النمو الأسي

يحدث النمو الأسي عندما تنمو كمية ما بمعدل أسي يتناسب طرديًا مع حجمها الحالي. على سبيل المثال، عندما تصبح الكمية أكبر بثلاث مرات مما هي عليه الآن، فإنها ستنمو بمعدل أسرع بثلاث مرات مما هي عليه الآن.

بلغةٍ أكثر تخصصًا، فإن معدل التغير اللحظي (أي المشتقة ) لكميةٍ ما بالنسبة لمتغيرٍ مستقل يتناسب طرديًا مع الكمية نفسها. غالبًا ما يكون المتغير المستقل هو الزمن. تُوصف الكمية التي تخضع لنموٍ أُسّي بأنها دالة ، أي أن المتغير الذي يُمثل الزمن هو الأس (على عكس أنواع النمو الأخرى، مثل النمو التربيعي ). النمو الأُسّي هو معكوس النمو اللوغاريتمي .

تُفسَّر مصطلحات مثل "النمو الأسي" أحيانًا بشكل خاطئ على أنها "نمو سريع". في الواقع، قد يكون الشيء الذي ينمو نموًا أسيًا بطيئًا في البداية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} كذلك، ليست كل حالات النمو بمعدل متزايد باستمرار حالات نمو أسي. على سبيل المثال، الدالة${\textstyle f(x)=x^{3}}$ينمو بمعدل متزايد باستمرار، ولكنه أبطأ بكثير من النمو الأسي. على سبيل المثال، عندما${\textstyle x=1,}$ينمو بمقدار ثلاثة أضعاف حجمه، ولكن عندما${\textstyle x=10}$ينمو بنسبة 30% من حجمه. إذا نمت دالة أسية بمعدل يساوي ثلاثة أضعاف حجمها الحالي، فإنها ستنمو دائمًا بمعدل يساوي ثلاثة أضعاف حجمها الحالي: فعندما يصبح حجمها عشرة أضعاف حجمها الحالي، ستنمو بمعدل أسرع بعشر مرات. من ناحية أخرى، قد تنمو الدوال أيضًا بمعدل أسرع من النمو الأسي، على سبيل المثال، دالة المضروب أو الدالة الأسية المزدوجة .

إذا كان ثابت التناسب سالبًا، فإن الكمية تتناقص بمرور الوقت، ويُقال إنها تخضع لتضاؤل ​​أُسّي. في حالة مجال تعريف منفصل بفواصل متساوية، يُطلق عليه أيضًا النمو الهندسي أو التضاؤل ​​الهندسي لأن قيم الدالة تُشكّل متتابعة هندسية .

صيغة النمو الأسي لمتغير x بمعدل نمو r ، مع مرور الوقت t في فترات منفصلة (أي عند أزمنة صحيحة  0،  1،  2،  3،  ...)، هي

$${\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

حيث x₀ هي قيمة x عند الزمن صفر _. يُستخدم نمو مستعمرة بكتيرية غالبًا لتوضيح ذلك. تنقسم بكتيريا واحدة إلى اثنتين، ثم تنقسم كل منهما بدورها لتُنتج أربعًا، ثم ثمانيًا، ثم ست عشرة، ثم اثنتين وثلاثين، وهكذا. يستمر معدل الزيادة في الازدياد لأنه يتناسب طرديًا مع العدد المتزايد باستمرار للبكتيريا. يُلاحظ هذا النوع من النمو في أنشطة وظواهر واقعية، مثل انتشار العدوى الفيروسية، وتراكم الديون بسبب الفائدة المركبة ، وانتشار مقاطع الفيديو الفيروسية . في الحالات الواقعية، غالبًا ما لا يستمر النمو الأسي الأولي إلى الأبد، بل يتباطأ في النهاية بسبب حدود عليا ناتجة عن عوامل خارجية، ويتحول إلى نمو لوجستي .

تعتمد الكمية x على الزمن t بشكل أُسّي إذا $${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}$$ حيث يمثل الثابت a القيمة الأولية لـ x ،$${\displaystyle x(0)=a\,,}$$الثابت b هو عامل نمو موجب، و τ هو ثابت الزمن —الوقت اللازم لزيادة x بمقدار عامل واحد من b : $${\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.}$$

إذا كانت τ > 0 و b > 1 ، فإن x ينمو نموًا أُسّيًا. أما إذا كانت τ < 0 و b > 1 ، أو τ > 0 و 0 < b < 1 ، فإن x يتناقص نموًا أُسّيًا .

مثال: إذا تضاعف عدد نوع من البكتيريا كل عشر دقائق، بدءًا ببكتيريا واحدة فقط، فكم عدد البكتيريا الموجودة بعد ساعة واحدة؟ يفترض السؤال أن a = 1 و b = 2 و τ = 10 دقائق .

$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}}$$$${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

بعد ساعة واحدة، أو ست فترات مدة كل منها عشر دقائق، سيكون هناك أربعة وستون بكتيريا.

تمثل العديد من أزواج ( b , τ ) المكونة من عدد غير سالب عديم الأبعاد b وفترة زمنية τ ( كمية فيزيائية يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب عدد من الوحدات في وحدة زمنية) نفس معدل النمو، حيث يتناسب τ مع لوغاريتم b . لأي قيمة ثابتة لـ b لا تساوي 1 (مثل e أو 2)، يُعطى معدل النمو بالزمن غير الصفري τ . ولأي زمن غير صفري τ، يُعطى معدل النمو بالعدد الموجب عديم الأبعاد b . 

وبالتالي، يمكن كتابة قانون النمو الأسي بأشكال مختلفة ولكنها متكافئة رياضياً، باستخدام أساس مختلف . أكثر الأشكال شيوعاً هي التالية: $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$ حيث x ₀ تعبر عن الكمية الأولية x (0 ) .

المعاملات (سالبة في حالة الاضمحلال الأسي):

• ثابت النمو k هو تردد (عدد المرات لكل وحدة زمنية) النمو بمعامل e ؛ في مجال التمويل يسمى أيضًا العائد اللوغاريتمي، أو العائد المركب باستمرار ، أو قوة الفائدة .
• زمن التضاعف الأسي τ هو الوقت الذي يستغرقه النمو بمعامل e .
• زمن التضاعف T هو الوقت اللازم للتضاعف.
• النسبة المئوية للزيادة r (رقم بلا أبعاد) في فترة p .

ترتبط الكميات k و τ و T ، وكذلك r بالنسبة لقيمة p معينة ، ارتباطًا مباشرًا بالمعادلة التالية (والتي يمكن اشتقاقها بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للمعادلة أعلاه): $${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$ حيث k = 0 يتوافق مع r = 0 ومع كون τ و T لانهائيين.

إذا كانت p هي وحدة الزمن، فإن ناتج القسمة t / p هو ببساطة عدد وحدات الزمن. باستخدام الرمز t للدلالة على عدد وحدات الزمن (بدون وحدة) بدلاً من الزمن نفسه، يمكن استبدال t / p بـ t ، ولكن تم تجنب ذلك هنا لتوحيد الصيغة. في هذه الحالة، القسمة على p في الصيغة الأخيرة ليست قسمة عددية، بل هي تحويل لعدد بدون وحدة إلى الكمية الصحيحة التي تتضمن الوحدة.

تُعد قاعدة الـ 70 طريقة تقريبية شائعة لحساب زمن التضاعف من معدل النمو ، أي:${\displaystyle T\simeq 70/r}$.

رسوم بيانية تقارن أوقات التضاعف ونصف العمر للنمو الأسي (خطوط سميكة) والاضمحلال الأسي (خطوط باهتة)، وتقريباتها 70/ t و72/ t . في نسخة SVG ، مرر مؤشر الماوس فوق الرسم البياني لتمييزه وتمييز مكمله.

إذا أظهر المتغير x نموًا أسيًا وفقًا لـ${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$ثم ينمو لوغاريتم x (لأي أساس) بشكل خطي مع مرور الوقت، كما يمكن ملاحظة ذلك من خلال أخذ لوغاريتمات كلا طرفي معادلة النمو الأسي: $${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}$$

يُتيح ذلك نمذجة متغير ينمو أُسّيًا باستخدام نموذج لوغاريتمي خطي . على سبيل المثال، إذا رغب المرء في تقدير معدل النمو تجريبيًا من بيانات زمنية لـ x ، فيمكنه إجراء انحدار خطي لـ log x على t .

الدالة الأسية${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$يحقق المعادلة التفاضلية الخطية : $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$$ يعني ذلك أن التغير في قيمة x عند الزمن t يتناسب مع قيمة x ( t ) ، وأن x ( t ) لها القيمة الابتدائية.${\displaystyle x(0)=x_{0}}$.

يتم حل المعادلة التفاضلية بالتكامل المباشر: $$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}}$$ لهذا السبب.$${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}$$

في المعادلة التفاضلية أعلاه، إذا كان k < 0 ، فإن الكمية تشهد اضمحلالًا أسيًا .

للاطلاع على نسخة غير خطية من نموذج النمو هذا، انظر الدالة اللوجستية .

على المدى الطويل، سيتجاوز النمو الأسي من أي نوع النمو الخطي من أي نوع (وهذا هو أساس الكارثة المالتوسية ) وكذلك أي نمو متعدد الحدود ، أي لجميع قيم α : $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$$

توجد سلسلة هرمية كاملة من معدلات النمو المحتملة، وهي أبطأ من النمو الأسي وأسرع من النمو الخطي (على المدى الطويل). انظر: درجة متعددة الحدود §  محسوبة من قيم الدالة .

قد تكون معدلات النمو أسرع من النمو الأسي. في الحالة القصوى، عندما يزداد النمو بلا حدود في زمن محدود، يُطلق عليه النمو الزائدي . وبين النمو الأسي والنمو الزائدي توجد أنواع أخرى من سلوك النمو، مثل العمليات الفائقة التي تبدأ عند التكرار ، و${\displaystyle A(n,n)}$، القطر الرئيسي لدالة أكرمان .

النمو اللوجستي

في الواقع، غالبًا ما لا يستمر النمو الأسي الأولي إلى الأبد. فبعد فترة معينة، يتباطأ بفعل عوامل خارجية أو بيئية. على سبيل المثال، قد يصل النمو السكاني إلى حد أقصى بسبب محدودية الموارد. ^{[ 11 ]} في عام 1845، اقترح عالم الرياضيات البلجيكي بيير فرانسوا فيرهولست نموذجًا رياضيًا للنمو من هذا النوع، أطلق عليه اسم " النمو اللوجستي ". ^{[ 12 ]}

لا تنطبق نماذج النمو الأسي للظواهر الفيزيائية إلا ضمن نطاقات محدودة، إذ أن النمو غير المحدود غير واقعي من الناحية الفيزيائية. ورغم أن النمو قد يكون أسيًا في البداية، فإن الظواهر التي يتم نمذجتها ستدخل في نهاية المطاف نطاقًا تصبح فيه عوامل التغذية الراجعة السلبية التي تم تجاهلها سابقًا ذات أهمية (مما يؤدي إلى نموذج نمو لوجستي )، أو تنهار فيه افتراضات أخرى أساسية لنموذج النمو الأسي، مثل الاستمرارية أو التغذية الراجعة الآنية.

تشير الدراسات إلى أن البشر يجدون صعوبة في فهم النمو الأسي. ويُعرف انحياز النمو الأسي بأنه الميل إلى التقليل من شأن عمليات النمو المركب. وقد يكون لهذا الانحياز آثار مالية أيضاً. ^{[ 13 ]}

• ميدوز، دونيلا. راندرز، يورغن. ميدوز، دينيس. حدود النمو : تحديث الثلاثين عامًا. دار نشر تشيلسي غرين، 2004. ISBN 9781603581554
• ميدوز، دونيلا هـ.، دينيس ل. ميدوز، يورغن راندرز، وويليام و. بيرنز الثالث. (1972). حدود النمو . نيويورك: منشورات الجامعة. ISBN 0-87663-165-0
• بوريت، ج. الرأسمالية كما لو أن العالم مهم ، إيرث سكان 2005. ISBN 1-84407-192-8
• سويرسكي، بيتر. الأدب والمعرفة: استكشافات في التجارب الفكرية السردية، والتطور، ونظرية الألعاب . نيويورك: روتليدج. ISBN 0-415-42060-1
• تومسون، ديفيد ج.، مخطط المليار: 7 أساسيات لتحقيق النمو المتسارع ، وايلي، ديسمبر 2005، رقم ISBN 0-471-74747-5
• تسيريل، إس في 2004. حول الأسباب المحتملة للنمو المفرط لسكان الأرض . النمذجة الرياضية للديناميات الاجتماعية والاقتصادية / تحرير إم جي ديميترييف وإيه بي بيتروف، ص  367-369. موسكو: الجامعة الاجتماعية الحكومية الروسية، 2004.

• النمو في عالم محدود – الاستدامة والدالة الأسية — عرض تقديمي
• الدكتور ألبرت بارتليت: الحساب، السكان، والطاقة — فيديو وصوت عبر الإنترنت، ٥٨ دقيقة