امتداد المجموعة

الموسوعة الحرة
امتدادسؤال{\displaystyle Q}بواسطةشمال{\displaystyle N}مما أدى إلى ظهور المجموعةجي{\displaystyle G}تشكل هذه العناصر تسلسلاً دقيقاً قصيراً1→شمال→أناجي→πسؤال→1{\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1}التشاكل الحقني​أنا{\displaystyle \iota }خرائطشمال{\displaystyle N}إلى مجموعة فرعية طبيعية منجي{\displaystyle G}. بدوره،π{\displaystyle \pi }خرائطجي{\displaystyle G}علىسؤال{\displaystyle Q}، وإرسال كل مجموعة مشاركة منأنا(شمال){\displaystyle \iota (N)}إلى عنصر مختلف منسؤال{\displaystyle Q}.

في الرياضيات ، يُعدّ امتداد المجموعة وسيلة عامة لوصف مجموعة بدلالة مجموعة جزئية طبيعية معينة ومجموعة خارج القسمة .سؤال{\displaystyle Q}وشمال{\displaystyle N}إذا كانا مجموعتين، فإنهما كذلك.جي{\displaystyle G}هو امتداد لـسؤال{\displaystyle Q}بواسطةشمال{\displaystyle N}إذا كان هناك تسلسل دقيق قصير

1→شمال→أناجي→πسؤال→1.{\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}

لوجي{\displaystyle G}هو امتداد لـسؤال{\displaystyle Q}بواسطةشمال{\displaystyle N}، ثمجي{\displaystyle G}هي مجموعة،أنا(شمال){\displaystyle \iota (N)}هي مجموعة فرعية طبيعية منجي{\displaystyle G}ومجموعة القسمةجي/أنا(شمال){\displaystyle G/\iota (N)}متماثل مع المجموعةسؤال{\displaystyle Q}تنشأ امتدادات المجموعات في سياق مشكلة الامتداد ، حيث المجموعاتسؤال{\displaystyle Q}وشمال{\displaystyle N}معروفة وخصائصجي{\displaystyle G}سيتم تحديدها. لاحظ أن الصياغة "جي{\displaystyle G}هو امتداد لـشمال{\displaystyle N}بواسطةسؤال{\displaystyle Q}يستخدم البعض أيضاً مصطلح ". [ 1 ]

بما أن أي مجموعة منتهيةجي{\displaystyle G}يمتلك مجموعة فرعية طبيعية قصوىشمال{\displaystyle N}مع مجموعة العوامل البسيطةجي/أنا(شمال){\displaystyle G/\iota (N)}يمكن بناء جميع الزمر المنتهية كسلسلة من الامتدادات مع الزمر البسيطة المنتهية . وقد شكلت هذه الحقيقة دافعًا لإكمال تصنيف الزمر البسيطة المنتهية .

يُطلق على الامتداد اسم الامتداد المركزي إذا كانت المجموعة الفرعيةشمال{\displaystyle N}تقع في وسطجي{\displaystyle G}.

الإضافات بشكل عام

أحد الامتدادات، وهو الضرب المباشر ، واضحٌ تمامًا. إذا كان المرء يحتاججي{\displaystyle G}وسؤال{\displaystyle Q}لكي تكون زمرًا تبديلية ، فإن مجموعة فئات التشاكل لامتداداتسؤال{\displaystyle Q}بواسطة مجموعة معينة (أبلية)شمال{\displaystyle N}هي في الواقع مجموعة، وهي متماثلة مع

خارجيZ1⁡(سؤال،شمال)؛{\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}

انظر إلى دالة التمديد . توجد عدة فئات عامة أخرى من التمديدات، ولكن لا توجد نظرية تعالج جميع التمديدات الممكنة في آن واحد. يُوصف تمديد المجموعة عادةً بأنه مسألة صعبة؛ ويُطلق عليه اسم مسألة التمديد .

لنأخذ بعض الأمثلة، إذاجي=ك×ح{\displaystyle G=K\times H}، ثمجي{\displaystyle G}هو امتداد لكليهماح{\displaystyle H}وك{\displaystyle K}وبشكل أعم، إذاجي{\displaystyle G}هو نتاج شبه مباشر لـك{\displaystyle K}وح{\displaystyle H}، مكتوبة على النحو التاليجي=ك⋊ح{\displaystyle G=K\rtimes H}، ثمجي{\displaystyle G}هو امتداد لـح{\displaystyle H}بواسطةك{\displaystyle K}لذا فإن منتجات مثل منتج إكليل الزهور تقدم أمثلة إضافية على التوسعات.

مشكلة التمديد

مسألة أي المجموعاتجي{\displaystyle G}هي امتدادات لـح{\displaystyle H}بواسطةشمال{\displaystyle N}تُعرف هذه المسألة بمسألة التمديد ، وقد حظيت بدراسة مكثفة منذ أواخر القرن التاسع عشر. أما عن دوافعها، فيمكن اعتبار أن سلسلة التركيب لمجموعة منتهية هي متتالية منتهية من المجموعات الجزئية.{أأنا}{\displaystyle \{A_{i}\}}حيث كل{أأنا+1}{\displaystyle \{A_{i+1}\}}هو امتداد لـ{أأنا}{\displaystyle \{A_{i}\}}بواسطة مجموعة بسيطة ما . يُعطينا تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية قائمة كاملة بالمجموعات البسيطة المنتهية؛ لذا فإن حل مشكلة التمديد سيوفر لنا معلومات كافية لبناء وتصنيف جميع المجموعات المنتهية بشكل عام.

امتدادات التصنيف

إن حل مشكلة التمديد يعني تصنيف جميع امتداداتح{\displaystyle H}بواسطةك{\displaystyle K}أو عمليًا، من خلال التعبير عن جميع هذه الامتدادات بدلالة كائنات رياضية يسهل فهمها وحسابها. عمومًا، تُعدّ هذه المسألة بالغة الصعوبة، وتُصنّف جميع النتائج الأكثر فائدة الامتدادات التي تُحقق شرطًا إضافيًا.

من المهم معرفة متى يكون امتدادان متكافئين أو متطابقين. نقول إن الامتدادين

1→ك→أناجي→πح→1{\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}

و

1→ك→أنا′جي′→π′ح→1{\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}

تكون متكافئة (أو متطابقة) إذا وُجد تماثل بين المجموعاتتي:جي→جي′{\displaystyle T:G\to G'}بجعل المخطط أدناه تبديليًا. في الواقع، يكفي وجود تشاكل زمر؛ نظرًا للتبديلية المفترضة للمخطط، فإن التطبيقتي{\displaystyle T}يُجبر على أن يكون متماثلاً بواسطة اللمة القصيرة الخماسية .

تحذير

قد يحدث أن الامتدادات1→ك→جي→ح→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}و1→ك→جي′→ح→1{\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}غير متكافئين ولكنجي{\displaystyle G}وجي′{\displaystyle G'}متماثلة كمجموعات. على سبيل المثال، هناك8{\displaystyle 8}امتدادات غير متكافئة لمجموعة كلاين الرباعية بواسطةZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }[ 2 ] ولكن لا يوجد، حتى تماثل المجموعات، سوى أربع مجموعات من الرتبة8{\displaystyle 8}تحتوي على مجموعة فرعية طبيعية من الرتبة2{\displaystyle 2} مع مجموعة خارج القسمة المتماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية .

امتدادات بسيطة

الامتداد التافه هو امتداد

1→ك→جي→ح→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}

وهذا يعادل الامتداد

1→ك→ك×ح→ح→1{\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}

حيث يمثل السهمان الأيسر والأيمن على التوالي تضمين وإسقاط كل عامل من عواملك×ح{\displaystyle K\times H}.

تصنيف الامتدادات المنقسمة

وصلة التمديد المنفصلة هي وصلة تمديد

1→ك→جي→ح→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}

مع التماثلs:ح→جي{\displaystyle s\colon H\to G}بحيث ينتقل منح{\displaystyle H}لجي{\displaystyle G}بواسطةs{\displaystyle s}ثم العودة إلىح{\displaystyle H}يؤدي تطبيق القسمة للمتتالية التامة القصيرة إلى تطبيق التطابق علىح{\displaystyle H}أي،π∘s=أنادح{\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}في هذه الحالة، يُقال عادةً أنs{\displaystyle s}يقسم التسلسل الدقيق المذكور أعلاه .

يسهل تصنيف الامتدادات المنقسمة، لأن الامتداد يكون منقسمًا إذا وفقط إذا كانت المجموعةجي{\displaystyle G}هو نتاج شبه مباشر لـك{\displaystyle K}وح{\displaystyle H}تُعدّ المنتجات شبه المباشرة سهلة التصنيف، لأنها تتطابق تطابقًا تامًا مع التشاكلات منح→مؤلف⁡(ك){\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}، أينمؤلف⁡(ك){\displaystyle \operatorname {Aut} (K)}هي مجموعة التشاكل الذاتي لـك{\displaystyle K}للحصول على مناقشة كاملة حول سبب صحة ذلك، انظر إلى المنتج شبه المباشر .

تحذير بشأن المصطلحات

بشكل عام في الرياضيات، امتداد لبنيةك{\displaystyle K}يُعتبر عادةً هيكلاًل{\displaystyle L}منهاك{\displaystyle K}هي بنية فرعية. انظر على سبيل المثال امتداد الحقل . ومع ذلك، في نظرية الزمر، تسللت المصطلحات المعاكسة، ويرجع ذلك جزئيًا إلى الترميز.خارجي⁡(سؤال،شمال){\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}والتي تُقرأ بسهولة على أنها امتدادات لـسؤال{\displaystyle Q}بواسطةشمال{\displaystyle N}وينصب التركيز على المجموعةسؤال{\displaystyle Q}.

تستخدم ورقة بحثية لرونالد براون وتيموثي بورتر حول نظرية أوتو شراير للامتدادات غير التبديلية المصطلحات التي تشير إلى أن امتدادًا لـك{\displaystyle K}[ 3 ]​

الامتداد المركزي

امتداد مركزي لمجموعةجي{\displaystyle G}هي سلسلة قصيرة ودقيقة من المجموعات

1→أ→هـ→جي→1{\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}

بحيثأ{\displaystyle A}مُدرج فيZ(هـ){\displaystyle Z(E)}، مركز المجموعةهـ{\displaystyle E}مجموعة فئات التشاكل للامتدادات المركزية لـجي{\displaystyle G}بواسطةأ{\displaystyle A}يوجد تناظر واحد لواحد مع مجموعة التماثلح2(جي،أ){\displaystyle H^{2}(G,A)}.

يمكن إنشاء أمثلة على الامتدادات المركزية عن طريق أخذ أي مجموعةجي{\displaystyle G}وأي مجموعة أبيليةأ{\displaystyle A}، والضبطهـ{\displaystyle E}يكونأ×جي{\displaystyle A\times G}يتوافق هذا النوع من أمثلة التقسيم مع العنصر 0 فيح2(جي،أ){\displaystyle H^{2}(G,A)}في ضوء ما سبق ذكره. توجد أمثلة أكثر خطورة في نظرية التمثيلات الإسقاطية ، في الحالات التي لا يمكن فيها رفع التمثيل الإسقاطي إلى تمثيل خطي عادي .

في حالة المجموعات الكاملة المنتهية ، يوجد امتداد مركزي كامل شامل .

وبالمثل، فإن الامتداد المركزي لجبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}هي متتالية تامة

0→أ→هـ→ز→0{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}

بحيثأ{\displaystyle {\mathfrak {a}}}يقع في وسطهـ{\displaystyle {\mathfrak {e}}}.

توجد نظرية عامة للامتدادات المركزية في أصناف مالتسيف . [ 4 ]

التعميم إلى امتدادات عامة

يوجد تصنيف مماثل لجميع امتداداتجي{\displaystyle G}بواسطةأ{\displaystyle A}من حيث التشاكلات منجي→خارج⁡(أ){\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}، شرط وجود ممل ولكنه قابل للتحقق بشكل صريح يتضمنح3(جي،Z(أ)){\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}ومجموعة التماثلح2(جي،Z(أ)){\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}[ 5 ]​

جماعات الكذب

في نظرية زمر لي ، تنشأ الامتدادات المركزية في سياق الطوبولوجيا الجبرية . وبشكل عام، فإن الامتدادات المركزية لزمر لي بواسطة الزمر المنفصلة هي نفسها زمر التغطية . وبشكل أدق، فإن فضاء التغطية المتصل G * لزمرة لي متصلة G هو امتداد مركزي طبيعي لـ G ، بحيث يكون الإسقاط

π:جي*→جي{\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}

هي تشاكل زمر وشاملة. (تعتمد بنية الزمرة على G * على اختيار عنصر محايد يُطابق العنصر المحايد في G ). على سبيل المثال، عندما تكون G * هي الغطاء الشامل لـ G ، فإن نواة π هي الزمرة الأساسية لـ G ، والمعروفة بأنها زمرة تبديلية (انظر فضاء H ). وعلى العكس، إذا كانت لدينا زمرة لي G وزمرة فرعية مركزية منفصلة Z ، فإن خارج القسمة G / Z هو زمرة لي، ويكون G فضاء تغطية لها.

بشكلٍ أعم، عندما تكون المجموعات A و E و G التي تظهر في امتداد مركزي مجموعات لي، وكانت التطبيقات بينها تشاكلات بين مجموعات لي، فإذا كان جبر لي للمجموعة G هو g ، وللمجموعة A هو a ، وللمجموعة E هو e ، فإن e هو امتداد جبر لي مركزي للمجموعة g بواسطة a . في مصطلحات الفيزياء النظرية ، تُسمى مولدات a بالشحنات المركزية . تقع هذه المولدات في مركز e ؛ وبحسب نظرية نوثر ، فإن مولدات مجموعات التناظر تُقابل كميات محفوظة، تُسمى الشحنات .

الأمثلة الأساسية للامتدادات المركزية كمجموعات تغطية هي:

تتضمن حالة SL 2 ( R ) مجموعة أساسية دورية لانهائية . الامتداد المركزي هنا معروف جيدًا في نظرية الأشكال النمطية ، في حالة الأشكال ذات الوزن ½ . التمثيل الإسقاطي المقابل هو تمثيل ويل ، المُنشأ من تحويل فورييه ، في هذه الحالة على خط الأعداد الحقيقية . تظهر المجموعات الميتابليكتية أيضًا في ميكانيكا الكم .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مجموعة + امتداد# تعريف في ملاحظة المختبر رقم 2.2.
  2. ↑ الصفحة رقم 830، دوميت، ديفيد س.، فوت، ريتشارد م.، الجبر المجرد (الطبعة الثالثة)، جون وايلي وأولاده، هوبوكين، نيوجيرسي (2004).
  3. ↑ براون، رونالد ؛ بورتر، تيموثي (1996). "حول نظرية شراير للامتدادات غير الأبيلية: تعميمات وحسابات". وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية، القسم أ . 96 (2): 213-227 . MR 1641218 . 
  4. ↑ جانيليدزه، جورج؛ كيلي، غريغوري ماكسويل (2000). "الامتدادات المركزية في أصناف مالتسيف" . نظرية وتطبيقات الفئات . 7 (10): 219-226 . MR 1774075 . 
  5. ↑ بي جيه موراندي، ملحقات المجموعة وح{\displaystyle H}3. مؤرشف بتاريخ 17-05-2018 في موقع Wayback Machine . من مجموعته من الملاحظات الرياضية القصيرة.

للمزيد من القراءة