الهندسة المطلقة
| الهندسة |
|---|
 |
| Geometers |
الهندسة المطلقة هي هندسة تعتمد على نظام بديهي للهندسة الإقليدية بدون مسلمة التوازي أو أي من بدائلها. تقليديًا، كان هذا يعني استخدام أول أربع مسلمات لإقليدس فقط . [1] تم تقديم المصطلح بواسطة يانوس بولياي في عام 1832. [2] يُشار إليها أحيانًا باسم الهندسة المحايدة ، [3] لأنها محايدة فيما يتعلق بمسلمة التوازي. تعتبر أول أربع مسلمات لإقليدس الآن غير كافية كأساس للهندسة الإقليدية، لذلك يتم استخدام أنظمة أخرى (مثل مسلمات هيلبرت بدون مسلمة التوازي) بدلاً من ذلك. [4]
ملكيات
في كتاب عناصر إقليدس ، تتجنب أول 28 قضية والقضية 31 استخدام فرضية التوازي، وبالتالي فهي صالحة في الهندسة المطلقة. يمكن للمرء أيضًا إثبات نظرية الزاوية الخارجية (الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من أي من الزاويتين البعيدتين)، بالإضافة إلى نظرية ساكيري-ليجيندر ، التي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث لا يزيد عن 180 درجة. [5]
الاقتراح 31 هو إنشاء خط موازٍ لخط معين يمر عبر نقطة ليست على الخط المعطى. [6] نظرًا لأن الإثبات يتطلب فقط استخدام الاقتراح 27 (نظرية الزاوية الداخلية المتبادلة)، فهو بناء صالح في الهندسة المطلقة. بتعبير أدق، نظرًا لأي خط l وأي نقطة P ليست على l ، يوجد على الأقل خط واحد يمر عبر P موازٍ لـ l . يمكن إثبات ذلك باستخدام بناء مألوف: نظرًا لوجود خط l ونقطة P ليست على l ، أسقط العمود m من P إلى l ، ثم أنشئ عموديًا n على m عبر P. وفقًا لنظرية الزاوية الداخلية المتبادلة، فإن l موازية لـ n . (تنص نظرية الزاوية الداخلية المتبادلة على أنه إذا قطع الخطان a و b بواسطة قاطع t بحيث يوجد زوج من الزوايا الداخلية المتبادلة المتطابقة، فإن a و b متوازيان.) لا يعتمد البناء السابق ونظرية الزاوية الداخلية المتبادلة على فرضية التوازي وبالتالي فهي صالحة في الهندسة المطلقة. [7]
في الهندسة المطلقة، من الممكن أيضًا إثبات أن خطين عموديين على نفس الخط لا يمكن أن يتقاطعا [8] (وهو ما يجعل الخطين متوازيين بحكم تعريف الخطوط المتوازية)، مما يثبت أن زوايا قمة رباعي ساكيري لا يمكن أن تكون منفرجة ، وأن الهندسة الكروية ليست هندسة مطلقة.
العلاقة مع الهندسة الأخرى
تنطبق نظريات الهندسة المطلقة على الهندسة الزائدية ، وهي هندسة غير إقليدية ، وكذلك على الهندسة الإقليدية . [9]
الهندسة المطلقة غير متسقة مع الهندسة الإهليلجية : في تلك النظرية، لا توجد خطوط متوازية على الإطلاق، ولكن من مبرهنات الهندسة المطلقة أن الخطوط المتوازية موجودة بالفعل. ومع ذلك، من الممكن تعديل نظام البديهيات بحيث تتضمن الهندسة المطلقة، كما هو محدد بواسطة النظام المعدل، هندسة كروية وإهليلجية ليس لها خطوط متوازية. [10]
الهندسة المطلقة هي امتداد للهندسة المرتبة ، وبالتالي، فإن جميع النظريات في الهندسة المرتبة صحيحة في الهندسة المطلقة. والعكس ليس صحيحًا. تفترض الهندسة المطلقة أول أربع من بديهيات إقليدس (أو ما يعادلها)، لتتناقض مع الهندسة التآلفية ، والتي لا تفترض البديهيتين الثالثة والرابعة لإقليدس. (3: "لوصف دائرة بأي مركز ونصف قطر مسافة "، 4: "أن جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض"). الهندسة المرتبة هي أساس مشترك لكل من الهندسة المطلقة والتآلفية. [11]
تم تطوير هندسة النسبية الخاصة بدءًا من تسعة بديهيات وإحدى عشر اقتراحًا للهندسة المطلقة. [ 12 ] [13] ثم انتقل المؤلفان إدوين ب. ويلسون وجيلبرت ن. لويس إلى ما هو أبعد من الهندسة المطلقة عندما قدما الدوران الزائدي كتحويل يربط بين إطارين مرجعيين .
طائرات هيلبرت
المستوى الذي يلبي مسلمات هيلبرت في الوقوع والوسطية والتطابق يسمى مستوى هيلبرت . [ 14] مستويات هيلبرت هي نماذج للهندسة المطلقة. [15 ]
عدم الإكتمال
الهندسة المطلقة هي نظام بديهي غير مكتمل ، بمعنى أنه يمكن للمرء أن يضيف بديهيات مستقلة إضافية دون جعل نظام البديهيات غير متسق. يمكن للمرء أن يوسع الهندسة المطلقة عن طريق إضافة بديهيات مختلفة حول الخطوط المتوازية والحصول على أنظمة بديهية غير متوافقة متبادلة ولكنها متسقة داخليًا، مما يؤدي إلى ظهور الهندسة الإقليدية أو الزائدية. وبالتالي فإن كل نظرية في الهندسة المطلقة هي نظرية في الهندسة الزائدية والهندسة الإقليدية. ومع ذلك فإن العكس ليس صحيحًا.
انظر أيضا
ملحوظات
- ^ فابر 1983، ص 131
- ^ في " الملحق الذي يعرض العلم المطلق للفضاء: بغض النظر عن صحة أو زيف البديهية الحادية عشرة لإقليدس (لم يتم تحديدها مسبقًا بأي حال من الأحوال) " (فابر 1983، ص 161)
- ^ يستشهد جرينبيرج بـ W. Prenowitz و M. Jordan (جرينبيرج، ص. xvi) لاستخدامهما مصطلح الهندسة المحايدة للإشارة إلى ذلك الجزء من الهندسة الإقليدية الذي لا يعتمد على فرضية التوازي لإقليدس. ويقول إن كلمة مطلق في الهندسة المطلقة توحي بشكل مضلل بأن جميع الأشكال الهندسية الأخرى تعتمد عليها.
- ^ فابر 1983، ص 131
- ^ نرى عدم توافق الهندسة المطلقة مع الهندسة الإهليلجية، لأنه في النظرية الأخيرة يكون مجموع زوايا جميع المثلثات أكبر من 180 درجة.
- ^ فابر 1983، ص 296
- ^ جرينبيرج 2007، ص 163
- ^ فاين وآخرون. 2022، النتيجة 1.8، ص 11.
- ^ في الواقع، الهندسة المطلقة هي في الواقع تقاطع الهندسة الزائدية والهندسة الإقليدية عندما يتم النظر إليها كمجموعات من القضايا.
- ^ Ewald, G. (1971)، الهندسة: مقدمة ، وادزورث
- ^ كوكستر 1969، ص 175-176
- ^ Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
- ^ [1]، ملخص للمبادئ الأساسية المستخدمة، والنظريات التي أثبتها ويلسون ولويس. محفوظ بواسطة Wayback Machine
- ^ هارتشورن 2005، ص 97
- ^ جرينبيرج 2010، ص 200
مراجع
- كوكستر، إتش إس إم (1969)، مقدمة في الهندسة (الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده
- فابر، ريتشارد ل. (1983)، أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، نيويورك: مارسيل ديكر، ISBN 0-8247-1748-1
- حسنًا يا بنيامين. مولدنهاور، أنجا؛ روزنبرجر، غيرهارد. شورنبيرج، أنيكا؛ وينكي ، ليونارد (2022)، الهندسة والرياضيات المنفصلة: مجموعة مختارة من النقاط البارزة ، كتب دي جرويتر (الطبعة الثانية)، والتر دي جرويتر، ISBN 9783110740783
- جرينبرج، مارفن جاي (2007)، الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية: التطور والتاريخ (الطبعة الرابعة)، نيويورك: دبليو إتش فريمان، ISBN 0-7167-9948-0
- جرينبرج، مارفن جاي (2010)، "النتائج القديمة والجديدة في أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية المستوية الأولية" (PDF) ، مجلة الرابطة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 117 : 198-219
- هارتشورن، روبن (2005)، الهندسة: إقليدس وما بعده ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-98650-2
- بامبوكاين، فيكتور، بديهيات الهندسة الزائدية والمطلقة ، في: الهندسة غير الإقليدية (أ. بريكوپا وإي. مولنار، المحرران). المجلد التذكاري لجانس بولياي. أوراق من المؤتمر الدولي حول الهندسة الزائدية، بودابست، المجر، 6-12 يوليو 2002. نيويورك، نيويورك: سبرينغر، 119-153، 2006.
روابط خارجية
الوسائط المتعلقة بالهندسة المطلقة في ويكيميديا كومنز- وايسشتاين، إريك دبليو. "الهندسة المطلقة". MathWorld .
