دالة فوق هندسية

تُبنى حلول المعادلة التفاضلية فوق الهندسية من المتسلسلة فوق الهندسية _2F1 ( a , b _, c , z ) . للمعادلة حلان مستقلان خطيًا . عند كل نقطة من النقاط الشاذة الثلاث 0، 1، ∞، يوجد عادةً حلان خاصان على الصورة x ^s مضروبة في دالة تحليلية لـ x ، حيث s هو أحد جذري المعادلة الدليلية و x متغير محلي يتلاشى عند نقطة شاذة منتظمة. ينتج عن ذلك 3 × 2 = 6 حلول خاصة، كما يلي.    

حول النقطة z  =  0، يوجد حلان مستقلان، إذا لم يكن c عددًا صحيحًا غير موجب،

$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

وبشرط ألا يكون c عددًا صحيحًا،

$${\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

إذا كان c عددًا صحيحًا غير موجب 1 − m ، فإن الحل الأول من هذه الحلول غير موجود ويجب استبداله بـ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$لا يوجد حل ثانٍ عندما يكون c عددًا صحيحًا أكبر من 1، ويكون مساويًا للحل الأول، أو بديله، عندما يكون c أي عدد صحيح آخر. لذا، عندما يكون c عددًا صحيحًا، يجب استخدام تعبير أكثر تعقيدًا للحل الثاني، وهو يساوي الحل الأول مضروبًا في ln( z )، بالإضافة إلى متسلسلة أخرى بدلالة قوى z ، تتضمن دالة ديغاما . راجع Olde Daalhuis (2010) لمزيد من التفاصيل.

حول z  =  1، إذا لم يكن c  − a − b عددًا صحيحًا، فسيكون لدينا حلان مستقلان   

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

و

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

حول z  =  ∞، إذا لم يكن a  − b عددًا صحيحًا، فسيكون لدينا حلان مستقلان 

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

و

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

ومرة أخرى، عندما لا يتم استيفاء شروط عدم التكامل، توجد حلول أخرى أكثر تعقيدًا.

أي 3 من الحلول الستة المذكورة أعلاه تحقق علاقة خطية لأن فضاء الحلول ثنائي الأبعاد، مما يعطي ( ⁶ ₃ ) =  20 علاقة خطية بينها تسمى صيغ الاتصال .

معادلة فوكسية من الرتبة الثانية ذات n نقطة شاذة لها مجموعة تناظرات تؤثر (إسقاطيًا) على حلولها، وهي متماثلة مع مجموعة كوكسيتر W( Dn ₎ من الرتبة 2n ^{− 1n} !. معادلة فرط هندسية هي الحالة n = 3، مع مجموعة من الرتبة 24 متماثلة مع المجموعة المتناظرة على 4 نقاط، كما وصفها كومر لأول مرة . ظهور المجموعة المتناظرة عرضي وليس له نظير لأكثر من 3 نقاط شاذة، ومن الأفضل أحيانًا اعتبار المجموعة امتدادًا للمجموعة المتناظرة على 3 نقاط (تعمل كتباديل للنقاط الشاذة الثلاث) بواسطة مجموعة كلاين رباعية (عناصرها تغير إشارات فروق الأسس عند عدد زوجي من النقاط الشاذة). مجموعة كومر المكونة من 24 تحويلًا تتولد من التحويلات الثلاثة التي تأخذ حلًا F ( a , b ; c , z ) إلى أحد

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

والتي تتوافق مع عمليات النقل (12) و (23) و (34) تحت تماثل مع المجموعة المتناظرة على 4 نقاط 1 و 2 و 3 و 4. (الأول والثالث من هذه يساويان في الواقع F ( a , b ; c ; z ) بينما الثاني هو حل مستقل للمعادلة التفاضلية.)

بتطبيق تحويلات كومر 24 = 6×4 على الدالة فوق الهندسية، نحصل على الحلول 6 = 2×3 المذكورة أعلاه والتي تتوافق مع كل من الأسين الممكنين عند كل نقطة من النقاط الشاذة الثلاث، ويظهر كل منها 4 مرات بسبب المتطابقات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

يمكن تحويل المعادلة التفاضلية فوق الهندسية إلى الشكل Q

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

بإجراء الاستبدال u = wv وحذف حد المشتقة الأولى، نجد أن

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

و v تُعطى بواسطة حل المعادلة

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

وهو

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

يُعد الشكل Q مهمًا في علاقته بالمشتق الشوارزي ( هيل 1976 ، ص 307-401) . 

تُعتبر خرائط مثلث شوارتز أو دوال شوارتز s نسبًا لأزواج من الحلول.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

حيث k هي إحدى النقاط 0، 1، ∞.

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

يُستخدم هذا الأسلوب أحيانًا أيضًا. لاحظ أن معاملات الاتصال تتحول إلى تحويلات موبيوس على خرائط المثلث.

لاحظ أن كل خريطة مثلثية منتظمة عند z ∈ {0, 1, ∞} على التوالي، مع

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

في الحالة الخاصة عندما تكون λ و μ و ν أعدادًا حقيقية، حيث 0 ≤ λ,μ,ν < 1، فإنّ خرائط s هي خرائط مطابقة من النصف العلوي للمستوى H إلى مثلثات على كرة ريمان ، محاطة بأقواس دائرية. هذا التحويل هو تعميم لتحويل شوارتز -كريستوفيل إلى مثلثات ذات أقواس دائرية. تُرسَل النقاط الشاذة 0 و1 و∞ إلى رؤوس المثلث. زوايا المثلث هي πλ وπμ وπν على التوالي.    

علاوة على ذلك، في حالة λ=1/ p و μ=1/ q و ν=1/ r للأعداد الصحيحة p و q و r ، فإن المثلث يغطي الكرة أو المستوى المركب أو النصف العلوي من المستوى وفقًا لما إذا كان λ + μ + ν − 1 موجبًا أو صفرًا أو سالبًا؛ وتكون خرائط s هي دوال عكسية للدوال الذاتية لمجموعة المثلث〈p , q , r〉= Δ( p , q , r ).      

تصف خاصية المونودرومية في معادلة فوق هندسية كيف تتغير الحلول الأساسية عند استمرارها تحليليًا حول مسارات في المستوى z تعود إلى النقطة نفسها. أي، عندما يلتف المسار حول نقطة تفرد 2F1 _، فإن قيمة الحلول عند نقطة النهاية ستختلف عن قيمتها عند نقطة البداية _.

يرتبط حلان أساسيان للمعادلة الهندسية الفائقة ببعضهما البعض عن طريق تحويل خطي؛ وبالتالي فإن المونودرومي عبارة عن تطبيق (تشاكل زمر):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

حيث π ₁ هي المجموعة الأساسية . بعبارة أخرى، المونودرومي هو تمثيل خطي ثنائي الأبعاد للمجموعة الأساسية. مجموعة المونودرومي للمعادلة هي صورة هذا التحويل، أي المجموعة المولدة بواسطة مصفوفات المونودرومي. يمكن حساب تمثيل المونودرومي للمجموعة الأساسية صراحةً بدلالة الأسس عند النقاط الشاذة. ^{[ 2 ]} إذا كانت (α, α') و(β, β') و(γ, γ') هي الأسس عند 0 و1 و∞ على التوالي، فعند أخذ z ₀ بالقرب من 0، فإن الحلقات حول 0 و1 لها مصفوفات مونودرومي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

أين

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

إذا كانت 1 − a و c − a − b و a − b أعدادًا نسبية غير صحيحة بمقامات k و l و m ، فإن زمرة المونودرومي تكون منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$انظر قائمة شوارتز أو خوارزمية كوفاسيتش .

إذا كانت B هي دالة بيتا ،

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

بشرط ألا يكون z عددًا حقيقيًا أكبر من أو يساوي 1. يمكن إثبات ذلك بتوسيع (1  − zx ) ^{− a} باستخدام نظرية ذات الحدين ، ثم تكامل كل حد على حدة عندما تكون القيمة المطلقة لـ z أقل من 1، وبالاستمرار التحليلي في المواضع الأخرى. عندما يكون z عددًا حقيقيًا أكبر من أو يساوي 1، يجب استخدام الاستمرار التحليلي، لأن (1 − zx ) يساوي صفرًا عند نقطة ما في مجال التكامل، وبالتالي قد تكون قيمة التكامل غير محددة بدقة. وقد قدم أويلر هذا الحل عام 1748، وهو يستلزم تحويلات أويلر وباف الهندسية الفائقة.   

تُعطى تمثيلات أخرى، تُقابل فروعًا أخرى ، بأخذ نفس الدالة التكاملية، ولكن باعتبار مسار التكامل دورة بوخامر مغلقة تُحيط بالنقاط الشاذة بترتيبات مختلفة. تُقابل هذه المسارات فعل المونودرومي .

استخدم بارنز نظرية البواقي لتقييم تكامل بارنز

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

مثل

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

حيث يتم رسم الخط المحيطي لفصل الأقطاب 0، 1، 2... عن الأقطاب − أ ، − أ  −  1،  ...، − ب ، − ب  −  1،  ...  . هذا صحيح طالما أن z ليس عددًا حقيقيًا غير سالب.

يمكن كتابة دالة غاوس فوق الهندسية على شكل تحويل جون ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2) .

استخدم غاوس العلاقات المتجاورة لتقديم عدة طرق لكتابة ناتج قسمة دالتين فوق هندسيتين ككسر مستمر، على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

تحويل أويلر هو $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$ ويتبع ذلك من خلال الجمع بين تحويلي بفاف $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$ والتي بدورها تنبع من تمثيل أويلر التكاملي. للاطلاع على امتداد تحويلات أويلر الأولى والثانية، انظر راثي وباريس (2007) وراخا وراثي (2011) . ويمكن كتابتها أيضًا كتركيبة خطية .$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

إذا تساوى عددان من الأعداد 1  − c ، c − 1، a − b ، b − a ، a + b − c ، c − a − b ، أو كان أحدهما يساوي 1/2، فإنه يوجد تحويل تربيعي للدالة فوق الهندسية، يربطها بقيمة مختلفة لـ z مرتبطة بمعادلة تربيعية. وقدّم كومر (1836) الأمثلة الأولى ، بينما قدّم غورسات (1881) قائمة كاملة . ومن الأمثلة النموذجية:               

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

إذا اختلفت إشارات 1− c و a − b و a + b − c ، أو كان اثنان منها يساويان 1/3 أو −1/3، فإنه يوجد تحويل تكعيبي للدالة فوق الهندسية، يربطها بقيمة مختلفة لـ z مرتبطة بمعادلة تكعيبية. وقدّم غورسات (1881) أولى الأمثلة على ذلك. ومن الأمثلة النموذجية:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

توجد أيضًا بعض التحويلات من الدرجة الرابعة والسادسة. أما التحويلات من الدرجات الأخرى فلا توجد إلا إذا كانت a و b و c أعدادًا نسبية معينة ( فيدوناس 2005 ) . على سبيل المثال، $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

نظرية الجمع لغوس، التي سميت نسبةً إلى كارل فريدريش غاوس ، هي نظرية الهوية

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

والذي يتبع من صيغة أويلر التكاملية بوضع z  =  1. وهو يشمل متطابقة فاندرموند كحالة خاصة.

في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle a=-m}$، $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

تعمم صيغة دوغال هذا إلى سلسلة فرط هندسية ثنائية الجانب عند z  =  1.

توجد حالات عديدة يمكن فيها حساب قيم الدوال فوق الهندسية عند z  =  −1 باستخدام تحويل تربيعي لتغيير z  =  −1 إلى z  =  1، ثم استخدام نظرية جاوس لحساب النتيجة. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك نظرية كومر، نسبةً إلى إرنست كومر .

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

وهذا ما يترتب على تحويلات كومر التربيعية.

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

ويمكن تطبيق نظرية غاوس بوضع z  =  −1 في المتطابقة الأولى. للاطلاع على تعميم مجموع كومر، انظر لافوا، غروندان ، وراثي (1996) .

تنص نظرية الجمع الثانية لغوس على ما يلي:

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

نظرية بيلي هي

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

للاطلاع على تعميمات نظرية الجمع الثانية لغوس ونظرية الجمع لبيلي، انظر لافوا، غروندان وراثي (1996) .

توجد العديد من الصيغ الأخرى التي تعطي الدالة فوق الهندسية كعدد جبري عند قيم نسبية خاصة للمعاملات، وقد ورد بعضها في كتابي جيسيل وستانتون (1982) وكوبف (1995) . وتُقدم بعض الأمثلة النموذجية من قِبل

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

والتي يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي:

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

عندما يكون − π < x < π ويكون T هو متعدد الحدود (المعمم) تشيبيشيف .