معادلة الزمن

كانت الحركة اليومية غير المنتظمة للشمس معروفة لدى البابليين.

يتناول الكتاب الثالث من كتاب المجسطي لبطليموس (القرن الثاني الميلادي ) بشكل أساسي شذوذ الشمس، وقد دوّن معادلة الزمن في جداوله المفيدة . ^{[ 11 ]} يناقش بطليموس التصحيح اللازم لتحويل عبور الشمس لخط الزوال إلى التوقيت الشمسي المتوسط، ويأخذ في الاعتبار الحركة غير المنتظمة للشمس على طول مسارها الظاهري، وتصحيح خط الزوال لخط طول الشمس الظاهري. ويذكر أن أقصى تصحيح هو 8 + 1/3  درجة زمنية، أو 5/9 من الساعة (الكتاب الثالث، الفصل 9). ^{[ 12 ]} ومع ذلك ، لم يعتبر هذا التأثير ذا صلة بمعظم الحسابات ، لأنه كان ضئيلاً بالنسبة للأجرام السماوية بطيئة الحركة ، ولم يطبقه إلا على أسرع الأجرام السماوية حركة، وهو القمر.

استنادًا إلى مناقشة بطليموس في كتاب المجسطي ، كانت قيم معادلة الزمن (بالعربية : عدل الأيام بليلاها ) معيارية للجداول ( الزيج ) في أعمال علم الفلك الإسلامي في العصور الوسطى . ^{[ 13 ]}

قدّم نيفيل ماسكيلين وصفًا للوقت الظاهري والمتوسط ​​في التقويم البحري لعام 1767: "الوقت الظاهري هو الوقت المستنتج مباشرةً من الشمس، سواءً من رصد مرورها بخط الزوال، أو من رصد شروقها أو غروبها . ويختلف هذا الوقت عن الوقت الذي تُظهره الساعات المضبوطة بدقة على اليابسة، والذي يُسمى الوقت المُعادل أو المتوسط." وأضاف أنه في البحر، يجب تصحيح الوقت الظاهري المُستنتج من رصد الشمس باستخدام معادلة الوقت، إذا أراد الراصد معرفة الوقت المتوسط. ^{[ 1 ]}

كان يُعتقد في الأصل أن الوقت الصحيح هو ما تُظهره الساعة الشمسية. وعندما ظهرت الساعات الميكانيكية الدقيقة، لم تتطابق قراءاتها مع الساعات الشمسية إلا في أربعة تواريخ تقريبًا كل عام، لذا استُخدمت معادلة الزمن لتصحيح قراءاتها والحصول على توقيت الساعة الشمسية. بعض الساعات، التي تُسمى ساعات المعادلة ، احتوت على آلية داخلية لإجراء هذا التصحيح. لاحقًا، ومع انتشار الساعات الميكانيكية كأجهزة قياس الوقت الدقيقة، أصبح توقيت الساعة غير المصحح، أي "التوقيت المتوسط"، هو المعيار المُعتمد. عند استخدام الساعات الشمسية، كانت تُصحح، ولا تزال تُصحح في كثير من الأحيان، باستخدام معادلة الزمن، ولكن في الاتجاه المعاكس لما كان عليه سابقًا، للحصول على توقيت الساعة. لذلك، تحتوي العديد من الساعات الشمسية على جداول أو رسوم بيانية لمعادلة الزمن محفورة عليها لتمكين المستخدم من إجراء هذا التصحيح. ^{[ 8 ] : 123}

استُخدمت معادلة الزمن تاريخيًا لضبط الساعات . بين اختراع الساعات الدقيقة عام 1656 وظهور خدمات توزيع الوقت التجارية حوالي عام 1900، كانت هناك عدة طرق شائعة لضبط الساعات على الأرض. كانت تُقرأ الساعة الشمسية ويُصحح توقيتها باستخدام جدول أو رسم بياني لمعادلة الزمن.

إذا توفرت أداة رصد العبور أو كانت الدقة مهمة، يُسجل عبور الشمس لخط الزوال (اللحظة التي تبدو فيها الشمس جنوب أو شمال الراصد تمامًا، والمعروفة بذروتها ) ؛ ثم تُضبط الساعة على الظهر ويُؤجل الوقت بعدد الدقائق التي تُحددها معادلة الزمن لذلك التاريخ. أما الطريقة الثالثة فلم تستخدم معادلة الزمن، بل اعتمدت على الرصد النجمي لحساب الوقت النجمي ، مستغلةً العلاقة بين الوقت النجمي والوقت الشمسي المتوسط . ^{[ 14 ] : 57-58.} وكانت الطرق الأكثر دقة أيضًا بمثابة مقدمة لتحديد خط طول الراصد بالنسبة لخط الزوال الرئيسي ، كما هو الحال في علم المساحة الأرضية والملاحة الفلكية البحرية.

نُشرت أولى الجداول التي تُقدّم معادلة الزمن بطريقة صحيحة جوهريًا عام 1665 على يد كريستيان هويغنز . ^{[ 15 ]} وقد قام هويغنز، مُقتديًا بنهج بطليموس وعلماء الفلك في العصور الوسطى عمومًا، بتحديد قيم معادلة الزمن بحيث تكون جميع القيم موجبة على مدار السنة. ^{[ 15 ]} وهذا يعني أن أي ساعة تُضبط على التوقيت المتوسط ​​باستخدام جداول هويغنز كانت  تتأخر باستمرار حوالي 15 دقيقة عن التوقيت المتوسط ​​الحالي.

نُشرت مجموعة أخرى من الجداول في الفترة 1672-1673 على يد جون فلامستيد ، الذي أصبح لاحقًا أول فلكي ملكي لمرصد غرينتش الملكي الجديد . ويبدو أن هذه الجداول كانت الأولى التي تُعطي المعنى الحالي للتوقيت المتوسط ​​(سابقًا، كما ذُكر أعلاه، كانت إشارة المعادلة دائمًا موجبة، وتُضبط على الصفر عندما يكون وقت شروق الشمس الظاهري هو الأبكر بالنسبة لوقت شروق الشمس الفعلي). وقد اعتمد فلامستيد اصطلاح جدولة التصحيح وتسميته، بمعنى أنه يُطبق على الوقت الظاهري لإعطاء التوقيت المتوسط. ^{[ 16 ]}

لم تُعتمد معادلة الزمن، القائمة بشكل صحيح على المكونين الرئيسيين لعدم انتظام الحركة الظاهرية للشمس، بشكل عام إلا بعد جداول فلامستيد لعامي 1672-1673، والتي نُشرت مع الطبعة التي صدرت بعد وفاة جيريميا هوروكس . ^{[ 17 ] : 49}

كان روبرت هوك (1635-1703)، الذي حلل المفصل العالمي رياضياً ، أول من لاحظ أن هندسة ووصف معادلة الزمن (غير العلمانية) والمفصل العالمي متطابقان، واقترح استخدام المفصل العالمي في بناء "ساعة شمسية ميكانيكية". ^{[ 18 ] : 219}

أدت التصحيحات التي أُدخلت على جداول فلامستيد في عامي 1672-1673 و1680 إلى حساب متوسط ​​الوقت بدقة جوهرية ودون الحاجة إلى أي تعديل إضافي. إلا أن القيم العددية في جداول معادلة الزمن قد تغيرت بعض الشيء منذ ذلك الحين، وذلك لثلاثة عوامل:

• تحسينات عامة في الدقة ناتجة عن تحسينات في تقنيات القياس الفلكي،
• التغيرات الجوهرية البطيئة في معادلة الزمن، والتي تحدث نتيجة لتغيرات طفيفة طويلة الأمد في ميل محور الأرض وانحرافها المداري (مما يؤثر، على سبيل المثال، على مسافة وتواريخ الحضيض الشمسي )، و
• إن إدراج مصادر صغيرة للتغير الإضافي في الحركة الظاهرية للشمس، والتي كانت غير معروفة في القرن السابع عشر ولكن تم اكتشافها من القرن الثامن عشر فصاعدًا، بما في ذلك تأثيرات القمر (انظر مركز الثقل )، والزهرة والمشتري. ^{[ 19 ]}

من عام 1767 إلى عام 1833، سجّل التقويم البحري البريطاني والتقويم الفلكي معادلة الوقت على النحو التالي: "أضف أو اطرح (حسب التوجيهات) عدد الدقائق والثواني المذكورة من أو إلى الوقت الظاهري للحصول على الوقت المتوسط". كانت الأوقات في التقويم تُحسب بالتوقيت الشمسي الظاهري، لأن الوقت على متن السفينة كان يُحدد في أغلب الأحيان بمراقبة الشمس. وكانت هذه العملية تُجرى في الحالات النادرة التي تتطلب حساب الوقت الشمسي المتوسط. أما في الإصدارات اللاحقة لعام 1834، فقد أصبحت جميع الأوقات تُحسب بالتوقيت الشمسي المتوسط، لأنه بحلول ذلك الوقت كان الوقت على متن السفينة يُحدد بشكل متزايد باستخدام الساعات البحرية . وبالتالي، كانت التعليمات هي إضافة أو طرح (حسب التوجيهات) عدد الدقائق المذكورة من أو إلى الوقت المتوسط ​​للحصول على الوقت الظاهري. وهكذا، أصبحت الإضافة تعني أن المعادلة موجبة، والطرح يعني أنها سالبة.

بما أن حركة الشمس الظاهرية اليومية هي دورة كاملة في اليوم، أي 360 درجة كل 24  ساعة، وبما أن الشمس نفسها تظهر كقرص يبلغ قطره حوالي 0.5 درجة في السماء، فإن الساعات الشمسية البسيطة يمكن قراءتها بدقة قصوى تبلغ دقيقة واحدة تقريبًا. ولأن معادلة الوقت لها مدى زمني يبلغ حوالي 33  دقيقة، فلا يمكن تجاهل الفرق بين وقت الساعة الشمسية ووقت الساعة. إضافةً إلى معادلة الوقت، يجب أيضًا إجراء تصحيحات بناءً على بُعد الشخص عن خط الزوال المحلي والتوقيت الصيفي ، إن وُجد.

إن الزيادة الطفيفة في متوسط ​​اليوم الشمسي بسبب تباطؤ دوران الأرض، بحوالي 2 مللي ثانية في اليوم لكل قرن، والتي تتراكم حاليًا لتصل إلى حوالي  ثانية واحدة كل عام، لا تؤخذ في الاعتبار في التعريفات التقليدية لمعادلة الزمن، لأنها غير محسوسة على مستوى دقة الساعات الشمسية.

تدور الأرض حول الشمس. وكما يُرى من الأرض، تبدو الشمس وكأنها تدور دورة كاملة حول الأرض عبر النجوم الخلفية في عام واحد. لو كانت الأرض تدور حول الشمس بسرعة ثابتة، في مدار دائري في مستوى عمودي على محور الأرض، لكانت الشمس ستصل إلى ذروتها كل يوم في نفس الوقت بالضبط، ولأصبحت مرجعًا مثاليًا للوقت (باستثناء التأثير الطفيف جدًا لتباطؤ دوران الأرض). لكن مدار الأرض بيضاوي الشكل وليس مركزه الشمس، وتتراوح سرعته بين 30.287 و29.291  كم/ث، وفقًا لقوانين كبلر لحركة الكواكب ، كما أن سرعته الزاوية متغيرة أيضًا، وبالتالي تبدو الشمس وكأنها تتحرك أسرع (مقارنةً بالنجوم الخلفية) عند أقرب نقطة لها من الشمس (حاليًا حوالي 3  يناير) وأبطأ عند أبعد نقطة لها بعد ستة أشهر. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

عند هذه النقاط القصوى، يُغيّر هذا التأثير طول اليوم الشمسي الظاهري بمقدار 7.9  ثانية/يوم عن متوسطه. ونتيجةً لذلك، تتراكم الفروقات اليومية الأصغر في السرعة في الأيام الأخرى حتى هذه النقاط، مما يعكس كيفية تسارع الكوكب وتباطؤه مقارنةً بالمتوسط.

ونتيجة لذلك، يساهم انحراف مدار الأرض في حدوث تغير دوري وهو (في التقريب من الدرجة الأولى) عبارة عن موجة جيبية ذات:

• السعة: 7.66  دقيقة
• المدة : سنة واحدة
• النقاط الصفرية: الحضيض (في بداية شهر يناير) والأوج (في بداية شهر يوليو)
• القيم المتطرفة: أوائل أبريل (سلبية) وأوائل أكتوبر (إيجابية)

يتم تمثيل هذا المكون من EoT بالعامل المذكور أعلاه a :

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))}$

حتى لو كان مدار الأرض دائريًا، فإن الحركة الظاهرية للشمس على طول خط الاستواء السماوي لن تكون منتظمة. ^{[ 5 ]} هذا نتيجة لميل محور دوران الأرض بالنسبة لمستوى مدارها ، أو ما يعادله، ميل مسار الشمس الظاهري ( المسار الذي تبدو الشمس وكأنها تسلكه في الكرة السماوية ) بالنسبة لخط الاستواء السماوي . يكون إسقاط هذه الحركة على خط الاستواء السماوي ، الذي يُقاس عليه "الوقت"، في أقصى حالاته عند الانقلابين الشمسيين ، عندما تكون الحركة السنوية للشمس موازية لخط الاستواء (مما يؤدي إلى تضخيم السرعة الظاهرية) وينتج عنه بشكل رئيسي تغير في المطلع المستقيم . ويكون في أدنى حالاته عند الاعتدالين ، عندما تكون الحركة الظاهرية للشمس أكثر انحدارًا وتنتج عنها تغير أكبر في الميل ، مما يقلل من تأثير مكون المطلع المستقيم ، وهو المكون الوحيد الذي يؤثر على مدة اليوم الشمسي. من الأمثلة العملية على ميل محور الأرض أن التغير اليومي في ظل الشمس على الساعة الشمسية، حتى على خط الاستواء، يكون أقل قرب الانقلابين الشمسيين وأكبر قرب الاعتدالين. لو كان هذا التأثير وحده هو العامل المؤثر، لبلغ طول اليوم 24  ساعة و20.3 ثانية (مقاسًا من منتصف النهار الشمسي إلى منتصف النهار الشمسي) قرب الانقلابين، وأقصر من 24 ساعة  بمقدار 20.3 ثانية قرب الاعتدالين. ^{[ 20 ] [ 23 ] [ 22 ]}  

في الشكل على اليمين، يمكننا ملاحظة التغير الشهري في الميل الظاهري لمستوى مسار الشمس عند منتصف النهار كما يُرى من الأرض. ويعود هذا التغير إلى التبادر الظاهري لدوران الأرض على مدار العام، كما يُرى من الشمس عند منتصف النهار.

من حيث معادلة الزمن، ينتج عن ميل دائرة البروج مساهمة تغير موجة جيبية مع:

• السعة: 9.87 دقيقة
• المدة: نصف سنة
• نقاط صفرية: الاعتدالات والانقلابات
• القيم المتطرفة: بداية فبراير وأغسطس (سلبية) وبداية مايو ونوفمبر (إيجابية).

يتم تمثيل هذا المكون من EoT بواسطة العامل المذكور أعلاه "ب":

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

التعريف الدقيق لمعادلة الزمن هو: ^{[ 28 ] : 1529}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA} }$

الكميات الواردة في هذه المعادلة هي:

• EOT، وهو الفرق الزمني بين التوقيت الشمسي الظاهري والتوقيت الشمسي المتوسط ؛
• GHA، زاوية ساعة غرينتش للشمس الظاهرية (الحقيقية)؛
• GMHA = التوقيت العالمي - الإزاحة، زاوية الساعة المتوسطة لغرينتش للشمس المتوسطة (الوهمية).

هنا، يرتبط الزمن والزاوية بعوامل مثل: 2π راديان  = 360° =  يوم واحد = 24  ساعة. الفرق بينهما، EOT، قابل للقياس لأن GHA زاوية قابلة للقياس، والتوقيت العالمي ( UT) مقياس لقياس الزمن. يلزم وجود فرق مقداره π = 180° = 12  ساعة عن التوقيت العالمي (UT) لأن التوقيت العالمي يساوي صفرًا عند منتصف الليل، بينما GMHA  تساوي صفرًا عند منتصف النهار. التوقيت العالمي غير متصل عند منتصف الليل، لذا يلزم عدد الأيام N ، وهو عدد صحيح، لتكوين الزمن المتصل t : t = N + UT / 24 ساعة / يوم . كل من GHA وGMHA، كجميع الزوايا الفيزيائية، لهما انقطاع رياضي، وليس فيزيائي، عند منتصف النهار (الظاهري والمتوسط) على التوالي. على الرغم من الانقطاعات الرياضية لمكوناتها، يتم تعريف EOT كدالة متصلة عن طريق إضافة (أو طرح) 24  ساعة في الفترة الزمنية الصغيرة بين الانقطاعات في GHA و GMHA.

وفقًا لتعريفات الزوايا على الكرة السماوية، فإن GHA = GAST − α (انظر زاوية الساعة ) حيث:

• GAST هو التوقيت النجمي الظاهري لغرينتش (الزاوية بين الاعتدال الربيعي الظاهري وخط الزوال في مستوى خط الاستواء). وهو دالة معروفة للتوقيت العالمي المنسق. ^{[ 29 ]}
• α هو الصعود المستقيم للشمس الظاهرية (الزاوية بين الاعتدال الربيعي الظاهري والشمس الفعلية في مستوى خط الاستواء).

بالتعويض في معادلة الزمن، يكون

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

كما هو الحال في صيغة GHA المذكورة أعلاه، يمكن كتابة GMHA = GAST − α _M ، حيث يمثل الحد الأخير المطلع المستقيم للشمس المتوسطة. غالبًا ما تُكتب المعادلة بهذه الصيغة على النحو التالي: ^{[ 4 ] : ​​275 [ 30 ] : 45}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha }$

حيث α _M = GAST − UT + offset . في هذه الصيغة، يعتمد قياس أو حساب EOT عند قيمة زمنية معينة على قياس أو حساب α عند تلك القيمة الزمنية. يتغير كل من α و α _M من 0 إلى 24 ساعة خلال السنة. يُظهر الأول انقطاعًا عند وقت يعتمد على قيمة UT، بينما يُظهر الثاني انقطاعًا عند وقت لاحق قليلًا. ونتيجة لذلك، عند حساب EOT بهذه الطريقة، يظهر انقطاعان اصطناعيان. يمكن إزالة كلا الانقطاعين بطرح 24 ساعة من قيمة EOT في الفترة الزمنية القصيرة التي تلي الانقطاع في α وقبل الانقطاع في α _M. وبذلك، يصبح EOT دالة متصلة للزمن.

تعريف آخر، يُرمز له بالحرف E لتمييزه عن EOT، هو

${\displaystyle E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

هنا ، GMST = GAST − eqeq ، هو متوسط ​​التوقيت النجمي في غرينتش (الزاوية بين متوسط ​​الاعتدال الربيعي ومتوسط ​​الشمس في مستوى خط الاستواء). لذا، يُعد GMST تقريبًا لـ GAST (و E تقريبًا لـ EOT)؛ وتُسمى eqeq معادلة الاعتدالين، وهي ناتجة عن تذبذب أو ترنح محور دوران الأرض حول حركته التبادرية. وبما أن سعة الحركة الترنحية تبلغ حوالي 1.2 ثانية فقط (18 ثانية طولية) ، يمكن تجاهل  الفرق بين EOT و E إلا إذا كان المرء مهتمًا بدقة تصل إلى أجزاء من الثانية.

التعريف الثالث، الذي يُرمز له بـ Δt لتمييزه عن EOT و E ، ويُسمى الآن معادلة الزمن الفلكي ^{[ 28 ] : 1532} (قبل التمييز الحالي بين EOT و E و Δt ، كانت الأخيرة تُعرف باسم معادلة الزمن) هو

${\displaystyle \Delta t=\Lambda -\alpha }$

هنا Λ هو خط الطول الكسوفي للشمس المتوسطة (الزاوية من الاعتدال الربيعي المتوسط ​​إلى الشمس المتوسطة في مستوى الكسوف ) .

يبلغ الفرق Λ − (GMST − UT + offset) 1.3  ثانية من عام 1960 إلى عام 2040. لذلك، ضمن هذا النطاق المحدود من السنوات، يُعد Δ t تقريبًا لـ EOT الذي يتراوح خطأه بين 0.1 و 2.5  ثانية اعتمادًا على تصحيح خط الطول في معادلة الاعتدالين؛ بالنسبة للعديد من الأغراض، على سبيل المثال تصحيح الساعة الشمسية، فإن هذه الدقة أكثر من كافية.

يمكن حساب المطلع المستقيم، وبالتالي معادلة الزمن، من خلال نظرية نيوتن للحركة السماوية المكونة من جسمين، حيث يدور الجسمان (الأرض والشمس) في مدارات إهليلجية حول مركز كتلتهما المشترك. وباستخدام هذه النظرية، تصبح معادلة الزمن كما يلي:

${\displaystyle \Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha }$

حيث تظهر الزوايا الجديدة التالية:

• M = 2π ( t − t _p ) / t _Y ⁠ ، هو الشذوذ المتوسط ​​، الزاوية من نقطة الحضيض للمدار الإهليلجي إلى الشمس المتوسطة ؛ نطاقه من 0 إلى 2 π معزيادة t من t _p إلى t _p + t _Y ؛
• t _Y =365.259 6358  يومًا هو طول الفترة الزمنية في السنة الشاذة : الفاصل الزمني بين مرورين متتاليين لنقطة الحضيض؛
• λ _p = Λ − M ، هو خط الطول الكسوفي لنقطة الحضيض؛
• يمثل t الزمن الديناميكي ، وهو المتغير المستقل في النظرية. يُفترض هنا أنه مطابق للزمن المستمر القائم على التوقيت العالمي (انظر أعلاه)، ولكن في الحسابات الأكثر دقة (لـ E أو EOT) يجب مراعاة الفرق الطفيف بينهما ^{[ 28 ] : 1530 [ 29 ]} بالإضافة إلى التمييز بين UT1 وUTC.
• t _p هي قيمة t عند نقطة الحضيض.

لإكمال الحساب، يلزم ثلاث زوايا إضافية:

• E ، الشذوذ اللامركزي للشمس(لاحظ أن هذا يختلف عن M )؛
• ν ، الشذوذ الحقيقي للشمس؛
• λ = ν + λ _p ، خط الطول الحقيقي للشمس على دائرة البروج.

تظهر جميع هذه الزوايا في الشكل على اليمين، والذي يوضح الكرة السماوية ومدار الشمس الإهليلجي كما يُرى من الأرض (وهو نفسه مدار الأرض كما يُرى من الشمس). في هذا الشكل، ε هي زاوية ميل محور الأرض ، بينما e = √ 1 − ( b / a ) ² هي انحراف الإهليلج.

بمعرفة قيمة 0 ≤ M ≤ 2π ، يمكن حساب α ( M ) باستخدام الإجراء المعروف التالي: ^{[ 27 ] : 89}

أولاً، بمعلومية M ، احسب E من معادلة كبلر : ^{[ 31 ] : 159}

${\displaystyle M=E-e\sin {E}}$

على الرغم من أنه لا يمكن حل هذه المعادلة بدقة بصيغة مغلقة، إلا أنه يمكن الحصول على قيم E ( M ) من متسلسلات لانهائية (أسية أو مثلثية)، أو من خلال الطرق البيانية أو العددية. وبدلاً من ذلك، لاحظ أنه عندما e = 0 ، فإن E = M ، وبالتكرار: ^{[ 32 ] : 2}

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}}$

يمكن تحسين هذا التقريب، بالنسبة لقيم e الصغيرة ، عن طريق التكرار مرة أخرى:

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}}$،

وتؤدي عملية التكرار المستمرة إلى إنتاج حدود ذات رتبة أعلى تباعاً لتوسيع متسلسلة القوى في e . بالنسبة للقيم الصغيرة لـ e (أقل بكثير من 1)، فإن حدين أو ثلاثة حدود من المتسلسلة تعطي تقريبًا جيدًا لـ E ؛ وكلما صغرت قيمة e ، كان التقريب أفضل.

بعد ذلك، بمعرفة E ، احسب الشذوذ الحقيقي ν من علاقة المدار الإهليلجي ^{[ 31 ] : 165}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)}$

الفرع الصحيح للدالة متعددة القيم arctan x هو الفرع الذي يجعل ν دالة متصلة لـ E ( M ) بدءًا من νE _{= 0} = 0. بالتالي، بالنسبة لـ 0 ≤ E < π، نستخدم arctan x = arctan x ، وبالنسبة لـ π < E ≤ 2π، نستخدم arctan x = arctan x + π . عند القيمة المحددة E = π التي تكون عندها قيمة tan لانهائية، نستخدم ν = E. هنا، arctan x هو الفرع الرئيسي، |arctan x| < π / 2 ؛ وهي الدالة التي تُرجعها الآلات الحاسبة وتطبيقات الحاسوب . بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن هذه الدالة بدلالة متسلسلة تايلور الخاصة بها في e ، والتي تكون حدودها الثلاثة الأولى كما يلي:

${\displaystyle \nu \approx E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}}$.

بالنسبة لقيم e الصغيرة، يُعد هذا التقريب (أو حتى الحدين الأولين فقط) جيدًا. بدمج تقريب E ( M ) مع تقريب ν ( E ) ، نحصل على:

${\displaystyle \nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

تُسمى العلاقة ν ( M ) معادلة المركز ؛ والتعبير المكتوب هنا هو تقريب من الدرجة الثانية في e . بالنسبة للقيمة الصغيرة لـ e التي تميز مدار الأرض، فإن هذا يعطي تقريبًا جيدًا جدًا لـ ν ( M ) .

بعد ذلك، بمعرفة قيمة ν ، احسب قيمة λ من تعريفها:

${\displaystyle \lambda =\nu +\lambda _{p}}$

تتغير قيمة λ بشكل غير خطي مع M لأن المدار بيضاوي وليس دائريًا. من التقريب لـ ν :

${\displaystyle \lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

وأخيرًا، بمعرفة λ، احسب α من علاقة المثلث القائم الزاوية على الكرة السماوية الموضحة أعلاه ^{[ 33 ] : 22}

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$

لاحظ أن ربع α هو نفسه ربع λ ، لذلك قم بتقليص λ إلى النطاق من 0 إلى 2π واكتب

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)}$،

حيث k تساوي 0 إذا كانت λ في الربع 1، وتساوي 1 إذا كانت λ في الربعين 2 أو 3، وتساوي 2 إذا كانت λ في الربع 4. بالنسبة للقيم التي يكون عندها tan لانهائيًا، α = λ .

على الرغم من إمكانية الحصول على قيم تقريبية لـ α من متسلسلات تايلور المقتطعة مثل تلك الخاصة بـ ν ، ^{[ 34 ] : 32،} إلا أنه من الأكثر فعالية استخدام المعادلة ^{[ 35 ] : 374}

${\displaystyle \alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)}$

حيث y = tan ² ( ⁠ ε / 2 ⁠ ) . لاحظ أنه بالنسبة لـ ε = y = 0 ، α = λ والتكرار مرتين:

${\displaystyle \alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }}$.

تُستنتج معادلة الزمن بتعويض نتيجة حساب الصعود المستقيم في صيغة معادلة الزمن. هنا، _{يُستخدم التعبير Δt(M) = M + λp} − α[λ(M)]؛ ويعود ذلك جزئيًا إلى عدم تضمين التصحيحات الصغيرة (في حدود ثانية واحدة) التي تُبرر استخدام E ، وجزئيًا إلى أن الهدف هو الحصول على تعبير تحليلي بسيط . يسمح استخدام تقريبات ثنائية الحد لـ λ ( M ) و α ( λ ) بكتابة Δt كتعبير صريح من حدين، ويُرمز له بـ Δtey لأنه تقريب من الدرجة الأولى في e و _y .

1)${\displaystyle \Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)}$دقائق

اشتق ميلن هذه المعادلة لأول مرة ^{[ 35 ] : 375،} وكتبها بدلالة λ = M + λ _p . وتنتج القيم العددية المكتوبة هنا من استخدام قيم معلمات المدار، e =0.016709 ، ε =​23.4393 ° =0.409093 راديان  ، و λ _p =282.9381 ° =4.938201 راديان ،  وهو ما يتوافق مع تاريخ 1  يناير 2000 الساعة 12 ظهرًا بالتوقيت العالمي المنسق 1. عند حساب القيمة العددية لـ Δtey كما هو موضح أعلاه، يجب أن _{تكون الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الراديان للحصول على قيم صحيحة ،} لأن قيمة 2λp - 2π في وسيط الحد الثاني مكتوبة بالراديان. يمكن أيضًا كتابة تقريبات من رتبة أعلى، [ ^{36 ] : المعادلتان (45) و(46)،} ولكنها بالضرورة تحتوي على عدد أكبر من الحدود. على سبيل المثال، يتكون التقريب من الرتبة الثانية في كل من e و y من خمسة حدود ^{[ 28 ] : 1535}

2)${\displaystyle \Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)}$

يتمتع هذا التقريب بإمكانية تحقيق دقة عالية، إلا أنه لتحقيقه على مدى سنوات عديدة، يجب السماح للمعاملات e و ε و λp بالتغير مع الزمن. ^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] :} _{1531 ،} ^1535. وهذا يُضيف تعقيدات حسابية. وقد اقتُرحت تقريبات أخرى، على سبيل المثال، ^Δt e [ ^{27 ]} _: ^{86 [ 37 ] التي} تستخدم معادلة الدرجة الأولى للمركز دون أي تقريب آخر لتحديد α ، و Δt e ₂ ^{[ ₃₈ ]} التي تستخدم معادلة الدرجة الثانية للمركز ^.

يمكن كتابة متغير الوقت، M ، إما بدلالة n ، وهو عدد الأيام التي انقضت بعد نقطة الحضيض، أو D ، وهو عدد الأيام التي انقضت بعد تاريخ ووقت محددين (حقبة زمنية):

3)${\displaystyle M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n}$أيام${\displaystyle =M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D}$أيام${\displaystyle =6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

4) ${\displaystyle M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

هنا، M_{_D} هي قيمة M عند التاريخ والوقت المُختارين. بالنسبة للقيم المُعطاة هنا، بالراديان، فإن M_{_D} هي القيمة المقاسة للشمس الفعلية في الحقبة، 1  يناير 2000 الساعة 12  ظهرًا بالتوقيت العالمي المنسق 1، و D هو عدد الأيام التي انقضت بعد تلك الحقبة. عند نقطة الحضيض، M = 2π ، لذا فإن الحل يُعطي D = D_{_p} =2.508 109. هذا يُحدد موقع الحضيض في 4  يناير 2000 الساعة 00:11:41، بينما يُشير موقع الحضيض الفعلي، وفقًا لنتائج التقويم الحاسوبي التفاعلي متعدد السنوات ^{[ 39 ]} (المختصر بـ MICA)، إلى 3  يناير 2000 الساعة 05:17:30. يحدث هذا التباين الكبير لأن الفرق بين نصف قطر المدار في الموقعين لا يتجاوز جزءًا واحدًا من المليون؛ أي أن نصف القطر دالة ضعيفة جدًا للوقت بالقرب من الحضيض. عمليًا، هذا يعني أنه لا يمكن الحصول على نتيجة دقيقة للغاية لمعادلة الزمن باستخدام n وإضافة تاريخ الحضيض الفعلي لسنة معينة. مع ذلك ، يمكن تحقيق دقة عالية باستخدام الصيغة بدلالة D.

عندما تكون D > D _p ، تكون M أكبر من 2π ، ويجب طرح مضاعف لـ 2π ( يختلف باختلاف السنة) منها لجعلها ضمن النطاق من 0 إلى 2π . وبالمثل، بالنسبة للسنوات التي سبقت عام 2000، يجب إضافة مضاعفات لـ 2π . على سبيل المثال، بالنسبة لعام 2010، تتراوح قيمة D من3653 في 1  يناير عند الظهر إلى4017 في 31 ديسمبر عند الظهر؛ قيم M  المقابلة هي69.078 9468 و75.340 4748 ويتم تقليلها إلى النطاق من 0 إلى 2 π عن طريق طرح 10 و 11 مرة 2 π على التوالي.

يمكن للمرء أن يكتب دائماً:

5) D = n _Y + d

أين:

• n _Y = عدد الأيام من بداية الحقبة إلى ظهر يوم 1 يناير من السنة المطلوبة
• 0 ≤ d ≤ 364 (365 إذا كانت الحسابات لسنة كبيسة).

المعادلة الناتجة للسنوات بعد عام 2000، مكتوبة كمجموع حدين، بمعلومية 1) و4) و5)، هي:

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))}$

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

6)${\displaystyle \Delta t_{ey}=a+b}$[دقائق]

بصيغة نصية عادية:

7) EoT = -7.659sin(6.24004077 + 0.01720197(365*(y-2000) + d)) + 9.863sin( 2 (6.24004077 + 0.01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3.5932 ) [دقائق]

يمثل المصطلح "أ" مساهمة اللامركزية، ويمثل المصطلح "ب" مساهمة الميل.

تُعرض نتائج الحسابات عادةً إما كمجموعة من القيم الجدولية ، أو كرسم بياني لمعادلة الزمن كدالة في d . يوضح الشكل مقارنة بين رسومات Δt و Δtey ونتائج MICA ، جميعها لعام 2000. يُلاحظ أن رسم Δtey قريب من نتائج MICA، حيث يقل الخطأ المطلق، _Err = | Δtey − MICA2000 | ، عن دقيقة واحدة طوال  العام؛ وأكبر قيمة له هي 43.2  ثانية، وتحدث في اليوم ₂₇₆  (3 أكتوبر ). أما رسم Δt _فهو  مطابق تمامًا لنتائج MICA، وأكبر خطأ مطلق بينهما هو 2.46 ثانية في اليوم 324 (20 نوفمبر).   

تم التحقق من الفرق بين نتائج MICA و Δt  كل 5 سنوات خلال الفترة من 1960 إلى 2040. في كل حالة، كان الحد الأقصى للخطأ المطلق أقل من 3 ثوانٍ  ؛ وحدث أكبر فرق، 2.91  ثانية، في 22  مايو 1965 (اليوم  141). مع ذلك، ولتحقيق هذا المستوى من الدقة على مدى هذه السنوات، من الضروري مراعاة التغير التدريجي في معلمات المدار مع مرور الوقت. المعادلات التي تصف هذا التغير هي: ^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] : 1531، 1535}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}}$

وفقًا لهذه العلاقات، في غضون 100  عام ( D  = 36 525 ), λ _p تزداد بنحو 0.5٪ (1.7 درجة)، e تنخفض بنحو 0.25٪، و ε تنخفض بنحو 0.05٪.

ونتيجةً لذلك، يتطلب عدد العمليات الحسابية اللازمة لأي من التقريبات ذات الرتبة الأعلى لمعادلة الزمن استخدام الحاسوب لإتمامها، إذا ما أُريد تحقيق دقتها المتأصلة على نطاق زمني واسع. وفي هذه الحالة، لا يُعدّ حساب Δt باستخدام الحاسوب أكثر صعوبةً من حساب أيٍّ من تقريباته.

تجدر الإشارة إلى أن _قيمة Δt كما وردت أعلاه سهلة الحساب، حتى باستخدام الآلة الحاسبة، وهي دقيقة بما يكفي (أفضل من دقيقة واحدة على مدى 80 عامًا) لتصحيح الساعات الشمسية، ولها تفسير فيزيائي واضح باعتبارها مجموع حدين، أحدهما ناتج عن ميل محور الأرض والآخر عن الانحراف المركزي ،  كما ورد سابقًا في المقال. ولا ينطبق هذا على Δt عند اعتبارها دالة لـ M أو على أي من تقريباتها ذات الرتبة الأعلى.

يمكن اتباع إجراء آخر لحساب معادلة الزمن كما يلي. ^{[ 37 ]} الزوايا بالدرجات؛ وينطبق الترتيب التقليدي للعمليات .

ن = 360 درجة / 365.24 يومًا ، 

حيث n هي متوسط ​​السرعة المدارية الزاوية للأرض بالدرجات في اليوم، والمعروفة أيضًا باسم "متوسط ​​الحركة اليومية" .

${\displaystyle A=\left(D+9\right)n}$

حيث يُمثل D التاريخ، محسوبًا بالأيام بدءًا من 1 في 1  يناير (أي جزء الأيام من التاريخ الترتيبي في السنة). 9 هو العدد التقريبي للأيام من الانقلاب الشتوي إلى 31  ديسمبر. A هي الزاوية التي ستتحرك بها الأرض في مدارها بسرعتها المتوسطة من الانقلاب الشتوي إلى التاريخ D.

${\displaystyle B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$

B هي الزاوية التي تتحركها الأرض من الانقلاب الشمسي إلى التاريخ D ، مع تصحيح من الدرجة الأولى لانحراف مدار الأرض، 0.0167  . الرقم  3 هو عدد الأيام التقريبي من 31 ديسمبر إلى التاريخ الحالي لحضيض  الأرض . يمكن تبسيط هذه الصيغة لـ B بدمج الثوابت كما يلي:

${\displaystyle B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$.

${\displaystyle C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}}$

هنا، C هو الفرق بين الزاوية التي تحركت بها المركبة عند السرعة المتوسطة، والزاوية عند السرعة المصححة المسقطة على المستوى الاستوائي، مقسومًا على 180° للحصول على الفرق بوحدات " أنصاف دورات ". القيمة 23.44° هي ميل محور الأرض ("الميل المحوري") . يُعطي الطرح الإشارة الاصطلاحية لمعادلة الزمن. لأي قيمة معطاة لـ x ، فإن دالة arctan x (التي تُكتب أحيانًا tan ⁻¹ x ) لها قيم متعددة، تختلف عن بعضها البعض بأعداد صحيحة من أنصاف الدورات. قد لا تكون القيمة التي يُنتجها الحاسوب أو الآلة الحاسبة مناسبة لهذه العملية الحسابية. قد يؤدي هذا إلى خطأ في قيمة C بمقدار عدد صحيح من أنصاف الدورات. تُزال أنصاف الدورات الزائدة في الخطوة التالية من الحساب للحصول على معادلة الزمن.

${\displaystyle \mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)}$ دقائق

يُشير التعبير nint( C ) إلى أقرب عدد صحيح إلى C. ويمكن برمجته على الحاسوب، على سبيل المثال، كـ INT(C + 0.5) . وتكون قيمته 0 أو 1 أو 2 في أوقات مختلفة من السنة. وبطرحه، نحصل على عدد كسري صغير موجب أو سالب يُمثل نصف دورة، يُضرب في 720، وهو عدد الدقائق (12  ساعة) التي تستغرقها الأرض للدوران نصف دورة كاملة حول الشمس، لنحصل على معادلة الزمن.

بالمقارنة مع القيم المنشورة، ^{[ 8 ]} يبلغ متوسط ​​الخطأ التربيعي الجذري لهذه الحسابات 3.7 ثانية فقط  . ويبلغ أقصى خطأ 6.0  ثانية. وهذا أكثر دقة بكثير من التقريب المذكور أعلاه، ولكنه ليس بدقة الحساب المعقد.