إطار مرجعي

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء وعلم الفلك ، يُعرف الإطار المرجعي بأنه نظام إحداثيات مجرد ، تم تحديد أصله واتجاهه ومقياسه في الفضاء الفيزيائي . وهو يعتمد على مجموعة من النقاط المرجعية ، تُعرَّف بأنها نقاط هندسية يتم تحديد موقعها رياضيًا ( بقيم إحداثيات عددية) وفيزيائيًا (باستخدام علامات اصطلاحية). [ 1 ] ومن الحالات الخاصة المهمة الإطار المرجعي العطالي ، وهو إطار ثابت أو متحرك بسرعة منتظمة.

في حالة الأبعاد n ، تكفي n + 1 نقطة مرجعية لتحديد إطار مرجعي بشكل كامل. باستخدام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة ، يمكن تعريف إطار مرجعي بنقطة مرجعية عند نقطة الأصل ونقطة مرجعية أخرى على مسافة وحدة واحدة من نقطة الأصل على طول كل محور من محاور الإحداثيات n .

في النسبية الأينشتاينية ، تُستخدم الأطر المرجعية لتحديد العلاقة بين مراقب متحرك والظاهرة قيد الملاحظة. في هذا السياق، يُشار إلى المصطلح غالبًا باسم " إطار مرجعي للملاحظة " ، مما يعني أن المراقب ساكن في هذا الإطار، وإن لم يكن بالضرورة موجودًا عند نقطة الأصل . يتضمن الإطار المرجعي النسبي (أو يستلزم) إحداثيات الزمن ، التي لا تتساوى عبر الأطر المرجعية المختلفة المتحركة نسبيًا . وبالتالي، يختلف الوضع عن النسبية الغاليلية ، حيث تكون جميع إحداثيات الزمن الممكنة متكافئة جوهريًا.

تعريف

أدت الحاجة إلى التمييز بين المعاني المختلفة لمصطلح "الإطار المرجعي" إلى ظهور مصطلحات متنوعة. فعلى سبيل المثال، يُضاف أحيانًا نوع نظام الإحداثيات كمُعدِّل، كما في الإطار المرجعي الديكارتي . ويُركَّز أحيانًا على حالة الحركة، كما في الإطار المرجعي الدوراني . ويُركَّز أحيانًا على كيفية تحوّله إلى أطر تُعتبر مرتبطة به، كما في الإطار المرجعي الغاليلي . وتُميَّز أحيانًا الأطر بحسب مقياس رصدها، كما في الإطار المرجعي الماكروي والإطار المرجعي الميكروسكوبي . [ 2 ]

في هذه المقالة، يُستخدم مصطلح " الإطار المرجعي للرصد" عندما يكون التركيز على حالة الحركة بدلاً من اختيار الإحداثيات أو طبيعة الملاحظات أو أجهزة الرصد. وبهذا المعنى، يسمح الإطار المرجعي للرصد بدراسة تأثير الحركة على مجموعة كاملة من أنظمة الإحداثيات التي يمكن ربطها بهذا الإطار. من ناحية أخرى، يمكن استخدام نظام إحداثيات لأغراض عديدة لا تكون فيها حالة الحركة هي الشاغل الرئيسي. على سبيل المثال، يمكن اعتماد نظام إحداثيات للاستفادة من تناظر النظام. ومن منظور أوسع، تستخدم صياغة العديد من مسائل الفيزياء الإحداثيات المعممة ، أو الأنماط الطبيعية ، أو المتجهات الذاتية ، والتي ترتبط بشكل غير مباشر فقط بالمكان والزمان. يبدو من المفيد فصل الجوانب المختلفة للإطار المرجعي في المناقشة التالية. لذلك، نعتبر الأطر المرجعية للرصد، وأنظمة الإحداثيات، وأجهزة الرصد مفاهيم مستقلة، مفصولة كما يلي:

  • الإطار المرجعي للملاحظة (مثل الإطار المرجعي العطالي أو الإطار المرجعي غير العطالي ) هو مفهوم فيزيائي يتعلق بحالة الحركة.
  • نظام الإحداثيات مفهوم رياضي، وهو عبارة عن اختيار لغة لوصف الملاحظات. [ 3 ] بالتالي، يمكن للمراقب في إطار مرجعي للملاحظة أن يختار استخدام أي نظام إحداثيات (ديكارتي، قطبي، منحني، معمّم، ...) لوصف الملاحظات التي يجريها من ذلك الإطار المرجعي. لا يُغيّر تغيير نظام الإحداثيات المُختار حالة حركة المراقب، وبالتالي لا يستلزم تغييرًا في إطاره المرجعي للملاحظة . يمكن إيجاد هذا الرأي في مصادر أخرى أيضًا. [ 4 ] وهذا لا يُنكر أن بعض أنظمة الإحداثيات قد تكون خيارًا أفضل لبعض الملاحظات من غيرها.
  • إن اختيار ما يتم قياسه وباستخدام أي جهاز رصد هو أمر منفصل عن حالة حركة المراقب واختيار نظام الإحداثيات.

[ أ ]

أنظمة الإحداثيات

مراقب O، يقع عند أصل مجموعة إحداثيات محلية - إطار مرجعي F. يستخدم المراقب في هذا الإطار الإحداثيات ( x، y، z، t ) لوصف حدث الزمكان، والذي يظهر على شكل نجمة.

على الرغم من أن مصطلح "نظام الإحداثيات" يستخدم غالبًا (خاصة من قبل الفيزيائيين) بمعنى غير تقني، إلا أن مصطلح "نظام الإحداثيات" له معنى دقيق في الرياضيات، وأحيانًا يكون هذا هو ما يقصده الفيزيائي أيضًا.

يُعدّ نظام الإحداثيات في الرياضيات أحد جوانب الهندسة أو الجبر ، [ 9 ] [ 10 ] وهو على وجه الخصوص خاصية من خصائص المتشعبات (على سبيل المثال، في الفيزياء، فضاءات التكوين أو فضاءات الطور ). [ 11 ] [ 12 ] إحداثيات النقطة r في فضاء ذي n بُعد هي ببساطة مجموعة مرتبة من n عددًا: [ 13 ] [ 14 ]

ر=[x1، x2، ...، xن].{\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].}

في فضاء باناخ العام ، يمكن أن تكون هذه الأرقام (على سبيل المثال) معاملات في توسيع دالي مثل متسلسلة فورييه . في مسألة فيزيائية، يمكن أن تكون إحداثيات الزمكان أو سعات الأنماط الطبيعية . في تصميم الروبوتات ، يمكن أن تكون زوايا الدوران النسبي، أو الإزاحات الخطية، أو تشوهات المفاصل . [ 15 ] سنفترض هنا أن هذه الإحداثيات يمكن ربطها بنظام إحداثيات ديكارتية بواسطة مجموعة من الدوال:

xج=xج(x، y، z، ...)،ج=1، ...، ن،{\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,}

حيث تمثل x و y و z وما إلى ذلك الإحداثيات الديكارتية n للنقطة. وبمعرفة هذه الدوال، تُعرَّف أسطح الإحداثيات بالعلاقات التالية:

xج(x،y،z،...)=جoنsتأنت،ج=1، ...، ن.{\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.}

يُحدد تقاطع هذه الأسطح خطوط الإحداثيات . عند أي نقطة مختارة، تُحدد المماسات لخطوط الإحداثيات المتقاطعة عند تلك النقطة مجموعة من متجهات الأساس { e1 , e2 , ... , en } عند تلك النقطة. أي: [ 16 ]

هـأنا(ر)=ليمϵ→0ر(x1، ...، xأنا+ϵ، ...، xن)-ر(x1، ...، xأنا، ...، xن)ϵ،أنا=1، ...، ن،{\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,}

والتي يمكن توحيدها لتصبح ذات طول وحدة واحدة. لمزيد من التفاصيل، انظر الإحداثيات المنحنية .

تُعدّ الأسطح الإحداثية وخطوط الإحداثيات ومتجهات الأساس مكونات لنظام الإحداثيات . [ 17 ] إذا كانت متجهات الأساس متعامدة عند كل نقطة، فإن نظام الإحداثيات يكون نظام إحداثيات متعامد .

أحد الجوانب المهمة لنظام الإحداثيات هو موتر القياس g ik ، الذي يحدد طول القوس ds في نظام الإحداثيات بدلالة إحداثياته: [ 18 ]

(دs)2=زأناك دxأنا دxك،{\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},}

حيث يتم جمع المؤشرات المتكررة.

كما يتضح من هذه الملاحظات، فإن نظام الإحداثيات هو بناء رياضي ، جزء من نظام بديهي . لا توجد بالضرورة علاقة بين أنظمة الإحداثيات والحركة الفيزيائية (أو أي جانب آخر من جوانب الواقع). مع ذلك، يمكن لأنظمة الإحداثيات أن تتضمن الزمن كإحداثية، ويمكن استخدامها لوصف الحركة. لذا، يمكن اعتبار تحويلات لورنتز وتحويلات غاليليو تحويلات إحداثيات .

إطار مرجعي للملاحظة

مخطط الزمكان لثلاثة أطر مرجعية في النسبية الخاصة. الإطار الأسود ساكن. يتحرك الإطار ذو العلامة (') بسرعة 40% من سرعة الضوء ، والإطار ذو العلامتين (') بسرعة 80%. لاحظ التغير الشبيه بالمقص مع ازدياد السرعة.

الإطار المرجعي للرصد ، والذي يُشار إليه غالبًا بالإطار المرجعي الفيزيائي ، أو الإطار المرجعي ، أو ببساطة الإطار ، هو مفهوم فيزيائي يتعلق بالراصد وحالة حركته. نتبنى هنا وجهة نظر كومار وبارفي: الإطار المرجعي للرصد يتميز فقط بحالة حركته . [ 19 ] مع ذلك، لا يوجد إجماع حول هذه النقطة. في النسبية الخاصة ، يُفرّق أحيانًا بين الراصد والإطار . وفقًا لهذه الوجهة، الإطار هو راصد بالإضافة إلى شبكة إحداثيات مُنشأة لتكون مجموعة متعامدة يمينية من متجهات مكانية عمودية على متجه زمني. انظر دورن. [20] لا نستخدم هذه الوجهة المحدودة هنا، ولا تُعتمد عالميًا حتى في مناقشات النسبية. [ 21 ] [ 22 ] في النسبية العامة، يعد استخدام أنظمة الإحداثيات العامة أمرًا شائعًا (انظر، على سبيل المثال، حل شوارزشيلد للحقل الجاذبي خارج كرة معزولة [ 23 ] ).

يوجد نوعان من الأطر المرجعية الرصدية: الإطار المرجعي العطالي والإطار المرجعي غير العطالي . يُعرَّف الإطار المرجعي العطالي بأنه الإطار الذي تتخذ فيه جميع قوانين الفيزياء أبسط صورها. في النسبية الخاصة، ترتبط هذه الأطر بتحويلات لورنتز ، التي تُحدد بمعامل السرعة . أما في الميكانيكا النيوتونية، فيتطلب تعريف أكثر تحديدًا فقط صحة قانون نيوتن الأول ؛ أي أن الإطار العطالي النيوتوني هو الإطار الذي يتحرك فيه الجسيم الحر في خط مستقيم بسرعة ثابتة ، أو يكون ساكنًا. ترتبط هذه الأطر بتحويلات غاليليو . تُعبَّر هذه التحويلات النسبية والنيوتونية في فضاءات ذات بُعد عام بدلالة تمثيلات مجموعة بوانكاريه ومجموعة غاليليو .

على النقيض من الإطار المرجعي العطالي، فإن الإطار المرجعي غير العطالي هو إطارٌ يتطلب الاستعانة بقوى وهمية لتفسير الملاحظات. ومن الأمثلة على ذلك إطار مرجعي للملاحظة يتمركز حول نقطة على سطح الأرض. يدور هذا الإطار المرجعي حول مركز الأرض، مما يُدخل قوى وهمية تُعرف بقوة كوريوليس ، وقوة الطرد المركزي ، وقوة الجاذبية . (تختفي جميع هذه القوى، بما فيها الجاذبية، في إطار مرجعي عطالي حقيقي، وهو إطار السقوط الحر).

جهاز القياس

من الجوانب الأخرى لإطار المرجعية دور أجهزة القياس (مثل الساعات والقضبان) الملحقة به (انظر اقتباس نورتون أعلاه). لم يُتناول هذا السؤال في هذه المقالة، وهو ذو أهمية خاصة في ميكانيكا الكم ، حيث لا تزال العلاقة بين الراصد والقياس قيد البحث (انظر مشكلة القياس ).

في التجارب الفيزيائية، يُشار عادةً إلى الإطار المرجعي الذي تكون فيه أجهزة القياس المختبرية في حالة سكون باسم إطار المختبر أو ببساطة "إطار المختبر". ومن الأمثلة على ذلك الإطار الذي تكون فيه كواشف مسرع الجسيمات في حالة سكون. في بعض التجارب، يكون إطار المختبر إطارًا قصوريًا، ولكن ليس بالضرورة أن يكون كذلك (فعلى سبيل المثال، المختبر الموجود على سطح الأرض في العديد من التجارب الفيزيائية ليس إطارًا قصوريًا). في تجارب فيزياء الجسيمات، من المفيد غالبًا تحويل طاقات وزخم الجسيمات من إطار المختبر، حيث تُقاس، إلى إطار مركز الزخم ("إطار مركز الزخم")، حيث تُبسط الحسابات أحيانًا، إذ يُمكن استخدام جميع الطاقة الحركية المتبقية في إطار مركز الزخم لتكوين جسيمات جديدة.

في هذا السياق، تجدر الإشارة إلى أن الساعات والقضبان التي غالباً ما تستخدم لوصف معدات قياس المراقبين من الناحية النظرية، يتم استبدالها عملياً بعلم قياس أكثر تعقيداً وغير مباشر يرتبط بطبيعة الفراغ ، ويستخدم ساعات ذرية تعمل وفقاً للنموذج القياسي ويجب تصحيحها لتمدد الزمن بفعل الجاذبية . [ 24 ] (انظر الثانية والمتر والكيلوغرام ) .

في الواقع، كان أينشتاين يعتقد أن الساعات والقضبان ليست سوى أدوات قياس مؤقتة، وأنه ينبغي استبدالها بكيانات أكثر جوهرية تعتمد على سبيل المثال على الذرات والجزيئات. [ 25 ]

تعميم

تجاوزت المناقشة أنظمة الإحداثيات المكانية-الزمانية البسيطة التي وضعها برادينغ وكاستيلاني . [ 26 ] ويُشكّل التوسع إلى أنظمة الإحداثيات باستخدام الإحداثيات المعممة أساسًا لصياغات هاميلتون ولاغرانج [ 27 ] لنظرية الحقل الكمومي ، والميكانيكا النسبية الكلاسيكية ، والجاذبية الكمومية . [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]

الحالات

إطارات أخرى

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إليكم اقتباسًا ينطبق على أطر الرصد المتحركةR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}وأنظمة الإحداثيات الإقليدية ثلاثية الأبعاد المختلفة المرتبطة بها [ R ، R′ ، إلخ ]: [ 5 ]
    نبدأ بتقديم مفهوم الإطار المرجعي ، المرتبط بدوره بفكرة المراقب : الإطار المرجعي هو، بمعنى ما، "الفضاء الإقليدي الذي يحمله المراقب". لنقدم تعريفًا رياضيًا أكثر دقة: ... الإطار المرجعي هو ... مجموعة جميع النقاط في الفضاء الإقليدي مع حركة الجسم الصلب للمراقب. يُرمز إلى هذا الإطار بـR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}يقال إنها تتحرك مع الراصد... يتم تحديد المواضع المكانية للجسيمات بالنسبة إلى إطار مرجعيR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}وذلك بإنشاء نظام إحداثيات R بنقطة أصل O. ومجموعة المحاور المقابلة، التي تشترك في حركة الجسم الصلب للإطارR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}، ويمكن اعتبارها بمثابة تجسيد مادي لـR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}في إطارR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}يتم تغيير الإحداثيات من R إلى R′ عن طريق إجراء نفس تحويل الإحداثيات على مكونات الكائنات الجوهرية (المتجهات والموترات) في كل لحظة زمنية، والتي تم إدخالها لتمثيل الكميات الفيزيائية في هذا الإطار .
    وهذا يتعلق بفائدة فصل مفاهيمR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}و [ R ، R′ ، إلخ. ]: [ 6 ]
    كما أشار بريلوين، لا بد من التمييز بين أنظمة الإحداثيات الرياضية وأطر الإسناد الفيزيائية. إن تجاهل هذا التمييز هو مصدر الكثير من الالتباس... فالدوال التابعة، كالسرعة مثلاً، تُقاس بالنسبة إلى إطار إسناد فيزيائي، ولكن يمكن للمرء اختيار أي نظام إحداثيات رياضي تُحدد فيه المعادلات.
    وهذا أيضاً يتعلق بالتمييز بينR{\displaystyle {\mathfrak {R}}}و [ R ، R′ ، إلخ. ]: [ 7 ]
    إن مفهوم الإطار المرجعي يختلف تمامًا عن مفهوم نظام الإحداثيات. فالاختلاف بينهما يكمن فقط في تحديدهما لمساحات مختلفة (مجموعات من نقاط السكون ) أو أزمنة مختلفة (مجموعات من الأحداث المتزامنة). لذا، فإن مفاهيم المكان والزمان والسكون والتزامن مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الإطار. ومع ذلك، فإن مجرد تغيير نقطة الأصل، أو الدوران المكاني البحت لإحداثيات الفضاء، يُنتج نظام إحداثيات جديدًا. لذلك، فإن الأطر تُقابل في أحسن الأحوال فئات من أنظمة الإحداثيات.
    ومن جي دي نورتون: [ 8 ]
    في التطورات التقليدية للنسبية الخاصة والعامة، جرت العادة على عدم التمييز بين فكرتين متميزتين تمامًا. الأولى هي مفهوم نظام الإحداثيات، الذي يُفهم ببساطة على أنه إسناد سلس وقابل للعكس لأربعة أرقام للأحداث في نطاقات الزمكان. أما الثانية، وهي إطار المرجع، فتشير إلى نظام مثالي يُستخدم لإسناد هذه الأرقام. [...] ولتجنب القيود غير الضرورية، يمكننا فصل هذا الترتيب عن المفاهيم المترية. [...] ومن الأهمية بمكان لأغراضنا أن لكل إطار مرجع حالة حركة محددة عند كل حدث في الزمكان. [...] في سياق النسبية الخاصة، وطالما اقتصرنا على أطر المرجع في الحركة العطالية، فإن القليل من الأهمية يعتمد على الفرق بين إطار المرجع العطالي ونظام الإحداثيات العطالي الذي يُنشئه. وتتلاشى هذه الميزة فورًا بمجرد أن نبدأ في النظر في أطر المرجع في الحركة غير المنتظمة حتى في إطار النسبية الخاصة. [...] ومؤخرًا، وللتغلب على الغموض الواضح في معالجة أينشتاين، عاد مفهوم إطار المرجع للظهور كبنية متميزة عن نظام الإحداثيات.

مراجع

  1. ↑ كوفاليفسكي، ج .؛ مولر، إيفان إ. (1989). "مقدمة". أطر مرجعية . مكتبة الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء. المجلد  154. دوردريخت: سبرينغر هولندا. الصفحات 1-12 . doi : 10.1007/978-94-009-0933-5_1 . ISBN  978-94-010-6909-0ISSN 0067-0057​​ 
  2. ↑ يظهر التمييز بين الإطارين العياني والميكروسكوبي، على سبيل المثال، في الكهرومغناطيسية، حيثتُستخدم العلاقات التكوينية ذات المقاييس الزمنية والمكانية المختلفة لتحديد كثافة التيار والشحنة الداخلة في معادلات ماكسويل . انظر، على سبيل المثال، كورت إدموند أوغستون (2006). انتشار النبضات الكهرومغناطيسية والبصرية 1: التمثيلات الطيفية في الأوساط المشتتة زمنيًا . سبرينغر. ص 165. ISBN  0-387-34599-X.تظهر هذه الفروقات أيضًا في الديناميكا الحرارية. انظر: بول ماك إيفوي (2002). النظرية الكلاسيكية . مايكرو أناليتكس. ص 205. ISBN  1-930832-02-8..
  3. ↑ بشكل عام، نظام الإحداثيات هو مجموعة من الأقواس xᵢ = xᵢ ( t ) في زمرة لي معقدة ؛ انظر ليف سيمينوفيتش بونترياغين ( 1986). LS Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups ( 3rd ed.). Gordon and Breach. p. 429. ISBN   2-88124-133-6.بصورة أقل تجريدًا، يُعرَّف نظام الإحداثيات في فضاء ذي n بُعدًا بدلالة مجموعة أساسية من المتجهات { e1 , e2 , ..., en } ؛ انظر: إدواردو سيرنيسي؛ ج. مونتالدي (1993). الجبر الخطي: مدخل هندسي . مطبعة CRC. ص 95. ISBN  0-412-40680-2.وعلى هذا النحو، فإن نظام الإحداثيات هو بناء رياضي، لغة، قد تكون مرتبطة بالحركة، ولكن ليس لها بالضرورة صلة بالحركة.
  4. ↑ جيه إكس تشنغ يوهانسون؛ بير إيفار يوهانسون (2006). توحيد الميكانيكا الكلاسيكية والكمية والنسبية والقوى الأربع . دار نوفا للنشر. ص 13. ISBN  1-59454-260-0.
  5. ↑ جان سالينسون؛ ستيفن لايل (2001). دليل ميكانيكا الأوساط المتصلة: المفاهيم العامة، المرونة الحرارية . سبرينغر. ص 9. ISBN  3-540-41443-6.
  6. ↑ باتريك كورنيل (أخليش لاختاكيا، محرر) (1993). مقالات حول الجوانب الشكلية لنظرية الكهرومغناطيسية . وورلد ساينتيفيك. ص 149. ISBN  981-02-0854-5.{{cite book}}له |author=اسم عام ( مساعدة )
  7. ↑ نيرليش، غراهام (1994). ما يُفسّره الزمكان: مقالات ميتافيزيقية حول المكان والزمان . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 64. ISBN  0-521-45261-9.
  8. ↑ جون د. نورتون (1993). التغاير العام وأسس النسبية العامة: ثمانية عقود من الجدل ، تقرير التقدم في الفيزياء ، 56 ، ص 835-7.
  9. ↑ ويليام باركر؛ روجر هاو (2008). التناظر المستمر: من إقليدس إلى كلاين . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 18 وما بعدها. ISBN  978-0-8218-3900-3.
  10. ↑ أرلن رامزي؛ روبرت د . ريختماير (1995). مقدمة في الهندسة الزائدية . سبرينغر. ص 11. ISBN  0-387-94339-0. نظام إحداثيات بديهيات الهندسة.
  11. ↑ وفقًا لهوكينغ وإيليس: "المتشعب هو فضاء يشبه الفضاء الإقليدي محليًا من حيث إمكانية تغطيته ببقع إحداثية. يسمح هذا الهيكل بتعريف التفاضل، لكنه لا يميز بين أنظمة الإحداثيات المختلفة. وبالتالي، فإن المفاهيم الوحيدة التي يُعرّفها هيكل المتشعب هي تلك المستقلة عن اختيار نظام إحداثيات." ستيفن دبليو. هوكينغ؛ جورج فرانسيس راينر إليس (1973). البنية واسعة النطاق للزمكان . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 11. ISBN  0-521-09906-4.التعريف الرياضي هو: يُطلق على فضاء هاوسدورف المتصل M اسم متعدد الشعب ذي الأبعاد n إذا كانت كل نقطة من M موجودة في مجموعة مفتوحة متماثلة مع مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .
  12. ^ شيجيوكي موريتا. تيروكو ناجاسي؛ كاتسومي نوميزو (2001). هندسة الأشكال التفاضلية . مكتبة الجمعية الرياضية الأمريكية. ص. 12 . رقم ISBN  0-8218-1045-6. نظام إحداثيات بديهيات الهندسة.
  13. ↑ غرانينو آرثر كورن؛ تيريزا م. كورن (2000). دليل رياضي للعلماء والمهندسين : تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها . منشورات كوريير دوفر. ص 169. ISBN   0-486-41147-8.
  14. ↑ انظر تعريف موسوعة إنكارتا . مؤرشف بتاريخ 31-10-2009.
  15. ↑ كاتسو ياماني (2004). محاكاة وتوليد حركات الأشكال البشرية . سبرينغر. ص 12-13 . ISBN  3-540-20317-6.
  16. ↑ أخيلوس بابابترو (1974). محاضرات في النسبية العامة . سبرينغر. ص 5. ISBN  90-277-0540-2.
  17. ↑ ويلفورد زدونكوفسكي؛ أندرياس بوت (2003). ديناميات الغلاف الجوي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 84. ISBN  0-521-00666-X.
  18. ↑ أ. آي. بوريسينكو؛ إ. إي. تارابوف؛ ريتشارد أ. سيلفرمان (1979). تحليل المتجهات والموترات مع التطبيقات . منشورات كوريير دوفر. ص 86. ISBN  0-486-63833-2.
  19. ↑ انظر: أرفيند كومار؛ شريش بارفي (2003). كيف ولماذا في الميكانيكا الأساسية . أورينت لونجمان. ص 115. ISBN  81-7371-420-7.
  20. ↑ كريس دوران؛ أنتوني لاسنبي (2003). الجبر الهندسي للفيزيائيين . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. §5.2.2، ص. 133. ISBN  978-0-521-71595-9..
  21. ↑ على سبيل المثال، يقول مولر: "بدلاً من الإحداثيات الديكارتية ، يمكننا بالطبع استخدام الإحداثيات المنحنية العامة لتحديد النقاط في الفضاء الفيزيائي... سنقدم الآن الإحداثيات "المنحنية" العامة xᵢ في الفضاء الرباعي...". سي. مولر (1952). نظرية النسبية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 222 و233. 
  22. ↑ إيه بي لايتمان ؛ دبليو إتش برس؛ آر إتش برايس؛ إس إيه تيوكولسكي (1975). كتاب مسائل في النسبية والجاذبية . مطبعة جامعة برينستون. ص 15. ISBN  0-691-08162-Xإحداثيات عامة نسبية .
  23. ↑ ريتشارد ل. فابر (1983). الهندسة التفاضلية ونظرية النسبية: مقدمة . مطبعة سي آر سي. ص 211. ISBN  0-8247-1749-X.
  24. ↑ ريتشارد وولفسون (2003). ببساطة أينشتاين . دبليو دبليو نورتون وشركاه. ص 216. ISBN  0-393-05154-4.
  25. ^ انظر جويدو ريزي. ماتيو لوكا روجيرو (2003). النسبية في الإطارات الدوارة . سبرينغر. ص. 33. ردمك  1-4020-1805-3..
  26. ↑ كاثرين برادينغ ؛ إيلينا كاستيلاني (2003). التناظرات في الفيزياء: تأملات فلسفية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 417. ISBN  0-521-82137-1.
  27. ↑ أوليفر ديفيس جونز (2005). الميكانيكا التحليلية للنسبية وميكانيكا الكم . مطبعة جامعة أكسفورد. الفصل 16. ISBN 0-19-856726-X.
  28. ↑ دونالد ت. غرينوود (1997). الديناميكا الكلاسيكية (إعادة طبع طبعة 1977 الصادرة عن دار برنتيس هول للنشر). منشورات كوريير دوفر. ص 313. ISBN   0-486-69690-1.
  29. ↑ ماثيو أ. ترامب؛ دبليو سي شيف (1999). ديناميكا الأجسام المتعددة النسبية الكلاسيكية . سبرينغر. ص 99. ISBN  0-7923-5737-X.
  30. ↑ ألكسندر سولومونوفيتش كومبانييتس (2003). الفيزياء النظرية (إعادة طبع الطبعة الثانية لعام 1962). منشورات كوريير دوفر. ص 118. ISBN   0-486-49532-9.
  31. ↑ م. سريدنيكي (2007). نظرية الحقل الكمومي . مطبعة جامعة كامبريدج. الفصل 4. ISBN 978-0-521-86449-7.
  32. ↑ كارلو روفيللي (2004). الجاذبية الكمومية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 98 وما بعدها. ISBN  0-521-83733-2.