بهاسكارا ٢

يتألف القسم الأول ، ليلافاتي (المعروف أيضًا باسم باتيغانيتا أو أنكاغانيتا )، والذي سُمّي على اسم ابنته، من 277 بيتًا شعريًا. ^{[ 14 ]} ويتناول هذا القسم الحسابات، والمتواليات، والقياس ، والتباديل، ومواضيع أخرى. ^{[ 14 ]}

يتألف القسم الثاني، بيجاغانيتا (الجبر)، من 213 بيتًا شعريًا. ^{[ 14 ]} ويتناول هذا القسم الصفر، واللانهاية، والأعداد الموجبة والسالبة، والمعادلات غير المحددة، بما في ذلك معادلة بيل (التي تُعرف الآن باسم معادلة بيل) ، وحلها باستخدام طريقة كوتاكا . ^{[ 14 ]} وعلى وجه الخصوص، قام أيضًا بحل...${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$قضية استعصت على فيرما ومعاصريه الأوروبيين بعد قرون.

في القسم الثالث، غراهاغانيتا ، أثناء تناوله لحركة الكواكب، نظر في سرعاتها اللحظية. ويتألف من 451 بيتاً شعرياً.

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$ل.

${\displaystyle y'}$بالقرب من${\displaystyle y}$يمكن تفسير ذلك على أنه اكتشاف أن جيب التمام هو مشتق الجيب، على الرغم من أنه لم يطور مفهوم المشتقة. ^{[ 20 ]}

بكلماته: ^{[ 21 ]}

بيمباردهاسيا كوتيجيا غوناستريجياهارا فالام دورجيايورانترام

وقد لوحظت هذه النتيجة أيضًا في وقت سابق من قبل مونجالاشاريا (أو مانجولاشاريا) ماناسام، في سياق جدول الجيوب. ^{[ 21 ]}

وذكر بهاسكارا أيضًا أن السرعة اللحظية للكوكب عند أعلى نقطة له تساوي صفرًا. ^{[ 21 ]}

يغطي نص بهاسكارا الحسابي Līlāvatī مواضيع التعريفات والمصطلحات الحسابية وحساب الفائدة والمتتابعات الحسابية والهندسية والهندسة المستوية والهندسة الفراغية وظل المزولة وطرق حل المعادلات غير المحددة والتركيبات .

ينقسم كتاب ليلافاتي إلى 13 فصلاً، ويغطي العديد من فروع الرياضيات، كالحساب والجبر والهندسة، بالإضافة إلى القليل من حساب المثلثات والقياس. وتشمل محتوياته تحديداً ما يلي:

• التعريفات.
• خصائص الصفر (بما في ذلك القسمة ، وقواعد العمليات مع الصفر).
• المزيد من العمل العددي المكثف، بما في ذلك استخدام الأعداد السالبة والجذور الصماء .
• تقدير قيمة π .
• المصطلحات الحسابية، وطرق الضرب ، والتربيع .
• قاعدة عكسية للثلاثة ، وقواعد 3 و5 و7 و9 و11.
• مسائل تتعلق بالفائدة وحساب الفائدة.
• المعادلات غير المحددة ( كوتاكا )، والحلول الصحيحة (من الرتبة الأولى والثانية). تُعدّ إسهاماته في هذا المجال بالغة الأهمية، إذ إنّ القواعد التي وضعها تُطابق (في جوهرها) تلك التي وضعها علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة في القرن السابع عشر، على الرغم من أنّ عمله يعود إلى القرن الثاني عشر. وقد مثّلت طريقة بهاسكارا في الحل تحسينًا للطرق التي وُجدت في أعمال أريابهاتا وعلماء الرياضيات اللاحقين.

يتميز عمله بتنظيمه المنهجي، وأساليبه المحسّنة، والمواضيع الجديدة التي أدخلها. علاوة على ذلك، احتوى كتاب "ليلافاتي " على مسائل ممتازة، ويُعتقد أن بهاسكارا ربما كان يقصد أن يهتم دارس "ليلافاتي" بالتطبيق العملي للمنهج.

كان كتابه " بيجاغانيتا " ( الجبر ) مؤلفًا من اثني عشر فصلًا. وكان أول نص يُقر بأن للعدد الموجب جذرين تربيعيين (جذر تربيعي موجب وجذر تربيعي سالب). ^{[ 27 ]} يُعد كتابه "بيجاغانيتا" في جوهره رسالة في الجبر، ويتضمن المواضيع التالية:

• الأعداد الموجبة والسالبة .
• المجهول (يشمل تحديد الكميات المجهولة).
• تحديد الكميات المجهولة.
• الجذور الصماء (بما في ذلك تقييم الجذور الصماء وجذورها التربيعية).
• كوتاكا (لحل المعادلات غير المحددة والمعادلات الديوفانتية ).
• المعادلات البسيطة (غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة والرابعة).
• معادلات بسيطة تحتوي على أكثر من مجهول واحد.
• المعادلات التربيعية غير المحددة (من النوع ax ² + b = y ² ).
• حلول المعادلات غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة والرابعة.
• المعادلات التربيعية.
• المعادلات التربيعية التي تحتوي على أكثر من مجهول.
• عمليات تتضمن منتجات ذات عدة عناصر مجهولة.

اشتق بهاسكارا طريقة تشاكرافالا الدورية لحل المعادلات التربيعية غير المحددة من الشكل ax² ⁺ bx + c = y. ^{[ 27 ]} وتُعد طريقة بهاسكارا لإيجاد حلول المسألة Nx² ⁺ 1 = y² ⁽ المعروفة باسم " معادلة بيل ") ذات أهمية بالغة. ^{[ 23 ]}

يُظهر كتاب "سيدانتا شيروماني " (الذي كُتب عام 1150) معرفة بهاسكارا بعلم المثلثات، بما في ذلك جدول الجيب والعلاقات بين الدوال المثلثية المختلفة. كما طوّر علم المثلثات الكروية ، إلى جانب نتائج مثلثية أخرى مثيرة للاهتمام . وعلى وجه الخصوص، بدا بهاسكارا أكثر اهتمامًا بعلم المثلثات لذاته من أسلافه الذين رأوا فيه مجرد أداة للحساب. ومن بين النتائج العديدة المثيرة للاهتمام التي قدمها بهاسكارا، نجد في أعماله حساب جيوب الزوايا التي تبلغ 18 و36 درجة، والصيغ المعروفة الآن لـ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$و${\displaystyle \sin \left(ab\right)}$.

تشير الأدلة إلى أن بهاسكارا كان على دراية ببعض الأفكار الأولية لحساب التفاضل والتكامل، وابتكر طريقة للتعامل مع الكميات المتناهية الصغر المطبقة على علم المثلثات. ^{[ 25 ]} يوجد دليل على شكل مبكر لنظرية رول في أعماله، على الرغم من أنها ذُكرت دون برهان رسمي حديث. ^{[ 28 ]} في أعماله الفلكية، يقدم بهاسكارا نتيجة تبدو وكأنها مقدمة لأساليب الكميات المتناهية الصغر: إذا${\displaystyle x\approx y}$ثم${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (yx)\cos(y)}$يمكن تفسير ذلك على أنه اكتشاف أن جيب التمام هو مشتق الجيب، على الرغم من أنه لم يطور مفهوم المشتقة. ^{[ 20 ]} في أعماله، توجد آثار لحالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة. وقد صاغ باراميشوارا صيغة القيمة المتوسطة للاستيفاء العكسي للجيب لاحقًا في القرن الخامس عشر في كتاب ليلافاتي بهاسيا ، وهو شرح لكتاب ليلافاتي لبهاسكارا . ^{[ 26 ]}

ذكر العديد من المؤلفين أن بهاسكارا الثاني برهن على نظرية فيثاغورس برسم مخطط وتقديم كلمة واحدة هي "انظر!". ^{[ 35 ] [ 36 ]} أحيانًا يُحذف اسم بهاسكارا ويُشار إلى هذا باسم البرهان الهندوسي ، وهو معروف جيدًا لدى تلاميذ المدارس. ^{[ 37 ]}

ومع ذلك، خصص بهاسكارا الثاني في كتابه "بيجاغانيتا" بيتين شعريين وشروح نثرية تليهما لشرح البراهين. ^{[ 38 ]}

يعلق المؤرخ الرياضي كيم بلوفكر قائلاً:

من المفترض أن تكون هذه الآيات هي المصدر النهائي للأسطورة المنتشرة على نطاق واسع ... ^{[ 39 ]}

ليس من الواضح تحديدًا أي جزء من هذه الآيات كانت تقصده. لكن التعليق النثري الذي يلي الآية الأخيرة ينتهي على النحو التالي:

وإلا، فعندما يضع المرء تلك الأجزاء من الشكل هناك، فإن مجرد رؤيتها يكفي. ^{[ 39 ]}

• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Takao Hayashi, Bījagaṇita of Bhāskara, SCIAMVS 10 (2009), 3—301
• Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Mazur, Joseph (2005), Euclid in the Rainforest, Plume, ISBN 978-0-452-28783-9
• Sarkār, Benoy Kumar (1918), Hindu achievements in exact science: a study in the history of scientific development, Longmans, Green and co.
• Seal, Sir Brajendranath (1915), The positive sciences of the ancient Hindus, Longmans, Green and co.
• Colebrooke, Henry T. (1817), Arithmetic and mensuration of Brahmegupta and Bhaskara
• وايت، لين تاونسند (1978)، "التبت والهند وماليزيا كمصادر للتكنولوجيا الغربية في العصور الوسطى"، الدين والتكنولوجيا في العصور الوسطى: مقالات مختارة ، مطبعة جامعة كاليفورنيا، رقم ISBN 978-0-520-03566-9
• سيلين، هيلين ، محررة (2008)، "الأدوات الفلكية في الهند"، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية (الطبعة الثانية) ، سبرينغر فيرلاغ نيويورك، ISBN 978-1-4020-4559-2
• شوكلا، كريبا شانكار ( 1984)، "استخدام حساب التفاضل والتكامل في الرياضيات الهندوسية"، المجلة الهندية لتاريخ العلوم ، 19 : 95-104
• بينغري، ديفيد إدوين (1970)، إحصاء العلوم الدقيقة باللغة السنسكريتية ، المجلد  146، الجمعية الفلسفية الأمريكية، رقم ISBN 9780871691460
• بلوفكر، كيم (2007)، "الرياضيات في الهند"، في كاتز، فيكتور ج. (محرر)، رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي ، مطبعة جامعة برينستون، ISBN 9780691114859
• بلوفكر، كيم (2009)، الرياضيات في الهند ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9780691120676
• كوك، روجر (1997)، "رياضيات الهندوس" ، تاريخ الرياضيات: دورة موجزة ، وايلي-إنترساينس، ص 213-215 ، رقم ISBN  0-471-18082-3
• Poulose, KG (1991), KG Poulose (ed.)، التراث العلمي للهند، الرياضيات ، Ravivarma Samskr̥ta Granthāvali، المجلد.  22، حكومي. الكلية السنسكريتية (تريبونيثورا، الهند)
• تشوبرا، بران ناث (1982)، أديان ومجتمعات الهند ، دار فيجن بوكس ​​للنشر، رقم ISBN 978-0-85692-081-3
• غوناتيلك، سوزانثا (1999)، نحو علم عالمي: استخراج المعرفة الحضارية ، مطبعة جامعة إنديانا، ISBN 978-0-253-21182-8
• سيلين، هيلين ؛ دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران (2001)، "الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية"، العلوم عبر الثقافات ، المجلد  2، سبرينغر، ISBN 978-1-4020-0260-1
• ستيلويل، جون (2002)، الرياضيات وتاريخها، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-95336-6
• ساهني، مادهو (2019)، أصول تدريس الرياضيات ، دار نشر فيكاس، رقم ISBN 978-9353383275