قوانين فيك للانتشار

تصف قوانين فيك للانتشار الانتشار ، وقد وضعها أدولف فيك لأول مرة في عام 1855 على أساس نتائج تجريبية إلى حد كبير. ويمكن استخدامها لحل معامل الانتشار ، D. ويمكن استخدام قانون فيك الأول لاستنباط قانونه الثاني الذي يتطابق بدوره مع معادلة الانتشار .

قانون فيك الأول : حركة الجسيمات من التركيز المرتفع إلى التركيز المنخفض (التدفق الانتشاري) تتناسب طرديًا مع تدرج تركيز الجسيم. ^[1]

قانون فيك الثاني : التنبؤ بتغير تدرج التركيز مع الزمن بسبب الانتشار.

تسمى عملية الانتشار التي تتبع قوانين فيك بالانتشار الطبيعي أو الانتشار الفيكاني؛ وإلا فإنها تسمى بالانتشار الشاذ أو الانتشار غير الفيكاني.

في عام 1855، أبلغ عالم وظائف الأعضاء أدولف فيك لأول مرة ^[2] عن قوانينه المعروفة الآن التي تحكم نقل الكتلة عبر الوسائل الانتشارية. استوحى فيك عمله من التجارب السابقة لتوماس جراهام ، والتي فشلت في اقتراح القوانين الأساسية التي اشتهر بها فيك. قانون فيك مماثل للعلاقات التي اكتشفها علماء بارزون آخرون في نفس العصر: قانون دارسي (التدفق الهيدروليكي)، وقانون أوم (نقل الشحنة)، وقانون فورييه (نقل الحرارة).

تناولت تجارب فيك (التي تم تصميمها على غرار تجارب جراهام) قياس تركيزات وتدفقات الملح، المنتشرة بين خزانين من خلال أنابيب المياه. ومن الجدير بالذكر أن عمل فيك كان يتعلق في المقام الأول بالانتشار في السوائل، لأنه في ذلك الوقت، لم يكن الانتشار في المواد الصلبة يُعتبر ممكنًا بشكل عام. ^[3] اليوم، تشكل قوانين فيك جوهر فهمنا للانتشار في المواد الصلبة والسائلة والغازات (في غياب حركة السوائل السائبة في الحالتين الأخيرتين). عندما لا تتبع عملية الانتشار قوانين فيك (والتي تحدث في حالات الانتشار عبر الوسائط المسامية وانتشار المواد المخترقة المتورمة، من بين أمور أخرى)، ^{[4] [5]} يشار إليها باسم غير فيك .

يربط قانون فيك الأول بين التدفق الانتشاري وتدرج التركيز. وهو يفترض أن التدفق ينتقل من مناطق ذات تركيز عالٍ إلى مناطق ذات تركيز منخفض، بحجم يتناسب مع تدرج التركيز (المشتق المكاني)، أو بعبارات مبسطة مفهوم أن المذاب سينتقل من منطقة ذات تركيز عالٍ إلى منطقة ذات تركيز منخفض عبر تدرج التركيز. في بُعد (مكاني) واحد، يمكن كتابة القانون بأشكال مختلفة، حيث يكون الشكل الأكثر شيوعًا (انظر ^{[6] [7]} ) على أساس مولي:

${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}},}$

أين

• J هو تدفق الانتشار ، حيث يكون البعد هو كمية المادة لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية. يقيس J كمية المادة التي ستتدفق عبر وحدة مساحة خلال فترة زمنية وحدة،
• D هو معامل الانتشار أو الانتشارية . أبعاده هي المساحة لكل وحدة زمنية،
• ${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}}}$هو تدرج التركيز ،
• φ (للمخاليط المثالية) هو التركيز، مع بعد كمية المادة لكل وحدة حجم،
• x هو الموضع، والذي البعد هو الطول.

يتناسب D مع مربع سرعة الجسيمات المنتشرة، والتي تعتمد على درجة الحرارة ولزوجة السائل وحجم الجسيمات وفقًا لعلاقة ستوكس-أينشتاين . في المحاليل المائية المخففة تكون معاملات انتشار معظم الأيونات متشابهة ولها قيم تكون في درجة حرارة الغرفة في نطاق(0.6–2) × 10 ⁻⁹  م ² /ثانية . بالنسبة للجزيئات البيولوجية، تتراوح معاملات الانتشار عادةً من 10 ⁻¹⁰ إلى 10 ⁻¹¹  م ² /ثانية.

في بعدين أو أكثر، يجب علينا استخدام ∇ ، عامل الانحدار أو عامل التدرج ، الذي يعمم المشتق الأول، ويحصل على

${\displaystyle \mathbf {J} =-D\nabla \varphi ,}$

حيث يشير J إلى متجه تدفق الانتشار.

القوة الدافعة للانتشار أحادي البعد هي الكمية −∂ φ/∂ س، والذي يمثل تدرج التركيز للمخاليط المثالية.

شكل آخر للقانون الأول هو كتابته مع المتغير الأساسي ككسر كتلة ( y _i ، على سبيل المثال بالكيلوجرام/كجم)، ثم تتغير المعادلة إلى:

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i},}$

أين

• يشير المؤشر i إلى النوع i ،
• J _i هو متجه تدفق الانتشار للنوع i (على سبيل المثال، بوحدة مول/م2 ^{- ثانية} )،
• M _i هي الكتلة المولية للنوع i ،
• ρ هي كثافة الخليط (على سبيل المثال بالكيلوجرام/م ³ ).

يقع هذا خارج عامل التدرج . وذلك لأن: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }},}$

حيث ρ _si هي الكثافة الجزئية للنوع i .

علاوة على ذلك، في الأنظمة الكيميائية بخلاف المحاليل أو المخاليط المثالية، فإن القوة الدافعة لانتشار كل نوع هي تدرج الجهد الكيميائي لهذا النوع. ومن ثم يمكن كتابة قانون فيك الأول (الحالة أحادية البعد)

${\displaystyle J_{i}=-{\frac {Dc_{i}}{RT}}{\frac {\partial \mu _{i}}{\partial x}},}$

أين

• يشير المؤشر i إلى النوع i ،
• ج هو التركيز (مول/م ³ )،
• R هو ثابت الغاز العالمي (J/K/mol)،
• T هي درجة الحرارة المطلقة (K)،
• μ هي الإمكانات الكيميائية (J/mol).

يمكن التعبير عن القوة الدافعة لقانون فيك على أنها فرق الهروب :

${\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}},}$

أين هي سرعة التبخر بوحدة باسكال. هو الضغط الجزئي للمكون i في الطور البخاري أو السائل . في حالة توازن البخار والسائل، يكون تدفق التبخر صفرًا لأن . ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{L}}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}=f_{i}^{\text{L}}}$

فيما يلي أربع نسخ من قانون فيك لمخاليط الغازات الثنائية. تفترض هذه النسخ: أن الانتشار الحراري مهمل؛ وأن قوة الجسم لكل وحدة كتلة هي نفسها على كلا النوعين؛ وأن الضغط ثابت أو أن كلا النوعين لهما نفس الكتلة المولية. في ظل هذه الظروف، يوضح المرجع ^[8] بالتفصيل كيف يتم تقليص معادلة الانتشار من النظرية الحركية للغازات إلى هذه النسخة من قانون فيك: حيث V _i هي سرعة انتشار النوع i . من حيث تدفق الأنواع، يكون هذا $${\displaystyle \mathbf {V_{i}} =-D\nabla \ln {\left(y_{i}\right)},}$$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}.}$$

إذا، بالإضافة إلى ذلك ، فإن هذا يُختزل إلى الشكل الأكثر شيوعًا لقانون فيك، ${\displaystyle \nabla \rho =0}$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-D\nabla \varphi .}$$

إذا كان (بدلاً من أو بالإضافة إلى ) كلا النوعين لهما نفس الكتلة المولية، يصبح قانون فيك حيث هو الكسر المولي للنوع i . ${\displaystyle \nabla \rho =0}$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla x_{i},}$$${\displaystyle x_{i}}$

يتنبأ قانون فيك الثاني بكيفية تسبب الانتشار في تغير التركيز بالنسبة للزمن. إنه معادلة تفاضلية جزئية والتي تقرأ في بعد واحد:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},}$

أين

• φ هو التركيز في أبعاد ، على سبيل المثال مول/م ³ ؛ φ = φ ( x , t ) هي دالة تعتمد على الموقع x والزمن t ،${\displaystyle [{\mathsf {N}}{\mathsf {L}}^{-3}]}$
• t هو الوقت، مثال s،
• D هو معامل الانتشار في أبعاد ، على سبيل المثال م ² / ثانية،${\displaystyle [{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}]}$
• x هو الموضع، مثال m.

في بعدين أو أكثر يجب علينا استخدام لابلاسيان Δ = ∇ ² ، والذي يعمم المشتق الثاني، للحصول على المعادلة

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\Delta \varphi .}$

قانون فيك الثاني له نفس الشكل الرياضي لمعادلة الحرارة وحله الأساسي هو نفس نواة الحرارة ، باستثناء تبديل الموصلية الحرارية مع معامل الانتشار : ${\displaystyle k}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle \varphi(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right).}$$

يمكن استنتاج قانون فيك الثاني من قانون فيك الأول وحفظ الكتلة في غياب أي تفاعلات كيميائية:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}J=0\Rightarrow {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)\,=0.}$

بافتراض أن معامل الانتشار D ثابت، يمكننا تبديل أوامر التفاضل وضربه بالثابت:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)=D{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},}$

وبالتالي نحصل على شكل معادلات فيك كما ذكرنا آنفا.

في حالة الانتشار في بعدين أو أكثر يصبح قانون فيك الثاني هو:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}\varphi ,}$

وهو ما يشبه معادلة الحرارة .

إذا لم يكن معامل الانتشار ثابتًا، ولكنه يعتمد على الإحداثيات أو التركيز، فإن قانون فيك الثاني يعطي

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\,\nabla \varphi ).}$

من الأمثلة المهمة الحالة التي يكون فيها φ في حالة مستقرة، أي أن التركيز لا يتغير بمرور الوقت، بحيث يكون الجزء الأيسر من المعادلة أعلاه مساويًا للصفر تمامًا. في بُعد واحد مع الثابت D ، سيكون حل التركيز عبارة عن تغيير خطي للتركيزات على طول x . في بعدين أو أكثر نحصل على

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0,}$

وهي معادلة لابلاس ، والتي يطلق علماء الرياضيات على حلولها اسم الدوال التوافقية .

قانون فيك الثاني هو حالة خاصة من معادلة الحمل الحراري والانتشار حيث لا يوجد تدفق حمل حراري ولا مصدر حجمي صافٍ. يمكن اشتقاقه من معادلة الاستمرارية :

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$

حيث j هو التدفق الكلي و R هو مصدر حجمي صافٍ لـ φ . يُفترض أن المصدر الوحيد للتدفق في هذا الموقف هو التدفق الانتشاري :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{الانتشار}}=-D\nabla \varphi .}$

بإدخال تعريف التدفق الانتشاري في معادلة الاستمرارية وعلى افتراض عدم وجود مصدر ( R = 0 )، نصل إلى قانون فيك الثاني:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

إذا كان التدفق هو نتيجة لكل من التدفق الانتشاري والتدفق الحملي ، فإن معادلة الحمل والانتشار هي النتيجة.

حالة بسيطة من الانتشار مع الزمن t في بعد واحد (يؤخذ كمحور x ) من حدود تقع في الموضع x = 0 ، حيث يتم الحفاظ على التركيز عند قيمة n ₀ هي

${\displaystyle n\left(x,t\right)=n_{0}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$

حيث erfc هي دالة الخطأ التكميلية . هذه هي الحالة عندما تنتشر الغازات المسببة للتآكل عبر الطبقة المؤكسدة باتجاه سطح المعدن (إذا افترضنا أن تركيز الغازات في البيئة ثابت وأن مساحة الانتشار - أي طبقة ناتج التآكل - شبه لا نهائية ، تبدأ من 0 عند السطح وتنتشر إلى ما لا نهاية في عمق المادة). إذا كانت مساحة الانتشار بدورها لا نهائية (تستمر عبر الطبقة ذات n ( x ، 0) = 0 ، x > 0 وذات n ( x ، 0) = n ₀ ، x ≤ 0 )، فسيتم تعديل الحل فقط باستخدام المعامل1/2أمام n ₀ ( حيث يحدث الانتشار الآن في كلا الاتجاهين). تكون هذه الحالة صالحة عندما يتم وضع بعض المحاليل ذات التركيز n ₀ على اتصال بطبقة من المذيب النقي. (Bokstein، 2005) يسمى الطول 2 √ Dt بطول الانتشار ويوفر مقياسًا لمدى انتشار التركيز في اتجاه x عن طريق الانتشار في الوقت t (Bird، 1976).

كتقريب سريع لدالة الخطأ، يمكن استخدام أول حدين من سلسلة تايلور :

${\displaystyle n(x,t)=n_{0}\left[1-2\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt\pi }}}}\right)\right].}$

إذا كان D يعتمد على الوقت، يصبح طول الانتشار

${\displaystyle 2{\sqrt {\int _{0}^{t}D(\tau )\,d\tau }}.}$

تعتبر هذه الفكرة مفيدة لتقدير طول الانتشار خلال دورة التسخين والتبريد، حيث يتغير D مع درجة الحرارة.

حالة أخرى بسيطة للانتشار هي الحركة البراونية لجسيم واحد. متوسط ​​مربع إزاحة الجسيم من موضعه الأصلي هو: حيث هو بُعد الحركة البراونية للجسيم. على سبيل المثال، انتشار جزيء عبر غشاء خلية سمكه 8 نانومتر هو انتشار أحادي الأبعاد بسبب التناظر الكروي؛ ومع ذلك، فإن انتشار جزيء من الغشاء إلى مركز الخلية حقيقية النواة هو انتشار ثلاثي الأبعاد. بالنسبة لصبار أسطواني ، فإن الانتشار من الخلايا الضوئية على سطحه إلى مركزه (محور التناظر الأسطواني) هو انتشار ثنائي الأبعاد. $${\displaystyle {\text{MSD}}\equiv \left\langle (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{2}\right\rangle =2nDt,}$$${\displaystyle n}$

غالبًا ما يستخدم الجذر التربيعي لـ MSD، كتوصيف للمسافة التي تحركها الجسيم بعد مرور الوقت. يتم توزيع MSD بشكل متماثل على الفضاء أحادي الأبعاد وثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد. وبالتالي، فإن توزيع احتمالية مقدار MSD في الفضاء أحادي الأبعاد هو توزيع غاوسي، بينما يكون توزيع 3D هو توزيع ماكسويل بولتزمان. ${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$${\displaystyle t}$

• في الأوساط غير المتجانسة ، يتغير معامل الانتشار في الفضاء، D = D ( x ) . لا يؤثر هذا الاعتماد على قانون فيك الأول ولكن يتغير القانون الثاني:$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=D(x)\Delta \varphi (x,t)+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial D(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}.}$$
• في الوسائط متباينة الخواص ، يعتمد معامل الانتشار على الاتجاه. وهو عبارة عن موتر متماثل D _ji = D _ij . يتغير قانون فيك الأول إلى حاصل ضرب موتر ومتجه: بالنسبة لمعادلة الانتشار، تعطي هذه الصيغة المصفوفة المتماثلة لمعاملات الانتشار D _ij يجب أن تكون موجبة محددة . وهي ضرورية لجعل عامل الجانب الأيمن إهليلجيًا .$${\displaystyle J=-D\nabla \varphi ,}$$$${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$
• بالنسبة للوسائط غير المتجانسة المتباينة الخواص، يجب دمج هذين الشكلين من معادلة الانتشار في$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i,j=1}^{3}\left(D_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial D_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}\right).}$$
• يقدم النهج القائم على حركة أينشتاين وصيغة تيوريل التعميم التالي لمعادلة فيك للانتشار المتعدد المكونات للمكونات المثالية: حيث φ _i هي تركيزات المكونات و D _ij هي مصفوفة المعاملات. هنا، ترتبط المؤشرات i و j بالمكونات المختلفة وليس بإحداثيات الفضاء.$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j}\nabla \cdot \left(D_{ij}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{j}}}\nabla \,\varphi _{j}\right),}$$

تتضمن صيغ تشابمان-إنسكوج للانتشار في الغازات نفس المصطلحات تمامًا. تختلف هذه النماذج الفيزيائية للانتشار عن نماذج الاختبار ∂ _t φ _i = Σ _j D _ij Δ φ _j والتي تكون صالحة للانحرافات الصغيرة جدًا عن التوازن المنتظم. في وقت سابق، تم تقديم مثل هذه المصطلحات في معادلة انتشار ماكسويل-ستيفان .

بالنسبة لمعاملات الانتشار متعددة المكونات متباينة الخواص، نحتاج إلى موتر من الرتبة الرابعة، على سبيل المثال D _{ij و αβ} ، حيث يشير i و j إلى المكونات و α و β = 1 و2 و3 تتوافق مع إحداثيات الفضاء.

لقد تم استخدام المعادلات القائمة على قانون فيك بشكل شائع لنمذجة عمليات النقل في الأطعمة والخلايا العصبية والبوليمرات الحيوية والمستحضرات الصيدلانية والتربة المسامية وديناميكيات السكان والمواد النووية وفيزياء البلازما وعمليات تنشيط أشباه الموصلات . تعتمد نظرية الطرق الفولتية على حلول معادلة فيك. من ناحية أخرى، في بعض الحالات يكون وصف "فيكي (تقريب شائع آخر لمعادلة النقل هو نظرية الانتشار)" غير كافٍ. على سبيل المثال، في علم البوليمرات وعلوم الأغذية، يلزم اتباع نهج أكثر عمومية لوصف نقل المكونات في المواد التي تخضع لانتقال زجاجي . إطار عام آخر هو معادلات انتشار ماكسويل ستيفان ^[9] لنقل الكتلة متعدد المكونات ، والتي يمكن الحصول منها على قانون فيك كحالة محدودة، عندما يكون الخليط مخففًا للغاية وتتفاعل كل الأنواع الكيميائية فقط مع الخليط السائب وليس مع الأنواع الأخرى. لتوضيح وجود أنواع متعددة في خليط غير مخفف، يتم استخدام العديد من الاختلافات في معادلات ماكسويل-ستيفان. انظر أيضًا عمليات النقل المقترنة غير القطرية ( علاقة أونساجر ).

عندما يتم وضع سائلين قابلين للامتزاج على اتصال، ويحدث الانتشار، يتطور التركيز العياني (أو المتوسط) وفقًا لقانون فيك. على مقياس متوسط، أي بين المقياس العياني الموصوف بقانون فيك والمقياس الجزيئي، حيث تحدث عمليات المشي العشوائية الجزيئية ، لا يمكن إهمال التقلبات. يمكن نمذجة مثل هذه المواقف بنجاح باستخدام ديناميكيات المياه المتقلبة لانداو-ليفشيتز. في هذا الإطار النظري، يكون الانتشار ناتجًا عن تقلبات تتراوح أبعادها من المقياس الجزيئي إلى المقياس العياني. ^[10]

على وجه الخصوص، تتضمن معادلات الهيدروديناميكية المتقلبة مصطلح تدفق فيك، مع معامل انتشار معين، إلى جانب معادلات الهيدروديناميكية والمصطلحات العشوائية التي تصف التقلبات. عند حساب التقلبات باستخدام نهج مضطرب، يكون التقريب من الدرجة الصفرية هو قانون فيك. يعطي الترتيب الأول التقلبات، ويتضح أن التقلبات تساهم في الانتشار. يمثل هذا بطريقة ما تكرارًا ، لأن الظاهرة الموصوفة بتقريب من الدرجة الأدنى هي نتيجة لتقريب أعلى: يتم حل هذه المشكلة فقط عن طريق إعادة تطبيع معادلات الهيدروديناميكية المتقلبة.

الامتزاز والامتصاص والتصادم بين الجزيئات والجسيمات والأسطح من المشاكل المهمة في العديد من المجالات. تنظم هذه العمليات الأساسية التفاعلات الكيميائية والبيولوجية والبيئية. يمكن حساب معدلها باستخدام ثابت الانتشار وقوانين فيك للانتشار خاصة عندما تحدث هذه التفاعلات في المحاليل المخففة.

عادةً، يمكن حساب ثابت انتشار الجزيئات والجسيمات المحددة بواسطة معادلة فيك باستخدام معادلة ستوكس-أينشتاين . في حد زمني فائق القصر، في ترتيب زمن الانتشار a ² / D ، حيث a هو نصف قطر الجسيم، يتم وصف الانتشار بواسطة معادلة لانجفين . في وقت أطول، تندمج معادلة لانجفين في معادلة ستوكس-أينشتاين . الأخير مناسب لحالة المحلول المخفف، حيث يتم اعتبار الانتشار بعيد المدى. وفقًا لنظرية التقلب والتبديد القائمة على معادلة لانجفين في حد زمني طويل وعندما يكون الجسيم أكثر كثافة بشكل ملحوظ من السائل المحيط، يكون ثابت الانتشار المعتمد على الوقت: ^[11]

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T\left(1-e^{-t/(m\mu )}\right),}$

حيث (كلها بوحدات النظام الدولي للوحدات)

• k _B هو ثابت بولتزمان ،
• T هي درجة الحرارة المطلقة ،
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (نظرية الحركة) ،
• م هي كتلة الجسيم،
• لقد حان الوقت.

بالنسبة لجزيء واحد مثل الجزيئات العضوية أو الجزيئات الحيوية (مثل البروتينات) في الماء، يكون المصطلح الأسي مهملاً بسبب المنتج الصغير لـ mμ في منطقة البيكو ثانية فائقة السرعة، وبالتالي غير ذي صلة بالامتصاص الأبطأ نسبيًا للمذاب المخفف.

يمكن حساب معدل امتصاص أو امتصاص مادة مذابة مخففة على سطح أو واجهة في محلول (غاز أو سائل) باستخدام قوانين فيك للانتشار. يتم التعبير عن العدد المتراكم للجزيئات الممتصة على السطح بواسطة معادلة لانجموير-شايفر عن طريق دمج معادلة تدفق الانتشار بمرور الوقت كما هو موضح في الانتشار الجزيئي المحاكي في القسم الأول من هذه الصفحة: [ ^13]

${\displaystyle \Gamma =2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$

• أ هي مساحة السطح (م ² ).
• ${\displaystyle C_{b}}$هو عدد تركيز جزيئات الممتص (المذاب) في المحلول السائب (عدد/م ³ ).
• D هو معامل انتشار المادة الممتصة (م ² /ثانية).
• t هو الوقت المنقضي (ثانية).
• ${\displaystyle \Gamma }$هو العدد المتراكم للجزيئات في الوحدة # الجزيئات الممتصة خلال الزمن .${\displaystyle t}$

تمت تسمية المعادلة على اسم الكيميائيين الأمريكيين إيرفينج لانجموير وفينسنت شايفر .

باختصار، كما هو موضح في ^[14]، يتم حل ملف تعريف تدرج التركيز بالقرب من سطح امتصاص تم إنشاؤه حديثًا (من ) (وضع عند ) في محلول سائب موحد في الأقسام أعلاه من معادلة فيك، ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}{\text{exp}}\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right),}$

حيث C هو عدد تركيز جزيئات الممتص عند (#/m ³ ). ${\displaystyle x,t}$

يتم تبسيط تدرج التركيز عند باطن الأرض إلى عامل ما قبل الأسي للتوزيع ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{x=0}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$

ومعدل الانتشار (التدفق) عبر مساحة المستوى هو ${\displaystyle A.}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=-{\frac {DAC_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$

التكامل مع مرور الوقت،

${\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$

يمكن توسيع معادلة لانجموير-شايفر إلى معادلة وارد-تورداي لتفسير "الانتشار الخلفي" للجزيئات المرفوضة من السطح: ^[14]

${\displaystyle \Gamma =2A{C_{\text{b}}}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}-A{\sqrt {\frac {D}{\pi }}}\int _{0}^{\sqrt {t}}{\frac {C(\tau )}{\sqrt {t-\tau }}}\,d\tau ,}$

حيث هو التركيز الشامل، هو التركيز تحت السطح (وهو دالة للوقت تعتمد على نموذج تفاعل الامتصاص)، و هو متغير وهمي. ${\displaystyle C_{b}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \tau }$

تظهر محاكاة مونت كارلو أن هاتين المعادلتين تعملان على التنبؤ بمعدل الامتصاص للأنظمة التي تشكل تدرجات تركيز يمكن التنبؤ بها بالقرب من السطح ولكنها تواجه مشاكل في الأنظمة التي لا تحتوي على تدرجات تركيز غير متوقعة أو بها، مثل أنظمة الاستشعار الحيوي النموذجية أو عندما يكون التدفق والحمل الحراري مهمين. ^[15]

يظهر تاريخ موجز للامتصاص الانتشاري في الشكل الموجود على اليمين. ^[15] إن التحدي الملحوظ لفهم الامتصاص الانتشاري على مستوى الجزيء الفردي هو الطبيعة الكسورية للانتشار. تختار معظم عمليات المحاكاة الحاسوبية خطوة زمنية للانتشار تتجاهل حقيقة وجود أحداث انتشار أدق متشابهة ذاتيًا (كسورية) داخل كل خطوة. تُظهر محاكاة الانتشار الكسورية أنه يجب تقديم عامل تصحيحين لنتيجة محاكاة الامتزاز بخطوة زمنية ثابتة، مما يجعلها متسقة مع المعادلتين أعلاه. ^[15]

النتيجة الأكثر إشكالية للمعادلات المذكورة أعلاه هي أنها تتنبأ بالحد الأدنى للامتصاص في ظل الظروف المثالية ولكن من الصعب جدًا التنبؤ بمعدلات الامتصاص الفعلية. يتم استنباط المعادلات في حالة حد زمني طويل عندما يتشكل تدرج تركيز مستقر بالقرب من السطح. لكن الامتصاص الحقيقي غالبًا ما يتم بشكل أسرع بكثير من حد الوقت اللانهائي هذا، أي أن تدرج التركيز، اضمحلال التركيز عند السطح السفلي، يتشكل جزئيًا فقط قبل تشبع السطح أو تدفقه للحفاظ على تدرج معين، وبالتالي فإن معدل الامتصاص المقاس يكون دائمًا أسرع تقريبًا من المعادلات التي تنبأت بها لامتصاص حاجز الطاقة المنخفضة أو بدونها (ما لم يكن هناك حاجز طاقة امتصاص كبير يبطئ الامتصاص بشكل كبير)، على سبيل المثال، أسرع بآلاف إلى ملايين المرات في التجميع الذاتي للطبقات الأحادية عند واجهات الماء والهواء أو الماء والركيزة. ^[13] وعلى هذا النحو، فمن الضروري حساب تطور تدرج التركيز بالقرب من السطح ومعرفة الوقت المناسب لإيقاف التطور اللانهائي المتخيل للتطبيقات العملية. وفي حين أنه من الصعب التنبؤ بموعد التوقف، إلا أنه من السهل إلى حد معقول حساب أقصر وقت مهم، وهو الوقت الحرج عندما يشعر أول جار أقرب من سطح الركيزة بتراكم تدرج التركيز. وهذا يعطي الحد الأعلى لمعدل الامتصاص في ظل موقف مثالي عندما لا توجد عوامل أخرى غير الانتشار تؤثر على ديناميكيات الممتص: ^[15]

${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {4}{\pi }}AC_{b}^{4/3}D,}$

أين:

• ${\displaystyle \langle r\rangle }$هو معدل الامتصاص بافتراض وجود حاجز طاقة الامتصاص، بالوحدة #/ثانية،
• ${\displaystyle A}$هي مساحة السطح المطلوب على ركيزة "لا نهائية ومسطحة" (م ² )،
• ${\displaystyle C_{b}}$هو تركيز جزيء الممتص في المحلول السائب (#/م ³ )،
• ${\displaystyle D}$هو ثابت انتشار الممتص (المذاب) في المحلول (م ² /ثانية) المحدد بقانون فيك.

يمكن استخدام هذه المعادلة للتنبؤ بمعدل الامتصاص الأولي لأي نظام؛ ويمكن استخدامها للتنبؤ بمعدل الامتصاص في الحالة المستقرة لنظام الاستشعار الحيوي النموذجي عندما يكون موقع الارتباط مجرد جزء صغير جدًا من سطح الركيزة ولا يتشكل أبدًا تدرج تركيز بالقرب من السطح؛ ويمكن أيضًا استخدامها للتنبؤ بمعدل امتصاص الجزيئات على السطح عندما يكون هناك تدفق كبير لدفع تدرج التركيز بشكل ضحل للغاية في باطن الأرض.

يختلف هذا الوقت الحرج بشكل كبير عن وقت وصول الراكب الأول أو متوسط ​​وقت المسار الحر. إن استخدام متوسط ​​وقت وصول الراكب الأول وقانون انتشار فيك لتقدير متوسط ​​معدل الارتباط سيؤدي إلى المبالغة بشكل كبير في تقدير تدرج التركيز لأن الراكب الأول يأتي عادةً من العديد من طبقات الجيران بعيدًا عن الهدف، وبالتالي فإن وقت وصوله أطول بشكل كبير من وقت انتشار أقرب جار. سيؤدي استخدام متوسط ​​وقت المسار الحر بالإضافة إلى معادلة لانجموير إلى حدوث تدرج تركيز مصطنع بين الموقع الأولي للراكب الأول وسطح الهدف لأن طبقات الجيران الأخرى لم تتغير بعد، وبالتالي فإن تقدير وقت الارتباط الفعلي أقل بشكل كبير، أي وقت وصول الراكب الأول الفعلي نفسه، وهو عكس المعدل المذكور أعلاه، من الصعب حسابه. إذا كان من الممكن تبسيط النظام إلى انتشار أحادي البعد، فيمكن حساب متوسط ​​وقت الراكب الأول باستخدام نفس وقت الانتشار الحرج لأقرب جار لمسافة الجار الأول ليكون MSD، ^[16]

${\displaystyle L={\sqrt {2Dt}},}$

أين:

• ${\displaystyle L~=C_{b}^{-1/3}}$(الوحدة م) هي متوسط ​​المسافة بين أقرب جار تقريبًا على هيئة تعبئة مكعبة، حيث يكون تركيز المذاب في المحلول السائب (الوحدة # جزيء / م ³ )،${\displaystyle C_{b}}$
• ${\displaystyle D}$هو معامل الانتشار المحدد بواسطة معادلة فيك (الوحدة م ² / ثانية)،
• ${\displaystyle t}$هو الوقت الحرج (وحدة ثانية).

في هذا الوقت الحرج، من غير المرجح أن يصل الراكب الأول ويمتص. لكن هذا يحدد سرعة وصول طبقات الجيران. عند هذه السرعة مع تدرج التركيز الذي يتوقف حول طبقة الجيران الأولى، لا ينعكس التدرج افتراضيًا في الوقت الأطول عندما يصل الراكب الأول الفعلي. وبالتالي، فإن متوسط ​​معدل وصول الراكب الأول (الوحدة # جزيء/ثانية) لهذا الانتشار ثلاثي الأبعاد مبسط في مشكلة أحادية البعد،

${\displaystyle <r>={\frac {a}{t}}=2aC_{b}^{2/3}D,}$

حيث هو عامل تحويل مشكلة الامتزاز الانتشاري ثلاثي الأبعاد إلى مشكلة انتشار أحادية البعد تعتمد قيمتها على النظام، على سبيل المثال، جزء من مساحة الامتزاز على مساحة سطح كرة أقرب جار للمذاب بافتراض أن كل وحدة من التعبئة المكعبة لها 8 جيران مشتركين مع وحدات أخرى. يقرّب هذا الكسر المثال النتيجة إلى حل الامتزاز الانتشاري ثلاثي الأبعاد الموضح أعلاه مع اختلاف طفيف في العامل المسبق بسبب افتراضات التعبئة المختلفة وتجاهل الجيران الآخرين. ${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 4\pi L^{2}/4}$

عندما تكون منطقة الاهتمام بحجم جزيء (على وجه التحديد، جزيء أسطواني طويل مثل الحمض النووي)، فإن معادلة معدل الامتصاص تمثل تردد تصادم جزيئين في محلول مخفف، حيث يكون لأحد الجزيءين جانب محدد والآخر لا يعتمد على الفراغ، أي أن الجزيء (الاتجاه العشوائي) يصطدم بجانب من الآخر. يجب تحديث ثابت الانتشار إلى ثابت الانتشار النسبي بين جزيئين منتشرين. هذا التقدير مفيد بشكل خاص في دراسة التفاعل بين جزيء صغير وجزيء أكبر مثل البروتين. يهيمن ثابت الانتشار الفعال على الجزيء الأصغر الذي يمكن استخدام ثابت انتشاره بدلاً من ذلك.

معادلة معدل الضرب أعلاه مفيدة أيضًا للتنبؤ بحركية التجميع الذاتي الجزيئي على السطح. يتم توجيه الجزيئات بشكل عشوائي في المحلول السائب. بافتراض أن 1/6 من الجزيئات لها التوجه الصحيح لمواقع الارتباط السطحي، أي 1/2 اتجاه z في الأبعاد الثلاثة x وy وz، وبالتالي فإن تركيز الاهتمام هو 1/6 فقط من تركيز الكتلة. ضع هذه القيمة في المعادلة، يجب أن يكون المرء قادرًا على حساب منحنى حركية الامتصاص النظري باستخدام نموذج الامتزاز لانجموير . في صورة أكثر صرامة، يمكن استبدال 1/6 بعامل الفراغ لهندسة الارتباط.

تم وصف تردد الاصطدام الجزيئي الثنائي المتعلق بالعديد من التفاعلات بما في ذلك تخثر/تجمع البروتين في البداية بواسطة معادلة تخثر سمولوكوفسكي التي اقترحها ماريان سمولوكوفسكي في منشور رائد عام 1916، ^[18] المشتقة من الحركة البراونية وقوانين فيك للانتشار. في ظل ظروف تفاعل مثالية لـ A + B → المنتج في محلول مخفف، اقترح سمولوكوفسكي أنه يمكن حساب التدفق الجزيئي عند حد زمني لا نهائي من قوانين فيك للانتشار مما ينتج عنه تدرج تركيز ثابت/مستقر من الجزيء المستهدف، على سبيل المثال B هو الجزيء المستهدف الذي يظل ثابتًا نسبيًا، وA هو الجزيء المتحرك الذي يخلق تدرج تركيز بالقرب من الجزيء المستهدف B بسبب تفاعل التخثر بين A وB. حسب سمولوكوفسكي تردد الاصطدام بين A وB في المحلول بوحدة #/s/ ^m3 :

${\displaystyle Z_{AB}=4{\pi }RD_{r}C_{A}C_{B},}$

أين:

• ${\displaystyle R}$هو نصف قطر الاصطدام،
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$هو ثابت الانتشار النسبي بين A و B (م ² /ثانية)،
• ${\displaystyle C_{A}}$وهما عدد تركيزات A وB على التوالي (#/م ³ ).${\displaystyle C_{B}}$

ترتيب التفاعل لهذا التفاعل الجزيئي الثنائي هو 2 وهو ما يشبه النتيجة الناتجة عن نظرية التصادم عن طريق استبدال سرعة حركة الجزيء بالتدفق الانتشاري. في نظرية التصادم، يتناسب وقت السفر بين A وB مع المسافة وهي علاقة مماثلة لحالة الانتشار إذا كان التدفق ثابتًا.

ومع ذلك، في ظل ظروف عملية، يتطور تدرج التركيز بالقرب من الجزيء المستهدف بمرور الوقت مع تطور التدفق الجزيئي أيضًا، ^[15] وفي المتوسط ​​يكون التدفق أكبر بكثير من تدفق حد الوقت اللانهائي الذي اقترحه سمولوخوفسكي. قبل وقت وصول الركاب الأول، تتنبأ معادلة فيك بتدرج تركيز بمرور الوقت لا يتراكم بعد في الواقع. وبالتالي، يمثل تردد سمولوخوفسكي هذا الحد الأدنى لتردد الاصطدام الحقيقي.

في عام 2022، حسب تشين الحد الأعلى لتردد الاصطدام بين A وB في محلول بافتراض أن التركيز الكلي للجزيء المتحرك ثابت بعد أول جار أقرب للجزيء المستهدف. ^[17] وبالتالي يتوقف تطور تدرج التركيز عند أول طبقة جار أقرب مع إعطاء وقت توقف لحساب التدفق الفعلي. أطلق على هذا الوقت الحرج واستنتج تردد الاصطدام الانتشاري بالوحدة #/s/m ³ : ^[17]

${\displaystyle Z_{AB}={\frac {8}{\pi }}{\sigma }D_{r}C_{A}C_{B}{\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}},}$

أين:

• ${\displaystyle {\sigma }}$هي مساحة المقطع العرضي للتصادم (م ² )،
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$هو ثابت الانتشار النسبي بين A و B (م ² /ثانية)،
• ${\displaystyle C_{A}}$وهما عدد تركيزات A وB على التوالي (#/m ³ )،${\displaystyle C_{B}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}}}$يمثل 1/<d>، حيث d هي المسافة المتوسطة بين جزيئين.

تفترض هذه المعادلة أن الحد الأعلى لتردد الاصطدام الانتشاري بين A وB هو عندما تبدأ الطبقة المجاورة الأولى في الشعور بتطور تدرج التركيز، الذي يكون ترتيب تفاعله ⁠2+1/3بدلاً من 2. تلبي كل من معادلة سمولوكوفسكي ومعادلة JChen اختبارات الأبعاد بوحدات النظام الدولي للوحدات. لكن الأولى تعتمد على نصف القطر والأخيرة تعتمد على مساحة كرة التصادم. من التحليل البعدي، ستكون هناك معادلة تعتمد على حجم كرة التصادم ولكن في النهاية، يجب أن تتقارب جميع المعادلات إلى نفس المعدل العددي للتصادم الذي يمكن قياسه تجريبياً. يمكن أن يكون ترتيب التفاعل الفعلي لتفاعل الوحدة ثنائية الجزيء بين 2 و 2+1/3، وهو أمر منطقي لأن وقت الاصطدام الانتشاري يعتمد بشكل مباشر على المسافة بين الجزيئين.

كما تتجنب هذه المعادلات الجديدة التفرد في معدل الامتصاص عند الوقت صفر لمعادلة لانجموير-شايفر. إن معدل اللانهاية مبرر في ظل الظروف المثالية لأنه عندما تقوم بإدخال جزيئات الهدف بطريقة سحرية في محلول جزيء المسبار أو العكس، فهناك دائمًا احتمال لتداخلها عند الوقت صفر، وبالتالي فإن معدل ارتباط الجزيئين هو لانهائي. ولا يهم أن ملايين الجزيئات الأخرى يجب أن تنتظر حتى ينتشر رفيقها الأول ويصل. وبالتالي فإن المعدل المتوسط ​​هو لانهائي. ولكن إحصائيًا هذه الحجة لا معنى لها. إن الحد الأقصى لمعدل الجزيء في فترة زمنية أكبر من الصفر هو 1، سواء التقى أو لم يلتق، وبالتالي فإن المعدل اللانهائي عند الوقت صفر لزوج الجزيئات هذا يجب أن يكون حقًا واحدًا فقط، مما يجعل المعدل المتوسط ​​1/ملايين أو أكثر ويمكن إهماله إحصائيًا. هذا لا يهم حتى في الواقع، لا يمكن لجزيئين أن يلتقيا بطريقة سحرية في الوقت صفر.

القانون الأول يؤدي إلى الصيغة التالية: ^[19]

${\displaystyle {\text{flux}}={-P\left(c_{2}-c_{1}\right)},}$

أين

• P هي النفاذية، وهي " موصلية " غشاء تم تحديدها تجريبياً لغاز معين عند درجة حرارة معينة،
• c ₂ − c ₁ هو الفرق في تركيز الغاز عبر الغشاء لاتجاه التدفق (من c ₁ إلى c ₂ ).

يعد قانون فيك الأول مهمًا أيضًا في معادلات نقل الإشعاع. ومع ذلك، في هذا السياق، يصبح غير دقيق عندما يكون ثابت الانتشار منخفضًا ويصبح الإشعاع محدودًا بسرعة الضوء وليس بمقاومة المادة التي يتدفق الإشعاع من خلالها. في هذه الحالة، يمكن للمرء استخدام محدد التدفق .

يمكن تحديد معدل تبادل الغاز عبر غشاء السائل باستخدام هذا القانون مع قانون جراهام .

في حالة وجود محلول مخفف عندما يتولى الانتشار السيطرة، يمكن حساب نفاذية الغشاء المذكورة في القسم أعلاه نظريًا للمذاب باستخدام المعادلة المذكورة في القسم الأخير (استخدمها بعناية خاصة لأن المعادلة مشتقة من المواد المذابة الكثيفة، في حين أن الجزيئات البيولوجية ليست أكثر كثافة من الماء. أيضًا، تفترض هذه المعادلة أن تدرج التركيز المثالي يتشكل بالقرب من الغشاء ويتطور): ^[12]

${\displaystyle P=2A_{p}\eta _{tm}{\sqrt {\frac {D}{\pi t}}},}$

أين:

• ${\displaystyle A_{P}}$هي المساحة الكلية للمسام الموجودة على الغشاء (وحدة م ² )،
• ${\displaystyle \eta _{tm}}$كفاءة الغشاء (بدون وحدات)، والتي يمكن حسابها من النظرية العشوائية للكروماتوغرافيا ،
• D هو ثابت انتشار وحدة المذاب m ² ⋅s ⁻¹ ،
• t هي وحدة الزمن s،
• يجب استخدام تركيز c ₂ و c _{1 بالوحدة mol/m} ⁻³ ، وبالتالي تصبح وحدة التدفق mol/s ⁻¹ .

يتحلل التدفق على مدار الجذر التربيعي للزمن لأن تدرج التركيز يتراكم بالقرب من الغشاء بمرور الوقت في ظل ظروف مثالية. عندما يكون هناك تدفق وحمل حراري، يمكن أن يكون التدفق مختلفًا بشكل كبير عما تتنبأ به المعادلة ويظهر وقتًا فعالًا t بقيمة ثابتة، ^[15] مما يجعل التدفق مستقرًا بدلاً من الاضمحلال بمرور الوقت. تم تقدير وقت حرج في ظل ظروف تدفق مثالية عندما لا يتشكل تدرج. ^{[15] [17]} تم اعتماد هذه الاستراتيجية في علم الأحياء مثل الدورة الدموية.

أشباه الموصلات هي مصطلح جماعي لسلسلة من الأجهزة. وهي تشمل بشكل أساسي ثلاث فئات: أجهزة ذات طرفين، وأجهزة ذات ثلاثة أطراف، وأجهزة ذات أربعة أطراف. وتسمى مجموعة أشباه الموصلات بالدائرة المتكاملة.

العلاقة بين قانون فيك وأشباه الموصلات: مبدأ أشباه الموصلات هو نقل المواد الكيميائية أو المواد المؤثرة من طبقة إلى أخرى. يمكن استخدام قانون فيك للتحكم في الانتشار والتنبؤ به من خلال معرفة مقدار انتقال تركيز المواد المؤثرة أو المواد الكيميائية لكل متر وثانية من خلال الرياضيات.

ولذلك، يمكن تصنيع أنواع ومستويات مختلفة من أشباه الموصلات.

تستخدم تقنيات تصنيع الدوائر المتكاملة ، وعمليات النموذج مثل الترسيب الكيميائي البخاري، والأكسدة الحرارية، والأكسدة الرطبة، والتنشيط، وما إلى ذلك، معادلات الانتشار التي تم الحصول عليها من قانون فيك.

الرقاقة هي نوع من أشباه الموصلات التي يتم طلاء ركيزتها السيليكونية بطبقة من سلسلة البوليمر والأغشية الناتجة عن الترسيب الكيميائي للبخار. يحتوي هذا الغشاء على شوائب من النوع n والنوع p ويتحمل مسؤولية توصيل الشوائب. يعتمد مبدأ الترسيب الكيميائي للبخار على الطور الغازي والتفاعل الكيميائي للغاز والصلب لإنشاء أغشية رقيقة.

يتم التحكم في نظام التدفق اللزج لعملية الترسيب الكيميائي للبخار بواسطة تدرج الضغط. كما تتضمن عملية الترسيب الكيميائي للبخار مكون انتشار مختلف عن الانتشار السطحي للذرات المتكيفة. في عملية الترسيب الكيميائي للبخار، يجب أن تنتشر المتفاعلات والمنتجات أيضًا عبر طبقة حدودية من الغاز الراكد الموجودة بجوار الركيزة. العدد الإجمالي للخطوات المطلوبة لنمو فيلم الترسيب الكيميائي للبخار هو انتشار المتفاعلات في الطور الغازي عبر الطبقة الحدودية، وامتصاص وانتشار الذرات المتكيفة على السطح، والتفاعلات على الركيزة، وانتشار المنتجات في الطور الغازي بعيدًا عبر الطبقة الحدودية.

ملف تعريف السرعة لتدفق الغاز هو: حيث: $${\displaystyle \delta (x)=\left({\frac {5x}{\mathrm {Re} ^{1/2}}}\right)\mathrm {Re} ={\frac {v\rho L}{\eta }},}$$

• ${\displaystyle \delta }$هو السمك،
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$هو رقم رينولدز،
• x هو طول الركيزة،
• v = 0 عند أي سطح،
• ${\displaystyle \eta }$هي اللزوجة،
• ${\displaystyle \rho }$هي الكثافة.

عند دمج x من 0 إلى L ، نحصل على السمك المتوسط: $${\displaystyle \delta ={\frac {10L}{3\mathrm {Re} ^{1/2}}}.}$$

للحفاظ على توازن التفاعل، يجب أن تنتشر المواد المتفاعلة عبر طبقة الحدود الراكدة للوصول إلى الركيزة. لذا فإن طبقة الحدود الرقيقة مرغوبة. وفقًا للمعادلات، فإن زيادة vo ستؤدي إلى المزيد من المواد المتفاعلة المهدرة. لن تصل المواد المتفاعلة إلى الركيزة بشكل موحد إذا أصبح التدفق مضطربًا. خيار آخر هو التبديل إلى غاز حامل جديد ذو لزوجة أو كثافة أقل.

يصف قانون فيك الأول الانتشار عبر الطبقة الحدودية. وكدالة للضغط ( p ) ودرجة الحرارة ( T ) في الغاز، يتم تحديد الانتشار.

$${\displaystyle D=D_{0}\left({\frac {p_{0}}{p}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2},}$$ أين:

• ${\displaystyle p_{0}}$هو الضغط القياسي،
• ${\displaystyle T_{0}}$هي درجة الحرارة القياسية،
• ${\displaystyle D_{0}}$هو الانتشار القياسي.

تشير المعادلة إلى أن زيادة درجة الحرارة أو تقليل الضغط يمكن أن يؤدي إلى زيادة الانتشار.

يتنبأ قانون فيك الأول بتدفق المتفاعلات إلى الركيزة والمنتج بعيدًا عن الركيزة: حيث: $${\displaystyle J=-D_{i}\left({\frac {dc_{i}}{dx}}\right),}$$

• ${\displaystyle x}$هو السمك${\displaystyle \delta }$
• ${\displaystyle dc_{i}}$هو تركيز المتفاعل الأول.

في قانون الغاز المثالي ، يتم التعبير عن تركيز الغاز بالضغط الجزئي. ${\displaystyle pV=nRT}$

$${\displaystyle J=-D_{i}\left({\frac {p_{i}-p_{0}}{\delta RT}}\right),}$$ أين

• ${\displaystyle R}$هو ثابت الغاز،
• ${\displaystyle {\frac {p_{i}-p_{0}}{\delta }}}$هو تدرج الضغط الجزئي.

ونتيجة لذلك، يخبرنا قانون فيك الأول أنه يمكننا استخدام تدرج الضغط الجزئي للتحكم في الانتشار والتحكم في نمو الأغشية الرقيقة من أشباه الموصلات.

في العديد من المواقف الواقعية، لا يعد قانون فيك البسيط صيغة مناسبة لمشكلة أشباه الموصلات. فهو لا ينطبق إلا على ظروف معينة، على سبيل المثال، في ظل الظروف الحدودية لأشباه الموصلات: انتشار تركيز المصدر الثابت، أو تركيز المصدر المحدود، أو انتشار الحدود المتحركة (حيث يستمر عمق الوصلة في التحرك داخل الركيزة).

على الرغم من استخدام انتشار فيكيان لنمذجة عمليات الانتشار في تصنيع أشباه الموصلات (بما في ذلك مفاعلات الترسيب الكيميائي للبخار) في الأيام الأولى، إلا أنه غالبًا ما يفشل في التحقق من صحة الانتشار في عقد أشباه الموصلات المتقدمة (<90 نانومتر). ينبع هذا في الغالب من عدم قدرة انتشار فيكيان على نمذجة عمليات الانتشار بدقة على المستوى الجزيئي والأصغر. في تصنيع أشباه الموصلات المتقدمة، من المهم فهم الحركة على المقاييس الذرية، والتي تفشل في الانتشار المستمر. اليوم، يستخدم معظم مصنعي أشباه الموصلات المشي العشوائي لدراسة ونمذجة عمليات الانتشار. هذا يسمح لنا بدراسة تأثيرات الانتشار بطريقة منفصلة لفهم حركة الذرات الفردية والجزيئات والبلازما وما إلى ذلك.

في مثل هذه العملية، يتم التعامل مع حركات الأنواع المنتشرة (الذرات والجزيئات والبلازما وما إلى ذلك) ككيان منفصل، يتبع حركة عشوائية عبر مفاعل الترسيب الكيميائي للبخار، والطبقة الحدودية، والهياكل المادية وما إلى ذلك. في بعض الأحيان، قد تتبع الحركات حركة عشوائية متحيزة اعتمادًا على ظروف المعالجة. يتم إجراء التحليل الإحصائي لفهم التباين/العشوائية الناشئة عن الحركة العشوائية للأنواع، والتي تؤثر بدورها على العملية الكلية والاختلافات الكهربائية.

يمكن لصياغة قانون فيك الأول أن تفسر مجموعة متنوعة من الظواهر المعقدة في سياق الطعام والطهي: انتشار الجزيئات مثل الإيثيلين يعزز نمو النبات ونضجه، وجزيئات الملح والسكر تعزز عملية التمليح والتتبيل للحوم، وجزيئات الماء تعزز عملية التجفيف. يمكن أيضًا استخدام قانون فيك الأول للتنبؤ بتغير أنماط الرطوبة عبر معكرونة السباغيتي أثناء ترطيبها أثناء الطهي. تتعلق هذه الظواهر بالحركة التلقائية لجزيئات المواد المذابة التي يقودها تدرج التركيز. في مواقف مختلفة، توجد معدلات انتشار مختلفة وهي ثابتة. ^[20]

من خلال التحكم في تدرج التركيز، يمكن التحكم في وقت الطهي، وشكل الطعام، والتمليح.

• الحمل الحراري
• معادلة تشرشل-برنشتاين
• انتشار
• انتشار كاذب
• تبادل الغازات
• تدفق الكتلة
• انتشار ماكسويل-ستيفان
• معادلة نيرنست-بلانك
• التناضح

• معادلات فيك، تحويل بولتزمان، وما إلى ذلك (مع الأشكال والرسوم المتحركة)
• قانون فيك الثاني على OpenStax