بديهيات تارسكي

تُعدّ بديهيات تارسكي نظامًا بديهيًا للهندسة الإقليدية ، وتحديدًا للجزء من الهندسة الإقليدية الذي يُمكن صياغته في منطق الرتبة الأولى مع عنصر التطابق (أي يُمكن صياغته كنظرية أولية ). ولذلك، فهو لا يتطلب نظرية مجموعات أساسية . الكائنات الأولية الوحيدة في النظام هي "النقاط"، والمسندات الأولية الوحيدة هي "الوسطية" (التي تُعبّر عن حقيقة أن نقطة ما تقع على قطعة مستقيمة بين نقطتين أخريين) و"التطابق" (التي تُعبّر عن حقيقة أن المسافة بين نقطتين تساوي المسافة بين نقطتين أخريين). يحتوي النظام على عدد لا نهائي من البديهيات.

يعود نظام البديهيات إلى ألفريد تارسكي الذي قدمه لأول مرة في عام 1926. ^{[ 1 ]} ومن البديهيات الحديثة الأخرى للهندسة الإقليدية بديهيات هيلبرت (1899) وبديهيات بيركوف (1932).

باستخدام نظام البديهيات الخاص به، تمكن تارسكي من إثبات أن نظرية الدرجة الأولى للهندسة الإقليدية متسقة وكاملة وقابلة للتقرير : كل جملة في لغتها إما قابلة للإثبات أو قابلة للدحض من البديهيات، ولدينا خوارزمية تقرر لأي جملة معينة ما إذا كانت قابلة للإثبات أم لا.

في بداية مسيرته المهنية، درّس تارسكي الهندسة وأجرى أبحاثًا في نظرية المجموعات. وقد أوضح زميله ستيفن جيفانت (1999) نقطة انطلاق تارسكي:

تعرّف تارسكي من إنريكيس على أعمال ماريو بييري ، وهو عالم هندسة إيطالي تأثر بشدة ببيانو. وقد فضّل تارسكي نظام بييري [في مذكراته عن النقطة والكرة ]، حيث كان الهيكل المنطقي وتعقيد البديهيات أكثر وضوحًا.

ثم يقول جيفانت إن تارسكي "بدقة معهودة" ابتكر نظامه:

ما الذي ميّز منهج تارسكي في الهندسة؟ أولًا، كان نظام البديهيات لديه أبسط بكثير من أي نظام بديهيات كان موجودًا حتى ذلك الحين. في الواقع، لا يتجاوز طول جميع بديهيات تارسكي مجتمعةً طول بديهية واحدة من بديهيات بييري الأربع والعشرين. كان هذا أول نظام للهندسة الإقليدية يتسم بالبساطة الكافية للتعبير عن جميع البديهيات باستخدام المفاهيم الأولية فقط، دون الحاجة إلى مفاهيم مُعرَّفة. والأهم من ذلك، أنه ولأول مرة، تم التمييز بوضوح بين الهندسة الكاملة وجزئها الأولي - أي من الدرجة الأولى.

على غرار غيرها من الصيغ البديهية الحديثة للهندسة الإقليدية، تستخدم صيغة تارسكي نظامًا صوريًا يتألف من سلاسل رمزية تُسمى الجمل ، ويخضع بناؤها لقواعد نحوية صورية ، وقواعد برهان تحدد العمليات المسموح بها على هذه الجمل. وخلافًا لبعض الصيغ البديهية الحديثة الأخرى، مثل صيغة بيركوف وهيلبرت ، لا تحتوي صيغة تارسكي على كائنات أولية سوى النقاط ، لذا لا يمكن لمتغير أو ثابت أن يشير إلى خط أو زاوية. ولأن النقاط هي الكائنات الأولية الوحيدة، ولأن نظام تارسكي نظرية من الدرجة الأولى ، فإنه لا يمكن حتى تعريف الخطوط كمجموعات من النقاط. العلاقات الأولية الوحيدة ( المسندات ) هي "الوساطة" و"التطابق" بين النقاط.

إنّ نظام تارسكي البديهي أقصر من أنظمة منافسيه، كما أوضح تارسكي وجيفانت (1999). وهو أكثر إيجازًا من نظام بييري لأنّ بييري لم يستخدم سوى مفهومين أوليين، بينما قدّم تارسكي ثلاثة مفاهيم: النقطة، والمركزية، والتطابق. هذا الاقتصاد في المفاهيم الأولية والمعرّفة يعني أنّ نظام تارسكي ليس مناسبًا جدًا لدراسة الهندسة الإقليدية. بل صمّم تارسكي نظامه لتسهيل تحليله باستخدام أدوات المنطق الرياضي ، أي لتسهيل استنباط خصائصه ما وراء الرياضية. يتميّز نظام تارسكي بخاصية فريدة، وهي إمكانية كتابة جميع الجمل بصيغة الوجود الكلي، وهي حالة خاصة من الصيغة المعيارية السابقة . تسبق هذه الصيغة جميع الكميات الكلية أي كميات وجودية ، بحيث يمكن إعادة صياغة جميع الجمل بهذه الصيغة.${\displaystyle \forall u\forall v\ldots \exists a\exists b\dots .}$سمحت هذه الحقيقة لتارسكي بإثبات أن الهندسة الإقليدية قابلة للتقرير : إذ توجد خوارزمية قادرة على تحديد صحة أو خطأ أي جملة. كما أن بديهيات تارسكي كاملة . وهذا لا يتعارض مع نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل ، لأن نظرية تارسكي تفتقر إلى القدرة التعبيرية اللازمة لتفسير حساب روبنسون ( فرانزين 2005 ، ص 25-26) . 

عمل ألفريد تارسكي على وضع البديهيات والرياضيات الفوقية للهندسة الإقليدية بشكل متقطع من عام 1926 حتى وفاته عام 1983، حيث بشّر كتابه "تارسكي" (1959) باهتمامه الناضج بهذا الموضوع. تُوّج عمل تارسكي وطلابه في الهندسة الإقليدية بكتاب "شوابهاوزر، شميلف، وتارسكي" (1983)، الذي عرض البديهيات العشر ومخطط البديهيات الموضح أدناه، والرياضيات الفوقية المرتبطة بها ، وجزءًا كبيرًا من الموضوع. وقدّم غوبتا (1965) إسهامات مهمة، ويتناول تارسكي وجيفانت (1999) تاريخ هذا المجال.

بديهيات الوساطة

هوية الوساطة

${\displaystyle Bxyx\rightarrow x=y.}$

النقطة الوحيدة على قطعة الخط${\displaystyle xx}$يكون${\displaystyle x}$نفسها.

بديهية عيد الفصح

${\displaystyle (Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).}$

مخطط بديهيات الاستمرارية

لتكن φ( x ) و ψ( y ) صيغتين من الدرجة الأولى لا تحتويان على حالات حرة لأي من a أو b . ولتكن أيضًا لا توجد حالات حرة لـ x في ψ( y ) أو لـ y في φ( x ). عندئذٍ، تكون جميع حالات المخطط التالي بديهيات:

${\displaystyle \left(\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\right)\rightarrow \exists b\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].}$

ليكن r شعاعًا طرفه a . ولتكن صيغتا الرتبة الأولى φ و ψ تُعرّفان مجموعتين جزئيتين X و Y من r ، بحيث تقع كل نقطة في Y على يمين كل نقطة في X (بالنسبة إلى a ). عندئذٍ، توجد نقطة b في r تقع بين X و Y. هذا في جوهره بناء قطع ديديكيند ، مُنفّذ بطريقة تتجنب التكميم على المجموعات.

لاحظ أن الصيغتين φ( x ) و ψ( y ) قد تحتويان على معاملات، أي متغيرات حرة تختلف عن a و b و x و y . وبالفعل، يمكن إثبات كل حالة من حالات مخطط البديهيات التي لا تحتوي على معاملات من البديهيات الأخرى. ^{[ 3 ]}

البعد الأدنى

${\displaystyle \exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].}$

توجد ثلاث نقاط غير متوازية. وبدون هذه البديهية، يمكن نمذجة النظرية بواسطة خط حقيقي أحادي البعد ، أو نقطة واحدة، أو حتى المجموعة الفارغة.

التطابق والوساطة

البعد العلوي

${\displaystyle (xu\equiv xv)\land (yu\equiv yv)\land (zu\equiv zv)\land (u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).}$

تشكل ثلاث نقاط متساوية البعد عن نقطتين مختلفتين خطاً مستقيماً. وبدون هذه البديهية، يمكن نمذجة النظرية باستخدام فضاء ثلاثي الأبعاد أو فضاء ذي أبعاد أعلى.

بديهية إقليدس

يمكن تقديم ثلاثة صيغ مختلفة لهذه البديهية، مُصنّفة أدناه بالرموز أ، ب، ج. وهي متكافئة فيما بينها بالنظر إلى بديهيات تارسكي المتبقية، بل ومكافئة لفرضية التوازي عند إقليدس .

أ :${\displaystyle ((Bxyw\land xy\equiv yw)\land (Bxuv\land xu\equiv uv)\land (Byuz\land yu\equiv uz))\rightarrow yz\equiv vw.}$

لنفترض أن قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ضلعين من أضلاع مثلث معين . ستكون هذه القطعة المستقيمة نصف طول الضلع الثالث. وهذا يكافئ أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي زاويتين قائمتين .

ب :${\displaystyle Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy\lor \exists a\,(xa\equiv ya\land xa\equiv za).}$

إذا كان لدينا أي مثلث ، فإنه يوجد دائرة تشمل جميع رؤوسه.

ج :${\displaystyle (Bxuv\land Byuz\land x\neq u)\rightarrow \exists a\,\exists b\,(Bxya\land Bxzb\land Bavb).}$

بالنظر إلى أي زاوية وأي نقطة v في داخلها، يوجد قطعة مستقيمة تشمل v ، مع نقطة نهاية على كل جانب من جوانب الزاوية.

لكل نوع ميزة على الأنواع الأخرى:

• يستغني عن المحددات الوجودية ؛
• يحتوي الخيار B على أقل عدد من المتغيرات والجمل الذرية ؛
• لا تتطلب لغة C سوى مفهوم أساسي واحد، وهو مفهوم الوساطة. وهذا هو الشكل المعتاد الوارد في الأدبيات.

خمسة أجزاء

${\displaystyle {(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu\equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.}$

ابدأ بمثلثين ، xuz و x'u'z '. ارسم القطعتين المستقيمتين yu و y'u'، بحيث تصل رأس كل مثلث بنقطة على الضلع المقابل له. والنتيجة هي مثلثان مقسومان، كل منهما مكون من خمس قطع مستقيمة. إذا كانت أربع قطع مستقيمة في أحد المثلثين متطابقة مع قطعة مستقيمة في المثلث الآخر، فإن القطع المستقيمة الخامسة في كلا المثلثين ستكون متطابقة.

هذا يُعادل قاعدة الضلع-الزاوية-الضلع لتحديد تطابق مثلثين؛ إذا كانت الزاويتان uxz و u'x'z'المثلثان متطابقان (يوجد مثلثان متطابقان xuz و x'u'z')ويكون زوجا الأضلاع المتقابلة متطابقين ( xu ≡ x'u') .و xz ≡ x'z')، ثم يكون الزوج المتبقي من الأضلاع متطابقًا أيضًا ( uz ≡ u'z' ).

بناء القطاعات

${\displaystyle \exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].}$

بالنسبة لأي نقطة y ، من الممكن رسم خط في أي اتجاه (يحدده x ) مطابق لأي قطعة مستقيمة ab .

بحسب تارسكي وجيفانت (1999: 192-193)، لا تُعدّ أيٌّ من البديهيات المذكورة أعلاه جديدةً جوهريًا. تُرسّخ البديهيات الأربع الأولى بعض الخصائص الأساسية للعلاقتين الأوليتين. فعلى سبيل المثال، تُثبت خاصيتا الانعكاسية والتعدي في التطابق أن التطابق علاقة تكافؤ على القطع المستقيمة. وتُحكم خاصية التطابق وخاصية الوساطة الحالةَ البسيطة عند تطبيق هاتين العلاقتين على نقاط غير متميزة. وتُعمّم النظرية xy ≡ zz ↔ x = y ↔ Bxyx بديهيات التطابق هذه.

يمكن استنتاج عدد من الخصائص الأخرى للوساطة كنظريات ^{[ 4 ]} بما في ذلك:

• الانعكاسية : Bxxy  ؛
• التناظر : Bxyz → Bzyx  ؛
• خاصية التعدي : ( Bxyw ∧ Byzw ) → Bxyz  ؛
• الاتصال : ( Bxyw ∧ Bxzw ) → ( Bxyz ∨ Bxzy ).

الخاصيتان الأخيرتان ترتبان النقاط المكونة لقطعة مستقيمة ترتيباً كاملاً .

تتطلب بديهيات البُعدين العلوي والسفلي معًا أن يكون لأي نموذج لهذه البديهيات بُعدٌ ثنائي، أي أننا نُؤَسِّس المستوى الإقليدي. تُؤدي التغييرات المناسبة في هذه البديهيات إلى مجموعات بديهيات للهندسة الإقليدية للأبعاد 0 و1 وأكبر من 2 (تارسكي وجيفانت 1999: البديهيات 8 ( ¹⁾ ، 8 ^(ن) ، 9 ^{(0) ، 9 (1)} ، 9 ^(ن) ). تجدر الإشارة إلى أن الهندسة الفراغية لا تتطلب بديهيات جديدة، على عكس بديهيات هيلبرت . علاوة على ذلك، فإن البُعد السفلي للأبعاد n هو ببساطة نفي البُعد العلوي للأبعاد n - 1.

عندما يكون عدد الأبعاد أكبر من 1، يمكن تعريف الوساطة من حيث التطابق (تارسكي وجيفانت، 1999). أولاً، حدد العلاقة "≤" (حيث${\displaystyle ab\leq cd}$يُفسر ذلك بأنه "طول القطعة المستقيمة".${\displaystyle ab}$أقل من أو يساوي طول القطعة المستقيمة${\displaystyle cd}$"):

${\displaystyle xy\leq zu\leftrightarrow \forall v(zv\equiv uv\rightarrow \exists w(xw\equiv yw\land yw\equiv uv)).}$

في حالة البعدين، يكون التفسير كما يلي: لأي قطعة مستقيمة xy ، نأخذ في الاعتبار نطاق الأطوال الممكنة لـ xv ، حيث v أي نقطة على المنصف العمودي لـ xy . من الواضح أنه بينما لا يوجد حد أعلى لطول xv ، يوجد حد أدنى، ويتحقق عندما تكون v نقطة المنتصف لـ xy . لذا، إذا كان xy أقصر من أو يساوي zu ، فإن نطاق الأطوال الممكنة لـ xv سيكون مجموعة شاملة لنطاق الأطوال الممكنة لـ zw ، حيث w أي نقطة على المنصف العمودي لـ zu .

ويمكن تعريف مفهوم الوساطة باستخدام الحدس القائل بأن أقصر مسافة بين أي نقطتين هي خط مستقيم:

${\displaystyle Bxyz\leftrightarrow \forall u((ux\leq xy\land uz\leq zy)\rightarrow u=y).}$

يضمن مخطط بديهية الاستمرارية اكتمال ترتيب النقاط على خط مستقيم (بالنسبة للخصائص القابلة للتعريف من الدرجة الأولى). وكما أشار تارسكي، يمكن استبدال مخطط بديهية الدرجة الأولى هذا ببديهية استمرارية أكثر قوة من الدرجة الثانية إذا سُمح للمتغيرات بالإشارة إلى مجموعات نقاط عشوائية. النظام الناتج من الدرجة الثانية مكافئ لمجموعة بديهيات هيلبرت (تارسكي وجيفانت، 1999).

بديهيات باش وإقليدس معروفة جيدًا. تُتيح بديهية إنشاء القطعة المستقيمة إمكانية القياس ونظام الإحداثيات الديكارتية - ببساطة، نُسند الطول 1 إلى أي قطعة مستقيمة غير فارغة. في الواقع، يُبين (شوابهاوزر، 1983) أنه بتحديد نقطتين مميزتين على خط مستقيم، نُسميهما 0 و1، يُمكننا تعريف الجمع والضرب والترتيب، مما يُحوّل مجموعة النقاط على ذلك الخط إلى حقل حقيقي مغلق مرتب . بعد ذلك، يُمكننا إدخال إحداثيات من هذا الحقل، مُبينين أن كل نموذج من بديهيات تارسكي مُتماثل مع المستوى ثنائي الأبعاد فوق حقل حقيقي مغلق مرتب.

يمكن تعريف المفاهيم الهندسية القياسية للتوازي وتقاطع الخطوط (حيث يتم تمثيل الخطوط بنقطتين متميزتين عليها)، والزوايا القائمة، وتطابق الزوايا، وتشابه المثلثات، وتماس الخطوط والدوائر (الممثلة بنقطة مركزية ونصف قطر) في نظام تارسكي.

لنفترض أن wff ترمز إلى صيغة سليمة (أو صيغة صحيحة نحويًا من الدرجة الأولى) في نظام تارسكي. وقد أثبت تارسكي وجيفانت (1999: 175) أن نظام تارسكي هو:

• متسق : لا توجد صيغة منطقية يمكن إثباتها ونفيها من البديهيات؛
• كامل : كل صيغة منطقية أو نفيها هي نظرية قابلة للإثبات من البديهيات؛
• قابل للتقرير : توجد خوارزمية تُقرر لكل صيغة منطقية ما إذا كانت قابلة للإثبات أو النفي بناءً على البديهيات. وهذا يتبع من نظرية تارسكي:
  • إجراء اتخاذ القرار للحقل المغلق الحقيقي ، والذي وجده عن طريق حذف الكميات ( نظرية تارسكي-سيدنبرغ )؛
  • البديهيات التي تسمح بالتمثيل المذكور أعلاه كمستوى ثنائي الأبعاد فوق حقل مغلق حقيقي .

يترتب على ذلك أن كل عبارة في الهندسة الإقليدية (من الدرجة الثانية، العامة) التي يمكن صياغتها كجملة من الدرجة الأولى في نظام تارسكي تكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت قابلة للإثبات في نظام تارسكي، ويمكن التحقق من هذه القابلية للإثبات تلقائيًا باستخدام خوارزمية تارسكي. ينطبق هذا، على سبيل المثال، على جميع النظريات في كتاب العناصر لإقليدس ، الكتاب  الأول. ومن الأمثلة على نظريات الهندسة الإقليدية التي لا يمكن صياغتها بهذه الطريقة خاصية أرخميدس : لكل قطعتين مستقيمتين موجبتين _S1 و S2 ، _يوجد عدد طبيعي n بحيث يكون nS1 أطول من S2 . (هذه نتيجة لوجود حقول حقيقية مغلقة تحتوي على متناهية الصغر. ^{[ 5 ]} _{) ومن} المفاهيم الأخرى التي لا يمكن التعبير عنها في نظام تارسكي إمكانية الإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار، _{والعبارات} التي تتحدث عن "جميع المضلعات" وما إلى ذلك. ^{[ 6 ]}

أثبت غوبتا (1965) أن بديهيات تارسكي مستقلة، باستثناء بديهية باش وانعكاسية التطابق .

يؤدي نفي بديهية إقليدس إلى الهندسة الزائدية ، بينما يؤدي حذفها تمامًا إلى الهندسة المطلقة . تتطلب الهندسة الإقليدية الكاملة (على عكس الهندسة الإقليدية الأولية) التخلي عن بديهية من الدرجة الأولى: استبدال φ( x ) و ψ( y ) في مخطط بديهية الاستمرارية بـ x ∈ A و y ∈ B ، حيث A و B متغيرات كمية شاملة تمتد على مجموعات من النقاط.

تم تقديم تبسيطات إضافية للجزء الذي يصف الهندسة الإقليدية المستوية لإنشاءات المسطرة وناقلات القطع المستقيمة، وكذلك لإنشاءات المسطرة والفرجار، في (بامبوكيان 2024). كل بديهية من بديهيات أنظمة البديهيات المعروضة هناك هي عبارة سابقة تحتوي على 5 متغيرات على الأكثر.

يبلغ عدد بديهيات هيلبرت للهندسة المستوية 16 بديهية، وتشمل خاصية التعدي في التطابق وصيغة معدلة من بديهية باش. المفهوم الوحيد من الهندسة البديهية المُستخدَم في ملاحظات بديهيات تارسكي هو المثلث. (تشير الصيغتان ب وج من بديهية إقليدس إلى "الدائرة" و"الزاوية" على التوالي). تتطلب بديهيات هيلبرت أيضًا "الشعاع" و"الزاوية" ومفهوم المثلث "الذي يشمل" زاوية. بالإضافة إلى خاصية التوسط والتطابق، تتطلب بديهيات هيلبرت علاقة ثنائية أساسية "على"، تربط بين نقطة وخط.

يستخدم هيلبرت بديهيتين للاستمرارية، وهما تتطلبان منطقًا من الدرجة الثانية . في المقابل، يتألف مخطط بديهيات الاستمرارية عند تارسكي من عدد لا نهائي من بديهيات الدرجة الأولى. هذا المخطط ضروري؛ إذ لا يمكن صياغة الهندسة الإقليدية بلغة تارسكي (أو ما يعادلها) بشكل نهائي كنظرية من الدرجة الأولى .

لذلك فإن نظام هيلبرت أقوى بكثير: كل نموذج متماثل مع المستوى الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(باستخدام المفاهيم القياسية للنقاط والخطوط). في المقابل، يحتوي نظام تارسكي على العديد من النماذج غير المتماثلة: لكل حقل مغلق حقيقي F ، يوفر المستوى F ² نموذجًا واحدًا من هذه النماذج (حيث يتم تعريف الوساطة والتطابق بطريقة واضحة). ^{[ 7 ]}

يمكن تفسير المجموعات الأربع الأولى من بديهيات بديهيات هيلبرت للهندسة المستوية تفسيراً ثنائياً مع بديهيات تارسكي باستثناء الاستمرارية.

• الهندسة الإقليدية
• الفضاء الإقليدي
• بديهيات هيلبرت
• بديهيات بيركوف

• فرانزين، توركيل (2005)، نظرية غودل: دليل غير مكتمل لاستخدامها وإساءة استخدامها ، إيه كيه بيترز، رقم ISBN 1-56881-238-8
• جيفانت، ستيفن (1 ديسمبر 1999). "الخيوط الموحدة في أعمال ألفريد تارسكي" . مجلة الرياضيات الذكية . 21 (1): 47-58 . doi : 10.1007/BF03024832 . ISSN 1866-7414 . S2CID 119716413 .  
• غرينبيرغ، مارفن جاي (2010). "نتائج قديمة وجديدة في أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية المستوية الأولية" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 117 (3): 198. doi : 10.4169/000298910x480063 .
• غوبتا، إتش إن (1965). مساهمات في الأسس البديهية للهندسة (أطروحة دكتوراه). جامعة كاليفورنيا - بيركلي.
• تارسكي، ألفريد (1959)، "ما هي الهندسة الابتدائية؟"، في ليون هينكين، وباتريك سوبس، وألفريد تارسكي (محررون)، المنهج البديهي. مع إشارة خاصة إلى الهندسة والفيزياء. وقائع ندوة دولية عُقدت في جامعة كاليفورنيا، بيركلي، 26 ديسمبر 1957 - 4 يناير 1958 ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، أمستردام: نورث هولاند، ص 16-29 ، MR 0106185  .
  • متوفر كطبعة معاد طباعتها عام 2007 ، دار نشر بروير، رقم ISBN 1-4437-2812-8
• تارسكي، ألفريد ؛ جيفانت، ستيفن (1999)، "نظام تارسكي للهندسة" ، نشرة المنطق الرمزي ، 5 (2): 175-214 ، CiteSeerX 10.1.1.27.9012 ، doi : 10.2307/421089 ، ISSN 1079-8986 ، JSTOR 421089 ، MR 1791303 ، S2CID 18551419     
• شوابهاوسر، دبليو؛ سميليو، دبليو ؛ تارسكي ، ألفريد (1983). Metamathematish Methoden in der Geometrie . سبرينغر-فيرلاغ.
• Szczerba, LW (1986). "Tarski and Geometry" ( ملف PDF) . مجلة المنطق الرمزي . 51 (4): 907–12 . doi : 10.2307/2273904 . JSTOR 2273904. S2CID 35275962 .  
• بامبوكيان، ف. (2024). "درجة بساطة هندسة تارسكي الإقليدية للمسطرة والفرجار هي 5" . نتائج في الرياضيات . 79 (4): 1-26 . doi : 10.1007/s00025-024-02186-4 .