نظرية المجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل

تُستخدم الفئات في عدة تطبيقات في NBG:

• إنها تُنتج صياغة بديهية محدودة لنظرية المجموعات. ^{[ 4 ]}
• تُستخدم هذه العبارات لصياغة "صيغة قوية جدًا لمسلمة الاختيار " ^{[ 5 ]} ، وهي مسلمة الاختيار الشامل : توجد دالة اختيار شاملة${\displaystyle G}$معرفة على فئة جميع المجموعات غير الفارغة بحيث${\displaystyle G(x)\in x}$لكل مجموعة غير فارغة${\displaystyle x.}$هذا أقوى من بديهية الاختيار في ZFC: لكل مجموعة${\displaystyle s}$من بين المجموعات غير الفارغة، توجد دالة اختيار${\displaystyle f}$محدد في${\displaystyle s}$بحيث${\displaystyle f(x)\in x}$للجميع${\displaystyle x\in s.}$^{[ أ ]}
• تُعالج مفارقات نظرية المجموعات من خلال إدراك أن بعض الفئات لا يمكن أن تكون مجموعات. على سبيل المثال، لنفترض أن الفئة${\displaystyle Ord}$جميع الأعداد الترتيبية هي مجموعة. إذن${\displaystyle Ord}$هي مجموعة متعدية مرتبة ترتيبًا جيدًا بواسطة${\displaystyle \in }$إذن، بحسب التعريف،${\displaystyle Ord}$هو عدد ترتيبي. لذا،${\displaystyle Ord\in Ord}$وهذا يتناقض مع${\displaystyle \in }$كونه ترتيبًا جيدًا لـ${\displaystyle Ord.}$لذلك،${\displaystyle Ord}$ليست مجموعة. يُطلق على الفئة التي لا تُمثل مجموعة اسم فئة حقيقية .${\displaystyle Ord}$هو فئة مناسبة. ^{[ 6 ]}
• تُعدّ الفئات المناسبة مفيدة في عمليات البناء. ففي برهانه على الاتساق النسبي لبديهية الاختيار الشامل وفرضية الاستمرارية المعممة ، استخدم غودل الفئات المناسبة لبناء الكون القابل للبناء . وقد بنى دالة على فئة جميع الأعداد الترتيبية، بحيث تقوم هذه الدالة، لكل عدد ترتيبي، ببناء مجموعة قابلة للبناء من خلال تطبيق عملية بناء مجموعات على مجموعات تم بناؤها مسبقًا. والكون القابل للبناء هو صورة هذه الدالة. ^{[ 7 ]}

بمجرد إضافة الفئات إلى لغة ZFC، يصبح من السهل تحويل ZFC إلى نظرية مجموعات مع فئات. أولًا، تُضاف مسودة فهم الفئات. تنص هذه المسودة على ما يلي: لكل صيغة${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$التي تُحدد الكميات فقط على المجموعات، يوجد صنف${\displaystyle A}$يتألف من${\displaystyle n}$- مجموعات تحقق الصيغة - أي${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$ثم يُستبدل مخطط البديهيات الخاص بالاستبدال ببديهية واحدة تستخدم فئة. وأخيرًا، تُعدّل بديهية التمديد في ZFC للتعامل مع الفئات: إذا احتوت فئتان على نفس العناصر، فهما متطابقتان. أما البديهيات الأخرى في ZFC فلا تُعدّل. ^{[ 8 ]}

هذه النظرية ليست ذات بديهيات نهائية. تم استبدال مخطط الاستبدال الخاص بـ ZFC ببديهية واحدة، ولكن تم تقديم مخطط بديهيات فهم الفئات.

لإنتاج نظرية ذات عدد محدود من البديهيات، يُستبدل مخطط بديهيات فهم الأصناف أولًا بعدد محدود من بديهيات وجود الأصناف . ثم تُستخدم هذه البديهيات لإثبات نظرية وجود الأصناف، التي تستلزم وجود كل حالة من حالات مخطط البديهيات. ^{[ 8 ]} يتطلب إثبات هذه النظرية سبع بديهيات فقط لوجود الأصناف، تُستخدم لتحويل بناء الصيغة إلى بناء صنف يحقق تلك الصيغة.

يحتوي نظام NBG على نوعين من الكائنات: الأصناف والمجموعات. وبشكل بديهي، كل مجموعة هي أيضًا صنف. هناك طريقتان لوضع هذه البديهيات. استخدم بيرنايز منطقًا متعدد الأصناف بنوعين: الأصناف والمجموعات. ^{[ 2 ]} تجنب غودل الأصناف من خلال تقديم المسندات الأولية:${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ل "${\displaystyle A}$هو فئة" و${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ل "${\displaystyle A}$هي مجموعة" (بالألمانية، "مجموعة" هي Menge ). كما قدم بديهيات تنص على أن كل مجموعة هي فئة، وأنه إذا كانت الفئة${\displaystyle A}$إذا كان عضواً في فئة، فـ${\displaystyle A}$هي مجموعة. ^{[ 9 ]} يُعد استخدام المسندات الطريقة القياسية للتخلص من عمليات الفرز. قام إليوت مندلسون بتعديل منهج غودل بجعل كل شيء فئة وتحديد مسند المجموعة.${\displaystyle M(A)}$مثل${\displaystyle \exists C(A\in C).}$^{[ 10 ]} هذا التعديل يلغي مسند غودل الصنفي ومسلماته الاثنين.

قد يبدو نهج بيرنايز ثنائي التصنيف أكثر طبيعيةً في البداية، ولكنه يُنشئ نظريةً أكثر تعقيدًا. ^{[ ب ]} في نظرية بيرنايز، لكل مجموعة تمثيلان: أحدهما كمجموعة والآخر كفئة. كما توجد علاقتان للانتماء : الأولى، ويرمز لها بـ "∈"، هي بين مجموعتين؛ والثانية، ويرمز لها بـ "η"، هي بين مجموعة وفئة. ^{[ 2 ]} هذا التكرار ضروري لمنطق التصنيف المتعدد لأن المتغيرات من أنواع مختلفة تتوزع على مجالات فرعية منفصلة من مجال الخطاب .

لا تؤثر الاختلافات بين هذين النهجين على ما يمكن إثباته، ولكنها تؤثر على كيفية صياغة العبارات. في نهج غودل،${\displaystyle A\in C}$أين${\displaystyle A}$و${\displaystyle C}$عبارة "هي فئات" صحيحة. أما في منهج بيرنايز، فلا معنى لهذه العبارة. ومع ذلك، إذا${\displaystyle A}$إذا كانت مجموعة، فهناك عبارة مكافئة: عرّف "مجموعة"${\displaystyle a}$يمثل الطبقة${\displaystyle A}$"إذا كانت لديهم نفس المجموعات التي لدى الأعضاء - أي${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$البيان${\displaystyle a\;\eta \;C}$حيث تم تعيين${\displaystyle a}$يمثل الطبقة${\displaystyle A}$وهو ما يعادل نظرية غودل${\displaystyle A\in C.}$^{[ 2 ]}

يعتمد هذا المقال على منهج غودل مع تعديلات مندلسون. وهذا يعني أن NBG نظام بديهي في منطق المسندات من الدرجة الأولى مع المساواة ، ومفاهيمه الأولية الوحيدة هي مفاهيم الفئات وعلاقة الانتماء.

المجموعة هي فئة تنتمي إلى فئة واحدة على الأقل:${\displaystyle A}$تكون مجموعة إذا وفقط إذا${\displaystyle \exists C(A\in C)}$يُطلق على الفئة التي لا تُمثل مجموعة اسم الفئة الصحيحة:${\displaystyle A}$تُعتبر فئة صحيحة إذا وفقط إذا${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$^{[ 12 ]} لذلك ، فإن كل فئة إما أن تكون مجموعة أو فئة مناسبة، ولا توجد فئة تجمع بين الاثنين.

قدّم غودل اصطلاحًا يقضي بأن المتغيرات المكتوبة بأحرف كبيرة تُشير إلى فئات، بينما تُشير المتغيرات المكتوبة بأحرف صغيرة إلى مجموعات. ^{[ 9 ]} كما استخدم غودل أسماءً تبدأ بحرف كبير للدلالة على فئات مُحددة، بما في ذلك الدوال والعلاقات المُعرّفة على فئة جميع المجموعات. يُستخدم اصطلاح غودل في هذه المقالة، وهو يسمح لنا بكتابة:

البديهيات والتعريفات التالية ضرورية لإثبات نظرية وجود الفئة.

بديهية الامتداد. إذا كان لصنفين نفس العناصر، فإنهما متطابقان.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$^{[ 13 ]}

هذا المبدأ يعمم مبدأ الامتدادية الخاص بنظرية ZFC ليشمل الفئات.

بديهية الاقتران . إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت المجموعات هي ، فإنه يوجد مجموعة${\displaystyle p}$أعضاؤها الوحيدون هم${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$^{[ 14 ]}

كما هو الحال في ZFC، فإن بديهية الامتداد تعني تفرد المجموعة${\displaystyle p}$مما يسمح لنا بإدخال الترميز${\displaystyle \{x,y\}.}$

يتم تعريف الأزواج المرتبة كما يلي:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

يتم تعريف المجموعات المرتبة استقرائياً باستخدام الأزواج المرتبة:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^{[ ج ]}

سيتم استخدام بديهيات وجود الفئة لإثبات نظرية وجود الفئة: لكل صيغة في${\displaystyle n}$توجد فئة من المتغيرات الحرة للمجموعات التي تُحدد كميًا فقط على المجموعات.${\displaystyle n}$المجموعات التي تحقق ذلك. يبدأ المثال التالي بفئتين هما دالتان ، ثم يُنشئ دالة مركبة . يوضح هذا المثال التقنيات اللازمة لإثبات نظرية وجود الفئة، والتي بدورها تؤدي إلى بديهيات وجود الفئة المطلوبة.

مثال 1: إذا كانت الفئات${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$إذا كانت دوالًا، فإن الدالة المركبة${\displaystyle G\circ F}$يتم تعريفها بالصيغة التالية:${\displaystyle \exists t[(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G].}$بما أن هذه الصيغة تحتوي على متغيرين حرين،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$تُنشئ نظرية وجود الفئة فئة الأزواج المرتبة:${\displaystyle G\circ F\,=\,\{(x,y):\exists t[(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G]\}.}$ لأن هذه الصيغة مبنية من صيغ أبسط باستخدام العطف${\displaystyle \land }$والقياس الكمي الوجودي${\displaystyle \exists }$هناك حاجة إلى عمليات على مستوى الفئات تأخذ فئات تمثل الصيغ الأبسط وتنتج فئات تمثل الصيغ ذات${\displaystyle \land }$و${\displaystyle \exists }$لإنتاج فئة تمثل صيغة باستخدام${\displaystyle \land }$، يتم استخدام التقاطع لأن${\displaystyle x\in A\cap B\iff x\in A\land x\in B.}$لإنتاج فئة تمثل صيغة مع${\displaystyle \exists }$، يتم استخدام النطاق منذ${\displaystyle x\in Dom(A)\iff \exists t[(x,t)\in A].}$ قبل اتخاذ التقاطع، تكون المجموعات في${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$نحتاج إلى مكون إضافي حتى تتطابق المتغيرات. المكون${\displaystyle y}$تُضاف إلى صفوف${\displaystyle F}$و${\displaystyle x}$تُضاف إلى صفوف${\displaystyle G}$: $${\displaystyle F'=\{(x,t,y):(x,t)\in F\}\,}$$و${\displaystyle \,G'=\{(t,y,x):(t,y)\in G\}.}$ في تعريف${\displaystyle F',}$المتغير${\displaystyle y}$لا يتقيد بالبيان${\displaystyle (x,t)\in F,}$لذا${\displaystyle y}$تتراوح على مستوى الفصل${\displaystyle V}$من بين جميع المجموعات. وبالمثل، في تعريف${\displaystyle G',}$المتغير${\displaystyle x}$نطاقات${\displaystyle V.}$لذا، هناك حاجة إلى بديهية تضيف مكونًا إضافيًا (تتراوح قيمه بين${\displaystyle V}$) إلى صفوف فئة معينة. بعد ذلك، يتم وضع المتغيرات بنفس الترتيب استعدادًا للتقاطع: $${\displaystyle F''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\}\,}$$و${\displaystyle \,G''=\{(x,y,t):(t,y)\in G\}.}$ للانتقال من${\displaystyle F'}$ل${\displaystyle F''}$ومن${\displaystyle G'}$ل${\displaystyle G''}$يتطلب الأمر تبديلين مختلفين ، لذلك هناك حاجة إلى بديهيات تدعم تبديلات مكونات المجموعة. تقاطع${\displaystyle F''}$و${\displaystyle G''}$مقابض${\displaystyle \land }$: $${\displaystyle F''\cap G''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G\}.}$$ منذ${\displaystyle (x,y,t)}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle ((x,y),t)}$، مع أخذ مجال${\displaystyle F''\cap G''}$مقابض${\displaystyle \exists t}$وينتج الدالة المركبة: $${\displaystyle G\circ F=Dom(F''\cap G'')=\{(x,y):\exists t((x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G)\}}$$ لذا فإن بديهيات التقاطع والمجال ضرورية.

تنقسم بديهيات وجود الأصناف إلى مجموعتين: بديهيات تعالج العناصر اللغوية الأساسية، وبديهيات تعالج المجموعات المرتبة. تحتوي المجموعة الأولى على أربع بديهيات، بينما تحتوي المجموعة الثانية على ثلاث بديهيات. ^{[ د ]}

بديهيات التعامل مع العناصر اللغوية الأساسية:

العضوية. توجد فئة${\displaystyle E}$تحتوي على جميع الأزواج المرتبة التي يكون عنصرها الأول عضواً في العنصر الثاني.

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$^{[ 18 ]}

التقاطع (الوصل). لأي فئتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هناك فئة${\displaystyle C}$تتألف تحديداً من المجموعات التي تنتمي إلى كليهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$^{[ 19 ]}

المكمل (النفي). لأي فئة${\displaystyle A}$هناك فئة${\displaystyle B}$تتألف تحديدًا من المجموعات التي لا تنتمي إلى${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$^{[ 20 ]}

المجال (المحدد الوجودي). لأي فئة${\displaystyle A}$هناك فئة${\displaystyle B}$يتألف تحديدًا من المكونات الأولى للأزواج المرتبة من${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$^{[ 21 ]}

بحسب بديهية الامتداد، الفئة${\displaystyle C}$في بديهية التقاطع والفئة${\displaystyle B}$تكون بديهيات المكمل والمجال فريدة. وسيتم الإشارة إليها بالرمز التالي:${\displaystyle A\cap B,}$${\displaystyle \complement (A),}$و${\displaystyle Dom(A),}$على التوالي. ^{[ هـ ]}

تُشير البديهيات الثلاث الأولى إلى وجود الفئة الفارغة وفئة جميع المجموعات: وتُشير بديهية العضوية إلى وجود فئة${\displaystyle E.}$تستلزم بديهيات التقاطع والمكمل وجود${\displaystyle E\cap \complement (E)}$وهي فارغة. وبحسب بديهية الامتداد، فإن هذه الفئة فريدة؛ ويُرمز لها بـ${\displaystyle \emptyset .}$مكمل لـ${\displaystyle \emptyset }$هو الفصل${\displaystyle V}$من بين جميع المجموعات، وهي فريدة أيضًا من حيث الامتداد. مسند المجموعة${\displaystyle M(A)}$، والذي تم تعريفه على أنه${\displaystyle \exists C(A\in C)}$، أعيد تعريفها الآن على النحو التالي${\displaystyle A\in V}$لتجنب التعميم على الفئات.

مبادئ التعامل مع الصفوف:

منتج من${\displaystyle V}$لأي فصل دراسي${\displaystyle A}$هناك فئة${\displaystyle B}$تتكون من الأزواج المرتبة التي ينتمي عنصرها الأول إلى${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^{[ 23 ]}

التبديل الدائري . لأي فئة${\displaystyle A}$هناك فئة${\displaystyle B}$والتي يتم الحصول على ثلاثياتها عن طريق تطبيق التبديل الدائري${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$إلى الثلاثيات من${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^{[ 24 ]}

التبديل . لأي فئة${\displaystyle A}$هناك فئة${\displaystyle B}$والتي يتم الحصول على ثلاثياتها عن طريق تبديل آخر عنصرين من عناصر الثلاثيات الخاصة بـ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^{[ 25 ]}

بالامتداد، يكون الناتج بواسطة${\displaystyle V}$البديهية تعني وجود فئة فريدة، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle A\times V.}$تُستخدم هذه البديهية لتعريف الفئة${\displaystyle V^{n}}$من بين الجميع${\displaystyle n}$-tuples :${\displaystyle V^{1}=V}$و${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$لو${\displaystyle A}$إذا كانت فئة، فإن خاصية الامتداد تعني أن${\displaystyle A\cap V^{n}}$هي فئة فريدة تتكون من${\displaystyle n}$- صفوف من${\displaystyle A.}$على سبيل المثال، ينتج عن بديهية العضوية فئة${\displaystyle E}$والتي قد تحتوي على عناصر ليست أزواجًا مرتبة، بينما التقاطع${\displaystyle E\cap V^{2}}$يحتوي فقط على الأزواج المرتبة من${\displaystyle E}$.

لا تستلزم بديهيات التبديل الدائري والتبديل وجود فئات فريدة لأنها تحدد فقط الثلاثيات المكونة للفئة${\displaystyle B.}$بتحديد الثلاثيات ، تحدد هذه البديهيات أيضًا${\displaystyle n}$-tuples لـ${\displaystyle n\geq 4}$منذ:$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$إن البديهيات الخاصة بالتعامل مع المجموعات وبديهية المجال تستلزم اللمة التالية، والتي تستخدم في إثبات نظرية وجود الفئة.

يلزم وجود بديهية أخرى لإثبات نظرية وجود الفئة: بديهية الانتظام . وبما أن وجود الفئة الفارغة قد تم إثباته، فسيتم تقديم الصيغة المعتادة لهذه البديهية. ^{[ و ]}

بديهية الانتظام . كل مجموعة غير فارغة تحتوي على عنصر واحد على الأقل لا يوجد بينها وبين أي عنصر آخر عنصر مشترك. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

تفترض هذه البديهية أن المجموعة لا يمكن أن تنتمي إلى نفسها: افترض أن${\displaystyle x\in x}$ودع${\displaystyle a=\{x\}.}$ثم${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$منذ${\displaystyle x\in x\cap a.}$وهذا يتعارض مع بديهية الانتظام لأن${\displaystyle x}$هو العنصر الوحيد في${\displaystyle a.}$لذلك،${\displaystyle x\notin x.}$كما أن بديهية الانتظام تمنع وجود تسلسلات عضوية تنازلية لا نهائية للمجموعات:$${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

ذكر غودل الانتظام بالنسبة للفئات وليس للمجموعات في دراسته التي نُشرت عام 1940، والتي استندت إلى محاضرات ألقاها عام 1938. ^{[ 26 ]} وفي عام 1939، أثبت أن الانتظام بالنسبة للمجموعات يستلزم الانتظام بالنسبة للفئات. ^{[ 27 ]}

سيتم إثبات النظرية على مرحلتين:

1. تُستخدم قواعد التحويل لتحويل الصيغة المعطاة${\displaystyle \phi }$إلى صيغة مكافئة تُبسط الجزء الاستقرائي من البرهان. على سبيل المثال، الرموز المنطقية الوحيدة في الصيغة المُحوَّلة هي${\displaystyle \neg }$،${\displaystyle \land }$، و${\displaystyle \exists }$لذا فإن الاستقراء يتعامل مع الرموز المنطقية بثلاث حالات فقط.
2. تُثبت نظرية وجود الفئة استقرائيًا للصيغ المُحوَّلة. وبالاسترشاد ببنية الصيغة المُحوَّلة، تُستخدم بديهيات وجود الفئة لإنتاج الفئة الفريدة من${\displaystyle n}$-الصفوف التي تحقق الصيغة.

قواعد التحويل. في القاعدتين 1 و2 أدناه،${\displaystyle \Delta }$و${\displaystyle \Gamma }$تشير إلى متغيرات المجموعة أو الفئة. هاتان القاعدتان تزيلان جميع حالات متغيرات الفئة قبل${\displaystyle \in }$وجميع حالات المساواة. في كل مرة يتم فيها تطبيق القاعدة 1 أو 2 على صيغة فرعية،${\displaystyle i}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle z_{i}}$يختلف هذا المتغير عن المتغيرات الأخرى في الصيغة الحالية. تُكرر القواعد الثلاث حتى لا يتبقى أي صيغ فرعية يمكن تطبيقها عليها. ينتج عن ذلك صيغة مبنية فقط باستخدام${\displaystyle \neg }$،${\displaystyle \land }$،${\displaystyle \exists }$،${\displaystyle \in }$، وتعيين المتغيرات، ومتغيرات الفئة${\displaystyle Y_{k}}$أين${\displaystyle Y_{k}}$لا يظهر قبل${\displaystyle \in }$.

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$يتحول إلى${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. تُستخدم خاصية الامتدادية للتحويل${\displaystyle \Delta =\Gamma }$داخل${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. تُستخدم الهويات المنطقية لتحويل الصيغ الفرعية التي تحتوي على${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$و${\displaystyle \forall }$إلى الصيغ الفرعية التي تستخدم فقط${\displaystyle \neg ,\land ,}$و${\displaystyle \exists .}$

قواعد التحويل: المتغيرات المقيدة . لنفترض صيغة الدالة المركبة في المثال 1 مع استبدال متغيرات المجموعة الحرة بـ${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$:${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$سيؤدي البرهان الاستقرائي إلى إزالة${\displaystyle \exists t}$، مما ينتج عنه الصيغة${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$مع ذلك، ولأن نظرية وجود الفئة تُصاغ للمتغيرات ذات الفهارس السفلية، فإن هذه الصيغة لا تأخذ الشكل المتوقع وفقًا لفرضية الاستقراء . ويتم حل هذه المشكلة باستبدال المتغير${\displaystyle t}$مع${\displaystyle x_{3}.}$تُعالج المتغيرات المقيدة داخل المحددات الكمية المتداخلة بزيادة الرقم السفلي بمقدار واحد لكل محدد كمي لاحق. وهذا يؤدي إلى القاعدة 4، التي يجب تطبيقها بعد القواعد الأخرى لأن القاعدتين 1 و2 تُنتجان متغيرات مُكمّمة.

4. إذا لم تحتوي الصيغة على أي متغيرات مجموعة حرة بخلاف${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ثم المتغيرات المرتبطة التي تكون متداخلة داخل${\displaystyle q}$يتم استبدال أدوات التحديد الكمي بـ${\displaystyle x_{n+q}}$تتمتع هذه المتغيرات بعمق تداخل (كمي) .${\displaystyle q}$.

مثال 2: يتم تطبيق القاعدة 4 على الصيغة${\displaystyle \phi (x_{1})}$ذلك يحدد الفئة التي تتكون من جميع المجموعات من الشكل${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset ,\dots \},\dots \}.}$أي المجموعات التي تحتوي على الأقل${\displaystyle \emptyset }$ومجموعة تحتوي على${\displaystyle \emptyset }$- على سبيل المثال،${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset ,a,b,c\},d,e\}}$أين${\displaystyle a,b,c,d,}$و${\displaystyle e}$هي مجموعات. $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x_{1})\,&=\,\exists u\;\,[\,u\in x_{1}\,\land \,\neg \exists v\;\,(\;v\,\in \,u\,)]\,\land \,\,\exists w\;{\bigl (}w\in x_{1}\,\land \,\exists y\;\,[(\;y\,\in w\;\land \;\neg \exists z\;\,(\;z\,\in \,y\,)]{\bigr )}\\\phi _{r}(x_{1})\,&=\,\exists x_{2}[x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\neg \exists x_{3}(x_{3}\!\in \!x_{2})]\,\land \,\,\exists x_{2}{\bigl (}x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\exists x_{3}[(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \,\neg \exists x_{4}(x_{4}\!\in \!x_{3})]{\bigr )}\end{aligned}}}$$ منذ${\displaystyle x_{1}}$هو المتغير الحر الوحيد،${\displaystyle n=1.}$المتغير الكمي${\displaystyle x_{3}}$يظهر مرتين في${\displaystyle x_{3}\in x_{2}}$عند عمق التداخل 2. رمزها السفلي هو 3 لأن${\displaystyle n+q=1+2=3.}$إذا كان نطاقا تحديد الكميات على نفس مستوى التداخل، فإنهما إما متطابقان أو منفصلان. التكراران لـ${\displaystyle x_{3}}$توجد في نطاقات كمية منفصلة، ​​لذا فهي لا تتفاعل مع بعضها البعض.

برهان نظرية وجود الفئة. يبدأ البرهان بتطبيق قواعد التحويل على الصيغة المعطاة لإنتاج صيغة مُحوَّلة. ولأن هذه الصيغة مكافئة للصيغة المعطاة، يُستكمل البرهان بإثبات نظرية وجود الفئة للصيغ المُحوَّلة.