إلى توجيه أنف الطائرة للخلف نحو الريح في ظروف الطيران الأفقي. في ظل ظروف الانزلاق الجانبي عند زاوية تدحرج معينة، يميل الأنف إلى توجيه اتجاه الانزلاق الجانبي حتى بدون تدخل الدفة، مما يتسبب في رحلة حلزونية هبوطية. ${\displaystyle N_{\beta }}$

${\displaystyle N_{p}}$عزم الانحراف بسبب معدل التدحرج.

يتسبب معدل التدحرج في توليد رفع الزعنفة مما يسبب عزم انحراف ويغير أيضًا الرفع على الأجنحة بشكل تفاضلي، وبالتالي يؤثر على مساهمة السحب المستحث لكل جناح، مما يتسبب في مساهمة (صغيرة) في عزم الانحراف. يتسبب التدحرج الإيجابي عمومًا في قيم إيجابية ما لم يكن الذيل غير سطحي أو كانت الزعنفة أسفل محور التدحرج. مكونات القوة الجانبية الناتجة عن اختلافات رفع الجناح ثنائي السطوح أو غير السطحي لها تأثير ضئيل لأن محور الجناح يكون عادةً محاذيًا بشكل وثيق لمركز الجاذبية. ${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{r}}$عزم الانحراف بسبب معدل الانحراف.

يؤدي إدخال معدل الانحراف عند أي زاوية انحراف إلى توليد متجهات قوة الدفة والزعانف وجسم الطائرة التي تهيمن على عزم الانحراف الناتج. كما يزيد الانحراف من سرعة الجناح الخارجي مع إبطاء الجناح الداخلي، مع حدوث تغييرات مقابلة في السحب تتسبب في حدوث عزم انحراف معاكس (صغير). يعارض الصلابة الاتجاهية المتأصلة التي تميل إلى توجيه أنف الطائرة للخلف نحو الريح وتتطابق دائمًا مع علامة إدخال معدل الانحراف. ${\displaystyle N_{r}}$

${\displaystyle L_{\beta }}$لحظة التدحرج بسبب الانزلاق الجانبي.

تولد زاوية الانزلاق الجانبي الإيجابية حدوث انحناء الذيل والذي قد يسبب عزم دوران موجب أو سالب حسب تكوينه. بالنسبة لأي زاوية انزلاق جانبي غير صفرية، تتسبب الأجنحة ثنائية السطوح في حدوث عزم دوران يميل إلى إعادة الطائرة إلى الوضع الأفقي، كما تفعل الأجنحة المائلة للخلف. مع الأجنحة المائلة للخلف بشكل كبير، قد يكون عزم الدوران الناتج مفرطًا لجميع متطلبات الاستقرار ويمكن استخدام الأجنحة ثنائية السطوح لتعويض تأثير عزم الدوران الناتج عن انحناء الجناح.

${\displaystyle L_{r}}$عزم الدوران بسبب معدل الانحراف.

يزيد الانحراف من سرعة الجناح الخارجي مع تقليل سرعة الجناح الداخلي، مما يتسبب في حدوث عزم دوران للجانب الداخلي. تساهم الزعنفة عادةً في دعم تأثير الدوران الداخلي هذا ما لم يتم تعويضه بواسطة مثبت غير سطحي فوق محور الدوران (أو مثبت ثنائي السطح أسفل محور الدوران).

${\displaystyle L_{p}}$لحظة التدحرج بسبب معدل التدحرج.

يخلق التدحرج قوى دورانية معاكسة على كل من الجناح الأيمن والأيسر بينما يولد أيضًا مثل هذه القوى عند الذيل. يجب التغلب على تأثيرات عزم التدحرج المعاكس هذه من خلال مدخلات الجنيح من أجل الحفاظ على معدل التدحرج. إذا توقف التدحرج عند زاوية تدحرج غير صفرية، فيجب أن تعيد عزم التدحرج لأعلى الناتج عن الانزلاق الجانبي اللاحق الطائرة إلى الوضع الأفقي ما لم يتم تجاوزه بدوره بعزم التدحرج لأسفل الناتج عن معدل الانحراف الناتج عن الانزلاق الجانبي. يمكن ضمان الاستقرار الطولي أو تحسينه عن طريق تقليل التأثير الأخير. ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{r}}$

نظرًا لأن التدحرج الهولندي هو وضع مناولة، مشابه لتذبذب الملعب لفترة قصيرة، فيمكن تجاهل أي تأثير قد يكون له على المسار. يتكون معدل الجسم r من معدل تغير زاوية الانزلاق الجانبي ومعدل الدوران. إذا أخذنا الأخير على أنه صفر، على افتراض عدم وجود تأثير على المسار، للغرض المحدود المتمثل في دراسة التدحرج الهولندي:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

تصبح معادلات الانحراف والانقلاب، مع مشتقات الاستقرار، كما يلي:

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$(ياو)

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$(لفافة)

يعتبر عزم القصور الذاتي الناتج عن تسارع اللفة صغيرًا مقارنة بالمصطلحات الديناميكية الهوائية، وبالتالي تصبح المعادلات:

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

تصبح هذه معادلة من الدرجة الثانية تحكم إما معدل التدحرج أو الانزلاق الجانبي:

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

معادلة معدل الدوران متطابقة، ولكن زاوية الدوران (phi) تُعطى بالصيغة التالية: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

إذا كانت p حركة توافقية بسيطة مخمدة، فإن الأمر كذلك ، ولكن يجب أن يكون التدحرج في مربع مع معدل التدحرج، وبالتالي مع الانزلاق الجانبي أيضًا. تتكون الحركة من تذبذبات في التدحرج والانحراف، مع تأخر حركة التدحرج بمقدار 90 درجة خلف الانحراف. تتبع أطراف الأجنحة مسارات بيضاوية. ${\displaystyle \phi }$

يتطلب الاستقرار أن تكون مصطلحات " الصلابة " و"التخميد" موجبة. وهي:

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$(التخميد)

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ (صلابة)

المقام يهيمن عليه مشتق التخميد المتدحرج، والذي يكون دائمًا سلبيًا، وبالتالي فإن مقامات هذين التعبيرين ستكون موجبة. ${\displaystyle L_{p}}$

بالنظر إلى مصطلح "الصلابة": سيكون موجبًا لأنه دائمًا سلبي وإيجابي بطبيعته. يكون عادةً سلبيًا، بينما يكون موجبًا. يمكن أن يؤدي الانحراف المفرط إلى زعزعة استقرار اللفة الهولندية، لذا فإن التكوينات ذات الأجنحة شديدة الانعطاف تتطلب انعطافًا غير سطحي لتعويض مساهمة انعطاف الجناح إلى . ${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle N_{\beta }}$${\displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle L_{\beta }}$

يهيمن على مصطلح التخميد حاصل ضرب تخميد اللفة ومشتقات تخميد الانحراف، وكلاهما سلبي، لذا فإن حاصل ضربهما موجب. وبالتالي، يجب تخميد اللفة الهولندية.

إن الحركة مصحوبة بحركة جانبية طفيفة لمركز الثقل، وسوف يقدم تحليل "أكثر دقة" مصطلحات في إلخ. ونظرًا للدقة التي يمكن بها حساب مشتقات الاستقرار، فإن هذا يعد تحريفًا غير ضروري، مما يعمل على إخفاء العلاقة بين هندسة الطائرة والتعامل معها، وهو الهدف الأساسي لهذه المقالة. ${\displaystyle Y_{\beta }}$

يؤدي تحريك العصا جانبيًا وإعادتها إلى المركز إلى تغيير صافٍ في اتجاه الدوران.

تتميز حركة التدحرج بغياب الاستقرار الطبيعي، فلا توجد مشتقات استقرار تولد عزمًا استجابة لزاوية التدحرج بالقصور الذاتي. ويؤدي اضطراب التدحرج إلى معدل تدحرج لا يتم إلغاؤه إلا عن طريق تدخل الطيار أو الطيار الآلي . ويحدث هذا مع تغييرات غير مهمة في معدل الانزلاق الجانبي أو الانحراف، وبالتالي فإن معادلة الحركة تتقلص إلى:

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$تكون قيمة الزاوية سالبة، لذا فإن معدل الدوران سينخفض ​​مع الوقت. ينخفض ​​معدل الدوران إلى الصفر، ولكن لا يوجد تحكم مباشر في زاوية الدوران.

بمجرد تثبيت المقود، عند البدء بجناحي الطائرة بالقرب من المستوى، ستميل الطائرة عادةً إلى الانحراف تدريجيًا إلى جانب واحد من مسار الطيران المستقيم. هذا هو الوضع الحلزوني (غير المستقر قليلاً) . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

عند دراسة المسار، يكون اتجاه متجه السرعة، وليس اتجاه الجسم، هو المهم. يُطلق على اتجاه متجه السرعة عند إسقاطه على الأفقي اسم المسار، ويُشار إليه بـ ( mu ). يُطلق على اتجاه الجسم اسم الاتجاه، ويُشار إليه بـ (psi). تتضمن معادلة القوة للحركة مكونًا للوزن: ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi }$

حيث g هو تسارع الجاذبية، و U هي السرعة.

بما في ذلك مشتقات الاستقرار:

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi }$

ومن المتوقع أن تكون معدلات التدحرج والانحراف صغيرة، لذا سيتم تجاهل مساهمات و .${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{p}}$

يختلف معدل الانزلاق الجانبي والانقلاب تدريجيًا، لذا يتم تجاهل مشتقاتهما الزمنية . يتم تقليص معادلات الانحراف والانقلاب إلى:

${\displaystyle N_{\beta }\beta +N_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+N_{p}p=0}$ (ياو)

${\displaystyle L_{\beta }\beta +L_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+L_{p}p=0}$(لفافة)

حل لـ و p : ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

${\displaystyle p={\frac {(L_{\beta }N_{r}-L_{r}N_{\beta })}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

يؤدي استبدال معدل الانزلاق الجانبي ومعدل التدحرج في معادلة القوة إلى معادلة من الدرجة الأولى في زاوية التدحرج:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta }N_{r}-N_{\beta }L_{r})}{mU(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })-Y_{\beta }(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi }$

هذا نمو أو اضمحلال أسي ، اعتمادًا على ما إذا كان معامل موجبًا أم سالبًا. عادةً ما يكون المقام سالبًا، وهو ما يتطلب (كلا المنتجين موجبًا). وهذا يتعارض بشكل مباشر مع متطلب استقرار اللفة الهولندية، ومن الصعب تصميم طائرة يكون فيها كل من وضع اللفة الهولندية واللولب مستقرين بطبيعتهما. ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{\beta }N_{r}>N_{\beta }L_{r}}$

نظرًا لأن وضع الحلزون له ثابت زمني طويل، يمكن للطيار التدخل لتثبيته بشكل فعال، ولكن من الصعب قيادة طائرة ذات لفة هولندية غير مستقرة. من المعتاد تصميم الطائرة بوضع لفة هولندية مستقر، ولكن وضع حلزوني غير مستقر قليلاً. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (February 2009) (Learn how and when to remove this message)

• NK Sinha و N Ananthkrishnan (2013)، ديناميكيات الطيران الأولية مع مقدمة لطرق التفرع والاستمرار ، مطبعة CRC، تايلور وفرانسيس.
• بابيستر، إيه دبليو (1980). الاستقرار الديناميكي للطائرة والاستجابة (الطبعة الأولى). أكسفورد: مطبعة بيرغامون. رقم ISBN 978-0080247687.

• MIXR - منصة محاكاة الواقع المختلط
• JSBsim، مكتبة برامج مفتوحة المصدر ومستقلة عن المنصة لديناميكيات الطيران والتحكم في الطيران، بلغة C++