كريستوفر دينينجر

في سلسلة من الأبحاث المنشورة بين عامي 1984 و1987، درس دينينجر امتدادات ثنائية آرتين-فيردييه . وبشكل عام، تُعد ثنائية آرتين-فيردييه، وهي نتيجة لنظرية حقل الأصناف ، نظيرًا حسابيًا لثنائية بوانكاريه ، وهي ثنائية لتماثل الحزم على مشعب متراص. وفي هذا التوازي، يتوافق طيف حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي مع مشعب ثلاثي الأبعاد . واستنادًا إلى أعمال مازور ، وسّع دينينجر (1984) ثنائية آرتين-فيردييه لتشمل حقول الدوال . ثم وسّع دينينجر هذه النتائج في اتجاهات مختلفة، مثل الحزم غير الالتوائية ( 1986 )، والأسطح الحسابية ( 1987 )، بالإضافة إلى الحقول المحلية ذات الأبعاد الأعلى ( مع وينجبرج، 1986 ). لقد أثر ظهور مجمعات بلوخ الموتيفية التي تم تناولها في الأوراق الأخيرة على عمل العديد من المؤلفين بما في ذلك جيسر (2010) ، الذي حدد مجمعات بلوخ على أنها مجمعات ثنائية على مخططات ذات أبعاد أعلى.

تتناول مجموعة أخرى من أبحاث دينينجر دوال L وقيمها الخاصة. ومن الأمثلة الكلاسيكية على دوال L دالة زيتا لريمان ζ( s )، والتي تُكتب لها صيغ مثل:

ζ(2) = π ² / 6

تُعرف هذه المفاهيم منذ عهد أويلر. في ورقة بحثية رائدة، اقترح بيلينسون (1984) مجموعة من التخمينات بعيدة المدى التي تصف القيم الخاصة لدوال L ، أي قيم دوال L عند الأعداد الصحيحة. وبصورة عامة، تؤكد تخمينات بيلينسون أنه بالنسبة لمتنوعة جبرية إسقاطية ملساء X على Q ، يجب أن تكون التماثلية التحفيزية لـ X مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتماثلية ديلين لـ X. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تفسر العلاقة بين نظريتي التماثل هاتين، وفقًا لتخمين بيلينسون، رتب الأقطاب وقيمها.

L ( h ⁿ ( X ), s )

عند الأعداد الصحيحة s . أثبت بلوخ وبيلينسون أجزاءً أساسية من هذه الفرضية لـ h1 ⁽ X ) في حالة كون X منحنى إهليلجيًا بضرب عقدي و s = 2. في عام 1988 ، قدم دينينجر ووينجبرج شرحًا لتلك النتيجة. في عامي 1989 و 1990 ، وسّع دينينجر هذه النتيجة لتشمل منحنيات إهليلجية معينة درسها شيمورا، عند جميع قيم s ≥ 2. عبّر دينينجر ونارت ( 1995 ) عن اقتران الارتفاع ، وهو عنصر أساسي في فرضية بيلينسون، كاقتران طبيعي لمجموعات Ext في فئة معينة من الدوافع. في عام 1995 ، درس دينينجر جداءات ماسي في علم التماثل ديلين، واستنتج منها صيغة للقيمة الخاصة لدالة L لمنحنى إهليلجي عند s = 3، والتي أكدها غونشاروف (1996) لاحقًا . اعتبارًا من عام 2018، لا تزال فرضية بيلينسون مفتوحة على مصراعيها، وتُعد مساهمات دينينجر من بين الحالات القليلة التي تم فيها مهاجمة فرضية بيلينسون بنجاح (تشمل الدراسات الاستقصائية حول هذا الموضوع دينينجر وشول (1991) ، ونيكوفار (1994) ).

تُعرَّف دالة ريمان زيتا باستخدام حاصل ضرب عوامل أويلر

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

لكل عدد أولي p . للحصول على معادلة دالية لـ ζ( s )، يجب ضربها بحد إضافي يتضمن دالة غاما :

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

تُعرَّف دوال L الأكثر عمومية أيضًا بواسطة جداءات أويلر، والتي تتضمن، عند كل موضع محدود، محدد تشاكل فروبينيوس الداخلي المؤثر على التماثل l-adic لمتنوعة X / Q ، بينما عوامل أويلر للموضع اللانهائي، وفقًا لسير ، هي جداءات دوال غاما التي تعتمد على بنى هودج المرتبطة بـ X / Q . عبّر دينينجر (1991) عن عوامل غاما هذه بدلالة المحددات المنتظمة ، ثم انتقل، في عام 1992 وبشكل أكثر عمومية في عام 1994 ، إلى توحيد عوامل أويلر لدوال L عند كل من المواضع المحدودة واللانهائية باستخدام المحددات المنتظمة. على سبيل المثال، بالنسبة لعوامل أويلر لدالة زيتا لريمان، يُقرأ هذا الوصف الموحد كما يلي:

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\right)^{-1}.}$

هنا، يُمثل p إما عددًا أوليًا أو اللانهاية، وهو ما يُقابل عوامل أويلر غير الأرخميدية وعامل أويلر الأرخميدي على التوالي، و R_{_p} هو فضاء متسلسلات فورييه الحقيقية المحدودة على R /log( p ) Z لعدد أولي p ، و R _{_∞} = R [exp( −2y ) ]. أخيرًا، Θ هي مشتقة فعل R المُعطى بإزاحة هذه الدوال. وقد عرض دينينجر (1994) أيضًا نهجًا موحدًا مشابهًا لعوامل ε (التي تُعبر عن النسبة بين دوال L المكتملة عند s وعند 1 − s ).

دفعت هذه النتائج دينينجر إلى اقتراح برنامج يتعلق بوجود "موقع حسابي" Y مرتبط بتكثيف Spec Z. من بين خصائص أخرى، سيكون هذا الموقع مزودًا بفعل R ، وسيقابل كل عدد أولي p مدارًا مغلقًا لفعل R بطول log( p ) . علاوة على ذلك، دفعت أوجه التشابه بين الصيغ في نظرية الأعداد التحليلية وديناميكيات الفضاءات المورقة دينينجر إلى التكهن بوجود توريق على هذا الموقع. علاوة على ذلك، يُفترض أن يكون هذا الموقع مزودًا بنظرية تماثل لا نهائية الأبعاد بحيث تُعطى دالة L للدافع M بواسطة

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

هنا ، M هو دافع ، مثل الدوافع h ^_n ( X ) الواردة في حدسية بيلينسون، و F ( M ) يُفترض أنه الحزمة على Y المرتبطة بالدافع M. المؤثر Θ هو المولد المتناهي الصغر للتدفق المُعطى بواسطة فعل R. ستكون فرضية ريمان ، وفقًا لهذا البرنامج، نتيجة لخصائص موازية لإيجابية اقتران التقاطع في نظرية هودج . وقد أثبت دينينجر (1993) صيغة أثر ليفشيتز الموجودة على هذا الموقع، والتي ستكون جزءًا من هذا الإطار الحدسي، بوسائل أخرى . في عام 2010 ، أثبت دينينجر أن الحدسيات الكلاسيكية لبيلينسون وبلوخ المتعلقة بنظرية تقاطع الدورات الجبرية ستكون نتائج أخرى لبرنامجه.

استعرض دينينجر هذا البرنامج في محاضراته في المؤتمر الأوروبي للرياضيات عام 1992 ، وفي المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1998 ، وكذلك فعل ليشتنام (2005) . في عام 2002 ، أنشأ دينينجر فضاءً مُوَصَّلاً يُقابل منحنىً إهليلجيًا على حقل منتهٍ ، وأظهر هيسلهولت (2016) أن دالة زيتا لهاس-ويل لمتنوعة مناسبة ملساء على F _p يُمكن التعبير عنها باستخدام مُحدِّدات مُنتظمة تتضمن تماثل هوخشيلد الطوبولوجي . إضافةً إلى ذلك، دُرست أوجه التشابه بين العُقد والأعداد الأولية بشكلٍ مُثمر في الطوبولوجيا الحسابية . مع ذلك، وحتى عام 2018، لا يزال إنشاء فضاء مُوَصَّل يُقابل Spec Z أمرًا صعب المنال.

تتناول سلسلة من الأبحاث المشتركة مع أنيت فيرنر حزم المتجهات على المنحنيات p -adic. ومن النتائج الكلاسيكية التي حفزت هذه الدراسة نظرية ناراسيمهان-سيشادري ، وهي حجر الزاوية في تناظر سيمبسون . وتنص هذه النظرية على أن حزمة المتجهات على سطح ريمان مضغوط X تكون مستقرة إذا نشأت من تمثيل وحدوي للمجموعة الأساسية π ₁ ( X ).

في دينينجر وويرنر (2005)، تم وضع نظير p -adic لذلك: بالنسبة لمنحنى جبري إسقاطي أملس على C _p ، يتم الحصول عليه عن طريق تغيير الأساس من${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$قاموا ببناء تأثير المجموعة الأساسية الإيتالية π ₁ (X) على الألياف الموجودة على حزم متجهة معينة، بما في ذلك تلك من الدرجة 0 والتي تتمتع باختزال شبه مستقر قوي محتمل. في ورقة بحثية أخرى نُشرت عام 2005 ، ربطوا التمثيلات الناتجة للمجموعة الأساسية للمنحنى X بتمثيلات وحدة تيت لمتنوعة جاكوبيان X. في عامي 2007 و 2010، واصلوا هذا العمل من خلال إظهار أن هذه الحزم المتجهة تُشكل فئة تاناكيان، وهو ما يُعادل تعريف هذه الفئة من الحزم المتجهة كفئة من تمثيلات مجموعة معينة.

في العديد من الأوراق البحثية المشتركة، درس دينينجر وويلهلم سينغهوف نواتج قسمة مجموعة هايزنبرغ H ذات البعد n على الشبكة القياسية المكونة من مصفوفات ذات قيم صحيحة.

X = H / Γ,

من وجهات نظر مختلفة. في عام 1984 ، قاموا بحساب الثابت e لـ X بدلالة ζ( − n )، مما أدى إلى بناء عناصر في مجموعات التماثل المستقرة للكرات ذات الرتبة الكبيرة كيفما كانت. وفي عام 1988 ، استخدموا أساليب نظرية الأعداد التحليلية لتقديم تقديرات حول بُعد تماثل جبر لي الصفري .

لقد عمّم ألفاريز لوبيز وكورديوكوف (2001) الحقيقة الكلاسيكية من نظرية هودج، والتي تنص على أن أي فئة تماثلية على مشعب كاهلر تقبل توافقية فريدة، لتشمل التوريقات الريمانية . وأظهر دينينجر وسينغهوف (2001) أن التوريقات على الفضاء X المذكور أعلاه ، والتي لا تحقق سوى شروط أضعف قليلاً، لا تقبل خصائص نظرية هودج هذه. وفي ورقة بحثية مشتركة أخرى من عام 2001 ، وضعا صيغة أثر ليفشيتز الديناميكية: تربط هذه الصيغة أثر مؤثر على الأشكال التوافقية بالآثار المحلية التي تظهر عند المدارات المغلقة (على فضاءات توريقية معينة ذات فعل R ). وتُعد هذه النتيجة بمثابة تأكيد لبرنامج دينينجر المذكور أعلاه، بمعنى أنها تُثبت تنبؤًا قدمه هذا البرنامج من الناحية التحليلية، أي التنبؤ المتعلق بالديناميكيات على الفضاءات التوريقية.

تتمحور مجموعة أخرى من أوراق دينينجر حول الفضاء

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

حيث Γ زمرة منفصلة، ​​و f عنصر من حلقة زمرتها Z Γ، ورمز القبعة يرمز إلى ثنائية بونترياجين . بالنسبة لـ Γ = Z ⁿ و${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$أظهر ليند وشميدت وورد (1990) أن إنتروبيا فعل غاما على X _f تُعطى بواسطة مقياس ماهلر

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots ,z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

علاوة على ذلك، كان معروفًا أن مقاييس ماهلر لبعض كثيرات الحدود قابلة للتعبير عنها بدلالة قيم خاصة لدوال L معينة. في عام ١٩٩٧ ، لاحظ دينينجر أن التكامل في تعريف مقياس ماهلر له تفسير طبيعي من خلال علم التماثل لديلين. وباستخدام حالات معروفة من حدسية بيلينسون، استنتج أن m ( f ) هي صورة الرمز { f , t₁ _, ..., tₙ _} تحت منظم بيلينسون، حيث يكون التنوع هو المكمل في الطارة n- الأبعاد لمجموعة أصفار f . وقد أدى هذا إلى تفسير مفاهيمي للصيغ المذكورة آنفًا لمقاييس ماهلر. قام بيسر ودينينجر (1999) ودينينجر في وقت لاحق من عام 2009 بنقل هذه الأفكار إلى عالم p -adic، عن طريق استبدال خريطة منظم بيلينسون إلى علم التماثل ديلين بخريطة منظم إلى علم التماثل التركيبي ، واللوغاريتم الذي يظهر في تعريف الإنتروبيا بلوغاريتم p -adic .

في عامي 2006 و 2007 ، وسّع دينينجر وكلاوس شميدت نطاق التوازي بين الإنتروبيا ومقاييس ماهلر ليشمل ما هو أبعد من الزمر الأبيلية، وتحديدًا الزمر المتقطعة القابلة للعد والمحدودة المتبقية ^Γ . أظهرا أن تأثير Γ على X _f يكون توسعيًا إذا وفقط إذا كانت f قابلة للعكس في جبر الالتفاف L1 لـ Γ. علاوة على ذلك، فإن لوغاريتم محدد فوجليد-كاديسون على جبر فون نيومان NΓ المرتبط بـ Γ (والذي يحل محل مقياس ماهلر لـ Z ⁿ ) يتوافق مع إنتروبيا التأثير المذكور أعلاه.

عمل يواكيم كونتز ودينينجر معًا على متجهات ويت . وفي ورقتين بحثيتين نُشرتا حوالي عام 2014، قاما بتبسيط النظرية من خلال تقديم عرض لحلقة متجهات ويت بدلالة إكمال جبر المونويد Z ∈ R. يتجنب هذا النهج استخدام كثيرات الحدود العامة المستخدمة في التعريف الكلاسيكي لجمع متجهات ويت.

• Deninger، Christopher (1984)، “On Artin-Verdier Duality for function Fields”، Mathematische Zeitschrift ، 188 (1): 91–100 ، دوى : 10.1007 / BF01163876 ، MR 0767366 ، S2CID 123090400  
• دينينجر، كريستوفر (1986)، "توسيع ازدواجية آرتين-فيردييه إلى الحزم غير الالتوائية"، مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 1986 (366): 18-31 ، doi : 10.1515/crll.1986.366.18 ، MR 0833011 ، S2CID 116275426  
• دينينجر، كريستوفر؛ وينجبرج، كاي (1986)، "ازدواجية آرتين-فيردييه للحقول المحلية ذات الأبعاد n التي تتضمن حزم K الجبرية العليا "، مجلة الجبر البحت والتطبيقي ، 43 (3): 243-255 ، doi : 10.1016/0022-4049(86)90066-6 ، MR 0868985 
• دينينجر، كريستوفر (1987)، "الازدواجية في علم التماثل الإيتالي للمخططات والتعميمات أحادية البعد"، حوليات الرياضيات ، 277 (3): 529-541 ، doi : 10.1007/BF01458330 ، MR 0891590 ، S2CID 120941469  

• دينينجر، كريستوفر؛ وينجبرج، كاي (1988)، "حول تخمينات بيلينسون للمنحنيات الإهليلجية ذات الضرب المركب"، تخمينات بيلينسون حول القيم الخاصة لدوال L ، منظورات الرياضيات، المجلد  4، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، MR 0944996 
• دينينجر، كريستوفر (1989)، "المنظمات العليا ومتسلسلات هيك إل للحقول التربيعية التخيلية. الجزء الأول"، Inventiones Mathematicae ، 96 (1): 1-69 ، Bibcode : 1989InMat..96....1D ، doi : 10.1007/BF01393970 ، MR 0981737 ، S2CID 122586535  
• دينينجر، كريستوفر (1990)، "المنظمات العليا ومتسلسلات هيك إل للحقول التربيعية التخيلية. الجزء الثاني"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 132 (1): 131-158 ، doi : 10.2307/1971502 ، JSTOR 1971502 ، MR 1059937  
• دينينجر، كريستوفر؛ شول، أنتوني جيه (1991)، "تخمينات بيلينسون"،الدوال L والحساب (دورهام، 1989) ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  153، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 173-209 ، doi : 10.1017/CBO9780511526053.007 ، ISBN  9780521386197MR 1110393​ 

• دينينجر، كريستوفر (1991)، "حول عوامل غاما المرتبطة بالدوافع"، Inventiones Mathematicae ، 104 (2): 245-261 ، Bibcode : 1991InMat.104..245D ، doi : 10.1007/BF01245075 ، MR 1098609 ، S2CID 123206613  
• دينينجر، كريستوفر (1992)، "العوامل المحلية L للدوافع والمحددات المنتظمة"، Inventiones Mathematicae ، 107 (1): 135-150 ، Bibcode : 1992InMat.107..135D ، doi : 10.1007/BF01231885 ، MR 1135468 ، S2CID 120740473  
• Deninger، Christopher (1993)، “Lefschetz تتبع الصيغ والصيغ الصريحة في نظرية الأعداد التحليلية” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1993 (441): 1–15 ، doi : 10.1515/crll.1993.441.1 ، S2CID 116031228 ، Zbl 0782.11034  
• دينينجر، كريستوفر (1994أ)، "عوامل إبسيلون الدافعة عند اللانهاية والأبعاد المنتظمة"، إنداج. ماث. ، السلسلة الجديدة، 5 (4): 403-409 ، doi : 10.1016/0019-3577(94)90015-9 ، MR 1307961 
• دينينجر، كريستوفر (1994ب)، "دوال L الدافعية والمحددات المنتظمة"، الدافعات (سياتل، واشنطن، 1991) ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد  55، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، MR 1265547 
• دينينجر، كريستوفر (1994ج)، "دليل على وجود منهج كوهومولوجي لنظرية الأعداد التحليلية"، المؤتمر الأوروبي الأول للرياضيات، المجلد الأول (باريس، 1992) ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  119، بيركهاوزر، بازل، الصفحات 491-510 ، MR 1341834  
• دينينجر، كريستوفر؛ نارت، إنريك (1995)، "حول الامتداد ² للدوافع فوق المنحنيات الحسابية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 117 (3): 601-625 ، doi : 10.2307/2375082 ، JSTOR 2375082 ، MR 1333938  
• دينينجر، كريستوفر (1995)، "عمليات الرتبة العليا في علم التماثل لديلين"، مجلة الرياضيات ، 120 (2): 289-315 ، رمز Bibcode : 1995InMat.120..289D ، doi : 10.1007/BF01241130 ، MR 1329043 ، S2CID 121481341  
• دينينجر، كريستوفر (1998)، "بعض أوجه التشابه بين نظرية الأعداد والأنظمة الديناميكية على الفضاءات المورقة"، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، المجلد الأول (برلين، 1998) ، دوكومنتا ماثيماتيكا (مجلد إضافي الأول)، الصفحات 163-186 ، MR 1648030  
• دينينجر، كريستوفر (2002)، "حول طبيعة "الصيغ الصريحة" في نظرية الأعداد التحليلية - مثال بسيط"، أساليب نظرية الأعداد (إيزوكا، 2001) ، ديف. ماث.، المجلد  8، دوردريخت: كلوير أكاديميك بابليشرز، الصفحات 97-118 ، arXiv : math/0204194 ، doi : 10.1007/978-1-4757-3675-5_7 ، ISBN  978-1-4419-5239-4، MR 1974137 ، S2CID 17829739  
• دينينجر، كريستوفر (2010)، "استراتيجية هيلبرت-بوليا واقترانات الارتفاع"، قوة كازيمير، عوامل كازيمير وفرضية ريمان ، والتر دي جرويتر، برلين، ص 275-283 ، MR 2777722  

• دينينجر، كريستوفر؛ فيرنر، أنيت (2005)، “حزم المتجهات على منحنيات p -adic والنقل المتوازي” ، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure ، Quatrième Série، 38 (4): 553–597 ، أرخايف : math/0403516 ، دوى : 10.1016/j.ansens.2005.05.002 ، السيد 2172951 ، S2CID 8884837  
• دينينجر، كريستوفر؛ فيرنر، أنيت (2005)، "حزم الخطوط والرموز p -adic"، حقول الأعداد وحقول الدوال - عالمان متوازيان ، مجلة التقدم في الرياضيات، المجلد  239، الصفحات 101-131 ، arXiv : math/0407511 ، doi : 10.1007/0-8176-4447-4_7 ، ISBN  978-0-8176-4397-3، MR 2176589 ، S2CID 119669442  
• دينينجر، كريستوفر؛ فيرنر، أنيت (2007)، "حول ازدواجية تاناكا لحزم المتجهات على المنحنيات p -adic"، الدورات الجبرية والدوافع. المجلد 2 ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  344، الصفحات 94-111 ، MR 2187151  
• دينينجر، كريستوفر؛ فيرنر، أنيت (2010)، "حزم المتجهات على المنحنيات p -adic والنقل المتوازي II"، البنى الجبرية والحسابية لفضاءات المعاملات (سابورو 2007) ، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة، المجلد  58، الصفحات 1-26 ، doi : 10.2969/aspm/05810001 ، ISBN  978-4-86497-008-2MR 2676155​ 

• دينينجر، كريستوفر؛ سينغهوف، فيلهلم (1984)، " الثابت e وطيف لابلاس للمتشعبات المتراصة المغطاة بمجموعات هايزنبرغ"، Inventiones Mathematicae ، 78 (1): 101-112 ، Bibcode : 1984InMat..78..101D ، doi : 10.1007/BF01388716 ، MR 0762355 ، S2CID 119465585  
• دينينجر، كريستوفر؛ سينغهوف، فيلهلم (1988)، "حول علم التماثل لجبر لي الصفري"، نشرة الجمعية الرياضية الفرنسية ، 116 (1): 3-14 ، doi : 10.24033/bsmf.2087 ، MR 0946276 
• دينينجر، كريستوفر؛ سينغهوف، فيلهلم (2001)، "مثال مضاد لتحليل هودج السلس للأوراق في التوريقات العامة ونوع من صيغ الأثر الديناميكي" ، حوليات معهد فورييه (غرونوبل) ، 51 (1): 209-219 ، doi : 10.5802/aif.1821 ، MR 1821074 
• دينينجر، كريستوفر؛ Singhof، Wilhelm (2001b)، “ملاحظة حول صيغ التتبع الديناميكية”، وظائف زيتا الديناميكية والطيفية والحسابية (San Antonio، TX، 1999) ، Contemp. الرياضيات، المجلد.  290، AMS، الصفحات من 41 إلى 55، دوى : 10.1090/conm/290/04572 ، ISBN  9780821820797، MR 1868467 

• دينينجر، كريستوفر (1997)، "فترات ديلين للدوافع المختلطة، ونظرية K، وإنتروبيا بعض أفعال Z ⁿ "، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 10 (2): 259-281 ، doi : 10.1090/S0894-0347-97-00228-2 ، MR 1415320 
• دينينجر، كريستوفر (2006)، "محددات فوجليد-كاديسون والإنتروبيا لتأثيرات المجموعات المنفصلة القابلة للتقريب"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 19 (3): 737-758 ، arXiv : math/0502233 ، doi : 10.1090/S0894-0347-06-00519-4 ، MR 2220105 ، S2CID 7741105  

• دينينجر، كريستوفر؛ شميدت، كلاوس (2007)، "التأثيرات الجبرية التوسعية للمجموعات القابلة للتقريب المنفصلة المتبقية المحدودة وإنتروبياها"، نظرية إرجوديك والأنظمة الديناميكية ، 27 (3): 769-786 ، arXiv : math/0605723 ، doi : 10.1017/S0143385706000939 ، MR 2322178 ، S2CID 12803685  

• بيسر، أمنون؛ Deninger، Christopher (1999)، “ p- adic Mahler Measures”، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1999 (517): 19–50 ، doi : 10.1515/crll.1999.093 ، MR 1728549 
• دينينجر، كريستوفر (2009)، " الإنتروبيا p -adic ومحدد فوجليد-كاديسون p -adic"، الجبر والحساب والهندسة: تكريمًا ليو. آي. مانين. المجلد الأول، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  269، بيركهاوزر، الصفحات 423-442 ، arXiv : math/0608539 ، doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_10 ، ISBN  978-0-8176-4744-5، MR 2641178 ، S2CID 6186513  

• كونتز، يواكيم؛ دينينجر، كريستوفر (2015)، "حلقات ويت المتجهة ومركب دي رام ويت النسبي"، مجلة الجبر ، 440 : 545-593 ، arXiv : 1410.5249 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.05.029 ، MR 3373405 ، S2CID 119171724  
• كونتز، يواكيم؛ دينينجر، كريستوفر (2014)، "بديل لمتجهات ويت"، مجلة مونستر للرياضيات ، 7 (1): 105-114 ، arXiv : 1311.2774 ، Bibcode : 2013arXiv1311.2774C ، doi : 10.1080/18756891.2013.858905 ، MR 3271241