الانكسار المزدوج

الانكسار المزدوج ، أو ما يُعرف أيضًا بالانكسار الثنائي ، هو خاصية بصرية لمادة ما، حيث يعتمد معامل انكسارها على استقطاب الضوء واتجاه انتشاره . ^{[ 1 ]} تُوصف هذه المواد غير المتجانسة بصريًا بأنها مواد ذات انكسار مزدوج . غالبًا ما يُقاس الانكسار المزدوج بأنه أقصى فرق بين معاملي الانكسار اللذين تُظهرهما المادة. تتميز البلورات ذات البنية البلورية غير المكعبة بانكسار مزدوج، وكذلك المواد البلاستيكية المعرضة للإجهاد الميكانيكي .

الانكسار المزدوج هو المسؤول عن ظاهرة الانكسار المزدوج ، حيث ينقسم شعاع الضوء، عند سقوطه على مادة ذات انكسار مزدوج، بفعل الاستقطاب إلى شعاعين يسلكان مسارين مختلفين قليلاً. وقد وصف هذا التأثير لأول مرة العالم الدنماركي راسموس بارتولين عام 1669، الذي لاحظه ^{[ 2 ]} في بلورات الإسبار الأيسلندي ( الكالسيت )، التي تتميز بواحدة من أقوى حالات الانكسار المزدوج. وفي القرن التاسع عشر، وصف أوغستين-جان فرينل هذه الظاهرة من منظور الاستقطاب، معتبراً الضوء موجة ذات مركبات مجال ذات استقطاب عرضي (عمودي على اتجاه متجه الموجة). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يُقدَّم أدناه وصف رياضي لانتشار الموجات في وسط ثنائي الانكسار . وفيما يلي شرح نوعي لهذه الظاهرة.

سبقت معظم الدراسات المتعلقة بالاستقطاب فهم الضوء كموجة كهرومغناطيسية مستعرضة ، وقد أثر ذلك على بعض المصطلحات المستخدمة. تتميز المواد المتجانسة بتناظرها في جميع الاتجاهات، ويكون معامل انكسارها متساوياً بغض النظر عن اتجاه الاستقطاب. أما المادة غير المتجانسة فتُسمى "مزدوجة الانكسار" لأنها عادةً ما تكسر شعاعاً ضوئياً واحداً ساقطاً في اتجاهين، وهو ما نفهمه الآن بأنه يتوافق مع الاستقطابين المختلفين. وينطبق هذا على كلٍ من المواد أحادية المحور وثنائية المحور.

في المواد أحادية المحور، يسلك أحد الأشعة سلوك قانون الانكسار العادي (الموافق لمعامل الانكسار العادي)، لذا يبقى الشعاع الساقط عموديًا على سطح الانكسار. وكما ذُكر سابقًا، قد ينحرف الاستقطاب الآخر عن السقوط العمودي، وهو ما لا يمكن وصفه باستخدام قانون الانكسار. ولذلك يُعرف هذا الشعاع بالشعاع غير العادي . ولا يزال مصطلحا "عادي" و"غير عادي" يُستخدمان للإشارة إلى مركبات الاستقطاب العمودية وغير العمودية على المحور البصري على التوالي، حتى في الحالات التي لا يحدث فيها انكسار مزدوج.

تُسمى المادة أحادية المحور عندما يكون لها اتجاه تناظر واحد في سلوكها البصري، والذي يُسمى المحور البصري. وهو أيضاً محور تناظر القطع الناقص للمؤشر (وهو شكل كروي في هذه الحالة). يمكن وصف القطع الناقص للمؤشر وفقاً لمعاملات الانكسار، _nα و nβ و nγ _، على طول ثلاثة محاور إحداثية؛ في هذه الحالة، يتساوى اثنان منها. فإذا كان _nα = _nβ الموافق للمحورين x و y ، فإن معامل الانكسار غير العادي هو nγ الموافق للمحور z ، والذي يُسمى أيضاً المحور البصري _في هذه الحالة _.

تُسمى المواد التي تختلف فيها معاملات الانكسار الثلاثة بالمواد ثنائية المحور، وأصل هذا المصطلح أكثر تعقيدًا وكثيرًا ما يُساء فهمه. في البلورة أحادية المحور، تنتقل مكونات الاستقطاب المختلفة للشعاع بسرعات طورية مختلفة، باستثناء الأشعة المتجهة نحو ما نسميه المحور البصري. وبالتالي، يتميز المحور البصري بخاصية فريدة، وهي أن الأشعة المتجهة نحوه لا تُظهر انكسارًا مزدوجًا، حيث تخضع جميع استقطابات هذا الشعاع لنفس معامل الانكسار. يختلف الأمر تمامًا عندما تختلف معاملات الانكسار الرئيسية الثلاثة؛ فحينها سيواجه الشعاع الوارد في أي من هذه الاتجاهات الرئيسية معاملَي انكسار مختلفين. ولكن اتضح أن هناك اتجاهين خاصين (بزاوية مع المحاور الثلاثة) تتساوى فيهما معاملات الانكسار للاستقطابات المختلفة. لهذا السبب، صُنفت هذه البلورات بأنها ثنائية المحور، حيث يشير "المحوران" في هذه الحالة إلى اتجاهي الشعاع اللذين لا يشهدان انكسارًا مزدوجًا.

في حين أن المصدر الأكثر شهرة للانكسار المزدوج هو دخول الضوء إلى بلورة غير متجانسة، إلا أنه يمكن أن يؤدي إلى مواد متجانسة بصريًا بطرق قليلة:

• ينتج الانكسار المزدوج الإجهادي عندما يتعرض جسم صلب متجانس الخواص عادةً للإجهاد والتشوه (أي التمدد أو الانحناء) مما يتسبب في فقدان التناظر الفيزيائي وبالتالي فقدان التناظر في موتر سماحية المادة؛
• الانكسار المزدوج الشكلي، حيث يتم تعليق عناصر هيكلية مثل القضبان، ذات معامل انكسار واحد، في وسط ذي معامل انكسار مختلف. عندما تكون المسافة بين الشبكات أصغر بكثير من الطول الموجي، يوصف هذا الهيكل بأنه مادة فائقة ؛
• عن طريق تأثير بوكلز أو كير ، حيث يؤدي المجال الكهربائي المطبق إلى انكسار مزدوج بسبب البصريات غير الخطية ؛
• عن طريق المحاذاة الذاتية أو القسرية في أغشية رقيقة من الجزيئات المحبة للماء والدهون مثل الدهون ، وبعض المواد الخافضة للتوتر السطحي أو البلورات السائلة ؛
• لا يحدث الانكسار الدائري بشكل عام في المواد غير المتجانسة، بل في المواد الكيرالية . ويمكن أن يشمل ذلك السوائل التي يوجد فيها فائض من المتصاوغات الضوئية لجزيء كيرالي، أي جزيء له متصاوغات فراغية ؛
• عن طريق تأثير فاراداي ، حيث يتسبب المجال المغناطيسي الطولي في أن تصبح بعض المواد ذات انكسار دائري مزدوج (لها معاملات انكسار مختلفة قليلاً للاستقطاب الدائري الأيسر والأيمن )، على غرار النشاط البصري أثناء تطبيق المجال.

تُعدّ البلورات من أفضل المواد ذات الانكسار المزدوج التي تتميز بخصائص محددة . وبفضل بنيتها البلورية الخاصة ، تكون معاملات انكسارها محددة بدقة. وبناءً على تناظر البنية البلورية (كما تحدده إحدى المجموعات النقطية البلورية الـ 32 الممكنة )، قد تُجبر البلورات في تلك المجموعة على أن تكون متناحية الخواص (غير ذات انكسار مزدوج)، أو ذات تناظر أحادي المحور، أو لا تمتلك أيًا منهما، وفي هذه الحالة تكون بلورة ثنائية المحور. وتُبيّن الجداول أدناه البنى البلورية التي تسمح بالانكسار المزدوج أحادي المحور وثنائي المحور، حيث تُدرج معاملات الانكسار الرئيسية (عند طول موجي 590  نانومتر) لبعض البلورات الأكثر شهرة. ^{[ 9 ]}

إضافةً إلى الانكسار المزدوج المُستحثّ تحت تأثير الإجهاد، تكتسب العديد من المواد البلاستيكية انكسارًا مزدوجًا دائمًا أثناء التصنيع نتيجةً للإجهادات التي "تتجمد" بفعل القوى الميكانيكية الموجودة أثناء تشكيل البلاستيك أو بثقه. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، السيلوفان العادي ذو انكسار مزدوج. تُستخدم المستقطبات بشكل روتيني للكشف عن الإجهاد، سواءً كان مُطبقًا أو متجمدًا، في مواد بلاستيكية مثل البوليسترين والبولي كربونات .

تتميز ألياف القطن بانكسار مزدوج بسبب المستويات العالية من المواد السليلوزية في الجدار الخلوي الثانوي للألياف والذي يتماشى اتجاهه مع ألياف القطن.

يُستخدم المجهر الضوئي المستقطب على نطاق واسع في دراسة الأنسجة البيولوجية، نظرًا لأن العديد من المواد البيولوجية تتميز بانكسار ضوئي خطي أو دائري. الكولاجين، الموجود في الغضاريف والأوتار والعظام والقرنيات والعديد من مناطق الجسم الأخرى، يتميز بانكسار ضوئي مزدوج، ويُدرس عادةً باستخدام المجهر الضوئي المستقطب. ^{[ 11 ]} بعض البروتينات أيضًا تتميز بانكسار ضوئي مزدوج، حيث تُظهر انكسارًا ضوئيًا مزدوجًا شكليًا. ^{[ 12 ]}

تؤدي عيوب التصنيع الحتمية في الألياف الضوئية إلى الانكسار المزدوج، وهو أحد أسباب اتساع النبضات في اتصالات الألياف الضوئية . قد تكون هذه العيوب هندسية (كعدم وجود تناظر دائري)، أو ناتجة عن إجهاد جانبي غير متساوٍ مُطبق على الألياف الضوئية. يُدخل الانكسار المزدوج عمدًا (على سبيل المثال، بجعل المقطع العرضي بيضاويًا) لإنتاج ألياف ضوئية تحافظ على الاستقطاب . يمكن إحداث الانكسار المزدوج (أو تصحيحه) في الألياف الضوئية عن طريق ثنيها، مما يُسبب تباينًا في الشكل والإجهاد تبعًا للمحور الذي تُثنى حوله ونصف قطر الانحناء.

إضافةً إلى التباين في الاستقطابية الكهربائية، قد يكون التباين في النفاذية المغناطيسية مصدرًا للانكسار المزدوج. عند الترددات الضوئية، لا توجد استقطابية مغناطيسية قابلة للقياس ( μ = μ₀ ₎ للمواد الطبيعية، لذا فهي ليست مصدرًا فعليًا للانكسار المزدوج.

يمكن رصد الانكسار المزدوج وغيره من التأثيرات البصرية القائمة على الاستقطاب (مثل الدوران البصري وثنائية اللون الخطية أو الدائرية) بقياس أي تغيير في استقطاب الضوء المار عبر المادة. تُعرف هذه القياسات باسم قياس الاستقطاب . تُستخدم مجاهر الضوء المستقطب، التي تحتوي على مستقطبين متعامدين بزاوية 90 درجة على جانبي العينة، لتصوير الانكسار المزدوج، حيث يبقى الضوء غير المتأثر بالانكسار المزدوج في استقطاب يرفضه المستقطب الثاني تمامًا. يسمح استخدام صفائح ربع الموجة بالفحص باستخدام الضوء المستقطب دائريًا. يُعد تحديد التغير في حالة الاستقطاب باستخدام هذا الجهاز أساس قياس الإهليلجية ، الذي يُمكن من خلاله قياس الخصائص البصرية للأسطح العاكسة عبر الانعكاس.

أُجريت قياسات الانكسار المزدوج باستخدام أنظمة مُعدَّلة الطور لدراسة سلوك التدفق العابر للسوائل. ^{[ 14 ] [ 15 ]} يمكن قياس الانكسار المزدوج للطبقات الدهنية الثنائية باستخدام قياس التداخل ثنائي الاستقطاب . يوفر هذا مقياسًا لدرجة الانتظام داخل هذه الطبقات السائلة وكيفية اختلال هذا الانتظام عند تفاعل الطبقة مع جزيئات حيوية أخرى.

لقياس الانكسار المزدوج ثلاثي الأبعاد ، وهي تقنية تعتمد على التصوير المقطعي الهولوغرافييمكن استخدامها.

في وسط متجانس الخواص (بما في ذلك الفضاء الحر)، تتناسب الإزاحة الكهربائية ( D ) تناسبًا طرديًا مع المجال الكهربائي ( E ) وفقًا للمعادلة D = εE ، حيث ε هي سماحية المادة، وهي كمية قياسية (وتساوي n²ε₀ ^، حيث n هو معامل الانكسار ). _أما في مادة غير متجانسة الخواص تُظهر انكسارًا مزدوجًا، فيجب وصف العلاقة بين D و E باستخدام معادلة موتر .

${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} }$

1

حيث ε الآن عبارة عن موتر سماحية من الرتبة 3  ×  3. نفترض الخطية وانعدام النفاذية المغناطيسية في الوسط: μ = μ₀ _. يمكن كتابة المجال الكهربائي لموجة مستوية ذات تردد زاوي ω بالشكل العام التالي:

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

2

حيث r هو متجه الموضع، _و t هو الزمن، و E₀ هو متجه يصف المجال الكهربائي عند r = 0 و t = 0. سنجد بعد ذلك متجهات الموجة k الممكنة . بدمج معادلات ماكسويل لـ ∇ × E و ∇ × H ، _يمكننا حذف H = 1 / μ₀B لنحصل على:

${\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {D} }$

3أ

في حالة عدم وجود شحنات مجانية، فإن معادلة ماكسويل لتباعد D تتلاشى:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0}$

3ب

يمكننا تطبيق متطابقة المتجهات ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ ² A على الجانب الأيسر من المعادلة 3a ، واستخدام التبعية المكانية التي ينتج عنها كل تفاضل في x (على سبيل المثال) الضرب في ik _x لإيجاد:

${\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} }$

3 ج

يمكن التعبير عن الطرف الأيمن من المعادلة 3أ بدلالة E من خلال تطبيق موتر السماحية ε، مع ملاحظة أن التفاضل بالنسبة للزمن ينتج عنه الضرب في − iω ، فتصبح المعادلة 3أ على النحو التالي:

${\displaystyle (-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0}\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )}$

4أ

بتطبيق قاعدة التفاضل على المعادلة 3ب، نجد ما يلي:

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0}$

4ب

تشير المعادلة 4ب إلى أن D متعامد مع اتجاه متجه الموجة k ، على الرغم من أن هذا لم يعد صحيحًا بشكل عام بالنسبة لـ E كما هو الحال في وسط متجانس الخواص. لن تكون المعادلة 4ب ضرورية للخطوات اللاحقة في الاشتقاق التالي.

إن إيجاد القيم المسموح بها لـ k لقيمة ω معينة يتم بسهولة باستخدام الإحداثيات الديكارتية مع اختيار المحاور x و y و z في اتجاهات محاور التناظر للبلورة (أو ببساطة اختيار z في اتجاه المحور البصري لبلورة أحادية المحور)، مما ينتج عنه مصفوفة قطرية لموتر السماحية ε :

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon} =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

4 ج

حيث تمثل القيم القطرية مربعات معاملات الانكسار للاستقطابات على طول المحاور الرئيسية الثلاثة x و y و z . وباستخدام ε بهذا الشكل، وبالتعويض عن سرعة الضوء c باستخدام c² = ¹ / μ₀ε₀ ، يصبح المركب x للمعادلة المتجهة 4a _{كما يلي} :

${\displaystyle \left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\أوميغا ^{2}ن_{س}^{2}}{ج^{2}}}E_{x}}$

5أ

حيث تمثل E _{_x} و E_{_y} و E_{_z} مركبات E (عند أي موضع معين في المكان والزمان)، وتمثل k _{_x} و k _{_y} و k_{_z} مركبات k . بإعادة الترتيب، يمكننا كتابة (وبالمثل بالنسبة لمركبتي y و z في المعادلة 4أ ).

$//$

5ب

${\displaystyle k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0}$

5 سنتات

${\displaystyle k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0}$

5 أيام

هذه مجموعة من المعادلات الخطية في E _x و E _y و E _z ، لذا يمكن أن يكون لها حل غير تافه (أي حل آخر غير E = 0 ) طالما أن المحدد التالي يساوي صفرًا:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\أوميغا ^ {2}n_ {x}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\أوميغا ^ {2}n_ {y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\أوميغا ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0}$

6

بتقييم محدد المعادلة 6 ، وإعادة ترتيب الحدود وفقًا لقوى${\displaystyle {\frac {\أوميغا ^{2}}{c^{2}}}}$تُحذف الحدود الثابتة. بعد حذف العامل المشترك${\displaystyle {\frac {\أوميغا ^{2}}{c^{2}}}}$من الحدود المتبقية، نحصل على

$\displaystyle \frac \omega^4}{c^4}-\frac \omega^2}{c^2}\left(\frac k_x^2+k_y^2}{n_z^2}+\frac k_x^2+k_z^2}{n_y^2}+\frac k_y^2+k_z^2}{n_x^2}\right)+\left(\frac k_x^2}{n_y^2n_z^2}+\frac k_y^2}{n_x^2n_z^2}+\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0}$

7

في حالة المادة أحادية المحور، باختيار المحور البصري في اتجاه z بحيث يكون n _x = n _y = n _o و n _z = n _e ، يمكن تحليل هذا التعبير إلى

${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0}$

8

يؤدي ضبط أي من العاملين في المعادلة 8 على الصفر إلى تحديد سطح بيضاوي الشكل ^{[ ملاحظة 1 ]} في فضاء متجهات الموجة k المسموح بها لقيمة ω معينة . العامل الأول، عندما يكون صفرًا، يُحدد سطحًا كرويًا؛ وهذا هو حل ما يُسمى بالأشعة العادية، حيث يكون معامل الانكسار الفعال مساويًا تمامًا _لـ n₀ بغض النظر عن اتجاه k . أما العامل الثاني، فيُحدد سطحًا كرويًا متناظرًا حول المحور z . هذا الحل يُطابق ما يُسمى بالأشعة غير العادية، حيث يكون معامل الانكسار الفعال بين n₀ و nₑ _، اعتمادًا على اتجاه k . لذلك، لأي اتجاه انتشار عشوائي (بخلاف اتجاه المحور البصري)، يُسمح بمتجهي موجة k مختلفين _، يُقابلان استقطاب الأشعة العادية وغير العادية.

بالنسبة للمادة ثنائية المحور، يمكن وصف شرط مشابه ولكنه أكثر تعقيدًا على الموجتين؛ ^{[ 32 ]} موضع متجهات k المسموحة ( سطح متجه الموجة ) هو سطح ثنائي الطبقات من الدرجة الرابعة، بحيث يوجد في اتجاه معين متجهان k مسموحان (ومعاكساهما). ^{[ 33 ]} بالتدقيق، يمكن ملاحظة أن المعادلة 6 تتحقق عمومًا لقيمتين موجيتين موجبتين لـ ω . أو، بالنسبة لتردد بصري محدد ω واتجاه عمودي على جبهات الموجة k / | k | ، فإنها تتحقق لعددين موجيين (أو ثابتين للانتشار) | k | (وبالتالي معاملَي انكسار فعالين) يتوافقان مع انتشار استقطابين خطيين في ذلك الاتجاه.

عندما يتساوى ثابتا الانتشار، يصبح معامل الانكسار الفعال مستقلاً عن الاستقطاب، وبالتالي لا يحدث انكسار مزدوج للموجة المنتشرة في ذلك الاتجاه. بالنسبة للبلورة أحادية المحور، يمثل هذا المحور البصري، أي الاتجاه ± z وفقًا للبناء المذكور أعلاه. ولكن عندما تكون معاملات الانكسار الثلاثة (أو السماحيات)، n_{_x} و n_{_y} و n_{_z} متميزة، يمكن إثبات وجود اتجاهين فقط، حيث تتلامس صفيحتا سطح متجه الموجة؛ ^{[ 33 ]} هذان الاتجاهان ليسا واضحين على الإطلاق ولا يقعان على طول أي من المحاور الرئيسية الثلاثة ( x و y و z وفقًا للاتفاقية المذكورة أعلاه). تاريخيًا، يُفسر ذلك استخدام مصطلح "ثنائي المحور" لهذه البلورات، حيث تم اكتشاف وجود هذين الاتجاهين الخاصين (اللذين يُعتبران "محورين") قبل فهم الاستقطاب والانكسار المزدوج فيزيائيًا. هذان الاتجاهان الخاصان ليسا عادةً ذا أهمية خاصة. تتميز البلورات ثنائية المحور بشكل أساسي بمعاملات انكسارها الثلاثة التي تتوافق مع محاور التناظر الثلاثة.

يمكن دائمًا تحليل حالة الاستقطاب العامة المُطلقة في الوسط إلى موجتين، واحدة لكل استقطاب من الاستقطابين، واللتان تنتشران بأعداد موجية مختلفة | k | . يؤدي تطبيق طور الانتشار المختلف على هاتين الموجتين على مسافة انتشار محددة إلى حالة استقطاب صافية مختلفة عند تلك النقطة؛ وهذا هو مبدأ عمل الصفيحة الموجية ، على سبيل المثال. في الصفيحة الموجية، لا يوجد إزاحة مكانية بين الشعاعين لأن متجهات k الخاصة بهما تظل في نفس الاتجاه. ويصدق هذا عندما يكون كل من الاستقطابين عموديًا على المحور البصري (الشعاع العادي) أو موازيًا له (الشعاع غير العادي).

في الحالة العامة، لا يقتصر الاختلاف على مقدار الشعاعين فحسب، بل يشمل اتجاههما أيضًا. فعلى سبيل المثال، تُظهر الصورة الملتقطة عبر بلورة الكالسيت (أعلى الصفحة) صورةً مُزاحةً في الاستقطابين؛ ويعود ذلك إلى أن المحور البصري ليس موازيًا ولا عموديًا على سطح البلورة. وحتى عندما يكون المحور البصري موازيًا للسطح، يحدث هذا الاختلاف مع الموجات الساقطة بزاوية غير عمودية (كما هو موضح في الشكل التوضيحي). في هذه الحالات، يمكن إيجاد متجهي k بحل المعادلة 6 مع مراعاة شرط الحد الذي يشترط أن تكون مركبات متجهي k للموجتين المنقولتين ، ومتجه k للموجة الساقطة، عند إسقاطها على سطح التماس، متطابقة. بالنسبة للبلورة أحادية المحور، يُلاحظ عدم وجود إزاحة مكانية للشعاع العادي (ومن هنا جاءت تسميته)، والذي سينكسر كما لو كانت المادة غير مزدوجة الانكسار، بمعامل انكسار يساوي معامل انكسار المحورين غير البصريين. بالنسبة للبلورة ثنائية المحور، لا يعتبر أي من الشعاعين "عاديًا" ولا ينكسر بشكل عام وفقًا لمعامل انكسار يساوي أحد المحاور الرئيسية.

• علم الأحجار الكريمة
• الانكسار المزدوج الفراغي

• M. Born and E. Wolf, 2002, Principles of Optics , 7th  Ed., Cambridge University Press, 1999 (reprinted with corrections, 2002).
• فريسنل، 1827، "مذكرات حول الانكسار المزدوج"، مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم في معهد فرنسا ، المجلد. السابع (لعام 1824، مطبوع عام 1827)، الصفحات من 45 إلى 176 ؛ أعيد طبعها باسم "المذكرة الثانية..." في فريسنل، 1866–70، المجلد. 2، الصفحات من 479 إلى 596 ؛ ترجمه إيه دبليو هوبسون باسم "مذكرات عن الانكسار المزدوج" ، في ر. تايلور (محرر)، المذكرات العلمية ، المجلد. V (لندن: تايلور وفرانسيس، 1852)، الصفحات من 238 إلى 333. (أرقام الصفحات المذكورة مأخوذة من الترجمة.)  
• A. Fresnel (ed. H. de Sénarmont، E.  Verdet، and L.  Fresnel)، 1866–70، Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel (3  مجلدات)، باريس: Imprimerie Impériale؛ المجلد.  1  (1866) ، المجلد.  2  (1868) ، المجلد.  3  (1870) .

• جهاز تحليل الإجهاد (يعتمد على نظرية الانكسار المزدوج)
• فيديو يوضح الانكسار المزدوج الناتج عن الإجهاد في بولي ميثيل ميثاكريلات (PMMA أو بليكسي جلاس).
• تستخدم الفنانة أوستين وود كومارو خاصية الانكسار المزدوج لإنشاء صور حركية تجريدية.
• ميريفيلد، مايكل. "الانكسار المزدوج" . ستون رمزاً . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• الانكسار المزدوج للجليد الرقيق (توم واغنر، مصور)