ديناميكيات طيران الطائرات

عادةً ما تؤدي إشارة قصيرة ( تُسمى نبضة في مصطلحات أنظمة التحكم ) في زاوية ميل الطائرة (عادةً عبر المصعد في الطائرات ذات الأجنحة الثابتة ذات التكوين القياسي) إلى تجاوزات حول وضعية التوازن. وتتميز هذه المرحلة الانتقالية بحركة توافقية بسيطة مُخمدة حول وضعية التوازن الجديدة. ويحدث تغيير طفيف جدًا في المسار خلال الفترة الزمنية اللازمة لتخميد التذبذب.

عادةً ما يكون هذا التذبذب عالي التردد (وبالتالي قصير المدى) ويتلاشى خلال بضع ثوانٍ. مثال واقعي على ذلك هو قيام الطيار باختيار وضعية صعود جديدة، على سبيل المثال، رفع مقدمة الطائرة بمقدار 5 درجات عن الوضعية الأصلية. قد يتم استخدام سحب قصير وحاد لعصا التحكم، مما يؤدي عادةً إلى تذبذبات حول وضعية التوازن الجديدة. إذا لم يتم تلاشي هذه التذبذبات بشكل جيد، فستستغرق الطائرة وقتًا طويلاً للاستقرار على الوضعية الجديدة، مما قد يؤدي إلى تذبذب ناتج عن تدخل الطيار . إذا كان وضع التذبذب قصير المدى غير مستقر، فسيكون من المستحيل عمومًا على الطيار التحكم بالطائرة بأمان لأي فترة زمنية.

تُسمى هذه الحركة التوافقية المخمدة بتذبذب الميل قصير المدى ؛ وهي تنشأ من ميل الطائرة المستقرة إلى التوجه نحو اتجاه الطيران العام. وهي تشبه إلى حد كبير حركة دوارة الرياح في تكوينات الصواريخ. وتتضمن هذه الحركة بشكل أساسي زاوية الميل.${\displaystyle \theta }$(ثيتا) والانتشار${\displaystyle \alpha }$(ألفا). اتجاه متجه السرعة، بالنسبة لمحاور القصور الذاتي، هو${\displaystyle \theta -\alpha }$متجه السرعة هو:

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

أين${\displaystyle u_{f}}$،${\displaystyle w_{f}}$تمثل هذه المركبات محاور القصور الذاتي للسرعة. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن التسارعات تتناسب طرديًا مع القوى ، وبالتالي فإن القوى في محاور القصور الذاتي هي:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

حيث m هي الكتلة . وبحكم طبيعة الحركة، فإن تغير السرعة${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$تكون ضئيلة خلال فترة التذبذب، لذا:

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

لكن القوى تنشأ عن توزيع الضغط على الجسم، وتُنسب إلى متجه السرعة. ولأن مجموعة محاور السرعة (الرياح) ليست إطارًا مرجعيًا قصوريًا ، يجب علينا تحليل قوى المحاور الثابتة إلى محاور الرياح. كما أننا نهتم فقط بالقوة على طول المحور z.

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

أو:

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

بعبارة أخرى، قوة محاور الرياح تساوي التسارع المركزي .

معادلة العزم هي المشتق الزمني للزخم الزاوي :

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

حيث M هو عزم الدوران، وB هو عزم القصور الذاتي حول محور الدوران. لنفترض:${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$معدل تغير زاوية ميل الشفرات. وبالتالي، فإن معادلات الحركة، مع الإشارة إلى جميع القوى والعزوم بالنسبة لمحاور الرياح، هي:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

نحن نهتم فقط بالاضطرابات في القوى والعزوم، الناتجة عن الاضطرابات في الحالات${\displaystyle \alpha }$وq، ومشتقاتهما الزمنية. وتتميز هذه المشتقات بمشتقات الاستقرار التي تُحدد بناءً على حالة الطيران. مشتقات الاستقرار الممكنة هي:

${\displaystyle Z_{\alpha }}$الرفع الناتج عن زاوية السقوط، وهذا سالب لأن المحور z متجه للأسفل بينما زاوية السقوط الموجبة تسبب قوة متجهة للأعلى.

${\displaystyle Z_{q}}$ينشأ الرفع الناتج عن معدل الميلان من زيادة زاوية ميل الذيل، وبالتالي فهو سالب أيضًا، ولكنه صغير مقارنةً بـ${\displaystyle Z_{\alpha }}$.

${\displaystyle M_{\alpha }}$عزم الدوران الناتج عن زاوية السقوط - مصطلح الاستقرار الساكن. يتطلب الاستقرار الساكن أن يكون هذا العزم سالباً.

${\displaystyle M_{q}}$ عزم الدوران الناتج عن معدل الدوران - مصطلح تخميد الدوران، وهذا دائمًا ما يكون سالبًا.

بما أن الذيل يعمل في مجال تدفق الجناح، فإن التغيرات في زاوية ميل الجناح تسبب تغيرات في التدفق الهابط، ولكن هناك تأخير في تأثير التغير في مجال تدفق الجناح على قوة رفع الذيل، ويتم تمثيل ذلك كعزم يتناسب مع معدل تغير زاوية الميل:

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

يؤدي تأثير التدفق الهابط المتأخر إلى زيادة قوة الرفع في الذيل، وينتج عنه عزم دوران لأسفل في مقدمة السيارة، لذلك${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$من المتوقع أن تكون النتيجة سلبية.

تصبح معادلات الحركة، مع قوى وعزوم اضطراب صغيرة، كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

يمكن معالجة هذه المعادلات للحصول على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية في${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

يمثل هذا حركة توافقية بسيطة مخمدة.

ينبغي أن نتوقع${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$لكي يكون صغيراً مقارنة بالواحد، فإن معامل${\displaystyle \alpha }$(مصطلح "الصلابة") سيكون موجبًا، بشرط${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$يهيمن على هذا التعبير${\displaystyle M_{\alpha }}$يُحدد هذا العامل استقرار الطائرة الطولي الساكن ، ويجب أن تكون قيمته سالبة لضمان الاستقرار. ويقلّ تأثير التخميد بفعل تيار الهواء الهابط، مما يجعل تصميم طائرة ذات استجابة طبيعية سريعة وتخميد عالٍ في آنٍ واحد أمرًا صعبًا. وعادةً ما تكون الاستجابة مخمدة جزئيًا ولكنها مستقرة.

إذا تم تثبيت عصا التحكم، فلن تحافظ الطائرة على طيران مستقيم ومستوٍ (إلا في حالة نادرة جدًا، وهي أن تكون مضبوطة تمامًا للطيران المستوي عند ارتفاعها الحالي وإعدادات الدفع)، بل ستبدأ بالانخفاض، ثم تستقر، ثم ترتفع مجددًا. وستكرر هذه الدورة حتى يتدخل الطيار. يُطلق على هذا التذبذب طويل الأمد في السرعة والارتفاع اسم وضع الفوغويد . ويتم تحليل ذلك بافتراض أن نظام SSPO يؤدي وظيفته بشكل صحيح ويحافظ على زاوية الهجوم قريبة من قيمتها الاسمية. الحالتان اللتان تتأثران بشكل رئيسي هما زاوية مسار الطيران.${\displaystyle \gamma }$(غاما) والسرعة. معادلات الحركة للاضطراب الصغير هي:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

وهذا يعني أن قوة الجذب المركزي تساوي الاضطراب في قوة الرفع.

بالنسبة للسرعة، يتم تحديدها على طول المسار:

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

حيث g هي تسارع الجاذبية على سطح الأرض . التسارع على طول المسار يساوي محصلة القوة في اتجاه المحور السيني مطروحًا منها مركبة الوزن. لا نتوقع أن تعتمد المشتقات الديناميكية الهوائية بشكل كبير على زاوية مسار الطيران، لذا فقط${\displaystyle X_{u}}$و${\displaystyle Z_{u}}$يجب أخذ ذلك في الاعتبار.${\displaystyle X_{u}}$هل تزداد مقاومة الهواء مع زيادة السرعة؟ إنها سالبة، وكذلك${\displaystyle Z_{u}}$إن الزيادة في قوة الرفع ناتجة عن زيادة السرعة، وهي سالبة أيضًا لأن قوة الرفع تعمل في الاتجاه المعاكس للمحور z.

تصبح معادلات الحركة كالتالي:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

يمكن التعبير عن هذه المعادلات كمعادلة من الدرجة الثانية في زاوية مسار الطيران أو اضطراب السرعة:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

الآن، قوة الرفع تساوي الوزن تقريباً:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

أين${\displaystyle \rho }$هي كثافة الهواء،${\displaystyle S_{w}}$مساحة الجناح، و W الوزن و${\displaystyle c_{L}}$إذا كان معامل الرفع (بافتراض ثباته لأن زاوية السقوط ثابتة)، فسنحصل تقريبًا على:

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

يتم الحصول على دورة الفوجويد، T، من معامل u:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

أو:

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

بما أن قوة الرفع أكبر بكثير من قوة السحب، فإنّ تأثير التخميد الخفيف على حركة الفوغويد يكون في أفضل الأحوال ضعيفًا. ويمكن للمروحة ذات السرعة الثابتة أن تساعد في ذلك. كما أن التخميد الشديد لدوران الشفرات أو القصور الذاتي الدوراني الكبير يزيد من الترابط بين أنماط الفوغويد ذات الفترة القصيرة، مما يؤدي إلى تعديل حركة الفوغويد.

من المعتاد اشتقاق معادلات الحركة من خلال معالجة رياضية رسمية، وهو ما يُعدّ بالنسبة للمهندس ضربًا من ضروب التلاعب الرياضي. أما النهج الحالي فيتبع تحليل مستوى الميل في صياغة المعادلات باستخدام مفاهيم مألوفة إلى حدٍّ معقول.

إن تطبيق نبضة عبر دواسات الدفة من شأنه أن يؤدي إلى حدوث دوران هولندي ، وهو التذبذب في الدوران والانعراج، مع تأخر حركة الدوران عن الانعراج بمقدار ربع دورة، بحيث تتبع أطراف الجناح مسارات بيضاوية بالنسبة للطائرة.

إن معادلة الانتقال في مستوى الانعراج، كما هو الحال في مستوى الميل، تساوي التسارع المركزي بالقوة الجانبية.

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

أين${\displaystyle \beta }$(beta) هي زاوية الانزلاق الجانبي ، و Y هي القوة الجانبية، و r هو معدل الانعراج.

معادلات العزم أكثر تعقيدًا بعض الشيء. يتحقق شرط التوازن عندما تكون الطائرة بزاوية هجوم بالنسبة لتدفق الهواء. لا يتطابق المحور السيني للجسم مع متجه السرعة، وهو الاتجاه المرجعي لمحاور الرياح. بعبارة أخرى، محاور الرياح ليست محاور رئيسية (الكتلة غير موزعة بشكل متناظر حول محوري الانعراج والدوران). لنفترض حركة عنصر كتلة في الموضع -z، حيث x في اتجاه المحور y، أي داخل مستوى الورقة.

إذا كان معدل الدوران هو p، فإن سرعة الجسيم هي:

${\displaystyle v=-pz+xr}$

تتكون هذه المعادلة من حدين، الأول هو القوة المؤثرة على الجسيم، وهي تتناسب طرديًا مع معدل تغير السرعة (v)، والثاني ناتج عن تغير اتجاه هذه المركبة من السرعة أثناء حركة الجسم. ينتج عن الحدين الأخيرين حاصل ضرب اتجاهي لكميات صغيرة (pq، pr، qr)، والتي يتم تجاهلها لاحقًا. في هذا التحليل، يتم تجاهلها منذ البداية لتبسيط المعادلة. في الواقع، نفترض أن اتجاه سرعة الجسيم الناتج عن معدلي الدوران حول المحورين (الدوران حول المحورين) لا يتغير بشكل ملحوظ طوال الحركة. مع هذا الافتراض المبسط، يصبح تسارع الجسيم كما يلي:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

يتم حساب عزم الانحراف من خلال:

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

يوجد عزم دوران إضافي ناتج عن إزاحة الجسيم في الاتجاه y:${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

يتم إيجاد عزم الانحراف عن طريق جمع جميع جسيمات الجسم:

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

حيث N هو عزم الانعراج، وE هو حاصل ضرب القصور الذاتي، وC هو عزم القصور الذاتي حول محور الانعراج . وبمنطق مماثل، نحصل على معادلة الدوران:

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

حيث L هو عزم الدوران و A هو عزم القصور الذاتي للدوران.

الولايات هي${\displaystyle \beta }$(الانزلاق الجانبي)، وr (معدل الانعراج)، وp (معدل الدوران)، مع عزمي الدوران N (الانعراج) وL (الدوران)، والقوة Y (جانبيًا). توجد تسعة مشتقات استقرار ذات صلة بهذه الحركة، ويشرح ما يلي كيفية نشأتها. ومع ذلك، يمكن اكتساب فهم بديهي أفضل من خلال اللعب بطائرة نموذجية، والنظر في كيفية تأثر القوى المؤثرة على كل مكون بالتغيرات في الانزلاق الجانبي والسرعة الزاوية .

${\displaystyle Y_{\beta }}$القوة الجانبية الناتجة عن الانزلاق الجانبي (في حالة عدم وجود انحراف).

يُولد الانزلاق الجانبي قوة جانبية من الزعنفة وجسم الطائرة . بالإضافة إلى ذلك، إذا كان للجناح زاوية ثنائية، فإن الانزلاق الجانبي عند زاوية دوران موجبة يزيد من زاوية الهجوم على الجناح الأيمن ويقللها على الجانب الأيسر، مما ينتج عنه مركبة قوة صافية معاكسة تمامًا لاتجاه الانزلاق الجانبي. للانحناء الخلفي للأجنحة التأثير نفسه على زاوية الهجوم، ولكن نظرًا لأن الأجنحة غير مائلة في المستوى الرأسي، فإن الانحناء الخلفي وحده لا يؤثر.${\displaystyle Y_{\beta }}$ومع ذلك، يمكن استخدام زاوية انحناء سالبة مع زوايا انحناء خلفية عالية في الطائرات عالية الأداء لتعويض تأثيرات الانزلاق الجانبي على زاوية ميل الجناح. ومن الغريب أن هذا لا يعكس إشارة مساهمة تكوين الجناح في${\displaystyle Y_{\beta }}$(مقارنة بحالة الزاوية الثنائية).

${\displaystyle Y_{p}}$القوة الجانبية الناتجة عن معدل الدوران.

يُسبب معدل الدوران زاوية ميل عند الزعنفة، مما يُولد قوة جانبية مُقابلة. كما أن الدوران الموجب (انخفاض الجناح الأيمن) يزيد من قوة الرفع على الجناح الأيمن ويُقللها على الجناح الأيسر. إذا كان للجناح زاوية ثنائية، فسيؤدي ذلك إلى قوة جانبية تُعاكس مؤقتًا ميل الانزلاق الجانبي الناتج. أما في حالة الأجنحة ذات الزاوية السالبة أو تكوينات المثبتات، فقد تنعكس إشارة القوة الجانبية إذا طغى تأثير الزعنفة.

${\displaystyle Y_{r}}$القوة الجانبية الناتجة عن معدل الانعراج.

يؤدي الانحراف إلى توليد قوى جانبية بسبب الاصطدام بالدفة والزعنفة وجسم الطائرة.

${\displaystyle N_{\beta }}$عزم الانحراف الناتج عن قوى الانزلاق الجانبي.

يؤدي الانزلاق الجانبي في غياب استخدام الدفة إلى ارتطام جسم الطائرة وذيلها ، مما يخلق عزم دوران لا يُعاكسه سوى الصلابة الاتجاهية، الأمر الذي من شأنه أن يُعيد توجيه مقدمة الطائرة نحو الريح في ظروف الطيران الأفقي. في ظل ظروف الانزلاق الجانبي عند زاوية دوران معينة${\displaystyle N_{\beta }}$سيميل إلى توجيه مقدمة الطائرة في اتجاه الانزلاق الجانبي حتى بدون استخدام الدفة، مما يتسبب في طيران حلزوني هابط.

${\displaystyle N_{p}}$عزم الدوران الناتج عن معدل الدوران الجانبي.

يُولد معدل الدوران قوة رفع للزعانف، مما يُسبب عزم دوران جانبي، كما يُغير بشكل تفاضلي قوة الرفع على الأجنحة، وبالتالي يؤثر على مساهمة كل جناح في السحب المُستحث، مما يُسبب مساهمة (صغيرة) في عزم الدوران الجانبي. يُسبب الدوران الموجب عمومًا دورانًا موجبًا${\displaystyle N_{p}}$القيم ما لم يكن الذيل مائلاً للأسفل أو كانت الزعنفة أسفل محور الدوران. مركبات القوة الجانبية الناتجة عن اختلافات رفع الجناح ثنائي السطوح أو المائل للأسفل لها تأثير ضئيل على${\displaystyle N_{p}}$لأن محور الجناح يكون عادةً محاذياً بشكل وثيق لمركز الثقل.

${\displaystyle N_{r}}$عزم الدوران الناتج عن معدل الدوران.

يؤدي إدخال معدل الانعراج عند أي زاوية دوران إلى توليد متجهات قوة الدفة والزعنفة وجسم الطائرة، والتي تهيمن على عزم الانعراج الناتج. كما يزيد الانعراج من سرعة الجناح الخارجي بينما يبطئ الجناح الداخلي، مع ما يصاحب ذلك من تغيرات في مقاومة الهواء مما يتسبب في عزم انعراج معاكس (صغير).${\displaystyle N_{r}}$يعارض الصلابة الاتجاهية المتأصلة التي تميل إلى توجيه مقدمة الطائرة للخلف في اتجاه الريح وتتوافق دائمًا مع إشارة معدل الانعراج المدخل.

${\displaystyle L_{\beta }}$عزم الدوران الناتج عن الانزلاق الجانبي.

تُولّد زاوية الانزلاق الجانبي الموجبة ميلًا في ذيل الطائرة، مما قد يُسبب عزم دوران موجبًا أو سالبًا تبعًا لتصميمها. عند أي زاوية انزلاق جانبي غير صفرية، تُسبب الأجنحة ذات الانحناء الثنائي عزم دوران يميل إلى إعادة الطائرة إلى الوضع الأفقي، كما هو الحال مع الأجنحة ذات الانحناء الخلفي. مع الأجنحة ذات الانحناء العالي، قد يكون عزم الدوران الناتج مفرطًا بالنسبة لجميع متطلبات الاستقرار، ويمكن استخدام الانحناء السفلي لموازنة تأثير عزم الدوران الناتج عن انحناء الجناح.

${\displaystyle L_{r}}$عزم الدوران الناتج عن معدل الانعراج.

يؤدي الانحراف إلى زيادة سرعة الجناح الخارجي مع تقليل سرعة الجناح الداخلي، مما يُحدث عزم دوران على الجانب الداخلي. وعادةً ما يدعم الزعنفة هذا التأثير الدوراني الداخلي ما لم يتم تعويضه بواسطة مثبت ذي زاوية سفلية فوق محور الدوران (أو زاوية ثنائية أسفل محور الدوران).

${\displaystyle L_{p}}$عزم الدوران الناتج عن معدل الدوران.

يُولّد الدوران قوى دوران معاكسة على كلٍّ من الجناحين الأيمن والأيسر، كما يُولّد قوى مماثلة عند الذيل. يجب التغلب على تأثيرات عزم الدوران المتعاكسة هذه بواسطة مدخلات الجنيحات للحفاظ على معدل الدوران. إذا توقف الدوران عند زاوية دوران غير صفرية،${\displaystyle L_{\beta }}$ينبغي لعزم الدوران الصاعد الناتج عن الانزلاق الجانبي اللاحق أن يعيد الطائرة إلى الوضع الأفقي ما لم يتجاوزه بدوره عزم الدوران الهابط${\displaystyle L_{r}}$عزم الدوران الناتج عن معدل الانعراج الناجم عن الانزلاق الجانبي. ويمكن ضمان الاستقرار الطولي أو تحسينه عن طريق تقليل هذا التأثير الأخير.

بما أن التدحرج الهولندي هو نمط تحكم، مشابه لتذبذب الميلان قصير المدى، يمكن تجاهل أي تأثير قد يكون له على المسار. يتكون معدل الجسم r من معدل تغير زاوية الانزلاق الجانبي ومعدل الدوران. بافتراض أن الأخير يساوي صفرًا، أي عدم وجود تأثير على المسار، وذلك لغرض دراسة التدحرج الهولندي فقط:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

تصبح معادلات الانعراج والدوران، مع مشتقات الاستقرار، كما يلي:

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$(انحراف)

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$(لفافة)

يُعتبر عزم القصور الذاتي الناتج عن تسارع الدوران صغيرًا مقارنةً بالحدود الديناميكية الهوائية، لذا تصبح المعادلات كما يلي:

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

يصبح هذا معادلة من الدرجة الثانية تحكم إما معدل الدوران أو الانزلاق الجانبي:

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

معادلة معدل الدوران متطابقة. لكن زاوية الدوران،${\displaystyle \phi }$(فاي) تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

إذا كانت p حركة توافقية بسيطة مخمدة، فإن${\displaystyle \phi }$لكن يجب أن يكون الدوران متعامدًا مع معدل الدوران، وبالتالي مع الانزلاق الجانبي أيضًا. تتكون الحركة من تذبذبات في الدوران والانعراج، حيث تتأخر حركة الدوران 90 درجة عن حركة الانعراج. ترسم أطراف الجناح مسارات بيضاوية.

يتطلب الاستقرار أن تكون قيم " الصلابة " و"التخميد" موجبة. وهما:

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$(التخميد)

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ (صلابة)

المقام يهيمن عليه${\displaystyle L_{p}}$، مشتق التخميد الدوراني، وهو دائمًا سالب، لذا فإن مقامات هذين التعبيرين ستكون موجبة.

بالنظر إلى مصطلح "الصلابة":${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$سيكون إيجابياً لأن${\displaystyle L_{p}}$سلبي دائمًا و${\displaystyle N_{\beta }}$إيجابي بحكم التصميم. ${\displaystyle L_{\beta }}$عادة ما تكون سلبية، بينما${\displaystyle N_{p}}$إيجابي. يمكن أن يؤدي الانحناء الثنائي المفرط إلى زعزعة استقرار الدوران الهولندي، لذا تتطلب التكوينات ذات الأجنحة المائلة بشدة انحناءً سفليًا لتعويض مساهمة انحناء الجناح في${\displaystyle L_{\beta }}$.

يهيمن على حد التخميد حاصل ضرب مشتقات تخميد الدوران وتخميد الانعراج، وكلاهما سالب، لذا فإن حاصل ضربهما موجب. وبالتالي، يجب تخميد الدوران الهولندي.

تترافق هذه الحركة مع حركة جانبية طفيفة لمركز الثقل، وسيُدخل تحليل أكثر دقة مصطلحات في${\displaystyle Y_{\beta }}$إلخ. بالنظر إلى الدقة التي يمكن بها حساب مشتقات الاستقرار، فإن هذا التشدد غير ضروري، والذي يعمل على إخفاء العلاقة بين هندسة الطائرة والتحكم فيها، وهو الهدف الأساسي لهذه المقالة.

يؤدي تحريك عصا التحكم جانبًا وإعادتها إلى المنتصف إلى تغيير صافٍ في اتجاه الدوران.

تتميز حركة الدوران بانعدام الاستقرار الطبيعي، فلا توجد مشتقات استقرار تولد عزمًا استجابةً لزاوية الدوران بالقصور الذاتي. ويؤدي اضطراب الدوران إلى معدل دوران لا يُلغى إلا بتدخل الطيار أو الطيار الآلي . ويحدث هذا مع تغيرات طفيفة في معدل الانزلاق الجانبي أو الانعراج، لذا تُختزل معادلة الحركة إلى:

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$بما أن قيمة الانحراف سالبة، فإن معدل الدوران سيتناقص مع مرور الوقت. ينخفض ​​معدل الدوران إلى الصفر، ولكن لا توجد سيطرة مباشرة على زاوية الدوران.

بمجرد تثبيت عصا التحكم، وعند بدء الطيران والأجنحة قريبة من الوضع الأفقي، تميل الطائرة عادةً إلى الانحراف تدريجيًا إلى أحد جانبي مسار الطيران المستقيم. هذا هو الوضع الحلزوني (غير المستقر نوعًا ما) .