التوزيع (التحليل الرياضي)

لنفترض أن f  : R → R دالة قابلة للتكامل محليًا . عندئذٍ يمكن تعريف التوزيع المقابل T _{f كما يلي:}

${\displaystyle \left\langle T_{f},\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(x)\varphi (x)\,dx\quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

هذا التكامل هو عدد حقيقي يعتمد خطيًا وبشكل مستمر على${\displaystyle \varphi }$على النقيض من ذلك، تحدد قيم التوزيع T _f على دوال الاختبار في D( R ) القيم النقطية للدالة f على R تقريبًا في كل مكان . في إساءة استخدام شائعة للترميز ، غالبًا ما تُستخدم f لتمثيل كل من الدالة الأصلية f والتوزيع المقابل T _f . يشير هذا المثال إلى تعريف التوزيع كدالة خطية، وبالمعنى المناسب، دالة متصلة على فضاء دوال الاختبار D( R ).

وبالمثل، إذا كان μ مقياس رادون على R ، فيمكن تعريف التوزيع المقابل R _{μ بواسطة}

${\displaystyle \left\langle R_{\mu },\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }\varphi \,d\mu \quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

يعتمد هذا التكامل أيضًا بشكل خطي ومستمر على${\displaystyle \varphi }$وبالتالي، فإن R _μ هو توزيع. إذا كان μ متصلاً اتصالاً مطلقاً بالنسبة لمقياس ليبيغ بكثافة f و d μ = f dx ، فإن هذا التعريف لـ R _μ هو نفسه التعريف السابق لـ T _f ، ولكن إذا لم يكن μ متصلاً اتصالاً مطلقاً، فإن R _μ هو توزيع غير مرتبط بدالة. على سبيل المثال، إذا كان P هو مقياس الكتلة النقطية على R الذي يُسند القياس واحداً للمجموعة الأحادية {0} والقياس صفراً للمجموعات التي لا تحتوي على الصفر، فإن

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\varphi \,dP=\varphi (0),}$

بحيث يكون R _P = δ هو دالة ديراك دلتا.

يمكن ضرب التوزيعات بأعداد حقيقية وجمعها، لتشكل بذلك فضاءً متجهيًا حقيقيًا . كما يمكن ضرب التوزيعات بدوال قابلة للتفاضل بلا حدود، ولكن لا يمكن تعريف حاصل ضرب للتوزيعات العامة يمتد من حاصل الضرب النقطي المعتاد للدوال ويتمتع بنفس الخصائص الجبرية. وقد أثبت شوارتز (1954) هذه النتيجة ، والتي تُعرف عادةً باسم نظرية استحالة شوارتز .

من المستحسن اختيار تعريف لمشتقة التوزيع بحيث يكون، على الأقل بالنسبة للتوزيعات المشتقة من الدوال الملساء، ذا خاصية أن${\displaystyle T'_{f}=T_{f'}}$. لو${\displaystyle \varphi }$إذا كانت دالة اختبار، فيمكننا استخدام التكامل بالتجزئة للتأكد من ذلك.

${\displaystyle \left\langle f',\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f'\varphi \,dx={\Big [}f(x)\varphi (x){\Big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{\mathbf {R} }f\varphi '\,dx=-\left\langle f,\varphi '\right\rangle }$

حيث تستنتج المساواة الأخيرة من حقيقة أن${\displaystyle \varphi }$لها دعم محدود، لذا فإن قيمتها تساوي صفرًا خارج المجموعة المحدودة. وهذا يشير إلى أنه إذا${\displaystyle T}$إذا كان توزيعًا ، فيجب تعريف مشتقته${\displaystyle T'}$بواسطة

${\displaystyle \left\langle T',\varphi \right\rangle =-\left\langle T,\varphi '\right\rangle .}$

اتضح أن هذا هو التعريف الصحيح؛ فهو يوسع التعريف العادي للمشتقة، ويصبح كل توزيع قابلاً للتفاضل إلى ما لا نهاية، وتظل الخصائص المعتادة للمشتقات سارية.

مثال: تذكر أن دالة ديراك دلتا (أو ما يسمى بدالة ديراك دلتا) هي التوزيع المحدد بالمعادلة

${\displaystyle \left\langle \delta ,\varphi \right\rangle =\varphi (0).}$

هو مشتق التوزيع المقابل لدالة هيفسايد H : لأي دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$،

${\displaystyle \left\langle H',\varphi \right\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }H(x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi (\infty )+\varphi (0)=\left\langle \delta ,\varphi \right\rangle ,}$

إذن H ′ = δ . ملاحظة،${\displaystyle \varphi }$(∞) = 0 لأن${\displaystyle \varphi }$تتمتع هذه الدالة بدعم مضغوط وفقًا لتعريفنا لدالة الاختبار. وبالمثل، فإن مشتقة دالة ديراك دلتا هي التوزيع المحدد بالمعادلة

${\displaystyle \langle \delta ',\varphi \rangle =-\varphi '(0).}$

يُعدّ هذا التوزيع الأخير مثالاً على توزيع لا يُشتق من دالة أو مقياس. تفسيره الفيزيائي هو كثافة مصدر ثنائي القطب. وكما يمكن تمثيل نبضة ديراك في الحد الضعيف كسلسلة من أنواع مختلفة من دوال النتوء ذات المعيار الثابت ذات السعة المتزايدة باستمرار والدعم المتناقص، يمكن تمثيل مشتقها، بحكم التعريف، كحد ضعيف للمشتقات السالبة لتلك الدوال، والتي تصبح الآن متناظرة عكسياً حول نقطة الدعم الشاذ للتوزيع النهائي.

يُعرَّف فضاء الدوال الاختبارية D( U ) على U كما يلي. دالة${\displaystyle \varphi }$ يقال إن المجموعة U → R لها دعم مضغوط إذا وُجدت مجموعة جزئية مضغوطة K من U بحيث${\displaystyle \varphi }$( x ) = 0 لجميع x في U \ K. عناصر D( U ) هي الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود.${\displaystyle \varphi }$ : U → R مع دعم مضغوط - تُعرف أيضًا باسم دوال النتوء . هذا فضاء متجهي حقيقي . يمكن إعطاؤه طوبولوجيا بتعريف نهاية متتالية من عناصر D( U ). متتالية (${\displaystyle \varphi }$يُقال أن _k ) في D( U ) يتقارب إلى${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( U ) إذا تحققت الشروط التالية: ^{[ 1 ]}

• توجد مجموعة مضغوطة K  ⊂ U تحتوي على دعامات جميع ${\displaystyle \varphi }$_ك :

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• لكل مؤشر متعدد α، سلسلة المشتقات الجزئية${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{k}}$يميل بشكل موحد إلى${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi }$.

بهذا التعريف، يصبح D( U ) فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا كاملًا يحقق خاصية هاين-بوريل . ^{[ 2 ]}

يمكن وضع هذه الطوبولوجيا في سياق البناء العام التالي: ليكن

${\displaystyle X=\bigcup \nolimits _{i}X_{i}}$

ليكن X اتحادًا متزايدًا قابلًا للعد من فضاءات متجهة طوبولوجية محدبة محليًا، ولتكن ιᵢ _:  Xᵢ → _Xᵢ دوال التضمين. في هذا السياق، فإن طوبولوجيا النهاية الاستقرائية ، أو الطوبولوجيا النهائية ، τ على X هي أدق طوبولوجيا فضاء متجه محدب محليًا تجعل جميع دوال التضمين${\displaystyle \iota _{i}}$متصلة. يمكن وصف الطوبولوجيا τ بشكل صريح كما يلي: ليكن β مجموعة المجموعات الجزئية المحدبة المتوازنة W من X بحيث تكون W ∩ X _i مفتوحة لجميع i . تتكون قاعدة طوبولوجيا الحد الاستقرائي τ من المجموعات التي تأخذ الشكل x + W ، حيث x في X و W في β .

يعتمد برهان أن τ فضاء طوبولوجي متجهي على افتراض أن كل Xᵢ محدب محليًا. وبحسب التعريف، فإن β قاعدة محلية لـ τ . ولأن أي فضاء طوبولوجي متجهي محدب محليًا على X يجب أن يحتوي بالضرورة على τ، _فهذا يعني أنه الأضعف. ويمكن أيضًا إثبات أنه لكل i ، فإن طوبولوجيا الفضاء الجزئي الذي _يرثه Xᵢ من τ تتطابق مع طوبولته الأصلية. وعندما يكون كل Xᵢ _فضاء فريشيه ، يُسمى ( X , τ) فضاء LF .

لنفترض الآن _أن U هو اتحاد Uᵢ حيث { Uᵢ _} هي عائلة قابلة للعد من المجموعات الفرعية المفتوحة من _U ذات إغلاقات متراصة _Ki = Uᵢ . عندئذٍ يكون لدينا اتحاد متزايد قابل للعد

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _{i}\mathrm {D} _{K_{i}}}$

حيث D _{K i} هي مجموعة جميع الدوال الملساء على U التي يقع دعمها في K _i . على كل D _{K i} ، نعتبر الطوبولوجيا المعطاة بواسطة المعايير شبهية.

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

أي طوبولوجيا التقارب المنتظم للمشتقات من أي رتبة. وهذا يجعل كل D _{K i} فضاءً من نوع فريشيه . وبنية فضاء LF الناتجة على D( U ) هي الطوبولوجيا الموصوفة في بداية هذا القسم.

على D( U )، يمكن أيضًا النظر في الطوبولوجيا المعطاة بواسطة المعايير شبهية.

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha ,K_{i}}=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|.}$

مع ذلك، يعيب هذه البنية الطوبولوجية عدم اكتمالها. من جهة أخرى، وبسبب الخصائص المميزة لـ DK _{i ،} تكون المجموعة محدودة بالنسبة إلى τ إذا وفقط إذا كانت تقع ضمن بعض DK _{i .} وبالتالي، فإن اكتمال ( D ( U ), τ) يستنتج من اكتمال _{DK i} .

لا يمكن قياس الطوبولوجيا τ بواسطة نظرية فئة باير ، لأن D( U ) هو اتحاد الفضاءات الجزئية للفئة الأولى في D( U ). ^{[ 3 ]}

التوزيع على U هو دالة خطية متصلة T : D( U ) → R (أو T : D( U ) → C ). أي أنه توزيع تُخصصه T لكل دالة اختبار .        ${\displaystyle \varphi }$عدد حقيقي (أو مركب) T (${\displaystyle \varphi }$) بحيث

${\displaystyle T(c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2})=c_{1}T(\varphi _{1})+c_{2}T(\varphi _{2})}$

لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi }$₁ ،${\displaystyle \varphi }$₂ والكميات القياسية c1 _و c2 _. علاوة على ذلك، تكون T متصلة إذا وفقط إذا

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }T(\varphi _{k})=T{\Bigl (}\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}{\Bigr )}}$

لكل متتالية متقاربة${\displaystyle \varphi }$_k في D( U ). (على الرغم من أن طوبولوجيا D( U ) غير قابلة للقياس، فإن الدالة الخطية على D( U ) تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة بالتتابع). وبالمثل، تكون T متصلة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية مضغوطة K من U يوجد ثابت موجب C_{_K} وعدد صحيح غير سالب N_{_K} بحيث

${\displaystyle |T(\varphi )|\leq C_{K}\sup {\bigl \{}|\partial ^{\alpha }\varphi (x)|\mathrel {\big |} x\in K,|\alpha |\leq N_{K}{\bigr \}}}$

لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi }$^مع الدعم الوارد في K. [ ^{4 ]}

يُرمز إلى فضاء التوزيعات على U بالرمز D′( U )، وهو الفضاء الثنائي المتصل لـ D( U ). بغض النظر عن الطوبولوجيا الثنائية المُطبقة على D′( U )، فإن متتالية التوزيعات تتقارب في هذه الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كانت تتقارب نقطيًا (مع أن هذا لا ينطبق بالضرورة على الشبكة )، ولهذا السبب تُعرَّف هذه الطوبولوجيا أحيانًا بأنها طوبولوجيا * الضعيفة . ولكن غالبًا ما تُطبق طوبولوجيا التقارب المحدود ، والتي تُطابق في هذه الحالة طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المتراصة، على D′( U )، إذ مع هذه الطوبولوجيا يصبح D′( U ) فضاء مونتيل نوويًا ، ومع هذه الطوبولوجيا تتحقق نظرية النوى لشوارتز . ^{[ 5 ]} بغض النظر عن الطوبولوجيا المختارة، سيكون D′( U ) فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا غير قابل للقياس ومحدبًا محليًا .

الاقتران الثنائي بين التوزيع T في D′( U ) ودالة الاختبار${\displaystyle \varphi }$يُشار إلى D( U ) باستخدام الأقواس الزاوية بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {D} '(U)\times \mathrm {D} (U)\to \mathbf {R} \\(T,\varphi )\mapsto \langle T,\varphi \rangle ,\end{cases}}}$

بحيث يكون ⟨ T ,${\displaystyle \varphi }$⟩ = T (${\displaystyle \varphi }$يُفسَّر هذا الترميز على أنه التوزيع T الذي يؤثر على دالة الاختبار .${\displaystyle \varphi }$لإعطاء قيمة عددية، أو بشكل متناظر كدالة اختبار${\displaystyle \varphi }$التأثير على التوزيع T.

تتقارب متتالية من التوزيعات ( Tk ) بالنسبة إلى الطوبولوجيا الضعيفة* على D′( U ₎ إلى توزيع T إذا وفقط إذا

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle \to \langle T,\varphi \rangle }$

لكل دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$في D( U ). على سبيل المثال، إذا كانت f _k  : R → R هي الدالة

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}k&{\text{if}}\ 0\leq x\leq 1/k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

و T _k هو التوزيع المقابل لـ f _k ، إذن

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle =k\int _{0}^{1/k}\varphi (x)\,dx\to \varphi (0)=\langle \delta ,\varphi \rangle }$

عندما k → ∞، فإن T _k → δ في D′( R ). وبالتالي، بالنسبة لقيم k الكبيرة ، يمكن اعتبار الدالة f _k تقريبًا لتوزيع ديراك دلتا.

تُسمى الدالة f  : U → R قابلة للتكامل محليًا إذا كانت قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ على كل مجموعة جزئية مضغوطة K من U. ^{[ 6 ]} هذه فئة واسعة من الدوال تشمل جميع الدوال المتصلة وجميع دوال L ^p . تُعرَّف الطوبولوجيا على D( U ) بحيث تُنتج أي دالة قابلة للتكامل محليًا f دالة خطية متصلة على D( U ) - أي عنصر من D′( U ) - يُرمز لها هنا بـ T _f ، وقيمتها على دالة الاختبار.   ${\displaystyle \varphi }$يتم الحصول عليها من خلال تكامل ليبيغ:

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{U}f\varphi \,dx.}$

جرت العادة على إساءة استخدام الترميز من خلال تحديد T _f مع f ، شريطة ألا يحدث أي لبس، وبالتالي فإن الاقتران بين T _f و${\displaystyle \varphi }$غالباً ما يُكتب

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle .}$

إذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل محليًا، فإن التوزيعين المرتبطين بهما T _f و T _g يساويان نفس العنصر من D′( U ) إذا وفقط إذا كانت f و g متساويتين تقريبًا في كل مكان (انظر، على سبيل المثال، هورماندر (1983 ، النظرية 1.2.5) ). وبالمثل، يُعرّف كل مقياس رادون μ على U عنصرًا من D′( U ) تكون قيمته على دالة الاختبار${\displaystyle \varphi }$هو ∫${\displaystyle \varphi }$ dμ . كما سبق، من المتعارف عليه إساءة استخدام الترميز وكتابة الاقتران بين مقياس رادون μ ودالة اختبار.${\displaystyle \varphi }$مثل${\displaystyle \langle \mu ,\varphi \rangle }$. على العكس من ذلك، كما هو موضح في نظرية شوارتز (على غرار نظرية تمثيل ريز )، فإن كل توزيع غير سالب على الدوال غير السالبة يكون على هذا الشكل لبعض مقاييس رادون (الموجبة).

تكون دوال الاختبار نفسها قابلة للتكامل محليًا، وبالتالي تُعرّف توزيعات. وعلى هذا النحو، فهي كثيفة في D′( U ) بالنسبة للطوبولوجيا على D′( U ) بمعنى أنه لأي توزيع T  ∈  D′( U )، توجد شبكة${\displaystyle \varphi }$_i  ∈ D( U ) بحيث

${\displaystyle \langle \varphi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle }$

لكل Ψ  ∈  D( U ). هذه الحقيقة مستمدة من نظرية هان-باناخ ، حيث أن الفضاء الثنائي لـ D′( U ) مع طوبولوجيا * الضعيفة الخاصة به هو الفضاء D( U ). ^{[ 7 ]} يمكن إثبات نتيجة أقوى للكثافة المتسلسلة بطريقة أكثر بناءة باستخدام حجة الالتفاف.

لنفترض أن A  :  D( U )  →  D( U ) هو مؤثر الاشتقاق الجزئي

${\displaystyle A\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}.}$

لو${\displaystyle \varphi }$وإذا كانت ψ تنتمي إلى D( U )، فإن التكامل بالتجزئة يعطي

${\displaystyle \int _{U}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\psi \,dx=-\int _{U}\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx,}$

بحيث يكون A ^t  =  − A. هذا المؤثر هو تحويل خطي متصل على D( U ). لذا، إذا كان T  ∈  D′( U ) توزيعًا، فإن المشتقة الجزئية لـ T بالنسبة للإحداثي x _k تُعرَّف بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

بهذا التعريف، يكون كل توزيع قابلاً للتفاضل إلى ما لا نهاية، والمشتق في الاتجاه x _k هو عامل خطي على D′( U ).

بشكل أعم، إذا كان α = (α ₁ , ..., α _n ) مؤشرًا متعددًا اختياريًا ، وكان ∂ ^α هو عامل التفاضل الجزئي المرتبط به، فإن التفاضل الجزئي ∂ ^α T للتوزيع T ∈ D′( U ) يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle T,\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle {\mbox{ for all }}\varphi \in \mathrm {D} (U).}$

إن تفاضل التوزيعات هو عامل مستمر على D′( U )؛ وهذه خاصية مهمة ومرغوبة لا تشترك فيها معظم المفاهيم الأخرى للتفاضل.

إذا كانت الدالة m  : U → R قابلة للتفاضل بلا حدود، وكانت T توزيعًا على U ، فإن حاصل ضرب m T يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle \langle mT,\varphi \rangle =\langle T,m\varphi \rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

يتطابق هذا التعريف مع تعريف النقل، لأنه إذا كان M  :  D( U )  →  D( U ) هو عامل الضرب بالدالة m (أي M${\displaystyle \varphi }$= م${\displaystyle \varphi }$)، ثم

${\displaystyle \int _{U}M\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot M\psi (x)\,dx,}$

بحيث يكون M ^t  = M . 

في عملية الضرب بالدوال الملساء، يكون D′( U ) وحدة نمطية على الحلقة C∞ ( U ). مع هذا التعريف للضرب بدالة ملساء، تظل قاعدة الضرب العادية في حساب التفاضل ^{والتكامل} صالحة. ومع ذلك، يظهر عدد من المتطابقات غير المألوفة. على سبيل المثال، إذا كانت δ هي دالة توزيع ديراك دلتا على R ، فإن mδ = m (0) δ ، وإذا كانت δ ′ هي مشتقة دالة التوزيع دلتا، فإن  

${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .\,}$

تُتيح هذه التعريفات للتفاضل والضرب أيضًا تعريف عملية المؤثر التفاضلي الخطي ذي المعاملات الملساء على توزيع. يُحوّل المؤثر التفاضلي الخطي P التوزيع T  ∈  D′( U ) إلى توزيع آخر PT مُعطى بمجموع على الصورة التالية:

${\displaystyle PT=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,}$

حيث تكون المعاملات p و _α دوالًا سلسة على U. تأثير التوزيع PT على دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \left\langle \sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =\left\langle T,\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi )\right\rangle .}$

يُطلق على أصغر عدد صحيح k الذي يتحقق عنده هذا التوسع لكل توزيع T اسم رتبة P. الفضاء D′( U ) هو وحدة D بالنسبة لتأثير حلقة المؤثرات التفاضلية الخطية.

ليكن T توزيعًا على مجموعة مفتوحة U  ⊂ Rⁿ ^. ولتكن V مجموعة مفتوحة في Rⁿ ^، و F : V → U. عندئذٍ، إذا كان F غمرًا ، فمن الممكن تعريف     

${\displaystyle T\circ F\in \mathrm {D} '(V).}$

هذا هو تركيب التوزيع T مع F ، ويسمى أيضًا سحب T على طول F ، ويكتب أحيانًا

${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$

غالبًا ما يُشار إلى عملية السحب العكسي بالرمز F* ، على الرغم من أنه لا ينبغي الخلط بين هذا الرمز واستخدام '*' للدلالة على المرافق للتحويل الخطي.

إن شرط كون F غمرًا يكافئ اشتراط أن تكون مشتقة جاكوبي dF ( x ) لـ F تطبيقًا خطيًا شاملًا لكل x ∈  V. ومن الشروط الضرورية (وإن لم تكن كافية) لتمديد F ^# إلى التوزيعات أن تكون F تطبيقًا مفتوحًا . ^{[ 9 ]} وتضمن نظرية الدالة العكسية أن الغمر يحقق هذا الشرط. 

إذا كانت F عملية غمر، فإن F ^# تُعرَّف على التوزيعات بإيجاد دالة النقل. ويُضمن تفرد هذا الامتداد لأن F ^# مؤثر خطي متصل على D( U ). ومع ذلك، يتطلب الوجود استخدام صيغة تغيير المتغيرات ، ونظرية الدالة العكسية (محليًا)، وحجة تجزئة الوحدة . ^{[ 10 ]}

في الحالة الخاصة عندما يكون F تماثلاً تفاضلياً من مجموعة جزئية مفتوحة V من R ⁿ إلى مجموعة جزئية مفتوحة U من R ^n، فإن تغيير المتغيرات تحت التكامل يعطي

${\displaystyle \int _{V}\varphi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$

في هذه الحالة تحديداً، يتم تعريف F ^# بواسطة صيغة النقل:

${\displaystyle {\bigl \langle }F^{\sharp }T,\varphi {\bigr \rangle }=\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\varphi \circ F^{-1}\right\rangle .}$

لتكن U و V مجموعتين جزئيتين مفتوحتين من Rⁿ حيث V ⊂ U. ولتكن E( ^VU ₎ : D( V ) → D( U ) المؤثر الذي يمدد بالصفر دالة ملساء معينة ذات دعم مضغوط في V إلى دالة ملساء ذات دعم مضغوط في المجموعة الأكبر U. عندئذٍ، يُعرَّف تطبيق التقييد ρ( _VU) بأنه منقول E( _VU) . وبالتالي، لأي توزيع T ∈ D′( U )، فإن التقييد ρ _(VU ) هو توزيع في الفضاء الثنائي D′( V ) مُعرَّف بـ        

${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\varphi \rangle =\langle T,E_{VU}\varphi \rangle }$

لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( V ).

ما لم يكن U  = V ، فإن التقييد على V ليس أحاديًا ولا شاملًا . وينتج عن ذلك عدم الشمولية لأن التوزيعات قد تتضخم باتجاه حدود V. على سبيل المثال، إذا كان U = R و V = (0, 2)، فإن التوزيع     

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$

يقع في D′( V ) ولكنه لا يقبل أي امتداد إلى D′( U ).

ليكن T  ∈ D′( U ) توزيعًا على مجموعة مفتوحة U. يُقال إن T يتلاشى على مجموعة مفتوحة V من U إذا كان T يقع في نواة دالة التقييد ρ ∈ _VU . وبالتحديد، يتلاشى T على V إذا

${\displaystyle \langle T,\varphi \rangle =0}$

لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi }$ ∈ ^C∞ ( U ) مع دعم في V. ليكن V مجموعة مفتوحة قصوى يكون فيها التوزيع T معدومًا ؛ أي أن V هو اتحاد كل مجموعة مفتوحة يكون فيها T معدومًا. دعم T هو متمم V في U.

${\displaystyle \operatorname {supp} \,T=U\setminus \bigcup \left\{V\mid \rho _{VU}T=0\right\}.}$

يكون للتوزيع T نطاق دعم مضغوط إذا كان نطاق دعمه مجموعة مضغوطة. وبشكل أدق، يكون لـ T نطاق دعم مضغوط إذا وُجدت مجموعة جزئية مضغوطة K من U بحيث يكون لكل دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$أما التي يكون دعمها خارج نطاق K تمامًا ، فلدينا T (${\displaystyle \varphi }$) = 0. تُعرّف التوزيعات ذات الدعم المحدود دوالًا خطية متصلة على الفضاء C ∞ ( U )؛ وتُعرّف الطوبولوجيا على C ∞ ( U ) بحيث يكون تسلسل دوال الاختبار${\displaystyle \varphi }$تتقارب الدالة k إلى الصفر إذا وفقط إذا كانت جميع مشتقات${\displaystyle \varphi }$تتقارب قيم k بانتظام إلى الصفر على كل مجموعة جزئية مضغوطة من U. وعلى العكس، يمكن إثبات أن كل دالة خطية متصلة على هذا الفضاء تُعرّف توزيعًا ذا دعم مضغوط. إن تضمين C  c∞  ( U ) في C ∞ ( U )، حيث تُعطى الفضاءات طوبولوجيتها الخاصة، هو تضمين متصل وله صورة كثيفة. وبالتالي، يمكن تعريف التوزيعات ذات الدعم المضغوط بأنها تلك التوزيعات التي يمكن تمديدها من C c∞  ( U ) إلى C ∞ ( U ).

إذا كانت f  ∈ S ′( R ⁿ ) توزيعًا معتدلًا، فإنه يوجد ثابت C > 0، وأعداد صحيحة موجبة M و N بحيث يكون لجميع دوال شوارتز   ${\displaystyle \varphi }$ ∈ S ( R ⁿ ) 

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\varphi ).}$

يمكن استخدام هذا التقدير، إلى جانب بعض التقنيات من التحليل الوظيفي، لإثبات وجود دالة F مستمرة ومتزايدة ببطء، ومؤشر متعدد α بحيث

${\displaystyle f=D^{\alpha }F.\,}$

إذا كانت ^{f ∈ D′(Rⁿ)، فإنه لأي مجموعة متراصة K ⊂ Rⁿ، توجد دالة متصلة F ذات دعم متراص في Rⁿ} (  ربما  على مجموعة ^أكبر من K  نفسها ) ^ومؤشر متعدد α ^بحيث f = DαF على Cⁿⁿ⁞ ( K ) . ويستنتج هذا _من النتيجة المذكورة ^سابقًا حول التوزيعات المعتدلة باستخدام حجة التوطين.   

إذا كانت الدالة f مدعومة عند نقطة واحدة { P }، فإن f في الواقع عبارة عن توليفة خطية منتهية من المشتقات التوزيعية للدالة δ عند P. أي أنه يوجد عدد صحيح m وثوابت عقدية a _α لمؤشرات متعددة | α |  ≤ m بحيث 

${\displaystyle f=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$

حيث τ _P هو عامل الإزاحة.

يُمكن تطبيق صيغة من النظرية المذكورة أعلاه محليًا بالمعنى التالي ( رودين 1991 ) . ليكن T توزيعًا على U ، عندئذٍ يُمكن إيجاد دالة متصلة g _α لكل مؤشر متعدد α بحيث

${\displaystyle \displaystyle T=\sum \nolimits _{\alpha }D^{\alpha }g_{\alpha }}$

وبما أن أي مجموعة جزئية مضغوطة K من U تتقاطع مع حوامل عدد محدود فقط من _gα ؛ لذلك، لتقييم قيمة T لدالة ملساء معينة f ذات حوامل مضغوطة في U ، نحتاج فقط إلى عدد محدود _{من gα} ؛ ومن ثم فإن المجموع اللانهائي أعلاه مُعرَّف جيدًا كتوزيع. إذا كان التوزيع T من رتبة محدودة، فيمكن اختيار gα بحيث يكون عدد محدود فقط منها غير صفري.