صيغة كوشي التكاملية

التحليل الرياضي → التحليل المركب
تحليل معقد
الأعداد المركبة
عدد حقيقي عدد وهمي طائرة معقدة مركب مركب عدد مركب الوحدة
وظائف معقدة
دالة ذات قيمة معقدة وظيفة تحليلية دالة هولومورفية معادلات كوشي-ريمان سلسلة القوة الرسمية
النظرية الأساسية
الأصفار والأقطاب نظرية كوشي التكاملية بدائية محلية صيغة كوشي التكاملية رقم اللف سلسلة لوران مفردة معزولة نظرية البقايا مبدأ الحجة خريطة مطابقة المعضلة السوداء وظيفة التوافقية معادلة لابلاس
نظرية الدالة الهندسية
الناس
أوغستين لويس كوشي Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Mathematics portal
v t e

في الرياضيات، صيغة كوشي للتكامل ، والتي سميت على اسم أوغستين لويس كوشي ، هي عبارة مركزية في التحليل المركب . إنها تعبر عن حقيقة مفادها أن الدالة المجسمة المحددة على قرص يتم تحديدها تمامًا من خلال قيمها على حدود القرص، وتوفر صيغًا تكاملية لجميع مشتقات الدالة المجسمة. تُظهر صيغة كوشي أنه في التحليل المركب، "التفاضل يعادل التكامل": التفاضل المركب، مثل التكامل، يتصرف جيدًا تحت حدود موحدة - وهي النتيجة التي لا تصمد في التحليل الحقيقي .

ليكن U مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى المركب C ، وافترض أن القرص المغلق D المحدد على أنه محصور بالكامل في U. وليكن f  : U → C دالة هولومورفية ، وليكن γ الدائرة ، الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة ، والتي تشكل حدود D. ثم لكل a في داخل D ، $${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,}$$

يستخدم إثبات هذه العبارة نظرية التكامل كوشي ومثلها كمثل تلك النظرية، فهي تتطلب فقط أن تكون f قابلة للاشتقاق المركب . نظرًا لأنه يمكن توسيعها كسلسلة قوى في المتغير ، فمن الطبيعي أن تكون الدوال المجسمة تحليلية ، أي يمكن توسيعها كمتسلسلة قوى متقاربة. على وجه الخصوص، f قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي، مع ${\displaystyle 1/(z-a)}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$$$${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

يشار إلى هذه الصيغة أحيانًا باسم صيغة التمايز لكوشي .

يمكن تعميم النظرية المذكورة أعلاه. يمكن استبدال الدائرة γ بأي منحنى قابل للتقويم مغلق في U والذي يحتوي على رقم متعرج واحد حول a . علاوة على ذلك، كما هو الحال بالنسبة لنظرية تكامل كوشي، يكفي أن نشترط أن تكون f متماثلة في المنطقة المفتوحة المحاطة بالمسار ومتصلة على إغلاقها .

لاحظ أنه لا يمكن استخدام كل دالة مستمرة على الحدود لإنتاج دالة داخل الحدود تتناسب مع دالة الحدود المعطاة. على سبيل المثال، إذا وضعنا الدالة f ( z ) = ⁠1/ز⁠ , المعرفة لـ | z | = 1 , في صيغة تكامل كوشي، نحصل على صفر لجميع النقاط داخل الدائرة. في الواقع، فإن إعطاء الجزء الحقيقي فقط على حدود دالة هولومورفية يكفي لتحديد الدالة حتى ثابت وهمي - يوجد جزء وهمي واحد فقط على الحدود يتوافق مع الجزء الحقيقي المعطى، حتى إضافة ثابت. يمكننا استخدام مزيج من تحويل موبيوس وصيغة عكس ستيلتجيس لبناء الدالة الهولومورفية من الجزء الحقيقي على الحدود. على سبيل المثال، تحتوي الدالة f ( z ) = i − iz على الجزء الحقيقي Re f ( z ) = Im z . يمكن كتابة ذلك على دائرة الوحدة ⁠⁠أنا/ز⁠ − إيز/2. باستخدام تحويل موبيوس وصيغة ستيلتجيس ، نقوم بإنشاء الدالة داخل الدائرة.أنا/زلا يقدم المصطلح أي مساهمة، ونحصل على الدالة − iz . وهذا يحتوي على الجزء الحقيقي الصحيح على الحدود، ويعطينا أيضًا الجزء التخيلي المقابل، ولكن بعيدًا عنه بثابت، وهو i .

باستخدام نظرية كوشي للتكامل ، يمكن للمرء أن يُظهر أن التكامل على C (أو المنحنى القابل للتقويم المغلق) يساوي نفس التكامل المأخوذ على دائرة صغيرة بشكل تعسفي حول a . نظرًا لأن f ( z ) متصلة، فيمكننا اختيار دائرة صغيرة بما يكفي بحيث تكون f ( z ) قريبة بشكل تعسفي من f ( a ) . من ناحية أخرى، التكامل على أي دائرة C مركزها a . يمكن حساب ذلك مباشرة من خلال معلمة ( تكامل بالتعويض ) z ( t ) = a + εe ^حيث 0 ≤ t ≤ 2π و ε هو نصف قطر الدائرة. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$

إن ترك ε → 0 يعطي التقدير المطلوب $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

ليكن C هو المحيط الموصوف بـ | z | = 2 (دائرة نصف قطرها 2). $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

لإيجاد تكامل g ( z ) حول المحيط C ، نحتاج إلى معرفة تفردات g ( z ) . لاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة g على النحو التالي: حيث z ₁ = − 1 + i و z ₂ = − 1 − i . $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

وبالتالي، فإن g لها أقطاب عند z ₁ و z _2. وتكون معاملات هذه النقاط أقل من 2 وبالتالي تقع داخل المحيط. ويمكن تقسيم هذا التكامل إلى تكاملين أصغر بواسطة نظرية كوشي-جورسات ؛ أي أنه يمكننا التعبير عن التكامل حول المحيط كمجموع التكامل حول z 1 _و z 2 _حيث يكون المحيط دائرة صغيرة حول كل قطب. ونسمي هذه المحيطات C ₁ حول z ₁ و C ₂ حول z ₂ .

الآن، يمكن تقييم كل من هذه التكاملات الأصغر بواسطة صيغة تكامل كوشي، ولكن يجب إعادة كتابتها أولاً لتطبيق النظرية. بالنسبة للتكامل حول C ₁ ، عرف f ₁ على النحو التالي: f ₁ ( z ) = ( z − z ₁ ) g ( z ) . هذا تحليلي (نظرًا لأن المحيط لا يحتوي على التفرد الآخر). يمكننا تبسيط f ₁ لتصبح: والآن $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$$${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

وبما أن صيغة تكامل كوشي تقول: يمكننا تقييم التكامل على النحو التالي: $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$$${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

نفعل نفس الشيء بالنسبة للمحيط الآخر: نقوم بالتقييم $${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$$${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

وبالتالي فإن التكامل حول المحيط الأصلي C هو مجموع هذين التكاملين: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

خدعة أولية باستخدام تحلل الكسور الجزئية : $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

للصيغة التكاملية تطبيقات واسعة. أولاً، تعني أن الدالة التي تكون متماثلة في مجموعة مفتوحة تكون في الواقع قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي هناك. علاوة على ذلك، فهي دالة تحليلية ، مما يعني أنه يمكن تمثيلها كمتسلسلة قوى . يستخدم إثبات ذلك نظرية التقارب المهيمنة والمتسلسلة الهندسية المطبقة على

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

تُستخدم الصيغة أيضًا لإثبات نظرية البقايا ، وهي نتيجة للوظائف الميرومورفية ، ونتيجة ذات صلة، مبدأ الحجة . ومن المعروف من نظرية موريرا أن الحد المنتظم للوظائف المجسمة هو مجسم. ويمكن استنتاج ذلك أيضًا من صيغة كوشي للتكامل: في الواقع، تنطبق الصيغة أيضًا على الحد والمتكامل، وبالتالي التكامل، يمكن توسيعه كمتسلسلة قوى. بالإضافة إلى ذلك، تُظهر صيغ كوشي للمشتقات ذات الرتبة الأعلى أن كل هذه المشتقات تتقارب أيضًا بشكل موحد.

النظير لصيغة تكامل كوشي في التحليل الحقيقي هو صيغة تكامل بواسون للدوال التوافقية ؛ تنتقل العديد من نتائج الدوال المجسمة إلى هذا الإعداد. ومع ذلك، لا توجد مثل هذه النتائج صالحة لفئات أكثر عمومية من الدوال التحليلية القابلة للاشتقاق أو الحقيقية. على سبيل المثال، لا يعني وجود المشتقة الأولى لدالة حقيقية وجود مشتقات من مرتبة أعلى، ولا على وجه الخصوص تحليلية الدالة. وعلى نحو مماثل، قد يفشل الحد المنتظم لتسلسل الدوال القابلة للاشتقاق (الحقيقية) في أن يكون قابلاً للاشتقاق، أو قد يكون قابلاً للاشتقاق ولكن بمشتقة ليست حد مشتقات عناصر التسلسل.

نتيجة أخرى هي أنه إذا كانت f ( z ) = Σa nz _n متماثلة في | z | < R و 0 < r < R ^فإن المعاملات a _n تحقق متباينة كوشي ^[1] $${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

من متباينة كوشي، يمكننا بسهولة أن نستنتج أن كل دالة محدودة بالكامل يجب أن تكون ثابتة (وهي نظرية ليوفيل ).

يمكن أيضًا استخدام الصيغة لاستنتاج نظرية القيمة المتوسطة لغاوس ، والتي تنص على ^[2] $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

بعبارة أخرى، القيمة المتوسطة لـ f على الدائرة التي مركزها z ونصف قطرها r هي f ( z ) . ويمكن حساب ذلك مباشرة من خلال معلمة الدائرة.

نسخة من صيغة تكامل كوشي هي صيغة كوشي- بومبيو ، ^[3] وتنطبق على الدوال السلسة أيضًا، لأنها تستند إلى نظرية ستوكس . دع D تكون قرصًا في C وافترض أن f هي دالة C ¹ ذات قيمة معقدة عند إغلاق D. إذن ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

يمكن استخدام صيغة التمثيل هذه لحل معادلات كوشي-ريمان غير المتجانسة في D. في الواقع، إذا كانت φ دالة في D ، فإن الحل الخاص f للمعادلة هو دالة هولومورفية خارج دعم μ . علاوة على ذلك، إذا كان في مجموعة مفتوحة D ، لبعض φ ∈ C ^k ( D ) (حيث k  ≥ 1 )، فإن f ( ζ , ζ ) تكون أيضًا في C ^k ( D ) وتلبي المعادلة $${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

الاستنتاج الأول هو، باختصار، أن الالتفاف μ ∗ k ( z ) لمقياس مدعوم بشكل مضغوط مع نواة كوشي هو دالة هولومورفية خارج دعم μ . هنا يشير pv إلى القيمة الأساسية . الاستنتاج الثاني يؤكد أن نواة كوشي هي حل أساسي لمعادلات كوشي-ريمان. لاحظ أنه بالنسبة للوظائف السلسة ذات القيمة المعقدة f للدعم المضغوط على C، فإن صيغة تكامل كوشي المعممة تبسط إلى و هي إعادة صياغة لحقيقة أنه، إذا اعتبرنا كتوزيع ، فإن (π z ) ⁻¹ هو حل أساسي لمشغل كوشي-ريمان ⁠$${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$ ∂/∂ ز̄. ^[7 ]

يمكن استنتاج صيغة تكامل كوشي المعممة لأي منطقة مفتوحة محدودة X مع حد C ¹ ∂ X من هذه النتيجة وصيغة المشتق التوزيعي للدالة المميزة χ _X لـ X : حيث يشير التوزيع على الجانب الأيمن إلى تكامل الكفاف على طول ∂ X. ^[8 ]$${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

والآن يمكننا استنتاج صيغة تكامل كوشي المعممة:

في العديد من المتغيرات المعقدة ، يمكن تعميم صيغة تكامل كوشي على الأقراص المتعددة . ^[9] دع D يكون القرص المتعدد المعطى على أنه حاصل ضرب ديكارت لعدد n من الأقراص المفتوحة D ₁ ، ...، D _n : $${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

افترض أن f دالة متماثلة في _D مستمرة على إغلاق D. حيث ζ = ( ζ ₁ ,..., ζ n ) ∈ D.$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

يمكن تعميم صيغة تكامل كوشي على فضاءات متجهات حقيقية ذات بعدين أو أكثر. تأتي البصيرة في هذه الخاصية من الجبر الهندسي ، حيث يتم النظر في الأشياء التي تتجاوز المتجهات والمتجهات (مثل المتجهات الثنائية المستوية والمتجهات الثلاثية الحجمية )، والتعميم المناسب لنظرية ستوكس .

يعرف حساب التفاضل والتكامل الهندسي عامل المشتقة ∇ = ê _i ∂ _i تحت حاصل ضربه الهندسي — أي بالنسبة لحقل متجه k ψ ( r ) ، فإن المشتقة ∇ ψ تحتوي عمومًا على حدود من الدرجة k + 1 و k − 1. على سبيل المثال، يحتوي حقل المتجه ( k = 1 ) عمومًا في مشتقته على جزء قياسي، التباعد ( k = 0 )، وجزء متجه ثنائي، التجعيد ( k = 2 ). يحتوي عامل المشتقة هذا على دالة جرين : حيث S _n هي مساحة سطح كرة وحدة n في الفضاء (أي، S ₂ = 2π ، محيط الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 1، و S ₃ = 4π ، مساحة سطح الكرة التي يبلغ نصف قطرها 1). وفقًا لتعريف دالة جرين، $${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$$${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

هذه الخاصية المفيدة هي التي يمكن استخدامها، جنبًا إلى جنب مع نظرية ستوكس المعممة: حيث، بالنسبة لمساحة متجه ذات أبعاد n ، يكون d S متجهًا ( n − 1) ويكون d V متجهًا n . يمكن أن تتكون الدالة f ( r ) من حيث المبدأ من أي مجموعة من المتجهات المتعددة. يعتمد إثبات نظرية كوشي التكاملية للمساحات ذات الأبعاد الأعلى على استخدام نظرية ستوكس المعممة على الكمية G ( r , r ′) f ( r ′) واستخدام قاعدة الضرب: $${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

عندما ∇ f = 0 ، تسمى f ( r ) دالة أحادية الجين ، تعميم الدوال الشاملة إلى فضاءات ذات أبعاد أعلى — في الواقع، يمكن إثبات أن شرط كوشي-ريمان هو مجرد تعبير ثنائي الأبعاد للشرط أحادي الجين. عندما يتم استيفاء هذا الشرط، يختفي الحد الثاني في التكامل الأيمن، ويترك فقط حيث i _n هو متجه الوحدة n للجبر ، شبه القياسي . والنتيجة هي $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

وهكذا، كما هو الحال في حالة ثنائية الأبعاد (التحليل المركب)، يمكن إيجاد قيمة الدالة التحليلية (أحادية الجين) عند نقطة ما من خلال التكامل على السطح المحيط بالنقطة، وهذا صالح ليس فقط للوظائف القياسية ولكن أيضًا للوظائف المتجهة والوظائف متعددة المتجهات العامة.

• "تكامل كوشي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغة كوشي التكاملية". MathWorld .