الميكانيكا النسبية

تُسمى كتلة الجسم كما تُقاس في إطاره المرجعي الخاص بكتلة السكون أو الكتلة الثابتة ، وتُكتب أحيانًا${\displaystyle m_{0}}$إذا تحرك جسم بسرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$في إطار مرجعي آخر، الكمية${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$يُطلق عليها غالبًا اسم "الكتلة النسبية" للجسم في ذلك الإطار المرجعي. ^{[ 1 ]} يستخدم بعض المؤلفين${\displaystyle m}$للدلالة على كتلة السكون، ولكن من أجل الوضوح، ستتبع هذه المقالة اصطلاح استخدام${\displaystyle m}$بالنسبة للكتلة النسبية و${\displaystyle m_{0}}$بالنسبة للكتلة السكونية. ^{[ 2 ]}

اقترح ليف أوكون أن مفهوم الكتلة النسبية "لا يملك أي مبرر منطقي اليوم" وأنه لا ينبغي تدريسه بعد الآن. ^{[ 3 ]} بينما يرى فيزيائيون آخرون، بمن فيهم فولفغانغ ريندل وتي آر ساندين، أن هذا المفهوم مفيد. ^{[ 4 ]} انظر الكتلة في النسبية الخاصة لمزيد من المعلومات حول هذا النقاش.

يُطلق على الجسيم الذي تكون كتلته السكونية صفراً اسم الجسيم عديم الكتلة . يُعتقد أن الفوتونات والجرافيتونات عديمة الكتلة، والنيوترينوات قريبة من ذلك.

توجد طريقتان (متكافئتان) لتعريف الزخم والطاقة في النسبية الخاصة. تعتمد إحداهما على قوانين الحفظ . ولكي تظل هذه القوانين صالحة في النسبية الخاصة، يجب أن تكون صحيحة في جميع الأطر المرجعية الممكنة. مع ذلك، إذا أجرينا بعض التجارب الفكرية البسيطة باستخدام تعريفات نيوتن للزخم والطاقة، فسنجد أن هاتين الكميتين لا تُحفظان في النسبية الخاصة. يمكن استعادة فكرة الحفظ بإجراء تعديلات طفيفة على التعريفات لمراعاة السرعات النسبية . هذه التعريفات الجديدة هي التي تُعتبر صحيحة للزخم والطاقة في النسبية الخاصة.

الزخم الرباعي لجسم ما هو أمر بسيط، وهو مطابق في الشكل للزخم الكلاسيكي، ولكنه يستبدل المتجهات الثلاثية بالمتجهات الرباعية:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

طاقة وزخم جسم ذي كتلة ثابتة${\displaystyle m_{0}}$، يتحرك بسرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$بالنسبة لإطار مرجعي معين، يتم تحديدها على التوالي بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

العامل${\displaystyle \gamma }$ينبع ذلك من تعريف السرعة الرباعية الموصوف أعلاه. ظهور${\displaystyle \gamma }$يمكن التعبير عنها بطريقة بديلة، وسيتم شرح ذلك في القسم التالي.

الطاقة الحركية،${\displaystyle K}$، تُعرَّف على أنها (انظر #الطاقة الحركية )

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

وتُعطى السرعة كدالة للطاقة الحركية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

يمكن كتابة الزخم المكاني على النحو التالي${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$مع الحفاظ على شكل الميكانيكا النيوتونية باستبدال الكتلة النيوتونية بالكتلة النسبية، إلا أن هذا الاستبدال لا يصح لبعض الكميات، بما في ذلك القوة والطاقة الحركية. علاوة على ذلك، فإن الكتلة النسبية ليست ثابتة تحت تحويلات لورنتز، بينما كتلة السكون ثابتة. لهذا السبب، يفضل الكثيرون استخدام كتلة السكون وتفسيرها.${\displaystyle \gamma }$بشكل صريح من خلال السرعة الرباعية أو زمن الإحداثيات.

يمكن الحصول على علاقة بسيطة بين الطاقة والزخم والسرعة من تعريفات الطاقة والزخم عن طريق ضرب الطاقة في${\displaystyle \mathbf {v} }$، مما يؤدي إلى مضاعفة الزخم بـ${\displaystyle c^{2}}$وبملاحظة أن التعبيرين متساويان، ينتج عن ذلك

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$ويمكن بعد ذلك حذفها بقسمة هذه المعادلة على${\displaystyle c}$والتربيع،

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

قسمة تعريف الطاقة على${\displaystyle \gamma }$والتربيع،

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

والاستبدال بـ:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

هذه هي علاقة الطاقة والزخم النسبية .

بينما الطاقة${\displaystyle E}$والزخم${\displaystyle \mathbf {p} }$تعتمد الكمية على الإطار المرجعي الذي يتم قياسها فيه${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ثابت. قيمته هي${\displaystyle -c^{2}}$مضروبة في مربع مقدار متجه الزخم الرباعي .

يمكن كتابة الكتلة الثابتة للنظام على النحو التالي:

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

بسبب الطاقة الحركية وطاقة الربط، تختلف هذه الكمية عن مجموع كتل السكون للجسيمات التي يتكون منها النظام. كتلة السكون ليست كمية محفوظة في النسبية الخاصة، على عكس الوضع في الفيزياء النيوتونية. مع ذلك، حتى لو كان الجسم يتغير داخليًا، طالما أنه لا يتبادل الطاقة أو الزخم مع محيطه، فإن كتلة سكونه لن تتغير ويمكن حسابها بنفس النتيجة في أي إطار مرجعي.

تنطبق معادلة الطاقة والزخم النسبية على جميع الجسيمات، حتى بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة التي يكون فيها m ₀ = 0. في هذه الحالة:

${\displaystyle E=pc}$

عند استبدالها في Ev  = c ² p ، فإن هذا يعطي v = c : الجسيمات عديمة الكتلة (مثل الفوتونات ) تسافر دائمًا بسرعة الضوء.   

لاحظ أن كتلة السكون لنظام مركب تختلف عمومًا اختلافًا طفيفًا عن مجموع كتل السكون لأجزائه، إذ أن الطاقة الحركية لهذه الأجزاء في إطار سكونها تزيد من كتلته، بينما طاقة الربط (السالبة) تقلل من كتلته. فعلى سبيل المثال، يمتلك "صندوق الضوء" الافتراضي كتلة سكون، حتى وإن كان مصنوعًا من جسيمات لا تمتلك كتلة سكون، لأن زخمها يلغي بعضها بعضًا.

بالنظر إلى الصيغة المذكورة أعلاه للكتلة الثابتة لنظام ما، نلاحظ أنه عندما يكون جسم ذو كتلة واحدة في حالة سكون ( v = 0 ، p = 0 )، تبقى كتلة غير صفرية: m₀ = E / c² ^{. تُعرف الطاقة المقابلة، وهي أيضًا الطاقة الكلية عندما يكون جسيم واحد في حالة سكون، باسم "طاقة السكون". في أنظمة الجسيمات التي تُرى} _من إطار مرجعي قصوري متحرك، تزداد الطاقة الكلية وكذلك الزخم. مع ذلك، بالنسبة للجسيمات المفردة، تبقى كتلة السكون ثابتة، وبالنسبة لأنظمة الجسيمات، تبقى الكتلة الثابتة ثابتة، لأنه في كلتا الحالتين، تتناقص الزيادة في الطاقة والزخم، وتلغي كل منهما الأخرى. بالتالي، فإن الكتلة الثابتة لأنظمة الجسيمات هي قيمة ثابتة محسوبة لجميع المراقبين، كما هو الحال بالنسبة لكتلة السكون للجسيمات المفردة.

بالنسبة لأنظمة الجسيمات، تتطلب معادلة الطاقة والزخم جمع متجهات الزخم للجسيمات:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

يُطلق على الإطار المرجعي العطالي الذي يكون فيه مجموع زخم جميع الجسيمات صفرًا اسم إطار مركز الزخم . في هذا الإطار الخاص، تكون قيمة p = 0 في معادلة الطاقة-الزخم النسبية، وبالتالي تُعطي الكتلة الثابتة للنظام ببساطة على أنها الطاقة الكلية لجميع ^أجزاء النظام مقسومة على c²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

هذه هي الكتلة الثابتة لأي نظام يُقاس في إطار مرجعي يكون فيه الزخم الكلي معدومًا، مثل زجاجة غاز ساخن على ميزان. في مثل هذا النظام، تُعدّ الكتلة التي يقيسها الميزان هي الكتلة الثابتة، وهي تعتمد على الطاقة الكلية للنظام. لذا فهي أكبر من مجموع كتل السكون للجزيئات، وتشمل أيضًا جميع الطاقات الكلية في النظام. ومثل الطاقة والزخم، لا يمكن تغيير الكتلة الثابتة للأنظمة المعزولة طالما بقي النظام مغلقًا تمامًا (لا يُسمح بدخول أو خروج أي كتلة أو طاقة)، ​​لأن الطاقة النسبية الكلية للنظام تظل ثابتة طالما لا يمكن لأي شيء الدخول إليه أو الخروج منه.

_{تؤدي زيادة طاقة هذا النظام} ، الناتجة عن نقله إلى إطار مرجعي قصوري ليس إطار مركز الزخم ، إلى زيادة في الطاقة والزخم دون زيادة في الكتلة الثابتة. ومع ذلك، فإن ^{المعادلة} E = m₀c² تنطبق فقط على الأنظمة المعزولة في إطار مركز الزخم حيث يكون مجموع الزخم صفرًا.

إذا أخذنا هذه الصيغة بمعناها الحرفي، نرى أن الكتلة في النسبية هي ببساطة طاقة مُصاغة بمصطلح آخر (وتُقاس بوحدات مختلفة). في عام ١٩٢٧، علّق أينشتاين على النسبية الخاصة قائلاً: "في ظل هذه النظرية، الكتلة ليست مقدارًا ثابتًا، بل هي مقدار يعتمد على (بل هو نفسه) مقدار الطاقة." ^{[ ٥ ]}

في نظام "مغلق تمامًا" (أي نظام معزول )، تُحفظ الطاقة الكلية والزخم الكلي، وبالتالي الكتلة الثابتة الكلية. لكن صيغة أينشتاين لتغير الكتلة تُختزل إلى أبسط صورة لها ΔE = Δmc² ، وذلك فقط في الأنظمة غير المغلقة التي يُسمح فيها للطاقة بالخروج ( ^على سبيل المثال، على شكل حرارة وضوء)، وبالتالي تقل الكتلة الثابتة. تُظهر معادلة أينشتاين أن هذه الأنظمة يجب أن تفقد كتلة، وفقًا للصيغة المذكورة أعلاه، بما يتناسب مع الطاقة التي تفقدها إلى المحيط. وبالمقابل، إذا أمكن قياس الفرق في الكتلة بين نظام قبل خضوعه لتفاعل يُطلق حرارة وضوءًا، والنظام بعد التفاعل عندما تكون الحرارة والضوء قد خرجتا، يُمكن تقدير كمية الطاقة التي خرجت من النظام.

في الميكانيكا النسبية، عزم الكتلة المتغير مع الزمن

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

والزخم الزاوي المداري 3

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

يتم دمج جسيم يشبه النقطة في متجه ثنائي رباعي الأبعاد بدلالة الموضع الرباعي X والزخم الرباعي P للجسيم: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

حيث يرمز ∧ إلى الضرب الخارجي . هذا الموتر جمعي: الزخم الزاوي الكلي لنظام ما هو مجموع موترات الزخم الزاوي لكل مكون من مكونات النظام. لذا، بالنسبة لمجموعة من الجسيمات المنفصلة، ​​يتم جمع موترات الزخم الزاوي على الجسيمات، أو تكامل كثافة الزخم الزاوي على مدى توزيع كتلة متصل.

يشكل كل مكون من المكونات الستة كمية محفوظة عند تجميعه مع المكونات المقابلة للكائنات والحقول الأخرى.

في النسبية الخاصة، لا ينطبق قانون نيوتن الثاني بالصيغة F = ma ، ولكنه ينطبق إذا تم التعبير عنه على النحو التالي :

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

حيث p = γ( v ) m₀ _، وv هي كمية الحركة كما هو مُعرَّف أعلاه، و m₀ هي الكتلة الثابتة . وبالتالي، تُعطى القوة بالعلاقة التالية _:

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

الاشتقاق

ابتداءً من ${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).}$ إجراء عملية الاشتقاق يعطي ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .}$ إذا تم فصل التسارع إلى جزء موازٍ للسرعة ( a ∥ ) وجزء عمودي عليها ( a ⊥ ) ، بحيث: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,}$ يحصل المرء ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.}$ بحسب التصميم، فإن a ∥ و v متوازيان، لذا فإن ( v · a ∥ ) v هو متجه مقداره v 2 a ∥ في اتجاه v (وبالتالي a ∥ ) مما يسمح بالاستبدال: ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }}$ ثم ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,}$

وبالتالي، في بعض النصوص القديمة، يُشار إلى γ( _v ) 3m0 بالكتلة ^{الطولية} ، ويُشار إلى γ( v ) m0 بالكتلة العرضية _، وهي متطابقة عدديًا مع الكتلة النسبية . انظر الكتلة في النسبية الخاصة .

إذا عكسنا هذا لحساب التسارع من القوة، فسنحصل على

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

القوة الموصوفة في هذا القسم هي القوة ثلاثية الأبعاد الكلاسيكية، وهي ليست متجهًا رباعيًا . تُعدّ هذه القوة ثلاثية الأبعاد المفهوم الأنسب للقوة لأنها القوة التي تخضع لقانون نيوتن الثالث للحركة . يجب عدم الخلط بينها وبين ما يُسمى بالقوة الرباعية، وهي ببساطة القوة ثلاثية الأبعاد في الإطار المرجعي المتحرك للجسم، مُحوَّلة كما لو كانت متجهًا رباعيًا. مع ذلك، فإن كثافة القوة ثلاثية الأبعاد (الزخم الخطي المنقول لكل وحدة حجم رباعية ) تُصبح متجهًا رباعيًا ( كثافة الوزن + 1) عند دمجها مع سالب كثافة القدرة المنقولة.

يتم تعريف عزم الدوران المؤثر على جسيم نقطي على أنه مشتق موتر الزخم الزاوي المذكور أعلاه بالنسبة للزمن الخاص: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

أو في مكونات الموتر:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

حيث F هي القوة الرباعية الأبعاد المؤثرة على الجسيم عند الحدث X. وكما هو الحال مع الزخم الزاوي، فإن عزم الدوران قابل للجمع، لذلك بالنسبة لجسم ممتد، يتم الجمع أو التكامل على توزيع الكتلة.

تنص نظرية الشغل والطاقة ^{[ 12 ]} على أن التغير في الطاقة الحركية يساوي الشغل المبذول على الجسم. في النسبية الخاصة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

الاشتقاق

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W&=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\&=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

إذا كان الجسم في الحالة الابتدائية ساكنًا، فإن v ₀  =  0 و γ ₀ ( v ₀ )  =  1، وفي الحالة النهائية تكون سرعته v ₁  = v ، مع وضع γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v )، فإن الطاقة الحركية تكون عندئذٍ؛   

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

نتيجة يمكن الحصول عليها مباشرة عن طريق طرح طاقة السكون m ₀ c ² من إجمالي الطاقة النسبية γ( v ) m ₀ c ² .

يمكن توسيع عامل لورنتز γ( v ) إلى متسلسلة تايلور أو متسلسلة ذات حدين لـ ( v / c ) ² < 1، فنحصل على:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

وبالتالي

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots$ ;}

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

بالنسبة للسرعات الأقل بكثير من سرعة الضوء، يمكن إهمال الحدود التي يكون ^فيها المقام c² أو أعلى. عندئذٍ، تُختزل هذه الصيغ إلى التعريفات القياسية للطاقة الحركية والزخم النيوتوني. وهذا هو الوضع الأمثل، إذ يجب أن تتوافق النسبية الخاصة مع الميكانيكا النيوتونية عند السرعات المنخفضة.