حزمة (رياضيات)

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا. حزمة مسبقة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات على${\displaystyle X}$يتكون من البيانات التالية:

• لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$، توجد مجموعة${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$يُشار إلى هذه المجموعة أيضًا بـ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$تُسمى العناصر الموجودة في هذه المجموعة أقسام${\displaystyle {\mathcal {F}}}$زيادة${\displaystyle U}$أقسام${\displaystyle {\mathcal {F}}}$زيادة${\displaystyle X}$تُسمى هذه الأقسام بالأقسام العالمية لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.
• لكل تضمين للمجموعات المفتوحة${\displaystyle V\subseteq U}$، دالة${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$بالنظر إلى العديد من الأمثلة أدناه، فإن التشكلات${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$تُسمى هذه التشكلات بتشكلات التقييد . إذا${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ثم تقييده${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle s|_{V}}$قياساً على تقييد الوظائف.

يُشترط أن تستوفي التشكلات المقيدة خاصيتين إضافيتين ( وظيفيتين ):

• لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$، تشاكل التقييد${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$هو التشاكل المحايد على${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$.
• إذا كان لدينا ثلاث مجموعات مفتوحة${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ثم المركب${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$.

بصورة غير رسمية، تنص البديهية الثانية على أنه لا يهم ما إذا كنا نقتصر على${\displaystyle W}$في خطوة واحدة أو حصرها أولاً في${\displaystyle V}$ثم إلى${\displaystyle W}$. فيما يلي إعادة صياغة وظيفية موجزة لهذا التعريف.

تأتي العديد من الأمثلة على الحزم المسبقة من فئات مختلفة من الدوال: إلى أي${\displaystyle U}$يمكن للمرء تعيين المجموعة${\displaystyle C^{0}(U)}$من الدوال الحقيقية المتصلة على${\displaystyle U}$تُعطى خرائط التقييد ببساطة عن طريق تقييد دالة متصلة على${\displaystyle U}$إلى مجموعة فرعية مفتوحة أصغر${\displaystyle V\subseteq U}$وهي دالة متصلة أيضًا. يتم التحقق من بديهيتي الحزمة المسبقة مباشرةً، مما يُعطي مثالًا على الحزمة المسبقة. ويمكن تعميم ذلك على حزمة مسبقة من الدوال التحليلية.${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$وحزمة مسبقة من الدوال السلسة${\displaystyle C^{\infty }(-)}$.

ومن الأمثلة الشائعة الأخرى التعيين إلى${\displaystyle U}$مجموعة الدوال الحقيقية الثابتة على${\displaystyle U}$تُسمى هذه الحزمة المسبقة بالحزمة المسبقة الثابتة المرتبطة بـ${\displaystyle \mathbb {R} }$ويُشار إليه بـ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$.

بالنظر إلى حزمة مسبقة، فإن السؤال الطبيعي الذي يطرح هو إلى أي مدى يمكن أن تؤدي أقسامها على مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$يتم تحديدها من خلال قيودها على فتح مجموعات فرعية من${\displaystyle U}$الحزمة هي حزمة مسبقة يتم تحديد أقسامها، من الناحية الفنية، بشكل فريد من خلال قيودها.

من الناحية البديهية، الحزمة هي حزمة مسبقة تحقق كلا البديهيتين التاليتين:

1. ( الموقع ) لنفترض${\displaystyle U}$هي مجموعة مفتوحة،${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle U}$مع${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$للجميع${\displaystyle i\in I}$، و${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$هي أقسام. إذا${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$للجميع${\displaystyle i\in I}$، ثم${\displaystyle s=t}$.
2. ( اللصق ) لنفترض${\displaystyle U}$هي مجموعة مفتوحة،${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle U}$مع${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$للجميع${\displaystyle i\in I}$، و${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$هي عائلة من المقاطع. إذا اتفقت جميع أزواج المقاطع على تداخل نطاقاتها، أي إذا${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$للجميع${\displaystyle i,j\in I}$ثم يوجد قسم${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$بحيث${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$للجميع${\displaystyle i\in I}$[ ^{1 ]​}

• 
  أقسام فوق فتحتين في فضاء النقطتين.
• 
  لصق الأجزاء المحلية المتوافقة بجزء فوق الوصلة.

في كلتا هاتين البديهيتين، فإن الفرضية المتعلقة بالغطاء المفتوح تعادل الافتراض التالي:${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$.

القسم${\displaystyle s}$يُطلق على العملية التي يضمن وجودها البديهية الثانية اسم لصق أو ربط أو تجميع الأقسام${\displaystyle s_{i}}$بحسب البديهية الأولى، فهو فريد. الأقسام${\displaystyle s_{i}}$و${\displaystyle s_{j}}$تُسمى الأجزاء التي تستوفي شرط الاتفاق المسبق للبديهية 2 غالبًا بالأجزاء المتوافقة  ؛ وبالتالي، تنص البديهيتان 1 و2 معًا على أنه يمكن لصق أي مجموعة من الأجزاء المتوافقة ثنائيًا معًا بشكل فريد . الحزمة المسبقة المنفصلة ، ​​أو الحزمة المسبقة الأحادية ، هي حزمة مسبقة تستوفي البديهية 1. ^{[ 2 ]}

الحزمة المسبقة المكونة من الدوال المتصلة المذكورة أعلاه هي حزمة. ويختزل هذا التأكيد إلى التحقق من أنه، بالنظر إلى الدوال المتصلة${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$والتي تتفق على التقاطعات${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$، هناك دالة متصلة فريدة${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$الذي يساوي تقييده${\displaystyle f_{i}}$. على النقيض من ذلك، فإن الحزمة المسبقة الثابتة عادة لا تكون حزمة لأنها تفشل في تلبية بديهية الموضع على المجموعة الفارغة (يتم شرح هذا بمزيد من التفصيل في الحزمة الثابتة ).

يُشار عادةً إلى الحزم المسبقة والحزم بأحرف كبيرة،${\displaystyle F}$وهي شائعة بشكل خاص، على الأرجح بالنسبة للكلمة الفرنسية التي تعني حزمة، faisceau . استخدام الحروف الخطية مثل${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وهو أمر شائع أيضاً.

يمكن إثبات أنه لتحديد حزمة، يكفي تحديد تقييدها على المجموعات المفتوحة لأساس طوبولوجيا الفضاء الأساسي. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أنه يكفي التحقق من بديهيات الحزمة المذكورة أعلاه بالنسبة للمجموعات المفتوحة لتغطية. تُستخدم هذه الملاحظة لبناء مثال آخر بالغ الأهمية في الهندسة الجبرية، ألا وهو الحزم شبه المتماسكة . هنا، الفضاء الطوبولوجي المعني هو طيف حلقة تبديلية .${\displaystyle R}$، التي تمثل نقاطها المثل العليا${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$في${\displaystyle R}$المجموعات المفتوحة${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$تشكل أساسًا لطوبولوجيا زاريسكي على هذا الفضاء. بالنظر إلى${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$، هناك حزمة، يرمز لها بـ${\displaystyle {\tilde {M}}}$على${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$، الذي يرضي $${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$$ أين${\displaystyle M[1/f]}$هو توطين​${\displaystyle M}$في${\displaystyle f}$.

هناك توصيف آخر للحزم يعادل ما نوقش سابقًا. الحزمة المسبقة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تكون حزمة إذا وفقط إذا كان لأي حزمة مفتوحة${\displaystyle U}$وأي غطاء مفتوح${\displaystyle \{U_{a}\}}$ل${\displaystyle U}$،${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$هو منتج الألياف${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$يُعد هذا التوصيف مفيدًا في بناء الحزم، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$إذا كانت حزمًا أبيلية ، فإن نواة تشاكل الحزم${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$هي حزمة، لأن النهايات الإسقاطية تتبادل مع النهايات الإسقاطية. من جهة أخرى، لا تكون النواة المشتركة دائمًا حزمة لأن النهايات الاستقرائية لا تتبادل بالضرورة مع النهايات الإسقاطية. إحدى طرق حل هذه المشكلة هي النظر في الفضاءات الطوبولوجية النويثرية؛ جميع المجموعات المفتوحة متراصة، وبالتالي فإن النواة المشتركة هي حزمة، لأن النهايات الإسقاطية المنتهية تتبادل مع النهايات الاستقرائية.

أحد الدوافع التاريخية لمفهوم الحزم جاء من دراسة المشعبات المعقدة ، ^{[ 4 ]} والهندسة التحليلية المعقدة ، ^{[ 5 ]} ونظرية المخططات من الهندسة الجبرية . وذلك لأننا في جميع الحالات السابقة، نعتبر فضاءً طوبولوجيًا.${\displaystyle X}$بالإضافة إلى حزمة هيكلية${\displaystyle {\mathcal {O}}}$مما يمنحها بنية متعددة الشعب المعقدة، أو فضاء تحليلي معقد، أو مخطط. يُعد هذا المنظور لتزويد الفضاء الطوبولوجي بحزمة أمرًا أساسيًا لنظرية الفضاءات الحلقية المحلية (انظر أدناه).

تُشابه مورفيزمات الحزم، بشكل عام، الدوال بينها. وعلى عكس الدالة بين المجموعات، التي تُعنى ببساطة بتعيين المخرجات للمدخلات، فإن مورفيزمات الحزم تتطلب أيضًا التوافق مع البنى المحلية والعالمية للحزم الأساسية. ويتضح هذا المفهوم بدقة في التعريف التالي.

يترك${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ليكن مجموعتين من المجموعات (على التوالي مجموعات أبيلية، حلقات، إلخ) على${\displaystyle X}$. تشاكل${\displaystyle \varphi$ يتكون :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}} من تشاكل${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$من المجموعات (على التوالي المجموعات الأبيلية، والحلقات، وما إلى ذلك) لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$، بشرط أن يكون هذا التشاكل متوافقًا مع القيود. بعبارة أخرى، لكل مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle V}$من مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$، المخطط التالي تبادلي .

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$$

على سبيل المثال، يؤدي أخذ المشتقة إلى تشاكل الحزم على${\displaystyle \mathbb {R} }$،

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$$

في الواقع، بالنظر إلى (${\displaystyle n}$دالة قابلة للتفاضل باستمرار (مرات)${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$(مع${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$مفتوح)، التقييد (إلى مجموعة فرعية مفتوحة أصغر${\displaystyle V}$) مشتقته يساوي مشتقة${\displaystyle f|_{V}}$.

باستخدام هذا المفهوم للتشاكل، فإن حزم المجموعات (على التوالي الزمر الأبيلية، والحلقات، وما إلى ذلك) على فضاء طوبولوجي ثابت${\displaystyle X}$تشكل فئة . وبالتالي ، يمكن تطبيق المفاهيم الفئوية العامة للتماثل الأحادي والتماثل الفوقي والتماثل على الحزم.

في الواقع، من وجهة نظر نظرية الفئات، فإن فئة الحزم فوق فئة (صغيرة)${\displaystyle C}$مع قيم في فئة أخرى${\displaystyle D}$هي فئة فرعية كاملة من فئة الحزم المسبقة${\displaystyle C}$مع القيم في${\displaystyle D}$، وهو ببساطة الفئة${\displaystyle D^{C^{\text{op}}}}$من الدوال المتغيرة عكسيًا من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$مع التحويلات الطبيعية بينهما كتشاكلات: يمكن ببساطة صياغة مفهوم التشاكل المحدد أعلاه على النحو التالي${\displaystyle \varphi }$كونها تحولاً طبيعياً بين الحزمتين اللتين يُنظر إليهما كدالتين.

التشكل${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$من الحزم على${\displaystyle X}$يكون تماثلاً (أو أحادي التشكل) إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$لدينا تماثل${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)}$وهذا أمر طبيعي فيما يتعلق بخرائط التقييد. تُقدّم هذه العبارات أمثلةً على كيفية التعامل مع الحزم باستخدام المعلومات المحلية، ولكن من المهم ملاحظة أنه لا يمكننا التحقق مما إذا كان تشاكل الحزم تشاكلًا شاملًا بنفس الطريقة. في الواقع، العبارة التي تُطبّق على مستوى المجموعات المفتوحة${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$لا تكون دائمًا شاملة بالنسبة للتشاكلات فوق الحزم، وهذا يعادل عدم دقة دالة المقاطع العالمية - أو بشكل مكافئ، عدم تفاهة علم التماثل للحزم .

الساق​${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$من حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يجسد خصائص حزمة "حول" نقطة${\displaystyle x\in X}$بتعميم مبادئ الدوال . هنا، تعني كلمة "حول" أنه، من الناحية المفاهيمية، يتم النظر إلى نطاقات أصغر فأصغر حول النقطة. بالطبع، لن يكون أي نطاق صغيرًا بما يكفي، مما يستلزم النظر في نوع من أنواع النهايات. وبشكل أدق، يتم تعريف الساق بواسطة

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$$

الحد المباشر يكون على جميع المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle X}$يحتوي على النقطة المعطاة${\displaystyle x}$بمعنى آخر، يُعطى عنصر من الساق بواسطة مقطع فوق جوار مفتوح ما من${\displaystyle x}$ويعتبر قسمان من هذا القبيل متكافئين إذا اتفقت قيودهما على حي أصغر.

التشكل الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$يأخذ قسما${\displaystyle s}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$إلى جرثومته${\displaystyle s_{x}}$في${\displaystyle x}$وهذا يعمم التعريف المعتاد للجراثيم .

في كثير من الحالات، يكفي معرفة سيقان الحزمة للتحكم بها. على سبيل المثال، يمكن اختبار ما إذا كان تشاكل الحزم أحاديًا أو فوقيًا أو متماثلًا على سيقانها. وبهذا المعنى، تُحدد الحزمة بسيقانها، التي تُعد بيانات محلية. في المقابل، المعلومات الكلية الموجودة في الحزمة، أي المقاطع الكلية ، أي المقاطع${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$في المساحة بأكملها${\displaystyle X}$عادةً ما تحمل معلومات أقل. على سبيل المثال، بالنسبة لمتشعب معقد مضغوط${\displaystyle X}$، المقاطع العالمية لحزمة الدوال الهولومورفية هي فقط${\displaystyle \mathbb {C} }$بما أن أي دالة هولومورفية${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$ثابت وفقًا لنظرية ليوفيل . ^{[ 6 ]}

من المفيد غالبًا أخذ البيانات الموجودة في حزمة مسبقة والتعبير عنها كحزمة. اتضح أن هناك طريقة مثلى للقيام بذلك. تأخذ هذه الطريقة حزمة مسبقة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وينتج حزمة جديدة${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$يُطلق عليها اسم عملية التغليف أو الحزمة المرتبطة بالحزمة السابقة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على سبيل المثال، يُطلق على تحويل الحزمة المسبقة الثابتة (انظر أعلاه) اسم الحزمة الثابتة . وعلى الرغم من اسمها، فإن مقاطعها عبارة عن دوال ثابتة محليًا .

حزمة${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$يمكن بناؤها باستخدام مساحة étalé${\displaystyle E}$ل${\displaystyle {\mathcal {F}}}$أي بمعنى آخر، كحزمة من أقسام الخريطة

$${\displaystyle E\to X.}$$

بناء آخر للحزمة${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$تتم العملية عن طريق دالة${\displaystyle L}$من حزم مسبقة إلى حزم مسبقة أخرى تعمل على تحسين خصائص الحزمة المسبقة تدريجياً: لأي حزمة مسبقة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$،${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$هي حزمة منفصلة، ​​ولأي حزمة منفصلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$،${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$هي حزمة. الحزمة المرتبطة بها${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$[ ^{8 ]​}

فكرة أن الحزمة${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$هو أفضل تقريب ممكن لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يتم تحديد دقة التعبير بواسطة حزمة باستخدام الخاصية العامة التالية : يوجد تشاكل طبيعي للحزم المسبقة${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$بحيث يكون لكل حزمة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$وأي تشاكل للحزم المسبقة${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$يوجد شكل فريد للحزم${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$بحيث${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$. في الحقيقة،${\displaystyle a}$هو الدالة المرافقة اليسرى لدالة التضمين (أو دالة النسيان ) من فئة الحزم إلى فئة الحزم المسبقة، و${\displaystyle i}$هي وحدة الاقتران. وبهذه الطريقة، تتحول فئة الحزم إلى فئة فرعية من فئات جيرو للحزم المسبقة. هذا الوضع الفئوي هو السبب في ظهور دالة الحزم في بناء النوى المشتركة لتشكلات الحزم أو جداءات الموترات للحزم، ولكن ليس بالنسبة للنوى، على سبيل المثال.

لو${\displaystyle K}$هي حزمة فرعية من حزمة${\displaystyle F}$من المجموعات الأبيلية، ثم حزمة القسمة${\displaystyle Q}$هل الحزمة مرتبطة بالحزمة السابقة؟${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$بمعنى آخر، تتناسب حزمة القسمة مع تسلسل دقيق من حزم المجموعات الأبيلية؛

$${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$$

(يُطلق على هذا أيضًا اسم امتداد الحزمة .)

يترك${\displaystyle F,G}$تكون حزمًا من الزمر الأبيلية. المجموعة${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$من تشاكلات الحزم من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle G}$يشكل زمرة أبيلية (بحسب بنية الزمرة الأبيلية لـ${\displaystyle G}$). حزمة هوم من${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$، ويرمز إليه بـ

$${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$$

هي حزمة المجموعات الأبيلية${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$أين${\displaystyle F|_{U}}$هل الحزمة على${\displaystyle U}$مقدم من${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$(ملاحظة: لا حاجة إلى تحويل إلى شكل متجه هنا). المجموع المباشر لـ${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$هي الحزمة المعطاة بواسطة${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$، والناتج الموتري لـ${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$هل الحزمة مرتبطة بالحزمة السابقة؟${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$.

تمتد جميع هذه العمليات إلى حزم من الوحدات فوق حزمة من الحلقات${\displaystyle A}$ما سبق هو الحالة الخاصة عندما${\displaystyle A}$هي الحزمة الثابتة${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$.

بما أن بيانات الحزمة (الأولية) تعتمد على المجموعات الفرعية المفتوحة للفضاء الأساسي، فإن الحزم على فضاءات طوبولوجية مختلفة لا ترتبط ببعضها البعض بمعنى أنه لا توجد تشاكلات بينها. ومع ذلك، بالنظر إلى خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to Y}$بين فضاءين طوبولوجيين، تربط عمليتا الدفع للأمام والسحب للخلف الحزم على${\displaystyle X}$إلى أولئك الذين${\displaystyle Y}$والعكس صحيح.

تمديد بمقدار صفر

لإدراجها${\displaystyle j:U\to X}$بالنسبة لمجموعة جزئية مفتوحة، فإن التمديد بمقدار صفر${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$(تُنطق "ج" صرخة فا منخفضة) من حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من المجموعات الأبيلية على${\displaystyle U}$هو تقسيم الحزمة الأولية كما هو محدد بواسطة

$${\displaystyle V\mapsto {\begin{cases}{\mathcal {F}}(V)&{\textrm {if}}\ V\subseteq U\\0&{\textrm {otherwise.}}\end{cases}}}$$

من أجل حزمة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$على${\displaystyle X}$هذا البناء مكمل بمعنى ما لـ${\displaystyle i_{*}}$، أين${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$إن تضمين مكمل لـ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$ل${\displaystyle x}$في${\displaystyle U}$ويكون طول الساق صفراً في غير ذلك، بينما

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$ل${\displaystyle x}$في${\displaystyle U}$، ويساوي${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$خلاف ذلك.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle A\subset X}$إذا كانت مجموعة جزئية مغلقة محليًا ، فإنه يوجد مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle A}$مغلق في${\displaystyle U}$. يترك${\displaystyle f:A\to U}$و${\displaystyle j:U\to X}$لتكن التضمينات الطبيعية. عندئذٍ يكون امتداد الحزمة بمقدار صفر${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle A}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$.

نظرًا لسلوكها الجيد على السيقان، فإن التمديد بواسطة الدالة الصفرية مفيد لتقليل المسائل المتعلقة بنظرية الحزم.${\displaystyle X}$إلى تلك الموجودة على طبقات التقسيم الطبقي ، أي تفكيك لـ${\displaystyle X}$إلى مجموعات فرعية أصغر مغلقة محليًا.

بالإضافة إلى الحزم (الأولية) كما ورد أعلاه، حيث${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$بما أن هي مجرد مجموعة، فمن المهم في كثير من الحالات تتبع البنية الإضافية لهذه الأقسام. على سبيل المثال، تشكل أقسام حزمة الدوال المتصلة بشكل طبيعي فضاءً متجهيًا حقيقيًا ، والتقييد هو تطبيق خطي بين هذه الفضاءات المتجهة.

حزم مسبقة بقيم في فئة عشوائية${\displaystyle C}$يتم تعريفها من خلال النظر أولاً في فئة المجموعات المفتوحة على${\displaystyle X}$أن تكون فئة الوضعية${\displaystyle O(X)}$التي تكون عناصرها هي المجموعات المفتوحة لـ${\displaystyle X}$والتي تكون مورفيزماتها عبارة عن تضمينات. ثم أ${\displaystyle C}$-قيمة الحزمة المسبقة على${\displaystyle X}$هو نفسه دالة متغايرة من${\displaystyle O(X)}$ل${\displaystyle C}$. إن التشكلات في هذه الفئة من الدوال، والمعروفة أيضًا باسم التحويلات الطبيعية ، هي نفسها التشكلات المحددة أعلاه، كما يمكن أن يتضح من خلال فك التعريفات.

إذا كانت الفئة المستهدفة${\displaystyle C}$يُقرّ بجميع الحدود ، أ${\displaystyle C}$تكون الحزمة المسبقة ذات القيم - حزمة إذا كان المخطط التالي يمثل مُعادلاً لكل غطاء مفتوح ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$من أي مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$:

$${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

الخريطة الأولى هنا هي نتاج خرائط التقييد

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$$

والسهمان هما نتاج مجموعتي القيود

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$$

و

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

لو${\displaystyle C}$هي فئة تبديلية ، ويمكن إعادة صياغة هذا الشرط باشتراط وجود تسلسل دقيق

$${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

تحدث حالة خاصة من حالة الحزمة هذه لـ${\displaystyle U}$كونها المجموعة الفارغة، ومجموعة الفهرس${\displaystyle I}$وأن تكون فارغة أيضاً. في هذه الحالة، يتطلب شرط الحزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ليكون الكائن النهائي في${\displaystyle C}$.

في العديد من فروع الهندسة، بما في ذلك الهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية ، تأتي الفراغات مصحوبة بحزمة طبيعية من الحلقات، والتي تسمى غالبًا حزمة البنية ويرمز لها بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$مثل هذا الزوج${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$يُطلق عليه اسم الفضاء الحلقي . يمكن تعريف أنواع عديدة من الفضاءات على أنها أنواع معينة من الفضاءات الحلقية. عادةً، جميع السيقان${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$من حزمة البنية تكون حلقات محلية ، وفي هذه الحالة يُطلق على الزوج اسم فضاء حلقي محلي .

على سبيل المثال،${\displaystyle n}$-الأبعاد${\displaystyle C^{k}}$متعدد المنافذ${\displaystyle M}$هو فضاء حلقي محلي تتكون حزمة بنيته من${\displaystyle C^{k}}$الدوال على المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle M}$تُترجم خاصية كون الفضاء حلقيًا محليًا إلى حقيقة أن هذه الدالة، التي لا تساوي صفرًا عند نقطة ما${\displaystyle x}$، وهي أيضًا غير صفرية في جوار مفتوح صغير بما فيه الكفاية من${\displaystyle x}$يُعرّف بعض المؤلفين المتشعبات الحقيقية (أو المركبة) بأنها فضاءات حلقية محلية متماثلة محليًا مع الزوج المكون من مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(على التوالى${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) بالإضافة إلى حزمة من${\displaystyle C^{k}}$(على التوالي الدوال الهولومورفية). ^{[ 10 ]} وبالمثل، فإن المخططات ، وهي المفهوم الأساسي للفضاءات في الهندسة الجبرية، هي فضاءات حلقية محلية متماثلة محليًا مع طيف الحلقة .

بالنظر إلى فضاء حلقي، فإن حزمة من الوحدات النمطية هي حزمة${\displaystyle {\mathcal {M}}}$بحيث يكون على كل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$،${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$هو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$-وحدة نمطية ولكل تضمين للمجموعات المفتوحة${\displaystyle V\subseteq U}$خريطة القيود${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$متوافق مع خريطة القيود${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$: تقييد${\displaystyle fs}$هو تقييد${\displaystyle f}$أضعاف ذلك${\displaystyle s}$لأي${\displaystyle f}$في${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$و${\displaystyle s}$في${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$.

تُعدّ حزم الوحدات النمطية أهم الأشكال الهندسية. فعلى سبيل المثال، توجد علاقة تناظرية بين حزم المتجهات والحزم الحرة محليًا .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات. ينطبق هذا النموذج على حزم المتجهات الحقيقية، وحزم المتجهات المركبة، أو حزم المتجهات في الهندسة الجبرية (حيث${\displaystyle {\mathcal {O}}}$تتكون من دوال سلسة، أو دوال تحليلية، أو دوال منتظمة، على التوالي). حزم حلول المعادلات التفاضلية هي${\displaystyle D}$الوحدات النمطية ، أي الوحدات النمطية فوق حزمة المؤثرات التفاضلية . في أي فضاء طوبولوجي، الوحدات النمطية فوق حزمة الثوابت${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$هي نفسها حزم المجموعات الأبيلية بالمعنى المذكور أعلاه.

يوجد مُعامل صورة عكسي مختلف لحزم الوحدات فوق حزم الحلقات. يُرمز لهذا المُعامل عادةً بـ${\displaystyle f^{*}}$وهو يختلف عن${\displaystyle f^{-1}}$انظر إلى دالة الصورة العكسية .

في الأمثلة السابقة، لوحظ أن بعض الحزم تظهر بشكل طبيعي كحزم من المقاطع. في الواقع، يمكن تمثيل جميع حزم المجموعات كحزم من مقاطع فضاء طوبولوجي يُسمى فضاء إيتاليه ، من الكلمة الفرنسية التي تُنطق [ إيتاليه ] ، والتي تعني تقريبًا "مُنتشر".${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$حزمة فوق${\displaystyle X}$، ثم مساحة étalé (تسمى أحيانًا مساحة étale ) لـ${\displaystyle F}$هو فضاء طوبولوجي${\displaystyle E}$بالإضافة إلى التماثل الموضعي${\displaystyle \pi :E\to X}$بحيث تكون حزمة الأقسام${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ل${\displaystyle \pi }$يكون${\displaystyle F}$المساحة${\displaystyle E}$عادة ما يكون الأمر غريباً للغاية، وحتى لو كانت الحزمة${\displaystyle F}$ينشأ من وضع طوبولوجي طبيعي،${\displaystyle E}$قد لا يكون لها أي تفسير طوبولوجي واضح. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle F}$هي حزمة من مقاطع دالة متصلة${\displaystyle f:Y\to X}$، ثم${\displaystyle E=Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f}$هو تماثل موضعي .

مساحة إيتالي${\displaystyle E}$مصنوع من سيقان${\displaystyle F}$زيادة${\displaystyle X}$كمجموعة، هي اتحادها المنفصل و${\displaystyle \pi }$الخريطة الواضحة التي تأخذ القيمة${\displaystyle x}$على ساق${\displaystyle F}$زيادة${\displaystyle x\in X}$طوبولوجيا${\displaystyle E}$يتم تعريفها على النحو التالي. لكل عنصر${\displaystyle s\in F(U)}$وكل${\displaystyle x\in U}$، فنصاب بجرثومة من${\displaystyle s}$في${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle [s]_{x}}$أو${\displaystyle s_{x}}$تحدد هذه الجراثيم نقاط${\displaystyle E}$لأي${\displaystyle U}$و${\displaystyle s\in F(U)}$، اتحاد هذه النقاط (لكل${\displaystyle x\in U}$) أُعلن عن افتتاحه في${\displaystyle E}$لاحظ أن لكل ساق بنية طوبولوجية منفصلة كبنية طوبولوجية للفضاء الجزئي . يحدد التشكل بين حزمتين خريطة متصلة للفضاءات الإتالية المقابلة، وهي خريطة متوافقة مع خرائط الإسقاط (بمعنى أن كل جرثومة تُسقط على جرثومة أخرى فوق نفس النقطة). هذا يجعل البناء دالة.

يُحدد التركيب أعلاه تكافؤ الفئات بين فئة حزم المجموعات على${\displaystyle X}$وفئة المساحات المنفصلة${\displaystyle X}$يمكن أيضًا تطبيق بناء فضاء étalé على حزمة مسبقة، وفي هذه الحالة تستعيد حزمة أقسام فضاء étalé الحزمة المرتبطة بالحزمة المسبقة المعطاة.

يُحوّل هذا البناء جميع الحزم إلى دوال قابلة للتمثيل على فئات معينة من الفضاءات الطوبولوجية. كما سبق، ليكن${\displaystyle F}$كن حزمة على${\displaystyle X}$، يترك${\displaystyle E}$ليكن فضاءها المنفصل، وليكن${\displaystyle \pi :E\to X}$كن الإسقاط الطبيعي. ضع في اعتبارك الفئة العليا .${\displaystyle {\text{Top}}/X}$من الفضاءات الطوبولوجية على${\displaystyle X}$أي فئة الفضاءات الطوبولوجية بالإضافة إلى الخرائط المتصلة الثابتة إلى${\displaystyle X}$كل عنصر من هذه الفئة عبارة عن خريطة متصلة${\displaystyle f:Y\to X}$، وتشكل من${\displaystyle Y\to X}$ل${\displaystyle Z\to X}$هي خريطة متصلة${\displaystyle Y\to Z}$التي تتوافق مع الخريطتين إلى${\displaystyle X}$يوجد دالة

${\displaystyle \Gamma$ :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}

إرسال كائن${\displaystyle f:Y\to X}$ل${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$إذا كان ذلك يعني تضمين مجموعة فرعية مفتوحة،

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

ولإدراج نقطة${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$، ثم

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

هو ساق${\displaystyle F}$في${\displaystyle x}$يوجد تماثل طبيعي

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$،

مما يدل على أن${\displaystyle \pi :E\to X}$(بالنسبة للفضاء الإتالي) يمثل الدالة${\displaystyle \Gamma }$.

${\displaystyle E}$يتم إنشاؤها بحيث تكون خريطة الإسقاط${\displaystyle \pi }$هي خريطة تغطية. في الهندسة الجبرية، يُطلق على النظير الطبيعي لخريطة التغطية اسم تشاكل إيتال . على الرغم من تشابهها مع كلمة "إيتال"، فإن كلمة إيتال [ etal ] لها معنى مختلف في اللغة الفرنسية. من الممكن تحويل${\displaystyle E}$في مخطط و${\displaystyle \pi }$إلى تماثل المخططات بطريقة تجعل${\displaystyle \pi }$يحتفظ بنفس الخاصية العالمية، ولكن${\displaystyle \pi }$ليس بشكل عام تشاكلاً إيتالياً لأنه ليس شبه منتهٍ. ومع ذلك، فهو إيتالي شكلياً .

إن تعريف الحزم بواسطة الفضاءات الإتالية أقدم من التعريف الوارد سابقاً في المقال، ولا يزال شائعاً في بعض مجالات الرياضيات، مثل التحليل الرياضي .

خاصةً في سياق الحزم على المتشعبات، يمكن غالبًا حساب تماثل الحزم باستخدام تحليلات الحزم اللينة ، والحزم الدقيقة ، والحزم الرخوة (المعروفة أيضًا باسم الحزم المفلطحة، نسبةً إلى الكلمة الفرنسية flasque التي تعني رخو). على سبيل المثال، تُظهر حجة تجزئة الوحدة أن حزمة الدوال الملساء على متشعب ما هي حزمة لينة. مجموعات التماثل الأعلى${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ل${\displaystyle i>0}$تتلاشى هذه الخاصية بالنسبة للحزم المرنة، مما يتيح طريقة لحساب علم التماثل للحزم الأخرى. على سبيل المثال، يُعد مُركب دي رام تحليلًا للحزمة الثابتة.${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$على أي مشعب أملس، فإن علم تماثل الحزم لـ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$يساوي تماثل دي رام الخاص به .

ثمة نهج مختلف يتمثل في نظرية تشيك للتجانس . كانت نظرية تشيك للتجانس أول نظرية تجانس طُوِّرت للحزم، وهي مناسبة تمامًا للحسابات الملموسة، مثل حساب تجانس الحزم المتماسكة للفضاء الإسقاطي المركب.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$[ ^{11 ]} تربط هذه الطريقة المقاطع الموجودة على المجموعات الفرعية المفتوحة للفضاء بفئات التماثل على هذا الفضاء. في معظم الحالات، تحسب تماثلية تشيك نفس مجموعات التماثل التي تحسبها تماثلية الدالة المشتقة. مع ذلك، بالنسبة لبعض الفضاءات الشاذة، ستعطي تماثلية تشيك القيمة الصحيحة ^.${\displaystyle H^{1}}$لكنها مجموعات تماثل أعلى غير صحيحة. ولتجاوز هذه المشكلة، طوّر جان لويس فيردييه التغطية الفائقة . لا تُعطي التغطية الفائقة مجموعات التماثل الأعلى الصحيحة فحسب، بل تسمح أيضًا باستبدال المجموعات الفرعية المفتوحة المذكورة أعلاه ببعض التشاكلات من فضاء آخر. هذه المرونة ضرورية في بعض التطبيقات، مثل بناء هياكل هودج المختلطة لبيير ديلين .

يتم العثور على العديد من مجموعات التماثل المتماسكة الأخرى باستخدام التضمين${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$مساحة${\displaystyle X}$إلى فضاء ذي تماثل معروف، مثل${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$أو فضاء إسقاطي مُثقَّل . وبهذه الطريقة، يمكن ربط مجموعات التماثل المعروفة للحزم على هذه الفضاءات المحيطة بالحزم.${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$، إعطاء${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$على سبيل المثال، من السهل حساب تماثل الحزم المتماسكة لمنحنيات المستوى الإسقاطي . إحدى النظريات المهمة في هذا المجال هي تحليل هودج الذي تم التوصل إليه باستخدام متتالية طيفية مرتبطة بمجموعات تماثل الحزم ، والذي أثبته ديلين. ^{[ 12 ] [ 13 ]} باختصار،${\displaystyle E_{1}}$صفحة تحتوي على الشروط

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

تماثل الحزمة لمتنوعة إسقاطية سلسة${\displaystyle X}$المنحطين، بمعنى${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$وهذا يعطي بنية هودج المتعارف عليها على مجموعات التماثل.${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$تبين لاحقًا أنه يمكن حساب مجموعات التماثل هذه بسهولة وبشكل صريح باستخدام بقايا غريفيث . انظر: المثالي اليعقوبي . تقود هذه الأنواع من النظريات إلى إحدى أعمق النظريات المتعلقة بتماثل الأصناف الجبرية، وهي نظرية التفكيك ، مما يمهد الطريق لوحدات هودج المختلطة .

يُعدّ مبرهنة بوريل-بوت-ويل طريقةً أخرى فعّالة لحساب بعض مجموعات التماثل ، إذ تُحدّد مجموعات التماثل لبعض الحزم الخطية على مشعبات الأعلام مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعات لي . ويمكن استخدام هذه المبرهنة، على سبيل المثال، لحساب مجموعات التماثل لجميع الحزم الخطية على الفضاء الإسقاطي ومشعبات غراسمان بسهولة .

في كثير من الحالات، توجد نظرية ثنائية للحزم تعمم ثنائية بوانكاريه . انظر ثنائية غروتينديك وثنائية فيردييه .

الفئة المشتقة من فئة الحزم، على سبيل المثال، المجموعات الأبيلية على فضاء ما X ، المشار إليها هنا بـ${\displaystyle D(X)}$، هو الملاذ المفاهيمي لعلم التماثل الحزمي، وذلك بفضل العلاقة التالية: $${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$$ الوصل بين${\displaystyle f^{-1}}$، وهو المرافق الأيسر لـ${\displaystyle f_{*}}$(التي هي بالفعل على مستوى حزم المجموعات الأبيلية) تؤدي إلى إضافة $${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$$ (ل${\displaystyle f:X\to Y}$)، أين${\displaystyle Rf_{*}}$هو الدالة المشتقة. وتشمل هذه الدالة الأخيرة مفهوم تماثل الحزم لأن${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ل${\displaystyle f:X\to \{*\}}$.