مخطط فاينمان

يُعطي توسيع ويك للدالة التكاملية (من بين أمور أخرى) الحد التالي

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,}$

أين

${\displaystyle {\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}}$

يمثل هذا المصطلح الانكماش الكهرومغناطيسي (المُوَصِّل) في مقياس فاينمان. ويُمثَّل هذا المصطلح بمخطط فاينمان على اليمين. يُسهم هذا المخطط في العمليات التالية:

1. ^تشتت الإلكترون ^- بوزيترون (الحالة الابتدائية على اليمين، والحالة النهائية على يسار الرسم التخطيطي)؛
2. تشتت الإلكترون ⁺ الإلكترون ⁺ (الحالة الأولية على اليسار، والحالة النهائية على يمين الرسم التخطيطي)؛
3. تشتت e ⁻ e ⁺ (الحالة الابتدائية في الأسفل / الأعلى، الحالة النهائية في أعلى / أسفل الرسم التخطيطي).

مصطلح آخر مثير للاهتمام في التوسع هو

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,}$

أين

${\displaystyle {\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}}$

هو الانكماش الفرميوني (الناقل).

لأن كل نمط من أنماط المجال هو توزيع غاوسي مستقل، فإن القيم المتوقعة لحاصل ضرب العديد من أنماط المجال تخضع لنظرية ويك :

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle }$

تكون القيمة صفرًا ما لم تتطابق أنماط المجال في أزواج. وهذا يعني أنها تساوي صفرًا لعدد فردي من φ ، وبالنسبة لعدد زوجي من φ ، فإنها تساوي مساهمة كل زوج على حدة، باستخدام دالة دلتا.

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}}$

حيث يكون المجموع على كل تقسيم لأنماط الحقل إلى أزواج، ويكون الناتج على الأزواج. على سبيل المثال،

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}}$

أحد تفسيرات نظرية ويك هو أنه يمكن اعتبار كل إدخال للمجال بمثابة خط معلق، ويتم حساب القيمة المتوقعة عن طريق ربط الخطوط في أزواج، ووضع عامل دالة دلتا يضمن أن زخم كل شريك في الزوج متساوٍ، والقسمة على المولد.

تبقى نقطة دقيقة قبل إثبات نظرية ويك - ماذا لو كان هناك أكثر من اثنين من${\displaystyle \phi }$هل تمتلك الجسيمات نفس الزخم؟ إذا كان العدد فرديًا، فإن التكامل يساوي صفرًا؛ حيث تلغي القيم السالبة القيم الموجبة. أما إذا كان العدد زوجيًا، فإن التكامل يكون موجبًا. وقد افترضت التجربة السابقة أن${\displaystyle \phi }$لن تتطابق العناصر إلا في أزواج.

لكن النظرية صحيحة حتى عندما يكون عدد كبير بشكل تعسفي من${\displaystyle \phi }$متساوية، وهذه خاصية ملحوظة للتكامل الغاوسي:

${\displaystyle I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}}$

القسمة على I ،

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}}$

${\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}}$

إذا كانت نظرية ويك صحيحة، فإن العزوم العليا ستُعطى من خلال جميع الأزواج الممكنة لقائمة من 2 ^n من قيم x المختلفة :

${\displaystyle \left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle }$

حيث تمثل x جميعها نفس المتغير، ويُستخدم الفهرس لتتبع عدد طرق إقرانها. يمكن إقران أول x مع 2n - 1 متغيرًا آخر، ليتبقى 2n - 2. ويمكن إقران x غير المقترن التالي مع 2n - 3 متغيرات x مختلفة ، ليتبقى 2n - 4 ، وهكذا. هذا يعني أن نظرية ويك، دون تصحيح، تنص على أن القيمة المتوقعة لـ ^{x²ⁿ يجب} أن تكون :

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}}$

وهذا في الواقع هو الجواب الصحيح. لذا فإن نظرية ويك صحيحة بغض النظر عن عدد قيم الزخم للمتغيرات الداخلية المتطابقة.

تُمثَّل التفاعلات بمساهمات من الرتب العليا، لأن المساهمات التربيعية تكون دائمًا غاوسية. أبسط تفاعل هو التفاعل الذاتي من الرتبة الرابعة، وله فعل:

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.}$

سيتضح سبب العامل التوافقي 4! قريبًا. كتابة الفعل بدلالة أنماط فورييه للشبكة (أو الاستمرارية):

${\displaystyle S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.}$

حيث يمثل S _F الفعل الحر، الذي تُعطى دوال ارتباطه بواسطة نظرية ويك. يمكن توسيع الدالة الأسية لـ S في التكامل المساري بدلالة قوى λ ، مما يُعطي سلسلة من التصحيحات للفعل الحر.

${\displaystyle e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)}$

يُصبح التكامل المساري للفعل الكامل متسلسلة قوى لتصحيحات الفعل الحر. يُمكن اعتبار الحد المُمثَّل بـ X بمثابة أربعة أنصاف خطوط، واحد لكل عامل من عوامل φ ( k ) . تلتقي أنصاف الخطوط عند رأس، يُساهم بدالة دلتا تضمن تساوي مجموع الزخم.

لحساب دالة الارتباط في نظرية التفاعل، تُضاف الآن مساهمة من حدود X. على سبيل المثال، التكامل المساري للمُرتبط ذي الحقول الأربعة:

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}}$

كانت هذه القيمة في المجال الحر غير صفرية فقط عندما تتساوى قيم الزخم k في أزواج، أما الآن فهي غير صفرية لجميع قيم k . يمكن الآن مطابقة زخم الإضافات φ ( ki ₎ مع زخم X في التوسع. ينبغي أيضًا اعتبار الإضافات بمثابة أنصاف خطوط، أربعة في هذه الحالة، تحمل زخمًا k ، ولكنه زخم غير قابل للتكامل.

يأتي الحد الأدنى من المساهمة من الحد الأول غير التافه e ^{− S _F} X في متسلسلة تايلور للفعل. تنص نظرية ويك على أن الزخم في أنصاف الخطوط X ، أي عوامل φ ( k ) في X ، يجب أن يتطابق مع زخم أنصاف الخطوط الخارجية في أزواج. وتساوي المساهمة الجديدة ما يلي:

${\displaystyle \lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.}$

يُلغى العدد 4! داخل X لأنه يوجد بالضبط 4! طريقة لمطابقة أنصاف الخطوط في X مع أنصاف الخطوط الخارجية. كل طريقة من هذه الطرق المختلفة لمطابقة أنصاف الخطوط معًا في أزواج تُساهم مرة واحدة فقط، بغض النظر عن قيم k _{(1، 2، 3، 4)} ، وفقًا لنظرية ويك.

يؤدي توسيع الفعل بدلالة قوى X إلى سلسلة من الحدود ذات عدد متزايد من قيم X. ويُطلق على مساهمة الحد الذي يحتوي على n قيمة X بالضبط اسم الحد من الرتبة n .

الحد من الرتبة n له:

1. 4 n أنصاف خطوط داخلية، وهي عوامل φ ( k ) من X s. تنتهي جميعها عند رأس، ويتم تكاملها على جميع قيم k الممكنة .
2. الخطوط النصفية الخارجية، والتي تأتي من إدخالات φ ( k ) في التكامل.

بحسب نظرية ويك، يجب أن يقترن كل زوج من أنصاف الخطوط معًا لتكوين خط مستقيم ، وهذا الخط يعطي عاملًا من

${\displaystyle {\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}}$

مما يُضاعف المساهمة. هذا يعني أن نصفي الخط اللذين يُشكلان خطًا واحدًا يجب أن يكون لهما زخم متساوٍ ومتعاكس. يجب تسمية الخط نفسه بسهم، مرسوم موازٍ له، ومُسمى بالزخم k في الخط . يحمل نصف الخط عند نهاية السهم الزخم k ، بينما يحمل نصف الخط عند بدايته الزخم -k . إذا كان أحد نصفي الخط خارجيًا، فإن هذا يُلغي التكامل على k الداخلي ، لأنه يُجبر k الداخلي على أن يكون مساويًا لـ k الخارجي . إذا كان كلاهما داخليًا ، يبقى التكامل على k قائمًا.

تُعرف المخططات التي تتشكل بربط أنصاف الخطوط في X بنصف الخطوط الخارجية، والتي تُمثل عمليات الإدخال، بمخططات فاينمان لهذه النظرية. يحمل كل خط عامل 1 / k² ^، وهو عامل الانتشار، ويمتد إما من رأس إلى آخر، أو ينتهي عند عملية إدخال. إذا كان الخط داخليًا، فإنه يُكامل عليه. عند كل رأس، يكون مجموع k الداخل مساويًا لمجموع k الخارج .

إن عدد طرق إنشاء مخطط عن طريق توصيل أنصاف الخطوط في خطوط يلغي تقريبًا عوامل المضروب القادمة من سلسلة تايلور للدالة الأسية و 4! عند كل رأس.

مخطط الغابة هو مخطط تكون فيه جميع الخطوط الداخلية ذات زخم محدد بالكامل بواسطة الخطوط الخارجية، مع اشتراط تساوي الزخم الداخل والخارج عند كل رأس. ويُحسب ناتج هذه المخططات كحاصل ضرب دوال الانتشار، دون أي تكامل. أما مخطط الشجرة فهو مخطط غابة متصل.

مثال على مخطط شجري هو المخطط الذي تنتهي فيه أربعة خطوط خارجية بعلامة X. مثال آخر هو المخطط الذي تنتهي فيه ثلاثة خطوط خارجية بعلامة X ، ويتصل نصف الخط المتبقي بعلامة X أخرى ، وتتفرع أنصاف الخطوط المتبقية من هذه العلامة X إلى خطوط خارجية. جميع هذه المخططات تُصنف ضمن مخططات الغابات (لأن كل شجرة هي غابة)؛ ومثال على غابة ليست شجرة هو المخطط الذي تنتهي فيه ثمانية خطوط خارجية بعلامتي X.

من السهل التحقق من أنه في جميع هذه الحالات، يتم تحديد الزخم على جميع الخطوط الداخلية بواسطة الزخم الخارجي وشرط حفظ الزخم في كل رأس.

يُطلق على الرسم التخطيطي الذي لا يُمثل مخطط غابة اسم مخطط حلقي ، ومن أمثلته رسمٌ يتصل فيه خطان من خطوط X بخطوط خارجية، بينما يتصل الخطان المتبقيان ببعضهما. يمكن أن يمتلك الخطان المتصلان أي زخم، لأنهما يدخلان ويخرجان من نفس الرأس. مثالٌ أكثر تعقيدًا هو رسمٌ يتصل فيه خطان من خطوط X ببعضهما عن طريق مطابقة ساقيهما. لا يحتوي هذا الرسم التخطيطي على أي خطوط خارجية.

يُطلق على مخططات الحلقات هذا الاسم لأن عدد التكاملات من الرتبة k التي لا يُحددها قانون حفظ الزخم يساوي عدد الحلقات المغلقة المستقلة في المخطط، حيث تُحسب الحلقات المستقلة كما في نظرية التماثل . التماثل حقيقي القيمة (في الواقع، من ^الرتبة R )، والقيمة المرتبطة بكل خط هي الزخم. يُحوّل عامل الحدود كل خط إلى مجموع رؤوس النهاية، بإشارة موجبة عند الرأس وإشارة سالبة عند الذيل. شرط حفظ الزخم هو بالضبط شرط أن تكون حدود الرسم البياني الموزون ذي القيم من الرتبة k مساوية للصفر.

يمكن إعادة تعريف مجموعة من قيم k الصحيحة بشكل تعسفي كلما وُجدت حلقة مغلقة. الحلقة المغلقة هي مسار دوري من الرؤوس المتجاورة لا يعود إلى الرأس نفسه. يمكن اعتبار هذه الدورة بمثابة حدود خلية افتراضية ثنائية الأبعاد. تُحدد تسميات k للرسم البياني التي تحافظ على الزخم (أي التي لها حدود صفرية) حتى إعادة تعريف k (أي حتى حدود الخلايا الثنائية الأبعاد) التماثل الأول للرسم البياني. عدد الزخمات المستقلة غير المحددة يساوي عدد حلقات التماثل المستقلة. بالنسبة للعديد من الرسوم البيانية، يساوي هذا عدد الحلقات كما يُحسب بالطريقة الأكثر بديهية.

عدد طرق تكوين مخطط فاينمان معين عن طريق توصيل أنصاف الخطوط كبير، وبحسب نظرية ويك، فإن كل طريقة لتوصيل أنصاف الخطوط تساهم بالتساوي. غالبًا ما يؤدي هذا إلى إلغاء المضروب في مقام كل حد تمامًا، ولكن قد يكون الإلغاء غير كامل في بعض الأحيان.

يُطلق على المقام غير المُختزل اسم عامل التناظر للمخطط. يجب قسمة مساهمة كل مخطط في دالة الارتباط على عامل التناظر الخاص به.

على سبيل المثال، لنفترض مخطط فاينمان المُكوَّن من خطين خارجيين متصلين بنقطة X ، ونصفَي الخط المتبقيين داخل X متصلين ببعضهما. هناك 4  ×  3 طرق لتوصيل نصفَي الخط الخارجيين بنقطة X ، ثم توجد طريقة واحدة فقط لتوصيل نصفَي الخط المتبقيين ببعضهما. يُقسَّم حجم X على 4! = 4 × 3 × 2 ، ولكن عدد طرق توصيل نصفَي خط X لتكوين المخطط هو 4  ×  3 فقط، لذا فإن مساهمة هذا المخطط تُقسَّم على اثنين.

كمثال آخر، لننظر إلى الرسم البياني الناتج عن توصيل جميع أنصاف الخطوط لـ X واحد بجميع أنصاف الخطوط لـ X آخر . يُسمى هذا الرسم البياني فقاعة فراغ ، لأنه لا يتصل بأي خطوط خارجية. هناك 4! طريقة لتكوين هذا الرسم البياني، لكن المقام يتضمن 2! (من مفكوك الدالة الأسية، يوجد X ان ) وعاملين من 4!. يُضرب الناتج في 4 ! / 2 × 4! × 4! = 1 / 48 . 

مثال آخر هو مخطط فاينمان المُكوَّن من رمزين X ، حيث يرتبط كل رمز X بخطين خارجيين، ويرتبط نصفا الخط المتبقيين لكل رمز X ببعضهما. عدد طرق ربط رمز X بخطين خارجيين هو 4  ×  3، ويمكن لأي رمز X أن يرتبط بأي زوج من الخطوط، مما يُضيف عاملًا إضافيًا قدره 2. يمكن ربط نصفي الخط المتبقيين في الرمزين X ببعضهما بطريقتين، بحيث يكون العدد الإجمالي لطرق تكوين المخطط هو 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 ، بينما المقام هو 4! × 4! × 2!. عامل التناظر الكلي هو 2، وبالتالي فإن مساهمة هذا المخطط مقسومة على 2.

تعطي نظرية عامل التناظر عامل التناظر لمخطط عام: يجب تقسيم مساهمة كل مخطط فاينمان على رتبة مجموعة التشاكلات الذاتية الخاصة به، أي عدد التناظرات التي يمتلكها.

التشاكل الذاتي لمخطط فاينمان هو تبديل M للخطوط وتبديل N للرؤوس بالخصائص التالية:

1. إذا امتد خط l من الرأس v إلى الرأس v′ ، فإن M ( l ) يمتد من N ( v ) إلى N ( v′ ) . وإذا كان الخط غير موجه، كما هو الحال في حقل قياسي حقيقي، فإن M ( l ) يمكن أن يمتد من N ( v′ ) إلى N ( v ) أيضًا.
2. إذا انتهى الخط l على خط خارجي، فإن M ( l ) ينتهي على نفس الخط الخارجي.
3. إذا كانت هناك أنواع مختلفة من الخطوط، فيجب على M ( l ) الحفاظ على النوع.

لهذه النظرية تفسير من حيث مسارات الجسيمات: عندما تكون الجسيمات المتطابقة موجودة، يجب ألا يحسب التكامل على جميع الجسيمات الوسيطة الحالات التي تختلف فقط عن طريق تبديل الجسيمات المتطابقة مرتين.

البرهان: لإثبات هذه النظرية، قم بتسمية جميع الخطوط الداخلية والخارجية للرسم التخطيطي باسم فريد. ثم قم بتكوين الرسم التخطيطي عن طريق ربط نصف خط باسم معين، ثم ربطه بالنصف الآخر من الخط.

الآن، احسب عدد الطرق الممكنة لتكوين المخطط المسمى. كل تبديل لعناصر X يُعطي نمطًا مختلفًا لربط الأسماء بأنصاف الخطوط، وهذا عامل من عوامل n !. كل تبديل لأنصاف الخطوط في عنصر X واحد يُعطي عاملًا من عوامل 4!. لذا، يمكن تكوين مخطط مسمى بعدد من الطرق يساوي مقام متسلسلة فاينمان.

لكن عدد المخططات غير المسماة أصغر من عدد المخططات المسماة بترتيب مجموعة التماثل الذاتي للرسم البياني.

بصورة عامة، يُطلق على مخطط فاينمان اسم " متصل" إذا كانت جميع رؤوسه وخطوطه متصلة بتسلسل من رؤوس وخطوط المخطط نفسه. وإذا نُظر إليه كرسم بياني غير موجه، فإنه يكون متصلاً. تكمن الأهمية البالغة لهذه المخططات في نظريات الحقول الكمومية في كونها كافية لتحديد دالة التقسيم الكمومي Z [ J ] . وبشكل أدق، تحدد مخططات فاينمان المتصلة

${\displaystyle iW[J]\equiv \ln Z[J].}$

ولإدراك ذلك، ينبغي للمرء أن يتذكر أن

${\displaystyle Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}}$

مع إنشاء D _k من مخطط فاينمان (عشوائي) يمكن اعتباره مكونًا من عدة مكونات متصلة C _i . إذا صادفنا n _i نسخة (متطابقة) من المكون C _i داخل مخطط فاينمان D _k، فيجب تضمين عامل التناظر n _i !. ومع ذلك، في النهاية، يكون لكل مساهمة من مخطط فاينمان D _k في دالة التقسيم الشكل العام التالي

${\displaystyle \prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}$

حيث يشير الرمز i إلى مخططات فاينمان المتصلة (التي لا حصر لها) الممكنة.

يتم الحصول على مخطط لإنشاء مثل هذه المساهمات تباعًا من D _k إلى Z [ J ] بواسطة

${\displaystyle \left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots }$

وبالتالي ينتج

${\displaystyle Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.}$

لإثبات التطبيع Z 0 ₌ exp W [0] = 1 ، يتم ببساطة حساب جميع مخططات الفراغ المتصلة ، أي المخططات بدون أي مصادر J (يشار إليها أحيانًا بالأرجل الخارجية لمخطط فاينمان).

تم إثبات نظرية المجموعة المرتبطة لأول مرة من الرتبة الرابعة بواسطة كيث بروكينر في عام 1955، وللرتب اللانهائية بواسطة جيفري جولدستون في عام 1957. ^{[ 11 ]}

من النتائج المباشرة لنظرية التجمعات المرتبطة أن جميع فقاعات الفراغ، أي المخططات التي لا تحتوي على خطوط خارجية، تُحذف عند حساب دوال الارتباط. تُعطى دالة الارتباط بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.}$

يمثل البسط مجموع جميع مخططات فاينمان، بما في ذلك المخططات غير المتصلة التي لا ترتبط بخطوط خارجية على الإطلاق. أما بالنسبة للمخططات المتصلة، فيتضمن البسط نفس مساهمات فقاعات الفراغ الموجودة في المقام.

${\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.}$

حيث يشمل مجموع مخططات E فقط تلك المخططات التي تنتهي كل مكوناتها المتصلة بخط خارجي واحد على الأقل. وتكون فقاعات الفراغ متماثلة بغض النظر عن الخطوط الخارجية، مما يعطي عامل ضرب إجمالي. المقام هو مجموع جميع فقاعات الفراغ، والقسمة تتخلص من العامل الثاني.

وبالتالي، فإن فقاعات الفراغ لا تفيد إلا في تحديد Z نفسها، والتي تساوي من تعريف التكامل المساري ما يلي:

${\displaystyle Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}}$

حيث ρ هي كثافة الطاقة في الفراغ. تحتوي كل فقاعة فراغ على عامل δ ( k ) يُصفّر قيمة k الكلية عند كل رأس، وعند غياب الخطوط الخارجية، يحتوي هذا العامل على عامل δ (0) نظرًا لتأكيد قانون حفظ الزخم بشكل مفرط. في حجم محدود، يمكن اعتبار هذا العامل هو الحجم الكلي للزمكان. وبقسمة التكامل المتبقي لفقاعة الفراغ على الحجم، نحصل على تفسير: فهو يُمثّل مساهمة في كثافة طاقة الفراغ.

دوال الارتباط هي مجموع مخططات فاينمان المتصلة، لكن هذا النموذج يتعامل مع المخططات المتصلة وغير المتصلة بشكل مختلف. تنتهي الخطوط الداخلية عند الرؤوس، بينما تتفرع الخطوط الخارجية إلى نقاط الإدخال. يُوحّد إدخال المصادر هذا النموذج، من خلال إنشاء رؤوس جديدة حيث يمكن أن ينتهي أحد الخطوط.

المصادر هي حقول خارجية، أي حقول تساهم في الفعل، ولكنها ليست متغيرات ديناميكية. مصدر الحقل القياسي هو حقل قياسي آخر h يساهم بحد في لاغرانجيان (لورنتز):

${\displaystyle \int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,}$

في متسلسلة فاينمان، يُساهم هذا في تكوين حدود H بنصف خط ينتهي عند رأس. يمكن أن تنتهي الخطوط في مخطط فاينمان إما عند رأس X أو عند رأس H ، ويدخل خط واحد فقط إلى رأس H. تنص قاعدة فاينمان لرأس H على أن الخط الخارج من H ذي الزخم k يأخذ عامل h ( k ) .

يشمل مجموع المخططات المتصلة في وجود المصادر حدًا لكل مخطط متصل في غياب المصادر، باستثناء أن المخططات الآن يمكن أن تنتهي عند المصدر. تقليديًا، يُرمز للمصدر بعلامة "×" صغيرة مع خط ممتد للخارج، تمامًا كما هو الحال في الإدخال.

${\displaystyle \log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,}$

حيث C ( k1 _, ..., kn ) هو المخطط المتصل ذو n خط خارجي يحمل الزخم كما _هو موضح. ويشمل المجموع جميع المخططات المتصلة، كما في السابق.

الحقل h ليس ديناميكيًا، مما يعني أنه لا يوجد تكامل مساري عليه : h مجرد مُعامل في دالة لاغرانج، يتغير من نقطة إلى أخرى. تكامل المسار لهذا الحقل هو:

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,}$

وهي دالة لقيم h عند كل نقطة. إحدى طرق تفسير هذا التعبير هي أنه يأخذ تحويل فورييه في فضاء الحقل. إذا كانت هناك دالة كثافة احتمالية على Rⁿ ^، فإن تحويل فورييه لدالة الكثافة الاحتمالية هو:

${\displaystyle \int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,}$

التحويل الفورييه هو القيمة المتوقعة لدالة أسية تذبذبية. التكامل المساري في وجود مصدر h ( x ) هو:

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle }$

والذي، على الشبكة، هو ناتج دالة أسية متذبذبة لكل قيمة من قيم المجال:

${\displaystyle \left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle }$

تحويل فورييه لدالة دلتا هو ثابت، مما يعطي تعبيراً رسمياً لدالة دلتا:

${\displaystyle \delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk}$

يوضح هذا شكل دالة دلتا الحقلية في التكامل المساري. بالنسبة لحقلين قياسيين φ و η ،

${\displaystyle \delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,}$

والتي تتكامل على إحداثيات تحويل فورييه، على h . هذا التعبير مفيد لتغيير إحداثيات المجال رسميًا في التكامل المساري، تمامًا كما تُستخدم دالة دلتا لتغيير الإحداثيات في التكامل متعدد الأبعاد العادي.

أصبحت دالة التقسيم الآن دالة للحقل h ، ودالة التقسيم الفيزيائية هي القيمة عندما تكون h هي الدالة الصفرية:

دوال الارتباط هي مشتقات التكامل المساري بالنسبة للمصدر:

${\displaystyle \left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.}$

في الفضاء الإقليدي، لا يزال من الممكن أن تظهر مساهمات المصدر في الفعل بعامل i ، بحيث لا تزال تقوم بتحويل فورييه.

يمكن تعميم تكامل مسار المجال ليشمل حالة فيرمي، ولكن فقط إذا تم توسيع مفهوم التكامل. يُعد تكامل غراسمان لحقل فيرمي حرّ محددًا عالي الأبعاد أو بفاف ، وهو ما يُعرّف نوعًا جديدًا من التكامل الغاوسي المناسب لحقول فيرمي.

الصيغتان الأساسيتان لتكامل غراسمان هما:

${\displaystyle \int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,}$

حيث M مصفوفة اختيارية و ψ و ψ متغيرات غراسمان مستقلة لكل فهرس i ، و

${\displaystyle \int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,}$

حيث A هي مصفوفة مضادة للتناظر، و ψ هي مجموعة من متغيرات غراسمان، و 1 / 2 لمنع العد المزدوج (لأن ψ ⁱ ψ ^j = − ψ ^j ψ ⁱ ).

في تدوين المصفوفات، حيث ψ و η متجهات صفية ذات قيم غراسمان، و η و ψ متجهات عمودية ذات قيم غراسمان، و M مصفوفة ذات قيم حقيقية:

${\displaystyle Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,}$

حيث أن المساواة الأخيرة هي نتيجة لثبات التكامل غراسمان تحت الإزاحة. متغيرات غراسمان η هي مصادر خارجية لـ ψ ، والاشتقاق بالنسبة إلى η يؤدي إلى خفض عوامل ψ .

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}}$

مرة أخرى، باستخدام تدوين المصفوفات التخطيطي. معنى الصيغة أعلاه هو أن المشتقة بالنسبة للمكون المناسب من η و η تعطي عنصر المصفوفة M ⁻¹ . وهذا مماثل تمامًا لصيغة تكامل المسار البوزوني للتكامل الغاوسي لحقل بوزوني معقد.

${\displaystyle \int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}}$

${\displaystyle \left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.}$

بحيث يكون المولد هو معكوس المصفوفة في الجزء التربيعي من الفعل في كل من حالة بوز وحالة فيرمي.

بالنسبة لحقول غراسمان الحقيقية، وفيرميونات ماجورانا ، يكون التكامل المساري عبارة عن دالة بفافيان مضروبة في شكل تربيعي للمصدر، وتعطي الصيغ الجذر التربيعي للمحدد، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للحقول البوزونية الحقيقية. ويبقى المولد هو معكوس الجزء التربيعي.

دالة لاغرانج ديراك الحرة:

${\displaystyle \int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi }$

يُعطي هذا رسميًا معادلات الحركة وعلاقات التبادل المضاد لحقل ديراك، تمامًا كما يُعطي لاغرانجيان كلاين غوردون في تكامل المسار العادي معادلات الحركة وعلاقات التبادل للحقل القياسي. وباستخدام تحويل فورييه المكاني لحقل ديراك كأساس جديد لجبر غراسمان، يصبح الجزء التربيعي من فعل ديراك سهل الانعكاس.

${\displaystyle S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.}$

المولد هو معكوس المصفوفة M التي تربط ψ ( k ) و ψ ( k ) ، لأن القيم المختلفة لـ k لا تختلط معًا.

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}}$

يتطابق نظير نظرية ويك مع ψ و ψ في أزواج:

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}}$

حيث S هي إشارة التبديل الذي يُعيد ترتيب تسلسل ψ و ψ بحيث يضع الأزواج المُكوّنة لدوال دلتا متجاورة، مع وجود ψ مباشرةً قبل ψ . وبما أن زوج ψ ، ψ هو عنصر تبادلي في جبر غراسمان، فلا يهم ترتيب الأزواج. إذا كان لأكثر من زوج ψ ، ψ نفس قيمة k ، فإن التكامل يساوي صفرًا، ومن السهل التحقق من أن مجموع الأزواج يساوي صفرًا في هذه الحالة (يوجد دائمًا عدد زوجي منها). هذا هو نظير غراسمان للعزوم الغاوسية العليا التي أكملت نظرية ويك البوزونية سابقًا.

قواعد جسيمات ديراك ذات اللف المغزلي 1/2 هي كالتالي : المولد هو معكوس مؤثر ديراك، والخطوط تحمل أسهمًا كما هو الحال في الحقل القياسي المركب، ويكتسب المخطط عاملًا إجماليًا قدره -1 لكل حلقة فيرمي مغلقة. إذا كان عدد حلقات فيرمي فرديًا، يتغير اتجاه المخطط. تاريخيًا، كان اكتشاف قاعدة -1 صعبًا للغاية على فاينمان، إذ اكتشفها بعد عملية طويلة من التجربة والخطأ، نظرًا لافتقاره إلى نظرية مناسبة لتكامل غراسمان.

تُستنتج هذه القاعدة من ملاحظة أن عدد خطوط فيرمي عند أي رأس يكون دائمًا زوجيًا. يجب أن يكون كل حد في دالة لاغرانج بوزونيًا. تُحسب حلقة فيرمي بتتبع خطوط فيرميونية حتى يعود أحدها إلى نقطة البداية، ثم تُزال هذه الخطوط من الرسم البياني. يؤدي تكرار هذه العملية في النهاية إلى محو جميع الخطوط الفرميونية: هذه هي خوارزمية أويلر لتلوين الرسم البياني بلونين، والتي تعمل عندما يكون لكل رأس درجة زوجية. عدد خطوات خوارزمية أويلر يساوي عدد دورات التماثل الفرميونية المستقلة فقط في الحالة الخاصة الشائعة التي تكون فيها جميع حدود دالة لاغرانج تربيعية تمامًا في حقول فيرمي، بحيث يكون لكل رأس خطان فيرميونيان فقط. عندما تكون هناك تفاعلات رباعية فيرمي (كما هو الحال في نظرية فيرمي الفعالة للتفاعلات النووية الضعيفة )، يكون عدد التكاملات k أكبر من عدد حلقات فيرمي. في هذه الحالة، يجب أن تطبق قاعدة العد خوارزمية أويلر عن طريق إقران خطوط فيرمي عند كل رأس في أزواج تشكل معًا عاملًا بوزونيًا للمصطلح في لاغرانجيان، وعند دخول رأس بخط واحد، يجب أن تغادر الخوارزمية دائمًا مع الخط الشريك.

لتوضيح القاعدة وإثباتها، لنفترض مخطط فاينمان مُكوَّنًا من رؤوس، وهي حدود في لاغرانجيان، مع حقول فرميونية. الحد الكامل بوزوني، وهو عنصر تبادلي في جبر غراسمان، لذا فإن ترتيب ظهور الرؤوس غير مهم. ترتبط خطوط فرمي في حلقات، وعند اجتياز الحلقة، يمكن إعادة ترتيب حدود الرؤوس واحدًا تلو الآخر أثناء الدوران دون أي تكلفة إشارة. الاستثناء هو عند العودة إلى نقطة البداية، حيث يجب وصل نصف الخط الأخير بنصف الخط الأول غير المرتبط. يتطلب هذا تبديلًا واحدًا لنقل ψ الأخير ليتقدم على ψ الأول ، وهذا ما يُحدد الإشارة.

هذه القاعدة هي التأثير المرئي الوحيد لمبدأ الاستبعاد في الخطوط الداخلية. أما في حالة وجود خطوط خارجية، فتكون السعات متناظرة عكسيًا عند تبديل إدخالين لفرمي لجسيمات متطابقة. يحدث هذا تلقائيًا في صيغة المصدر، لأن مصادر حقول فرمي نفسها ذات قيم غراسمان.

المولد البسيط للفوتونات لانهائي، لأن لاغرانجيان المجال A هو:

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.}$

الصيغة التربيعية التي تحدد المولد غير قابلة للعكس. والسبب هو ثبات قياس المجال؛ فإضافة تدرج إلى A لا يغير من الخصائص الفيزيائية.

لحل هذه المشكلة، يلزم تحديد مقياس. وأفضل طريقة هي اشتراط أن يكون تباعد المصفوفة A دالة f ، قيمتها عشوائية من نقطة إلى أخرى. ولا ضرر من إجراء التكامل على قيم f ، لأنه يحدد فقط اختيار المقياس. تُدخل هذه العملية العامل التالي في تكامل المسار للمصفوفة A :

${\displaystyle \int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.}$

العامل الأول، دالة دلتا، تُحدد المقياس. أما العامل الثاني فيجمع قيمًا مختلفة لـ f تُمثل تثبيتات غير متكافئة للمقياس. هذا ببساطة

${\displaystyle e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.}$

تؤدي المساهمة الإضافية الناتجة عن تثبيت المقياس إلى إلغاء النصف الثاني من لاغرانجيان الحر، مما يعطي لاغرانجيان فاينمان:

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }}$

وهو يشبه أربعة حقول قياسية حرة مستقلة، واحد لكل مكون من مكونات A. مُوَصِّل فاينمان هو:

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.}$

الفرق الوحيد هو أن إشارة أحد المُوَصِّلات خاطئة في حالة لورنتز: فالمُكَوِّن الزمني له إشارة مُعاكسة. هذا يعني أن حالات الجسيمات هذه لها معيار سالب - فهي ليست حالات فيزيائية. في حالة الفوتونات، من السهل إثبات، باستخدام طرق التخطيط، أن هذه الحالات ليست فيزيائية - إذ يُلغي تأثيرها تأثير الفوتونات الطولية، فلا يتبقى سوى تأثيرين فيزيائيين لاستقطاب الفوتونات لأي قيمة لـ k .

إذا تم حساب المتوسط ​​على f بمعامل مختلف عن 1/2 ، فإن الحدين لا يلغيان بعضهما تمامًا. وهذا يعطي لاغرانجيًا متغايرًا بمعامل${\displaystyle \lambda }$وهذا لا يؤثر على أي شيء:

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)}$

والمُوَصِّل المُتَغَيِّر لـ QED هو:

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.}$

لإيجاد قواعد فاينمان لحقول القياس غير الأبيلية، يجب تصحيح الإجراء الذي يقوم بتثبيت القياس بعناية لمراعاة تغيير المتغيرات في التكامل المساري.

يحتوي عامل تثبيت المقياس على محدد إضافي ناتج عن إزالة دالة دلتا:

${\displaystyle \delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M}$

لإيجاد شكل المحدد، لننظر أولاً إلى تكامل ثنائي الأبعاد بسيط لدالة f تعتمد فقط على r ، وليس على الزاوية θ . بإدخال التكامل على θ :

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

يضمن عامل الاشتقاق أن إزالة دالة دلتا من θ تزيل التكامل. بتغيير ترتيب التكامل،

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

لكن الآن يمكن وضع دالة دلتا في y ،

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.}$

التكامل على θ يعطي عاملًا إجماليًا قدره 2π ، بينما معدل تغير y مع تغير θ هو x فقط ، لذا فإن هذا التمرين يعيد إنتاج الصيغة القياسية للتكامل القطبي لدالة شعاعية:

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx}$

في التكامل المساري لحقل قياس غير تبديلي، تكون المعالجة المماثلة كما يلي:

${\displaystyle \int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,}$

العامل الموجود في المقدمة هو حجم مجموعة القياس، ويساهم بثابت يمكن إهماله. أما التكامل المتبقي فيكون على فعل القياس الثابت.

${\displaystyle \int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,}$

للحصول على مقياس متغاير، يكون شرط تثبيت المقياس هو نفسه كما في الحالة الأبيلية:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,}$

والتي يُعطى تغيرها تحت تحويل قياس متناهي الصغر بواسطة:

${\displaystyle \partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,}$

حيث α هو العنصر المرافق لجبر لي عند كل نقطة والذي يُجري تحويل القياس المتناهي الصغر. وهذا يُضيف مُحدد فادييف بوبوف إلى الفعل:

${\displaystyle \det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,}$

والتي يمكن إعادة كتابتها كتكامل غراسمان عن طريق إدخال حقول وهمية:

${\displaystyle \int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,}$

المحدد مستقل عن f ، لذا يمكن للتكامل المساري على f أن يعطي مُوَصِّل فاينمان (أو مُوَصِّلًا مُتَغايرًا) باختيار مقياس f كما في الحالة الأبيلية. ويكون الفعل الثابت الكامل للمقياس هو فعل يانغ ميلز في مقياس فاينمان مع فعل وهمي إضافي.

${\displaystyle S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,}$

تُستمد المخططات من هذا الفعل. يتخذ مُوَصِّل حقول اللف المغزلي-1 الشكل المعتاد لفينمان. توجد رؤوس من الدرجة 3 بمعاملات زخم تكون اقتراناتها هي ثوابت البنية، ورؤوس من الدرجة 4 تكون اقتراناتها هي حاصل ضرب ثوابت البنية. توجد حلقات وهمية إضافية، تلغي الحالات الزمنية والطولية في حلقات A.

في الحالة الأبيلية، لا يعتمد المحدد للمقاييس المتغيرة على A ، لذلك لا تساهم الأشباح في المخططات المتصلة.