الهندسة التفاضلية

يمكن تتبع دراسة الهندسة التفاضلية، أو على الأقل دراسة هندسة الأشكال الملساء، إلى العصور الكلاسيكية القديمة على الأقل . وعلى وجه الخصوص، كان هناك معرفة واسعة بهندسة الأرض ، وهي هندسة كروية ، في زمن علماء الرياضيات اليونانيين القدماء . ومن أشهر الأمثلة على ذلك، قيام إراتوستينس بحساب محيط الأرض حوالي عام 200 قبل الميلاد، وفي حوالي عام 150 ميلادي، قدم بطليموس في كتابه "الجغرافيا " الإسقاط المجسم لأغراض رسم خريطة لشكل الأرض. ^{[ 1 ]} وخلال هذه الفترة، استُخدمت ضمنيًا المبادئ التي تُشكل أساس الهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل في علم الجيوديسيا ، وإن كان ذلك بصورة مبسطة للغاية. بمعنى آخر، منذ كتاب " الأصول " لإقليدس، كان من المفهوم أن الخط المستقيم يُعرَّف بأنه أقصر مسافة بين نقطتين، وبتطبيق هذا المبدأ نفسه على سطح الأرض، نستنتج أن الدوائر العظمى ، التي لا تشبه الخطوط المستقيمة في المستوى المسطح إلا محليًا، تُشكِّل أقصر مسار بين نقطتين على سطح الأرض. في الواقع، يمكن اعتبار قياسات المسافة على طول هذه المسارات الجيوديسية، التي أجراها إراتوستينس وغيره، مقياسًا بدائيًا لطول قوس المنحنيات، وهو مفهوم لم يُعرَّف تعريفًا دقيقًا في علم التفاضل والتكامل إلا في القرن السابع عشر الميلادي.

في ذلك الوقت تقريبًا، كانت تطبيقات نظرية المقادير المتناهية في الصغر في دراسة الهندسة محدودة للغاية، وهي مقدمة للدراسة الحديثة لهذا الموضوع القائمة على حساب التفاضل والتكامل. في كتاب الأصول لإقليدس ، نوقش مفهوم تماس الخط مع الدائرة، وطبّق أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب مساحات الأشكال الملساء كالدائرة ، وحجوم الأجسام الصلبة ثلاثية الأبعاد الملساء كالكرة والمخاريط والأسطوانات. ^{[ 1 ]}

لم تشهد نظرية الهندسة التفاضلية تطورًا يُذكر بين العصور القديمة وبداية عصر النهضة . قبل تطوير نيوتن وليبنيز لحساب التفاضل والتكامل ، جاء أهم تطور في فهم الهندسة التفاضلية من جيراردوس ميركاتور الذي طور إسقاط ميركاتور كوسيلة لرسم خريطة الأرض. كان ميركاتور مُدركًا لمزايا وعيوب تصميم خريطته، وخاصةً الطبيعة المطابقة لإسقاطه، بالإضافة إلى الفرق بين خطوط أقصر مسافة على الأرض ( praga) وخطوط الاتجاه (directio) . لاحظ ميركاتور أن خطوط أقصر مسافة على الأرض (praga) منحنية بشكل مائل في هذا الإسقاط. ^{[ 1 ]} تعكس هذه الحقيقة عدم وجود خريطة تحافظ على القياسات المترية لسطح الأرض على مستوى مسطح، وهو ما نتج لاحقًا عن نظرية إغريغيوم لغوس .

بدأ أول تناول منهجي أو دقيق للهندسة باستخدام نظرية المتناهيات في الصغر ومفاهيم من حساب التفاضل والتكامل حوالي القرن السابع عشر الميلادي، عندما طور غوتفريد لايبنتز وإسحاق نيوتن حساب التفاضل والتكامل . في ذلك الوقت، سمح العمل الحديث لرينيه ديكارت، الذي أدخل الإحداثيات التحليلية إلى الهندسة، بوصف الأشكال الهندسية ذات التعقيد المتزايد بدقة. على وجه الخصوص، بدأ بيير دي فيرما ونيوتن ولايبنتز في ذلك الوقت تقريبًا دراسة المنحنيات المستوية والبحث في مفاهيم مثل نقاط الانعطاف ودوائر التماس ، التي تساعد في قياس الانحناء . في الواقع، أشار لايبنتز في ورقته البحثية الأولى حول أسس حساب التفاضل والتكامل إلى أن شرط المتناهيات في الصغر${\displaystyle d^{2}y=0}$يشير ذلك إلى وجود نقطة انعطاف. بعد ذلك بوقت قصير، قدم الأخوان برنولي ، جاكوب ويوهان ، إسهامات مبكرة وهامة في استخدام المتناهيات في الصغر لدراسة الهندسة. في محاضرات ألقاها يوهان برنولي آنذاك، والتي جمعها لاحقًا لوبيتال في أول كتاب مدرسي عن حساب التفاضل والتكامل ، تم حساب المماسات للمنحنيات المستوية من أنواع مختلفة باستخدام الشرط${\displaystyle dy=0}$وبالمثل يتم حساب نقاط الانعطاف. ^{[ 1 ]} في نفس الوقت يتم إدراك التعامد بين الدوائر المماسية لمنحنى مستو واتجاهات المماس، ويتم كتابة أول صيغة تحليلية لنصف قطر الدائرة المماسية، وهي في الأساس أول صيغة تحليلية لمفهوم الانحناء .

في أعقاب تطور الهندسة التحليلية والمنحنيات المستوية، بدأ ألكسيس كليروت دراسة المنحنيات الفضائية في سن السادسة عشرة فقط. ^{[ 2 ] [ 1 ]} في كتابه، قدّم كليروت مفهومي الاتجاهات المماسية والمماسية الفرعية للمنحنيات الفضائية، وذلك في علاقتهما بالاتجاهات التي تقع على طول السطح الذي يقع عليه المنحنى الفضائي. وبذلك، أظهر كليروت فهمًا ضمنيًا للفضاء المماسي للسطح، ودرس هذه الفكرة باستخدام حساب التفاضل والتكامل لأول مرة. ومن الأهمية بمكان أن كليروت قدّم مصطلحي الانحناء والانحناء المزدوج ، وهما في جوهرهما مفهوم الانحناءات الرئيسية الذي درسه لاحقًا غاوس وآخرون.

في نفس الفترة تقريبًا، قدّم ليونارد أويلر ، تلميذ يوهان برنولي، إسهاماتٍ جليلة ليس فقط في تطوير الهندسة، بل في الرياضيات عمومًا. ^{[ 3 ]} في مجال الهندسة التفاضلية، درس أويلر مفهوم الجيوديسية على سطحٍ ما، مستنتجًا أول معادلة جيوديسية تحليلية ، ثم قدّم لاحقًا أول مجموعة من أنظمة الإحداثيات الجوهرية على سطحٍ ما، مُؤسسًا بذلك نظرية الهندسة الجوهرية التي تقوم عليها الأفكار الهندسية الحديثة. ^{[ 1 ]} في نفس الفترة تقريبًا، قادت دراسة أويلر للميكانيكا في كتابه "الميكانيكا" إلى إدراك أن كتلةً تتحرك على سطحٍ ما دون تأثير أي قوةٍ ستسلك مسارًا جيوديسيًا، وهو ما يُعدّ مقدمةً مبكرةً للأفكار التأسيسية الهامة لنظرية النسبية العامة لأينشتاين ، وكذلك لمعادلات أويلر-لاغرانج وأول نظرية لحساب التفاضل والتكامل ، والتي تُشكّل أساسًا للعديد من تقنيات الهندسة التفاضلية الحديثة في الهندسة التبسيطية والتحليل الهندسي . استخدم لاغرانج ، أحد مؤسسي حساب التفاضل والتكامل، هذه النظرية لاستنتاج أول معادلة تفاضلية تصف سطحًا أدنى بدلالة معادلة أويلر-لاغرانج. وفي عام 1760، أثبت أويلر نظرية تُعبّر عن انحناء منحنى فضائي على سطح بدلالة الانحناءات الرئيسية، والمعروفة باسم نظرية أويلر .

في أواخر القرن الثامن عشر، بدأت المدرسة الفرنسية الجديدة بقيادة غاسبار مونج في تقديم إسهامات في الهندسة التفاضلية. وقدّم مونج إسهاماتٍ مهمة في نظرية المنحنيات والأسطح المستوية، ودرس أسطح الدوران وأغلفة المنحنيات المستوية والمنحنيات الفضائية. كما ساهم العديد من تلاميذ مونج في هذه النظرية نفسها، فعلى سبيل المثال، قدّم شارل دوبان تفسيرًا جديدًا لنظرية أويلر بدلالة الانحناءات الرئيسية، وهو الشكل الحديث للمعادلة. ^{[ 1 ]}

أصبح مجال الهندسة التفاضلية مجالًا للدراسة يُعتبر في حد ذاته، متميزًا عن الفكرة الأوسع للهندسة التحليلية، في القرن التاسع عشر، وذلك بشكل أساسي من خلال العمل التأسيسي لكارل فريدريش جاوس وبرنهارد ريمان ، وأيضًا من خلال المساهمات المهمة لنيكولاي لوباتشيفسكي في الهندسة الزائدية والهندسة غير الإقليدية، وطوال نفس الفترة تطور الهندسة الإسقاطية .

يُعتبر كتاب "Disquisitiones generales circa superficies curvas" الذي أصدره غاوس عام 1827 ^، العمل الأهم في تاريخ الهندسة التفاضلية، حيث شرح فيه النظرية العامة للأسطح المنحنية. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 4 ] [ 6 ]} في هذا العمل، وفي أبحاثه اللاحقة وملاحظاته غير المنشورة حول نظرية الأسطح، لُقّب غاوس بمخترع الهندسة غير الإقليدية ومخترع الهندسة التفاضلية الجوهرية. ^{[ 6 ]} في بحثه الأساسي، قدّم غاوس خريطة غاوس ، وانحناء غاوس ، والصيغتين الأساسيتين الأولى والثانية ، وأثبت نظرية "Theorema Egregium" التي تُظهر الطبيعة الجوهرية لانحناء غاوس، ودرس الخطوط الجيوديسية، وحسب مساحة المثلث الجيوديسي في مختلف الهندسات غير الإقليدية على الأسطح.

في ذلك الوقت، كان غاوس قد اقتنع بضرورة التخلي عن النموذج القياسي للهندسة الإقليدية ، وكان يمتلك مخطوطات خاصة حول الهندسة غير الإقليدية، والتي أثرت في دراسته للمثلثات الجيوديسية. ^{[ 6 ] [ 7 ]} وفي نفس الفترة تقريبًا، اكتشف كل من يانوس بولياي ولوباتشيفسكي، بشكل مستقل، الهندسة الزائدية ، مُثبتين بذلك وجود هندسات متسقة خارج نطاق نموذج إقليدس. وقد وضع يوجينيو بلترامي نماذج ملموسة للهندسة الزائدية في وقت لاحق من ستينيات القرن التاسع عشر، وصاغ فيليكس كلاين مصطلح الهندسة غير الإقليدية عام 1871، ومن خلال برنامج إرلانجن، وضع الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية على قدم المساواة. ^{[ 8 ]} وبشكل ضمني، كانت الهندسة الكروية للأرض، التي دُرست منذ القدم، هندسة غير إقليدية، أي هندسة إهليلجية .

لقد حفّز تلميذه، برنارد ريمان، تطوير الهندسة التفاضلية الجوهرية بلغة غاوس في أطروحته للتأهيل ، بعنوان "حول الفرضيات التي تقوم عليها الهندسة" . ^{[ 9 ]} في هذا العمل، قدّم ريمان مفهوم المقياس الريماني وموتر الانحناء الريماني لأول مرة، وبدأ الدراسة المنهجية للهندسة التفاضلية في الأبعاد العليا. هذه النظرة الجوهرية من منظور المقياس الريماني، المشار إليه بـ${\displaystyle ds^{2}}$كان ريمان بمثابة تطوير لفكرة جاوس حول العنصر الخطي${\displaystyle ds}$في ذلك الوقت، بدأ ريمان بإدخال الاستخدام المنهجي للجبر الخطي والجبر متعدد الخطوط في هذا المجال، مستفيدًا بشكل كبير من نظرية الأشكال التربيعية في بحثه عن المقاييس والانحناء. لم يكن ريمان قد طور بعد المفهوم الحديث للمتشعب، إذ لم يكن مفهوم الفضاء الطوبولوجي معروفًا آنذاك، لكنه اقترح إمكانية دراسة أو قياس خصائص مقياس الزمكان من خلال تحليل الكتل داخل الزمكان، رابطًا ذلك بملاحظة أويلر السابقة بأن الكتل التي لا تخضع لتأثير أي قوى ستتحرك على طول الخطوط الجيوديسية على الأسطح، ومتنبئًا بملاحظة أينشتاين الأساسية لمبدأ التكافؤ قبل ستين عامًا كاملة من ظهورها في الأدبيات العلمية. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

في أعقاب وصف ريمان الجديد، تحوّل تركيز التقنيات المستخدمة لدراسة الهندسة التفاضلية من الأساليب المخصصة والخارجية لدراسة المنحنيات والأسطح إلى منهجية أكثر تنظيمًا تعتمد على حساب الموترات وبرنامج إرلانجن لكلاين، وشهد هذا المجال تقدمًا ملحوظًا. وقد طوّر سوفوس لي وجان جاستون داربو مفهوم مجموعات التحويلات ، مما أدى إلى نتائج مهمة في نظرية مجموعات لي والهندسة التبسيطية . كما درس إلوين كريستوفيل مفهوم حساب التفاضل على الفضاءات المنحنية ، حيث قدّم رموز كريستوفيل التي تصف المشتقة المتغيرة في عام 1868، بالإضافة إلى باحثين آخرين من بينهم يوجينيو بلترامي الذين درسوا العديد من المسائل التحليلية على المتشعبات. ^{[ 10 ]} في عام 1899، قدّم لويجي بيانكي محاضراته في الهندسة التفاضلية ، والتي تناولت الهندسة التفاضلية من منظور ريمان. وبعد عام، أصدر توليو ليفي-سيفيتا وغريغوريو ريتشي-كورباسترو كتابهما الذي طوّر بشكل منهجي نظرية حساب التفاضل المطلق وحساب الموترات . ^{[ 11 ] [ 4 ]} وبهذه اللغة، استخدم أينشتاين الهندسة التفاضلية في تطوير النسبية العامة والهندسة الريمانية الزائفة .

ظهر موضوع الهندسة التفاضلية الحديثة في أوائل القرن العشرين استجابةً للمساهمات التأسيسية للعديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك عمل هنري بوانكاريه المهم في أسس الطوبولوجيا . ^{[ 12 ]} في بداية القرن العشرين، ظهرت حركةٌ رئيسيةٌ في الرياضيات لإضفاء الطابع الرسمي على الجوانب التأسيسية لهذا الموضوع لتجنب أزمات الدقة والصرامة، والمعروفة باسم برنامج هيلبرت . وكجزء من هذه الحركة الأوسع، صاغ فيليكس هاوسدورف مفهوم الفضاء الطوبولوجي في عام 1914، وبحلول عام 1942، ظهرت العديد من المفاهيم المختلفة للمتشعبات ذات الطبيعة التوافقية والهندسية التفاضلية. ^{[ 12 ]}

ازداد الاهتمام بهذا الموضوع أيضًا مع ظهور نظرية النسبية العامة لأينشتاين وأهمية معادلات أينشتاين للمجال. وقد ساهمت نظرية أينشتاين في نشر حساب الموترات لريتشي وليفي-سيفيتا، وقدمت الترميز.${\displaystyle g}$بالنسبة للمقياس الريماني، و${\displaystyle \Gamma }$بالنسبة لرموز كريستوفيل، وكلاهما مشتق من G في الجاذبية . ساهم إيلي كارتان في إعادة صياغة أسس الهندسة التفاضلية للمشعبات الملساء من حيث حساب التفاضل والتكامل الخارجي ونظرية الأطر المتحركة ، مما أدى في عالم الفيزياء إلى نظرية أينشتاين-كارتان . ^{[ 13 ] [ 4 ]}

في أعقاب هذا التطور المبكر، ساهم العديد من علماء الرياضيات في تطوير النظرية الحديثة، بمن فيهم جان لويس كوزول الذي قدم مفهوم الاتصالات على الحزم المتجهة ، وشينغ شين تشيرن الذي أدخل الفئات المميزة إلى هذا الموضوع وبدأ دراسة المشعبات المعقدة ، والسير ويليام فالانس، ودوغلاس هودج، وجورج دي رام الذين وسعوا فهم الأشكال التفاضلية ، وتشارلز إهرسمان الذي قدم نظرية الحزم الليفية واتصالات إهرسمان ، وغيرهم. ^{[ 13 ] [ 4 ]} وكان لهيرمان فايل أهمية خاصة، حيث قدم مساهمات مهمة في أسس النسبية العامة، وقدم موتر فايل الذي وفر رؤية ثاقبة للهندسة المطابقة ، وكان أول من عرّف مفهوم المقياس مما أدى إلى تطوير نظرية المقياس في الفيزياء والرياضيات .

في منتصف القرن العشرين وأواخره، توسع نطاق الهندسة التفاضلية كموضوع، وتطورت روابطها مع مجالات أخرى في الرياضيات والفيزياء. وقد ساهم تطور نظرية القياس ونظرية يانغ-ميلز في الفيزياء في تسليط الضوء على الحزم والروابط، مما أدى إلى تطورات في نظرية القياس . وتم بحث العديد من النتائج التحليلية، بما في ذلك برهان نظرية مؤشر أتياس-سينغر . كما حفزت نتائج مماثلة في الهندسة الجبرية تطور الهندسة المعقدة ، وأثبت شينغ-تونغ ياو وآخرون نتائج في هندسة وتحليل الفضاءات المعقدة. وفي النصف الثاني من القرن العشرين، طُورت تقنيات تحليلية جديدة فيما يتعلق بتدفقات الانحناء، مثل تدفق ريتشي ، والذي بلغ ذروته في برهان غريغوري بيرلمان لتخمين بوانكاريه . وخلال هذه الفترة نفسها، وبفضل تأثير مايكل أتياس بشكل أساسي ، تشكلت روابط جديدة بين الفيزياء النظرية والهندسة التفاضلية. استخدم علماء الرياضيات تقنيات من دراسة معادلات يانغ-ميلز ونظرية القياس لتطوير ثوابت جديدة للمشعبات الملساء. وقد أحدث علماء الفيزياء، مثل إدوارد ويتن ، الفيزيائي الوحيد الحائز على ميدالية فيلدز ، إسهاماتٍ جديدة في الرياضيات باستخدام نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي ونظرية الأوتار للتنبؤات وتوفير أطرٍ لرياضياتٍ دقيقة جديدة، مما أدى، على سبيل المثال، إلى التناظر المرآوي المفترض وثوابت سيبرغ-ويتن .

يدرس علم الهندسة الريمانية المشعبات الريمانية ، وهي مشعبات ملساء ذات مقياس ريماني . هذا مفهوم للمسافة يُعبَّر عنه بواسطة شكل ثنائي خطي متناظر موجب التحديد ، مُعرَّف على الفضاء المماسي عند كل نقطة. تُعمِّم الهندسة الريمانية الهندسة الإقليدية لتشمل فضاءات ليست بالضرورة مسطحة، مع أنها لا تزال تُشابه الفضاء الإقليدي عند كل نقطة بشكل متناهي الصغر، أي في التقريب من الدرجة الأولى . توجد نظائر طبيعية لمفاهيم مختلفة قائمة على الطول، مثل طول قوس المنحنيات، ومساحة المناطق المستوية، وحجم المجسمات، في الهندسة الريمانية. يُوسَّع مفهوم المشتقة الاتجاهية للدالة، المُستقى من حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، ليشمل مفهوم المشتقة المتغيرة للموتر . وقد عُمِّمت العديد من مفاهيم التحليل والمعادلات التفاضلية لتشمل المشعبات الريمانية.

يُطلق على التشاكل التفاضلي الذي يحافظ على المسافة بين مشعبات ريمانية اسم التناظر المتساوي . ويمكن تعريف هذا المفهوم محليًا أيضًا ، أي في جوارات صغيرة من النقاط. أي منحنيين منتظمين يكونان متناظرين متساويين محليًا. مع ذلك، أظهرت نظرية إغريغيوم لكارل فريدريش غاوس أنه بالنسبة للأسطح، فإن وجود تناظر متساوي محلي يفرض أن تكون انحناءات غاوس عند النقاط المتناظرة متساوية. في الأبعاد الأعلى، يُعد موتر انحناء ريمان ثابتًا نقطيًا مهمًا مرتبطًا بمشعب ريماني، ويقيس مدى قربه من أن يكون مسطحًا. ومن الفئات المهمة للمشعبات الريمانية الفضاءات المتناظرة الريمانية ، التي لا يكون انحناؤها ثابتًا بالضرورة. وتُعد هذه الفضاءات أقرب نظائر للمستوى والفضاء "العاديين" المُعتبرين في الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية .

تعمم الهندسة شبه الريمانية الهندسة الريمانية لتشمل الحالة التي لا يكون فيها موتر القياس موجبًا تمامًا . ومن الحالات الخاصة لذلك، مشعب لورنتزي ، الذي يمثل الأساس الرياضي لنظرية النسبية العامة للجاذبية لأينشتاين .

تُركز هندسة فينسلر بشكل أساسي على دراسة مشعبات فينسلر . وهي مشعبات تفاضلية ذات مقياس فينسلر ، أي معيار باناخ مُعرَّف على كل فضاء مماس. تُعد المشعبات الريمانية حالات خاصة من مشعبات فينسلر الأكثر عمومية. بنية فينسلر على مشعب${\displaystyle M}$هي دالة${\displaystyle F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )}$بحيث:

1. ${\displaystyle F(x,my)=mF(x,y)}$للجميع${\displaystyle (x,y)}$في${\displaystyle \mathrm {T} M}$وكل شيء${\displaystyle m\geq 0}$،
2. ${\displaystyle F}$قابلة للتفاضل بلا حدود في${\displaystyle \mathrm {T} M\setminus \{0\}}$،
3. مصفوفة هيسيان العمودية لـ${\displaystyle F^{2}}$موجبة محددة.

الهندسة التبسيطية هي دراسة المشعبات التبسيطية . المشعب التبسيطي شبه الكامل هو مشعب قابل للتفاضل مزود بصيغة ثنائية خطية غير متدهورة ومتناظرة عكسيًا متغيرة بسلاسة على كل فضاء مماس، أي صيغة ثنائية غير متدهورة ω ، تُسمى الصيغة التبسيطية . المشعب التبسيطي هو مشعب تبسيطي شبه كامل تكون صيغته التبسيطية ω مغلقة: dω = 0 .

يُطلق على التشاكل التفاضلي بين مشعبين سيمبليكتيين، والذي يحافظ على الشكل السيمبليكتيّ، اسم التشاكل السيمبليكتيّ . لا يمكن أن توجد الأشكال الثنائية الخطية غير المنحلة والمتناظرة عكسيًا إلا على فضاءات متجهة ذات أبعاد زوجية، لذا فإن المشعبات السيمبليكتية لها بالضرورة أبعاد زوجية. في البعد 2، يكون المشعب السيمبليكتيّ مجرد سطح مزود بشكل مساحي، والتشاكل السيمبليكتيّ هو تشاكل تفاضلي يحافظ على المساحة. يُعد فضاء الطور لنظام ميكانيكي مشعبًا سيمبليكتيًا، وقد ظهر هذا المفهوم ضمنيًا في أعمال جوزيف لويس لاغرانج في الميكانيكا التحليلية ، ولاحقًا في صياغات كارل غوستاف جاكوبي وويليام روان هاميلتون للميكانيكا الكلاسيكية .

على النقيض من الهندسة الريمانية، حيث يُمثل الانحناء ثابتًا محليًا للمشعبات الريمانية، تنص نظرية داربو على أن جميع المشعبات التبسيطية متماثلة محليًا. الثوابت الوحيدة للمشعب التبسيطي هي ثوابت عالمية، وتلعب الجوانب الطوبولوجية دورًا بارزًا في الهندسة التبسيطية. ربما تكون أول نتيجة في الطوبولوجيا التبسيطية هي نظرية بوانكاريه-بيركوف ، التي افترضها هنري بوانكاريه ثم أثبتها جي دي بيركوف عام ١٩١٢. وتنص هذه النظرية على أنه إذا كان تطبيق يحافظ على مساحة حلقة ما يُدير كل مكون من مكونات حدودها في اتجاهين متعاكسين، فإن هذا التطبيق يحتوي على نقطتين ثابتتين على الأقل. ^{[ ١٤ ]}

تتناول هندسة التماس بعض المشعبات ذات الأبعاد الفردية. وهي قريبة من الهندسة التبسيطية، ومثل الأخيرة، نشأت من مسائل الميكانيكا الكلاسيكية. يُعطى تركيب التماس على مشعب M ذي ( 2n + 1) بُعد بواسطة حقل مستوي فائق أملس H في الحزمة المماسية ، يكون بعيدًا قدر الإمكان عن الارتباط بمجموعات مستوى دالة قابلة للتفاضل على M (المصطلح التقني هو "توزيع المستوى الفائق المماسي غير القابل للتكامل تمامًا"). بالقرب من كل نقطة p ، يُحدد توزيع المستوى الفائق بواسطة شكل تفاضلي من الدرجة الأولى لا يتلاشى في أي مكان.${\displaystyle \alpha }$، وهو فريد من نوعه حتى الضرب بدالة لا تتلاشى في أي مكان:

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

يكون الشكل التفاضلي المحلي من الرتبة الأولى على M شكلاً تلامسياً إذا _كان تقييد مشتقته الخارجية على H شكلاً تفاضلياً من الرتبة الثانية غير منحل، وبالتالي يُنشئ بنية تماثلية على H عند كل نقطة. إذا أمكن تعريف التوزيع H بواسطة شكل تفاضلي عالمي من الرتبة الأولى${\displaystyle \alpha }$ثم يكون هذا النموذج بمثابة اتصال إذا وفقط إذا كان النموذج ذو الأبعاد الأعلى

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

هي شكل حجمي على M ، أي أنها لا تتلاشى في أي مكان. وينطبق نظير التماس لنظرية داربو: جميع هياكل التماس على مشعب فردي الأبعاد متماثلة محليًا ويمكن تحويلها إلى شكل طبيعي محلي معين عن طريق اختيار مناسب لنظام الإحداثيات.

الهندسة التفاضلية المركبة هي دراسة المتشعبات المركبة . المتشعب شبه المركب هو متشعب حقيقي.${\displaystyle M}$، مزود بموتر من النوع (1، 1)، أي تشاكل حزمة متجهات (يسمى بنية شبه معقدة )

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$بحيث${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

ويترتب على هذا التعريف أن المتشعب شبه المعقد يكون زوجي الأبعاد.

يُطلق على المتشعب شبه المعقد اسم المتشعب المعقد إذا${\displaystyle N_{J}=0}$، أين${\displaystyle N_{J}}$هو موتر من النوع (2، 1) مرتبط بـ${\displaystyle J}$يُطلق عليه اسم موتر ناينهاوس (أو أحيانًا الالتواء ). يكون المشعب شبه المركب مركبًا إذا وفقط إذا كان يقبل أطلس إحداثيات هولومورفي . تُعطى البنية شبه الهرميتية بواسطة بنية شبه مركبة J ، بالإضافة إلى مقياس ريماني g ، يحقق شرط التوافق.

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y).\,}$

يُعرّف هيكل شبه هيرميتي بشكل طبيعي شكلًا تفاضليًا ثنائيًا

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,}$

الشرطان التاليان متكافئان:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ و }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

أين${\displaystyle \nabla }$هل العلاقة بين ليفي-تشيفيتا هي${\displaystyle g}$في هذه الحالة،${\displaystyle (J,g)}$يُطلق على هذا اسم بنية كاهلر ، ومتشعب كاهلر هو متشعب مزود ببنية كاهلر. على وجه الخصوص، يكون متشعب كاهلر متشعبًا معقدًا ومتشعبًا تماثليًا في آن واحد. تُعطى فئة كبيرة من متشعبات كاهلر (فئة متشعبات هودج ) بجميع الأصناف الإسقاطية المعقدة الملساء .

هندسة CR هي دراسة الهندسة الجوهرية لحدود المجالات في المشعبات المعقدة .

الهندسة المطابقة هي دراسة مجموعة التحويلات التي تحافظ على الزوايا (المطابقة) على الفضاء.

الطوبولوجيا التفاضلية هي دراسة الثوابت الهندسية العالمية التي لا تمتلك شكلاً مترياً أو شكلاً تماثلياً.

تبدأ الطوبولوجيا التفاضلية من العمليات الطبيعية مثل مشتقة لي للحزم المتجهة الطبيعية وتفاضل دي رام للأشكال . وإلى جانب جبر لي ، تبدأ جبر كوران أيضاً في لعب دور أكثر أهمية.

زمرة لي هي زمرة في فئة المشعبات الملساء. إلى جانب خصائصها الجبرية، تتمتع هذه الزمرة أيضًا بخصائص هندسية تفاضلية. وأبسط بناء لها هو بناء جبر لي، وهو الفضاء المماسي عند العنصر المحايد المزود بقوس لي بين حقول متجهة ثابتة من اليسار . وإلى جانب نظرية البنية، يوجد أيضًا مجال واسع يُعرف بنظرية التمثيل .

التحليل الهندسي هو فرع رياضي يستخدم فيه أدوات من المعادلات التفاضلية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، للتوصل إلى نتائج جديدة في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية.

تُعنى نظرية القياس بدراسة الروابط على الحزم المتجهة والحزم الرئيسية، وهي نتاجٌ لمسائل في الفيزياء الرياضية ونظريات القياس الفيزيائية التي تُشكّل أساس النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات . وتهتم نظرية القياس بدراسة المعادلات التفاضلية للروابط على الحزم، وفضاءات المعاملات الهندسية الناتجة عن حلول هذه المعادلات، بالإضافة إلى الثوابت التي يُمكن استخلاصها منها. غالبًا ما تظهر هذه المعادلات على شكل معادلات أويلر-لاغرانج التي تصف معادلات حركة بعض الأنظمة الفيزيائية في نظرية الحقل الكمومي ، ولذا فإن دراستها تحظى بأهمية بالغة في الفيزياء.