السطح (الطوبولوجيا)

في علم الطوبولوجيا ، السطح هو فضاء ثنائي الأبعاد . تنشأ بعض الأسطح كحدود لأشكال ثلاثية الأبعاد ؛ على سبيل المثال، الكرة هي حدود الكرة الصلبة . وتنشأ أسطح أخرى كرسوم بيانية لدوال ذات متغيرين؛ انظر الشكل على اليمين. مع ذلك، يمكن تعريف الأسطح بشكل مجرد، دون الرجوع إلى أي فضاء محيط . على سبيل المثال، زجاجة كلاين هي سطح لا يمكن تضمينه في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .

تُزوَّد الأسطح الطوبولوجية أحيانًا بمعلومات إضافية، مثل المقياس الريماني أو البنية المعقدة، التي تربطها بفروع أخرى في الرياضيات، كالهندسة التفاضلية والتحليل المركب . ويمكن استخدام المفاهيم الرياضية المختلفة للسطح لنمذجة الأسطح في العالم المادي.

في الرياضيات ، السطح هو شكل هندسي يشبه مستوىً مشوهًا. ومن الأمثلة الشائعة عليه حدود الأجسام الصلبة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ ^، مثل الكرات . وقد يختلف تعريف السطح باختلاف السياق. ففي الهندسة الجبرية ، قد يتقاطع السطح مع نفسه (وقد يحتوي على نقاط تفرد أخرى )، بينما في الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية ، قد لا يتقاطع معه.

السطح هو فضاء ثنائي الأبعاد ؛ وهذا يعني أن النقطة المتحركة على السطح يمكنها التحرك في اتجاهين (لها درجتا حرية ). بعبارة أخرى، يوجد حول كل نقطة تقريبًا رقعة إحداثيات يُعرَّف عليها نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد . على سبيل المثال، يشبه سطح الأرض (نظريًا) كرة ثنائية الأبعاد ، وتوفر خطوط الطول والعرض إحداثيات ثنائية الأبعاد عليه (باستثناء القطبين وعلى طول خط الطول 180 ).

يُستخدم مفهوم السطح على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة ورسومات الحاسوب والعديد من التخصصات الأخرى، لا سيما في تمثيل أسطح الأجسام المادية. فعلى سبيل المثال، عند تحليل الخصائص الديناميكية الهوائية للطائرة ، يُعدّ تدفق الهواء على طول سطحها الاعتبار الأساسي.

السطح (الطوبولوجي) هو فضاء طوبولوجي لكل نقطة فيه جوار مفتوح متماثل مع مجموعة جزئية مفتوحة من المستوى الإقليدي E² ^. يُعرف هذا الجوار، مع التماثل المقابل له، باسم مخطط (الإحداثيات) . ومن خلال هذا المخطط، يرث الجوار الإحداثيات القياسية على المستوى الإقليدي. تُعرف هذه الإحداثيات بالإحداثيات المحلية ، وهذه التماثلات تقودنا إلى وصف الأسطح بأنها إقليدية محلية .

في معظم الكتابات حول هذا الموضوع، يُفترض غالباً، صراحةً أو ضمناً، أن السطح، بوصفه فضاءً طوبولوجياً، غير فارغ، وقابل للعد من الدرجة الثانية ، وهاوسدورف . كما يُفترض غالباً أن الأسطح قيد الدراسة متصلة.

ستفترض بقية هذه المقالة، ما لم يُنص على خلاف ذلك، أن السطح غير فارغ، وهاوسدورف، وقابل للعد الثاني، ومتصل.

بشكل أعم، السطح (الطوبولوجي) ذو الحدود هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف، ^حيث لكل نقطة فيه جوار مفتوح متماثل مع مجموعة جزئية مفتوحة من إغلاق النصف العلوي من المستوى H² في C. تُعرف هذه التشاكلات أيضًا باسم المخططات (الإحداثية) . يُمثل المحور x حدود النصف العلوي من المستوى . تُسمى النقطة على السطح التي تُسقط عبر مخطط على المحور x بنقطة حدودية . تُعرف مجموعة هذه النقاط بحدود السطح ، وهو بالضرورة متعدد شعب أحادي، أي اتحاد منحنيات مغلقة. من ناحية أخرى، تُسمى النقطة التي تُسقط فوق المحور x بنقطة داخلية . تُمثل مجموعة النقاط الداخلية باطن السطح، وهو دائمًا غير فارغ . يُعد القرص المغلق مثالًا بسيطًا على سطح ذي حدود، وحدوده دائرة.

يشير مصطلح "السطح" عند استخدامه دون تحديد إلى الأسطح التي لا حدود لها. وعلى وجه الخصوص، يُعد السطح ذو الحدود الفارغة سطحًا بالمعنى المعتاد. ويُعرف السطح ذو الحدود الفارغة والمتراص باسم "السطح المغلق". ومن أمثلة الأسطح المغلقة: الكرة ثنائية الأبعاد، والسطح الحلقي ثنائي الأبعاد ، والمستوى الإسقاطي الحقيقي .

شريط موبيوس هو سطح يمكن فيه تحديد التمييز بين اتجاه عقارب الساعة وعكسها محليًا، ولكن ليس عالميًا. وبشكل عام، يُقال إن السطح قابل للتوجيه إذا لم يحتوِ على نسخة متماثلة شكليًا من شريط موبيوس؛ أي أنه يمتلك وجهين متميزين. على سبيل المثال، الكرة والسطح الحلقي قابلان للتوجيه، بينما المستوى الإسقاطي الحقيقي ليس كذلك (لأن المستوى الإسقاطي الحقيقي بعد إزالة نقطة واحدة منه متماثل شكليًا مع شريط موبيوس المفتوح).

في الهندسة التفاضلية والجبرية ، تُضاف بنية إضافية إلى طوبولوجيا السطح. يمكن أن تكون هذه البنية المضافة بنية نعومة (تتيح تعريف دوال تفاضلية من وإلى السطح)، أو مقياس ريماني (يتيح تعريف الأطوال والزوايا على السطح)، أو بنية معقدة (تتيح تعريف دوال هولومورفية من وإلى السطح - وفي هذه الحالة يُسمى السطح سطح ريمان )، أو بنية جبرية (تتيح اكتشاف حالات الشذوذ ، مثل التقاطعات الذاتية والنتوءات، التي لا يمكن وصفها فقط من خلال الطوبولوجيا الأساسية).

تاريخياً، عُرّفت الأسطح في البداية على أنها فضاءات جزئية من الفضاءات الإقليدية. وغالباً ما كانت هذه الأسطح تمثل موضع أصفار دوال معينة، عادةً ما تكون دوال متعددة الحدود. وقد اعتبر هذا التعريف السطح جزءاً من فضاء أكبر (إقليدي)، ولذلك سُمّي سطحاً خارجياً .

في القسم السابق، عُرِّف السطح بأنه فضاء طوبولوجي ذو خصائص معينة، وهي خصائص هاوسدورف وإقليدية محلية. لا يُعتبر هذا الفضاء الطوبولوجي فضاءً جزئيًا من فضاء آخر. وبهذا المعنى، فإن التعريف المذكور أعلاه، وهو التعريف الذي يستخدمه علماء الرياضيات حاليًا، تعريف جوهري .

لا يُشترط أن يُلبي السطح المُعرَّف بأنه جوهري شرطًا إضافيًا يتمثل في كونه فضاءً جزئيًا من الفضاء الإقليدي. قد يبدو من الممكن أن بعض الأسطح المُعرَّفة جوهريًا لا تُعتبر أسطحًا بالمعنى الخارجي. مع ذلك، تُؤكد نظرية تضمين ويتني أن كل سطح يُمكن تضمينه تماثليًا في الفضاء الإقليدي، وتحديدًا في E4 : يتضح أن المنهجين الخارجي والجوهري متكافئان ^.

في الواقع، يمكن تضمين أي سطح مضغوط قابل للتوجيه أو له حدود في الفضاء ^E3 ؛ من ناحية أخرى، لا يمكن تضمين المستوى الإسقاطي الحقيقي، وهو سطح مضغوط وغير قابل للتوجيه وبدون حدود، في الفضاء E3 (انظر غرامين). تُعد أسطح شتاينر ، بما في ذلك سطح بوي والسطح الروماني والغطاء المتقاطع ، نماذج للمستوى الإسقاطي الحقيقي في الفضاء E3 ^، ولكن سطح بوي وحده هو السطح المغمور . جميع هذه ^{النماذج} شاذة عند نقاط تقاطعها.

تُعد كرة ألكسندر ذات القرون حالة مرضية معروفة تتمثل في اندماج الكرة الثنائية في الكرة الثلاثية.

يُعتبر تضمين سطح ما (إن وُجد) في فضاء آخر معلومة خارجية، وليست جوهرية للسطح نفسه. على سبيل المثال، يمكن تضمين طارة في الفضاء ^E3 بالطريقة "القياسية" (التي تشبه شكل الكعكة الدائرية ) أو بطريقة معقودة (انظر الشكل). الطارتان المضمنتان متماثلتان طوبولوجيًا، لكنهما ليستا متماثلتين طوبولوجيًا : فهما متكافئتان طوبولوجيًا، لكن تضميناتهما ليست كذلك.

تُسمى صورة دالة متصلة وحقنية من الفضاء الإقليدي ذي ^البعد R² إلى الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى ^Rⁿ سطحًا وسيطيًا . سُميت هذه الصورة بهذا الاسم لأن اتجاهي x و y في المجال R² هما متغيران يُستخدمان في تحديد خصائص الصورة. لا يشترط أن يكون السطح الوسيطي سطحًا طوبولوجيًا، إذ ^{يُمكن اعتبار} سطح الدوران نوعًا خاصًا من الأسطح الوسيطية.

إذا كانت f دالة سلسة من R³ إلى R ^، وكان تدرجها لا يساوي صفرًا في أي نقطة، فإن موضع أصفار f يُحدد سطحًا يُعرف بالسطح الضمني . وإذا أُهمل شرط عدم انعدام التدرج، فقد يظهر في موضع الأصفار نقاط شاذة .

يمكن إنشاء كل سطح مغلق من مضلع موجه ذي عدد زوجي من الأضلاع، يُسمى المضلع الأساسي للسطح، وذلك بتحديد أزواج أضلاعه. على سبيل المثال، في كل مضلع أدناه، يؤدي ربط الأضلاع ذات التسميات المتطابقة ( أ مع أ ، ب مع ب )، بحيث تشير الأسهم في الاتجاه نفسه، إلى الحصول على السطح الموضح.

• 
  جسم كروي
• 
  المستوى الإسقاطي الحقيقي
• 
  حلقة
• 
  زجاجة كلاين

يمكن كتابة أي مضلع أساسي رمزياً كما يلي. ابدأ من أي رأس، وتحرك حول محيط المضلع في أي اتجاه حتى تعود إلى رأس البداية. خلال هذا التحرك، سجل التسمية على كل حافة بالترتيب، مع أس -1 إذا كانت الحافة تشير في الاتجاه المعاكس لاتجاه التحرك. النماذج الأربعة أعلاه، عند التحرك عليها في اتجاه عقارب الساعة بدءاً من الزاوية العلوية اليسرى، تُعطي

• جسم كروي:${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}$
• المستوى الإسقاطي الحقيقي:${\displaystyle ABAB}$
• حلقة دائرية:${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$
• زجاجة كلاين:${\displaystyle ABAB^{-1}}$.

لاحظ أن الكرة والمستوى الإسقاطي يمكن تحقيقهما كحاصل قسمة على المضلع الثنائي، بينما يتطلب الطارة وزجاجة كلاين مضلعًا رباعيًا (مربعًا).

يتضح أن التعبير المشتق من مضلع أساسي لسطح ما هو العلاقة الوحيدة في تمثيل المجموعة الأساسية للسطح، حيث تمثل علامات حواف المضلع مولدات. وهذا نتيجة لنظرية سيفرت-فان كامبن .

يُعدّ لصق حواف المضلعات نوعًا خاصًا من عمليات فضاء القسمة . ويمكن تطبيق مفهوم القسمة بشكل أعم لإنتاج بنى جديدة أو بديلة للأسطح. على سبيل المثال، يمكن الحصول على المستوى الإسقاطي الحقيقي كقسمة للكرة بتحديد جميع أزواج النقاط المتقابلة عليها. ومن الأمثلة الأخرى على القسمة المجموع المتصل.

يُحسب المجموع المتصل لسطحين M و N ، ويُرمز له بـ M ⊆ N ، بإزالة قرص من كل منهما ولصقهما على طول مكونات الحدود الناتجة. حدود القرص عبارة عن دائرة، لذا فإن مكونات الحدود هذه عبارة عن دوائر. خاصية أويلر${\displaystyle \chi }$يمثل M # N مجموع خصائص أويلر للمجموعات، ناقص اثنين:

${\displaystyle \chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,}$

الكرة S هي عنصر محايد للمجموع المتصل، مما يعني أن S # M = M. وذلك لأن حذف قرص من الكرة يترك قرصًا، والذي يحل ببساطة محل القرص المحذوف من M عند اللصق.

يُوصف الجمع المتصل مع الطارة T أيضًا بأنه ربط "مقبض" بالحد الآخر M. إذا كان M قابلاً للتوجيه، فإن T # M يكون كذلك . الجمع المتصل تجميعي، لذا فإن الجمع المتصل لمجموعة محدودة من الأسطح مُعرَّف جيدًا.

المجموع المتصل لمستويين إسقاطيين حقيقيين، P # P ، هو زجاجة كلاين K. المجموع المتصل للمستوى الإسقاطي الحقيقي وزجاجة كلاين متماثل طوبولوجيًا مع المجموع المتصل للمستوى الإسقاطي الحقيقي مع الطارة؛ في الصيغة، P # K = P # T. بالتالي، فإن المجموع المتصل لثلاثة مستويات إسقاطية حقيقية متماثل طوبولوجيًا مع المجموع المتصل للمستوى الإسقاطي الحقيقي مع الطارة. أي مجموع متصل يتضمن مستوى إسقاطيًا حقيقيًا يكون غير قابل للتوجيه.

السطح المغلق هو سطح متراص بلا حدود . من أمثلة الأسطح المغلقة: الكرة ، والحلقة ، وزجاجة كلاين . أما أمثلة الأسطح غير المغلقة فتشمل: القرص المفتوح (وهو كرة بها ثقب )، والأسطوانة المفتوحة (وهي كرة بها ثقبان)، وشريط موبيوس .

يكون السطح المُضمّن في الفضاء ثلاثي الأبعاد مغلقًا إذا وفقط إذا كان حدودًا لجسم صلب. وكما هو الحال مع أي فضاء مُغلق ، فإن السطح المُضمّن في الفضاء الإقليدي والمُغلق بالنسبة للطوبولوجيا الإقليدية الموروثة ليس بالضرورة سطحًا مغلقًا؛ على سبيل المثال، قرص مُضمّن في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$السطح الذي يحتوي على حدوده هو سطح مغلق طوبولوجيًا ولكنه ليس سطحًا مغلقًا.

تصنيف الأسطح المغلقة

تنص نظرية تصنيف الأسطح المغلقة على أن أي سطح مغلق متصل يكون متماثلاً شكلياً مع أحد أعضاء هذه العائلات الثلاث:

1. الكرة ،​
2. المجموع المتصل لـ g من الحلقات عندما يكون g ≥ 1،
3. المجموع المتصل لـ k مستويات إسقاطية حقيقية لـ k ≥ 1.

الأسطح في العائلتين الأوليين قابلة للتوجيه . من الملائم دمج العائلتين باعتبار الكرة مجموعًا متصلًا لـ 0 من الأسطح الحلقية. يُطلق على عدد g من الأسطح الحلقية اسم جنس السطح. للكرة والسطح الحلقي خصائص أويلر 2 و 0 على التوالي، وبشكل عام ، فإن خاصية أويلر للمجموع المتصل لـ g من الأسطح الحلقية هي 2 - 2g .

الأسطح في المجموعة الثالثة غير قابلة للتوجيه. خاصية أويلر للمستوى الإسقاطي الحقيقي تساوي 1، وبشكل عام خاصية أويلر للمجموع المتصل لـ k منها تساوي 2 − k .

وبناءً على ذلك، يُحدد السطح المغلق، حتى التشاكل الموضعي، بمعلومتين: خاصية أويلر الخاصة به، وما إذا كان قابلاً للتوجيه أم لا. بعبارة أخرى، تُصنف خاصية أويلر وقابلية التوجيه الأسطح المغلقة تصنيفًا كاملاً حتى التشاكل الموضعي.

يتم تصنيف الأسطح المغلقة ذات المكونات المتصلة المتعددة حسب فئة كل مكون من مكوناتها المتصلة، وبالتالي يفترض المرء عمومًا أن السطح متصل.

الأسطح المدمجة ذات الحدود هي أسطح مغلقة تحتوي على عدد محدود من الثقوب (أقراص مفتوحة أُزيلت). يُصنَّف السطح المدمج المتصل ذو الحدود وفقًا لخاصية التوجيه وخاصية أويلر للسطح المغلق المقابل وعدد مكونات الحدود. يُعرَّف جنس السطح المدمج بأنه جنس السطح المغلق المقابل. ^{[ 2 ]} ثمة تصنيف بديل للأسطح المدمجة المتصلة ذات الحدود، وهو التصنيف وفقًا لخاصية التوجيه، والجنس، وعدد مكونات الحدود.

ينبثق هذا التصنيف مباشرةً من تصنيف الأسطح المغلقة: فإزالة قرص مفتوح من سطح مغلق ينتج عنه سطح مضغوط ذو دائرة كمكون حدودي، وإزالة k من الأقراص المفتوحة ينتج عنه سطح مضغوط ذو k من الدوائر المنفصلة كمكونات حدودية. ولا أهمية للمواقع الدقيقة للثقوب، لأن زمرة التشاكل تعمل بشكل متعدٍّ من الدرجة k على أي مشعب متصل ذي بُعد لا يقل عن 2.

وعلى العكس من ذلك، فإن حدود السطح المضغوط عبارة عن متعدد شعب مغلق من الدرجة 1، وبالتالي فهي الاتحاد المنفصل لعدد محدود من الدوائر؛ وملء هذه الدوائر بأقراص (رسميًا، أخذ المخروط ) ينتج عنه سطح مغلق.

يُشار غالبًا إلى السطح المدمج الفريد القابل للتوجيه من النوع g والذي يحتوي على k من المكونات الحدودية بـ${\displaystyle \Sigma _{g,k},}$على سبيل المثال في دراسة مجموعة فئات الخرائط .

تُعدّ الأسطح غير المتراصة أكثر صعوبة في التصنيف. على سبيل المثال، يمكن الحصول على سطح غير متراص عن طريق ثقب (إزالة مجموعة محدودة من النقاط من) مشعب مغلق. من جهة أخرى، أي مجموعة جزئية مفتوحة من سطح متراص هي في حد ذاتها سطح غير متراص؛ لنأخذ على سبيل المثال متممة مجموعة كانتور في الكرة، والمعروفة أيضًا بسطح شجرة كانتور . مع ذلك، ليس كل سطح غير متراص مجموعة جزئية من سطح متراص؛ ومن الأمثلة الشائعة على ذلك سلم يعقوب ووحش بحيرة لوخ نيس ، وهما سطحان غير متراصين ذوا جنس لانهائي.

للسطح غير المتراص M فضاء نهايات غير فارغ E ( M )، والذي يصف، بشكل غير رسمي، كيفية "امتداد" السطح إلى ما لا نهاية. ويكون فضاء النهايات E ( M ) مكافئًا طوبولوجيًا دائمًا لفضاء فرعي مغلق من مجموعة كانتور . قد يحتوي M على عدد محدود أو عدد لا نهائي قابل للعد Nh _{من المقابض، بالإضافة إلى عدد محدود أو عدد لا نهائي قابل للعد Np من المستويات الإسقاطية. إذا كان كل من Nh وNp محدودين} ، فإن هذين العددين ، _والنوع الطوبولوجي لفضاء النهايات ، يصنفان السطح M حتى التكافؤ الطوبولوجي. أما إذا كان أي من Nh أو Np أو كلاهما _لا نهائيًا _، فإن النوع _{الطوبولوجي} لـ M لا يعتمد فقط على هذين العددين، بل أيضًا على كيفية اقتراب العدد (أو الأعداد) اللانهائي من فضاء النهايات. بشكل عام، يتم تحديد النوع الطوبولوجي لـ M بواسطة الفضاءات الفرعية الأربعة لـ E ( M ) التي تمثل نقاط نهاية لعدد لا نهائي من المقابض وعدد لا نهائي من المستويات الإسقاطية، ونقاط نهاية للمقابض فقط، ونقاط نهاية للمستويات الإسقاطية فقط، ونقاط نهاية لا هذا ولا ذاك. ^{[ 3 ]}

إذا أزلنا فرضية قابلية العد من الدرجة الثانية من تعريف السطح، فستوجد أسطح طوبولوجية (غير متراصة بالضرورة) لا تمتلك قاعدة قابلة للعد لطوبولوجيتها. ولعل أبسط مثال على ذلك هو حاصل الضرب الديكارتي للخط الطويل مع فضاء الأعداد الحقيقية.

سطح آخر لا يمتلك قاعدة قابلة للعد لبنيته الطوبولوجية، ولكنه لا يتطلب بديهية الاختيار لإثبات وجوده، هو مشعب بروفر ، الذي يمكن وصفه بمعادلات بسيطة تُظهر أنه سطح تحليلي حقيقي . يمكن اعتبار مشعب بروفر بمثابة النصف العلوي من المستوى مع "لسان" إضافي T _x يتدلى منه مباشرةً أسفل النقطة ( x , 0)، لكل عدد حقيقي x . 

في عام 1925، أثبت تيبور رادو أن جميع أسطح ريمان (أي المشعبات العقدية أحادية البعد ) قابلة للعد من الدرجة الثانية بالضرورة ( نظرية رادو ). في المقابل، إذا استبدلنا الأعداد الحقيقية في بناء سطح بروفر بالأعداد العقدية ، نحصل على مشعب عقدي ثنائي البعد (وهو بالضرورة مشعب حقيقي رباعي الأبعاد) بدون قاعدة قابلة للعد.

تُعدّ المجسمات متعددة الأوجه ، مثل حدود المكعب ، من أوائل الأسطح التي تُصادف في الهندسة. كما يُمكن تعريف الأسطح الملساء ، حيث يكون لكل نقطة فيها جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد (E² ⁾ . يُتيح هذا التوسع تطبيق حساب التفاضل والتكامل على الأسطح لإثبات العديد من النتائج.

يكون سطحان أملسان متماثلين تفاضليًا إذا وفقط إذا كانا متماثلين طوبولوجيًا. (لا تنطبق النتيجة المماثلة على المشعبات ذات الأبعاد الأعلى). وبالتالي، تُصنف الأسطح المغلقة حتى التماثل التفاضلي بواسطة خاصية أويلر وقابلية التوجيه.

تُعدّ الأسطح الملساء المزودة بمقاييس ريمانية ذات أهمية أساسية في الهندسة التفاضلية . يمنح المقياس الريماني السطح مفاهيم الجيوديسية والمسافة والزاوية والمساحة . كما يُنتج عنه انحناء غاوسي ، الذي يصف مدى انحناء السطح عند كل نقطة. الانحناء خاصية هندسية ثابتة، إذ لا تُحفظ بواسطة التحويلات التفاضلية العامة للسطح. مع ذلك، تنص نظرية غاوس-بونيه الشهيرة للأسطح المغلقة على أن تكامل الانحناء الغاوسي K على السطح S بأكمله يُحدد بواسطة خاصية أويلر.

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).}$

توضح هذه النتيجة العلاقة العميقة بين هندسة وطوبولوجيا الأسطح (وإلى حد أقل، المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى).

من الطرق الأخرى التي تنشأ بها الأسطح في الهندسة الانتقال إلى المجال المركب. السطح المركب أحادي البعد هو سطح أملس موجه، ويُسمى أيضًا سطح ريمان . أي منحنى جبري مركب غير شاذ يُنظر إليه على أنه سطح مركب هو سطح ريمان. في الواقع، كل سطح مضغوط قابل للتوجيه يمكن تمثيله كسطح ريمان. وبالتالي، تتميز أسطح ريمان المضغوطة طوبولوجيًا بجنسها: 0، 1، 2، ... من ناحية أخرى، لا يُحدد الجنس البنية المركبة. على سبيل المثال، يوجد عدد لا يُحصى من أسطح ريمان المضغوطة غير المتماثلة من الجنس 1 ( المنحنيات الإهليلجية ).

تُقابل البنى المعقدة على سطح مغلق وموجه فئات التكافؤ التوافقي للمقاييس الريمانية على ذلك السطح. تنص إحدى صيغ نظرية التوحيد (التي وضعها بوانكاريه ) على أن أي مقياس ريماني على سطح مغلق وموجه يكون مكافئًا توافقيًا لمقياس فريد جوهريًا ذي انحناء ثابت . يوفر هذا نقطة انطلاق لأحد مناهج نظرية تايخمولر ، التي تقدم تصنيفًا أدق لأسطح ريمان من التصنيف الطوبولوجي القائم على خاصية أويلر وحدها.

السطح المركب هو فضاء ثنائي الأبعاد مركب، وبالتالي فضاء رباعي الأبعاد حقيقي؛ وهو ليس سطحًا بالمعنى المقصود في هذه المقالة. كذلك، لا تُعرَّف المنحنيات الجبرية على حقول غير حقول الأعداد المركبة، ولا تُعرَّف الأسطح الجبرية على حقول غير حقول الأعداد الحقيقية.

• الحدود (الطوبولوجيا)
• صيغة الحجم ، لأحجام الأسطح في E ⁿ
• مقياس بوانكاريه ، لخصائص القياس لأسطح ريمان
• السطح الروماني
• سطح الصبي
• رباعي نصف سداسي الأوجه
• السطح المجعد ، وهو سطح غير قابل للتفاضل يتم الحصول عليه عن طريق تشويه (تجعيد) سطح قابل للتفاضل

• ديك، فالتر (1888)، “Beiträge zur Analysis situs I”، الرياضيات. آن. ، 32 (4): 459-512 ، دوى : 10.1007 / bf01443580 ، S2CID 118123073 

• تصنيف الأسطح المدمجة في مشروع ماثيفولد
• تصنيف الأسطح ونظرية منحنى جوردان في الصفحة الرئيسية لأندرو رانيكي
• معرض الأسطح الرياضية، مع 60 سطحًا وتطبيق جافا لعرض الدوران المباشر
• رسوم متحركة للأسطح الرياضية، باستخدام جافا سكريبت (Canvas HTML) لعرض دوران أسطح العشرات
• تصنيف الأسطح - محاضرات بقلم ز. فيدوروفيتش
• تاريخ وفن الأسطح ونماذجها الرياضية
• مشعبات ثنائية في أطلس المشعبات