قوانين فيك للانتشار

هناك صيغة أخرى للقانون الأول وهي كتابته مع المتغير الأساسي ككسر كتلي ( yᵢ _، معطى على سبيل المثال بالكيلوجرام/كيلوجرام)، وعندها تتغير المعادلة إلى $${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i},}$$ أين

• يشير الرقم i إلى النوع ^رقم i ،
• يمثل J _i معدل تدفق الانتشار للنوع i ( ^على سبيل المثال بوحدة مول/م ² /ثانية)،
• M _i هيالكتلة المولية للنوع i ^،
• ρ هي كثافة الخليط (على سبيل المثال بالكيلوجرام/م ³ ).

ال${\displaystyle \rho }$يقع خارج نطاق عامل التدرج . وذلك لأن $${\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }},}$$ حيث ρ _si هي الكثافة الجزئية للنوع i .

إضافةً إلى ذلك، في الأنظمة الكيميائية غير المحاليل أو المخاليط المثالية، تكون القوة الدافعة لانتشار كل نوع هي تدرج الجهد الكيميائي لهذا النوع. عندئذٍ، يمكن كتابة قانون فيك الأول (في الحالة أحادية البعد) على النحو التالي: $${\displaystyle J_{i}=-{\frac {Dc_{i}}{RT}}{\frac {\partial \mu _{i}}{\partial x}},}$$ أين

• يشير الرقم i إلى النوع ^رقم i ،
• c هو التركيز (مول/م ³ )،
• R هو ثابت الغازات العام (جول/كلفن/مول)،
• T هي درجة الحرارة المطلقة (كلفن)،
• μ هو الجهد الكيميائي (جول/مول).

يمكن التعبير عن القوة الدافعة لقانون فيك على أنها فرق في الفعالية : $${\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}},}$$

أين${\displaystyle f_{i}}$هي حالة الهروب في ولاية بنسلفانيا.${\displaystyle f_{i}}$هو الضغط الجزئي للمكون i في البخار${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}}$أو سائل${\displaystyle f_{i}^{\text{L}}}$في حالة التوازن بين البخار والسائل، يكون معدل التبخر صفراً لأن${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}=f_{i}^{\text{L}}}$.

فيما يلي أربع صيغ لقانون فيك لمخاليط الغازات الثنائية. تفترض هذه الصيغ ما يلي: إهمال الانتشار الحراري؛ تساوي قوة الجسم لكل وحدة كتلة على كلا النوعين؛ وثبات الضغط أو تساوي الكتلة المولية لكلا النوعين. في ظل هذه الشروط، يوضح المرجع ^{[ 10 ]} بالتفصيل كيف تُختزل معادلة الانتشار من النظرية الحركية للغازات إلى هذه الصيغة من قانون فيك. $${\displaystyle \mathbf {V_{i}} =-D\,\nabla \ln y_{i},}$$ حيث V _i هي سرعة انتشار النوع i . من حيث تدفق الأنواع، يكون هذا $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}.}$$

وإذا، بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \nabla \rho =0}$، وهذا يختزل إلى الشكل الأكثر شيوعًا لقانون فيك، $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-D\nabla \varphi .}$$

إذا (بدلاً من أو بالإضافة إلى${\displaystyle \nabla \rho =0}$إذا كان لكلا النوعين نفس الكتلة المولية، يصبح قانون فيك $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla x_{i},}$$ أين${\displaystyle x_{i}}$يمثل الكسر المولي للنوع i .

يمكن اشتقاق قانون فيك الثاني من قانون فيك الأول وقانون حفظ الكتلة في غياب أي تفاعلات كيميائية: $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}J=0\Rightarrow {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)\,=0.}$$

بافتراض أن معامل الانتشار D ثابت، يمكن تبديل رتب التفاضل والضرب في الثابت: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)=D{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},}$$ وبالتالي، نحصل على شكل معادلات فيك كما ذكر أعلاه.

في حالة الانتشار في بعدين أو أكثر، يصبح قانون فيك الثاني $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}\varphi ,}$$ وهو ما يشبه معادلة الحرارة .

إذا لم يكن معامل الانتشار ثابتًا، بل يعتمد على الإحداثيات أو التركيز، فإن قانون فيك الثاني يُعطينا: $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\,\nabla \varphi ).}$$

من الأمثلة المهمة الحالة التي يكون فيها φ في حالة استقرار، أي أن التركيز لا يتغير بمرور الوقت، بحيث يكون الجزء الأيسر من المعادلة أعلاه مساويًا للصفر. في بُعد واحد مع ثبات D ، يكون حل التركيز عبارة عن تغير خطي في التركيزات على طول المحور x . أما في بُعدين أو أكثر، فنحصل على $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0,}$$ وهي معادلة لابلاس ، والتي يُشار إلى حلولها من قبل علماء الرياضيات باسم الدوال التوافقية .

تُعدّ حالة بسيطة من الانتشار مع الزمن t في بُعد واحد (يُعتبر المحور x ) من حدٍّ يقع عند الموضع x = 0 ، حيث يتم الحفاظ على التركيز عند قيمة n _0، هي $${\displaystyle n\left(x,t\right)=n_{0}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$$ حيث تمثل erfc دالة الخطأ التكميلية . يحدث هذا عندما تنتشر الغازات المسببة للتآكل عبر الطبقة المؤكسدة باتجاه سطح المعدن (بافتراض أن تركيز الغازات في البيئة ثابت وأن حيز الانتشار - أي طبقة نواتج التآكل - شبه لانهائي ، يبدأ من الصفر على السطح ويمتد إلى عمق لانهائي في المادة). أما إذا كان حيز الانتشار لانهائيًا ( يمتد عبر الطبقة ذات n ( x ,0) = 0 ، x > 0 _، والطبقة ذات n ( x ,0) = n0 ، x ≤ 0 )، فإن الحل يُعدَّل فقط بمعامل 1/2 أمام n0 ( حيث يحدث الانتشار الآن في كلا الاتجاهين). تكون هذه الحالة صحيحة عند وضع محلول بتركيز n0 في تماس مع طبقة من _{المذيب النقي. (بوكشتاين، 2005 )} الطول${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$يُطلق عليه طول الانتشار ويوفر مقياسًا لمدى انتشار التركيز في الاتجاه x عن طريق الانتشار في الوقت t (Bird، 1976).

كتقريب سريع لدالة الخطأ، يمكن استخدام الحدين الأولين من متسلسلة تايلور :$${\displaystyle n(x,t)=n_{0}\left[1-2\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt\pi }}}}\right)\right].}$$

إذا كان D متغيرًا يعتمد على الزمن، فإن طول الانتشار يصبح $${\displaystyle 2{\sqrt {\int _{0}^{t}D(\tau )\,d\tau }}.}$$ تُعد هذه الفكرة مفيدة لتقدير طول الانتشار خلال دورة التسخين والتبريد، حيث يتغير D مع درجة الحرارة.

مثال آخر بسيط على الانتشار هو الحركة البراونية لجزيء واحد. متوسط ​​مربع إزاحة الجزيء من موضعه الأصلي هو: $${\displaystyle {\text{MSD}}\equiv \left\langle \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right)^{2}\right\rangle =2nDt,}$$ أين${\displaystyle n}$يمثل بُعد الحركة البراونية للجسيم. على سبيل المثال، يُعد انتشار جزيء عبر غشاء خلوي بسمك 8  نانومتر انتشارًا أحادي البعد نظرًا للتناظر الكروي؛ بينما يُعد انتشار جزيء من الغشاء إلى مركز خلية حقيقية النواة انتشارًا ثلاثي الأبعاد. أما بالنسبة لنبات الصبار الأسطواني ، فإن الانتشار من الخلايا الضوئية على سطحه إلى مركزه (محور تناظره الأسطواني) يُعد انتشارًا ثنائي الأبعاد.

الجذر التربيعي لـ MSD،${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$يُستخدم غالبًا كوصف لمدى المسافة التي قطعتها الجسيمات بعد مرور الوقت${\displaystyle t}$انقضت المدة الزمنية. يتوزع متوسط ​​مربع الإزاحة (MSD) بشكل متناظر على الفضاء أحادي البعد وثنائي البعد وثلاثي الأبعاد. وبالتالي، فإن التوزيع الاحتمالي لقيمة متوسط ​​مربع الإزاحة في البعد الواحد يتبع التوزيع الغاوسي، بينما يتبع التوزيع في الأبعاد الثلاثة توزيع ماكسويل-بولتزمان.

• في الأوساط غير المتجانسة ، يتغير معامل الانتشار مكانيًا، D = D ( x ) . لا يؤثر هذا التغير على قانون فيك الأول، لكن القانون الثاني يتغير:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=D(x)\Delta \varphi (x,t)+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial D(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}.\end{aligned}}}$$
• في الأوساط غير المتجانسة ، يعتمد معامل الانتشار على الاتجاه. وهو موتر متناظر D _{_ij} = D_{_ij} . ويتغير قانون فيك الأول إلى$${\displaystyle J=-D\nabla \varphi ,}$$هو ناتج ضرب موتر ومتجه:$${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}.}$$بالنسبة لمعادلة الانتشار، تعطي هذه الصيغة$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$يجب أن تكون المصفوفة المتناظرة لمعاملات الانتشار D_{_ij} موجبة التحديد . يلزم جعل المؤثر في الطرف الأيمن إهليلجيًا .
• بالنسبة للأوساط غير المتجانسة والمتباينة الخواص، يجب دمج هذين الشكلين من معادلة الانتشار في$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=\sum _{i,j=1}^{3}\left(D_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial D_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}\right).\end{aligned}}}$$
• يُعطي النهج القائم على نظرية أينشتاين للحركة وصيغة تيوريل التعميم التالي لمعادلة فيك لانتشار المكونات المتعددة للمكونات المثالية:$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j}\nabla \cdot \left(D_{ij}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{j}}}\nabla \,\varphi _{j}\right),}$$حيث تمثل φᵢ تراكيز المكونات، و _Dᵢⱼ مصفوفة المعاملات. هنا، يرتبط المؤشران _i و j بالمكونات المختلفة وليس بإحداثيات الفضاء.

تتضمن صيغ تشابمان -إنسكوغ للانتشار في الغازات نفس الحدود تمامًا. تختلف هذه النماذج الفيزيائية للانتشار عن نماذج الاختبار ∂ _t φ _i = Σ _j D _ij Δ φ _j، والتي تُعتبر صالحةً للانحرافات الصغيرة جدًا عن حالة التوازن المنتظم. في السابق، أُدخلت هذه الحدود في معادلة ماكسويل-ستيفان للانتشار .

بالنسبة لمعاملات الانتشار متعددة المكونات غير المتناحية، يحتاج المرء إلى موتر من الرتبة الرابعة، على سبيل المثال D _{ij , αβ} ، حيث يشير i و j إلى المكونات و α و β = 1 و 2 و 3 تتوافق مع إحداثيات الفضاء.

عندما يتلامس سائلان قابلان للامتزاج، ويحدث الانتشار، يتطور التركيز الكلي (أو المتوسط) وفقًا لقانون فيك. على المستوى المتوسط، أي بين المستوى الكلي الذي يصفه قانون فيك والمستوى الجزيئي حيث تحدث الحركات العشوائية الجزيئية ، لا يمكن إهمال التقلبات. يمكن نمذجة هذه الحالات بنجاح باستخدام ديناميكا الموائع المتقلبة لانداو-ليفشيتز. في هذا الإطار النظري، يُعزى الانتشار إلى تقلبات تتراوح أبعادها من المستوى الجزيئي إلى المستوى الكلي. ^{[ 12 ]}

تتضمن معادلات الديناميكا المائية المتذبذبة، على وجه الخصوص، حد تدفق فيك، بمعامل انتشار مُحدد، إلى جانب معادلات الديناميكا المائية وحدود عشوائية تصف التذبذبات. عند حساب التذبذبات باستخدام أسلوب الاضطراب، يكون تقريب الرتبة الصفرية هو قانون فيك. أما الرتبة الأولى فتعطي التذبذبات، ويتضح أن التذبذبات تُساهم في الانتشار. وهذا يُمثل نوعًا من التكرار المنطقي ، لأن الظاهرة التي يصفها تقريب من رتبة أدنى هي نتيجة تقريب من رتبة أعلى: ولا يُمكن حل هذه المشكلة إلا بإعادة تطبيع معادلات الديناميكا المائية المتذبذبة.

يُعدّ امتزاز وامتصاص وتصادم الجزيئات والجسيمات والأسطح من المشكلات المهمة في العديد من المجالات. تُنظّم هذه العمليات الأساسية التفاعلات الكيميائية والبيولوجية والبيئية. ويمكن حساب معدلها باستخدام ثابت الانتشار وقوانين فيك للانتشار، خاصةً عندما تحدث هذه التفاعلات في محاليل مخففة.

عادةً، يُمكن حساب ثابت انتشار الجزيئات والجسيمات، المُعرَّف بمعادلة فيك، باستخدام ^معادلة ستوكس-أينشتاين . في حالة الزمن القصير جدًا، وبمقدار زمن الانتشار a² / D ، حيث a هو نصف قطر الجسيم، يُوصف الانتشار بمعادلة لانجفين . عند زمن أطول، تندمج معادلة لانجفين مع معادلة ستوكس-أينشتاين . تُناسب الأخيرة حالة المحلول المخفف، حيث يُؤخذ الانتشار بعيد المدى في الاعتبار. وفقًا لنظرية التذبذب والتبدد، المُستندة إلى معادلة لانجفين ، في حالة الزمن الطويل، وعندما تكون كثافة الجسيم أعلى بكثير من كثافة السائل المُحيط، يكون ثابت الانتشار المُعتمد على الزمن كما يلي: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T\left(1-e^{-t/(m\mu )}\right),}$$ حيث (جميعها بوحدات النظام الدولي للوحدات)

• k _B هو ثابت بولتزمان ،
• T هي درجة الحرارة المطلقة ،
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (النظرية الحركية) .
• m هي كتلة الجسيم،
• لقد حان الوقت.

بالنسبة لجزيء واحد مثل الجزيئات العضوية أو الجزيئات الحيوية (مثل البروتينات) في الماء، يكون الحد الأسي ضئيلاً بسبب صغر ناتج mμ في منطقة البيكوثانية فائقة السرعة، وبالتالي فهو غير ذي صلة بالامتصاص الأبطأ نسبيًا للمذاب المخفف.

يمكن حساب معدل امتزاز أو امتصاص مادة مذابة مخففة على سطح أو واجهة في محلول (غازي أو سائل) باستخدام قوانين فيك للانتشار. ويُعبّر عن العدد المتراكم للجزيئات الممتزة على السطح بمعادلة لانغموير-شايفر عن طريق تكامل معادلة تدفق الانتشار مع الزمن، كما هو موضح في محاكاة الانتشار الجزيئي في القسم الأول من هذه الصفحة: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Gamma =2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

• A هي مساحة السطح (م ² ).
• ${\displaystyle C_{b}}$يمثل تركيز عدد جزيئات المادة الماصة (المذاب) في المحلول الكلي (#/م ³ ).
• D هو معامل انتشار المادة الماصة (م ² /ث).
• t هو الوقت المنقضي (ثانية).
• ${\displaystyle \Gamma }$يمثل العدد التراكمي للجزيئات في الوحدة عدد الجزيئات الممتصة خلال الفترة الزمنية${\displaystyle t}$.

سُميت المعادلة على اسم الكيميائيين الأمريكيين إيرفينغ لانغمير وفينسنت شيفر .

باختصار، كما هو موضح في ^{[ 16 ]،} فإن شكل تدرج التركيز بالقرب من منطقة تم إنشاؤها حديثًا (من${\displaystyle t=0}$) سطح امتصاصي (موضوع في${\displaystyle x=0}$) في محلول متجانس في السابق يتم حله في الأقسام السابقة من معادلة فيك، $${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}{\text{exp}}\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right),}$$ حيث C هو تركيز عدد جزيئات المادة الممتزة عند${\displaystyle x,t}$(#/م ³ ).

تدرج التركيز في الطبقات تحت السطحية عند${\displaystyle x=0}$يتم تبسيطها إلى العامل الأسي المسبق للتوزيع $${\displaystyle \left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{x=0}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$ ومعدل الانتشار (التدفق) عبر المساحة${\displaystyle A.}$جزء من الطائرة هو $${\displaystyle \left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=-{\frac {DAC_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$ التكامل مع مرور الوقت، $${\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

يمكن توسيع معادلة لانغمير-شايفر إلى معادلة وارد-تورداي لحساب "الانتشار العكسي" للجزيئات المرفوضة من السطح: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \Gamma =2A{C_{\text{b}}}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}-A{\sqrt {\frac {D}{\pi }}}\int _{0}^{\sqrt {t}}{\frac {C(\tau )}{\sqrt {t-\tau }}}\,d\tau ,}$$ أين${\displaystyle C_{b}}$هو التركيز الكلي،${\displaystyle C}$يمثل تركيز الطبقة تحت السطحية (وهو دالة للزمن تعتمد على نموذج تفاعل الامتزاز)، و${\displaystyle \tau }$هو متغير وهمي.

تُظهر محاكاة مونت كارلو أن هاتين المعادلتين تعملان على التنبؤ بمعدل امتزاز الأنظمة التي تُشكّل تدرجات تركيز يمكن التنبؤ بها بالقرب من السطح، لكنهما تواجهان صعوبات في الأنظمة التي لا تحتوي على تدرجات تركيز أو تحتوي على تدرجات تركيز غير قابلة للتنبؤ، مثل أنظمة الاستشعار البيولوجي النموذجية أو عندما يكون التدفق والحمل الحراري مهمين. ^{[ 17 ]}

يُظهر الشكل على اليمين نبذة تاريخية عن الامتزاز الانتشارى. ^{[ 17 ]} يتمثل أحد التحديات البارزة في فهم الامتزاز الانتشارى على مستوى الجزيء الواحد في الطبيعة الفركتالية للانتشار. تختار معظم عمليات المحاكاة الحاسوبية خطوة زمنية للانتشار تتجاهل حقيقة وجود أحداث انتشار أدق متشابهة ذاتيًا (فركتالية) ضمن كل خطوة. تُظهر محاكاة الانتشار الفركتالي أنه يجب إدخال تصحيح بمعامل اثنين لنتيجة محاكاة الامتزاز بخطوة زمنية ثابتة، لجعلها متوافقة مع المعادلتين المذكورتين أعلاه. ^{[ 17 ]}

من النتائج الأكثر إشكالية للمعادلات المذكورة أعلاه أنها تتنبأ بالحد الأدنى للامتزاز في الظروف المثالية، بينما يصعب التنبؤ بمعدلات الامتزاز الفعلية. تُشتق هذه المعادلات عند شرط الحد الزمني الطويل، حيث يتشكل تدرج تركيز مستقر بالقرب من السطح. لكن الامتزاز الحقيقي غالبًا ما يحدث بسرعة أكبر بكثير من هذا الحد الزمني اللانهائي، أي أن تدرج التركيز، أي انخفاض التركيز تحت السطح، لا يتشكل إلا جزئيًا قبل تشبع السطح أو بدء التدفق للحفاظ على تدرج معين. وبالتالي، فإن معدل الامتزاز المقاس يكون دائمًا أسرع مما تنبأت به المعادلات في حالة الامتزاز ذي حاجز الطاقة المنخفض أو المعدوم (إلا إذا كان هناك حاجز طاقة امتزاز كبير يبطئ الامتصاص بشكل ملحوظ)، على سبيل المثال، أسرع بآلاف إلى ملايين المرات في التجميع الذاتي للطبقات الأحادية عند أسطح التماس بين الماء والهواء أو الماء والركيزة. ^{[ 15 ]} لذلك، من الضروري حساب تطور تدرج التركيز بالقرب من السطح، وتحديد الوقت المناسب لإيقاف هذا التطور اللانهائي المفترض، وذلك للتطبيقات العملية. ورغم صعوبة التنبؤ بوقت التوقف، إلا أنه من السهل نسبيًا حساب أقصر وقت ذي أهمية، وهو الوقت الحرج الذي يشعر فيه أقرب جار من سطح الركيزة بتراكم تدرج التركيز. وهذا يُعطي الحد الأعلى لمعدل الامتزاز في حالة مثالية، حيث لا توجد عوامل أخرى غير الانتشار تؤثر على ديناميكيات المادة الماصة: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {4}{\pi }}AC_{b}^{4/3}D,}$$ أين:

• ${\displaystyle \langle r\rangle }$معدل الامتزاز بافتراض عدم وجود حاجز طاقة للامتزاز، بوحدة #/ثانية.
• ${\displaystyle A}$هي مساحة السطح محل الاهتمام على ركيزة "لا نهائية ومسطحة" (م² ⁾ ،
• ${\displaystyle C_{b}}$يمثل تركيز جزيء المادة الماصة في المحلول الكلي (#/م ³ )،
• ${\displaystyle D}$هو ثابت الانتشار للمادة الممتصة (المذاب) في المحلول (م ² /ث) المحدد بقانون فيك.

يمكن استخدام هذه المعادلة للتنبؤ بمعدل الامتزاز الأولي لأي نظام؛ ويمكن استخدامها للتنبؤ بمعدل الامتزاز في حالة الاستقرار لنظام استشعار حيوي نموذجي عندما يكون موقع الارتباط جزءًا صغيرًا جدًا من سطح الركيزة ولا يتشكل تدرج تركيز قريب من السطح أبدًا؛ ويمكن استخدامها أيضًا للتنبؤ بمعدل امتزاز الجزيئات على السطح عندما يكون هناك تدفق كبير يدفع تدرج التركيز بشكل ضحل جدًا في الطبقة تحت السطحية.

يختلف هذا الوقت الحرج اختلافًا كبيرًا عن وقت وصول أول راكب أو متوسط ​​زمن المسار الحر. إن استخدام متوسط ​​وقت وصول أول راكب وقانون فيك للانتشار لتقدير متوسط ​​معدل الارتباط سيؤدي إلى مبالغة كبيرة في تقدير تدرج التركيز، لأن أول راكب عادةً ما يأتي من طبقات عديدة من الجيران البعيدين عن الهدف، وبالتالي يكون وقت وصوله أطول بكثير من وقت انتشار أقرب جار. كما أن استخدام متوسط ​​زمن المسار الحر بالإضافة إلى معادلة لانغموير سيؤدي إلى تدرج تركيز اصطناعي بين الموقع الأولي لأول راكب وسطح الهدف، لأن طبقات الجيران الأخرى لم تتغير بعد، مما يقلل بشكل كبير من تقدير وقت الارتباط الفعلي، أي أن وقت وصول أول راكب الفعلي نفسه، وهو مقلوب المعدل المذكور أعلاه، يصعب حسابه. إذا أمكن تبسيط النظام إلى انتشار أحادي البعد، فيمكن حساب متوسط ​​وقت وصول أول راكب باستخدام نفس وقت الانتشار الحرج لأقرب جار، حيث تكون مسافة أقرب جار هي متوسط ​​مربع الإزاحة ^{[ 18 ].}$${\displaystyle L={\sqrt {2Dt}},}$$ أين:

• ${\displaystyle L~=C_{b}^{-1/3}}$(الوحدة م) هي متوسط ​​المسافة بين أقرب جارين، ويتم تقريبها باستخدام التعبئة المكعبة، حيث${\displaystyle C_{b}}$يمثل تركيز المذاب في المحلول الكلي (الوحدة: عدد الجزيئات / م³ ⁾ ،
• ${\displaystyle D}$معامل الانتشار المحدد بواسطة معادلة فيك (وحدته م² ^/ ث)،
• ${\displaystyle t}$هو الوقت الحرج (الوحدة: ثانية).

في هذه المرحلة الحرجة، من غير المرجح أن يكون الراكب الأول قد وصل وامتص. لكن هذا يحدد سرعة وصول طبقات الجيران. عند هذه السرعة، ومع تدرج تركيز يتوقف حول طبقة الجيران الأولى، فإن التدرج لا يمتد فعليًا في الفترة الزمنية الأطول التي يصل فيها الراكب الأول. وبالتالي، فإن متوسط ​​معدل وصول الراكب الأول (وحدة عدد الجزيئات/ثانية) لهذا الانتشار ثلاثي الأبعاد، المبسط إلى مسألة أحادية البعد، $${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {a}{t}}=2aC_{b}^{2/3}D,}$$ أين${\displaystyle a}$هو عامل لتحويل مسألة الامتزاز الانتشارية ثلاثية الأبعاد إلى مسألة انتشار أحادية البعد، وتعتمد قيمته على النظام، على سبيل المثال، جزء من مساحة الامتزاز.${\displaystyle A}$مساحة سطح الكرة المجاورة لأقرب جار للمذاب${\displaystyle 4\pi L^{2}/4}$بافتراض التعبئة المكعبة، لكل وحدة 8 جيران مشتركين مع وحدات أخرى. يتقارب هذا المثال الكسري مع حل الامتزاز الانتشار ثلاثي الأبعاد الموضح أعلاه، مع اختلاف طفيف في العامل الأولي نتيجة لاختلاف افتراضات التعبئة وإهمال الجيران الآخرين.

عندما يكون حجم الجزيء هو المنطقة محل الاهتمام (وتحديدًا، جزيء أسطواني طويل مثل الحمض النووي DNA)، فإن معادلة معدل الامتزاز تمثل تردد تصادم جزيئين في محلول مخفف، حيث يكون لأحد الجزيئين جانب محدد بينما لا يعتمد الآخر على الإعاقة الفراغية، أي أن الجزيء (بتوجيه عشوائي) يصطدم بأحد جانبي الآخر. يجب تحديث ثابت الانتشار إلى ثابت الانتشار النسبي بين الجزيئين المنتشرين. يُعد هذا التقدير مفيدًا بشكل خاص في دراسة التفاعل بين جزيء صغير وجزيء أكبر مثل البروتين. يهيمن ثابت الانتشار الفعلي على ثابت الانتشار للجزيء الأصغر، والذي يمكن استخدام ثابت انتشاره بدلًا من ثابت الانتشار الفعلي.

تُفيد معادلة معدل الاصطدام المذكورة أعلاه في التنبؤ بحركية التجميع الذاتي الجزيئي على سطح ما. تتوزع الجزيئات عشوائيًا في المحلول. بافتراض أن سدس الجزيئات فقط مُوجهة بشكل صحيح نحو مواقع الارتباط السطحية، أي نصف اتجاه المحور z في الأبعاد الثلاثة x و y و z، فإن التركيز المطلوب هو سدس تركيز المحلول. بإدخال هذه القيمة في المعادلة، يُمكن حساب منحنى حركية الامتزاز النظري باستخدام نموذج لانغموير للامتزاز . في صورة أكثر دقة، يُمكن استبدال 1/6 بالعامل الفراغي لهندسة الارتباط.

يُوصَف معدل تصادم الجزيئات الثنائية، المرتبط بالعديد من التفاعلات بما في ذلك تخثر/تجمع البروتينات، مبدئيًا بمعادلة سمولوشوفسكي للتخثر التي اقترحها ماريان سمولوشوفسكي في منشور رائد عام 1916، ^{[ 20 ]} والمستمدة من الحركة البراونية وقوانين فيك للانتشار. في ظل ظروف تفاعل مثالية لـ A + B → ناتج في محلول مخفف، اقترح سمولوشوفسكي أنه يمكن حساب التدفق الجزيئي عند حد الزمن اللانهائي من قوانين فيك للانتشار، مما ينتج عنه تدرج تركيز ثابت/مستقر من الجزيء المستهدف، على سبيل المثال، B هو الجزيء المستهدف الثابت نسبيًا، وA هو الجزيء المتحرك الذي يُنشئ تدرج تركيز بالقرب من الجزيء المستهدف B بسبب تفاعل التخثر بين A وB. وقد حسب سمولوشوفسكي معدل التصادم بين A وB في المحلول بوحدة #/ثانية/ ^م³ . $${\displaystyle Z_{AB}=4{\pi }RD_{r}C_{A}C_{B},}$$ أين:

• ${\displaystyle R}$يمثل نصف قطر التصادم،
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$يمثل ثابت الانتشار النسبي بين A و B (م² ^/ ث)،
• ${\displaystyle C_{A}}$و${\displaystyle C_{B}}$تمثل تركيزات عدد A و B على التوالي (#/م ³ ).

رتبة التفاعل لهذا التفاعل الجزيئي الثنائي هي 2، وهو ما يتوافق مع نتيجة نظرية التصادم عند استبدال سرعة حركة الجزيء بتدفق الانتشار. في نظرية التصادم، يتناسب زمن انتقال الجزيء بين النقطتين A وB طرديًا مع المسافة، وهي علاقة مشابهة لحالة الانتشار إذا كان التدفق ثابتًا.

مع ذلك، في الظروف العملية، يتطور تدرج التركيز بالقرب من الجزيء المستهدف بمرور الوقت بالتزامن مع تطور التدفق الجزيئي ^{[ 17 ]} ، ويكون التدفق في المتوسط ​​أكبر بكثير من التدفق الذي اقترحه سمولوشوفسكي عند حد زمني لانهائي. قبل وصول أول راكب، تتنبأ معادلة فيك بتدرج تركيز بمرور الوقت، وهو تدرج لم يتشكل بعد في الواقع. لذا، يمثل تردد سمولوشوفسكي هذا الحد الأدنى لتردد التصادم الحقيقي.

في عام 2022، قام تشين بحساب الحد الأعلى لتردد التصادم بين الجزيئين A وB في محلول، بافتراض ثبات تركيز الجزيء المتحرك بعد أقرب جار له. ^{[ 19 ]} وبالتالي، يتوقف تطور تدرج التركيز عند طبقة أقرب جار، مع تحديد زمن توقف لحساب التدفق الفعلي. أطلق تشين على هذا الزمن اسم الزمن الحرج، واستنتج تردد التصادم الانتشارى بوحدة #/ثانية/ ^م³ . ^{[ 19 ]}$${\displaystyle Z_{AB}={\frac {8}{\pi }}{\sigma }D_{r}C_{A}C_{B}{\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}},}$$ أين:

• ${\displaystyle {\sigma }}$هي مساحة المقطع العرضي للتصادم (م² ⁾ ،
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$يمثل ثابت الانتشار النسبي بين A و B (م² ^/ ث)،
• ${\displaystyle C_{A}}$و${\displaystyle C_{B}}$تمثل تركيزات عددية لكل من A و B على التوالي (#/م ³ )،
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}}}$يمثل 1/⟨ d ⟩، حيث d هي المسافة المتوسطة بين جزيئين.

تفترض هذه المعادلة أن الحد الأعلى لتردد التصادم الانتشارى بين A وB هو عندما تبدأ الطبقة المجاورة الأولى في الشعور بتطور تدرج التركيز، الذي تكون رتبة تفاعله 2 + 1/3 بدلاً من 2. تُحقق كل من معادلة سمولوشوفسكي ومعادلة جيه تشين متطلبات الأبعاد باستخدام وحدات النظام الدولي للوحدات. إلا أن الأولى تعتمد على نصف القطر ، بينما تعتمد الثانية على مساحة كرة التصادم. وبناءً على التحليل البُعدي، ينبغي أن تكون هناك معادلة تعتمد على حجم كرة التصادم، ^{[ 21 ]} على سبيل المثال،

$${\displaystyle Z_{AB}=4VD_{r}C_{A}C_{B}(C_{A}+C_{B})^{2/3},}$$

• V هو حجم كرة التصادم

لكن في النهاية، ينبغي أن تتقارب جميع المعادلات إلى نفس المعدل العددي للتصادم الذي يمكن قياسه تجريبياً. قد تتراوح رتبة التفاعل الفعلية لتفاعل ثنائي الجزيئات بين 2 و 2 + 2 / 3 ، وهو أمر منطقي لأن زمن التصادم الانتشار يعتمد بشكل مباشر على المسافة بين الجزيئين.

تتجنب هذه المعادلات الجديدة أيضًا مشكلة التفرد في معدل الامتزاز عند الزمن صفر في معادلة لانغموير-شايفر. يُعدّ معدل اللانهاية مُبررًا في الظروف المثالية، لأنه عند إدخال جزيئات الهدف في محلول جزيء الاختبار، أو العكس، يكون هناك دائمًا احتمال لتداخلها عند الزمن صفر، وبالتالي يكون معدل ارتباط هذين الجزيئين لانهائيًا. لا يهم أن ملايين الجزيئات الأخرى تنتظر وصول جزيئها الأول وانتشاره. وبالتالي، يكون المعدل المتوسط ​​لانهائيًا. لكن إحصائيًا، هذه الحجة غير منطقية. الحد الأقصى لمعدل جزيء ما خلال فترة زمنية أكبر من الصفر هو 1، سواء التقى الجزيئان أم لا، وبالتالي فإن معدل اللانهاية عند الزمن صفر لهذا الزوج من الجزيئات يجب أن يكون واحدًا فقط، مما يجعل المعدل المتوسط ​​1/ملايين أو أكثر، وهو ضئيل إحصائيًا. هذا لا ينطبق حتى على الواقع، إذ لا يمكن لجزيئين أن يلتقيا عند الزمن صفر.

يؤدي القانون الأول إلى الصيغة التالية: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\text{flux}}={-P\left(c_{2}-c_{1}\right)},}$$ أين

• يمثل P النفاذية، وهي " موصلية " الغشاء التي يتم تحديدها تجريبياً لغاز معين عند درجة حرارة معينة.
• c ₂ − c ₁ هو الفرق في تركيز الغاز عبر الغشاء لاتجاه التدفق (من c ₁ إلى c ₂ ).

يُعدّ قانون فيك الأول مهمًا أيضًا في معادلات انتقال الإشعاع. مع ذلك، في هذا السياق، يصبح غير دقيق عندما يكون ثابت الانتشار منخفضًا، ويصبح الإشعاع محدودًا بسرعة الضوء بدلًا من مقاومة المادة التي يمرّ الإشعاع عبرها. في هذه الحالة، يمكن استخدام مُحدِّد التدفق .

يمكن تحديد معدل تبادل الغاز عبر غشاء سائل باستخدام هذا القانون جنبًا إلى جنب مع قانون غراهام .

في حالة المحلول المخفف حيث تسود عملية الانتشار، يمكن حساب نفاذية الغشاء المذكورة في القسم السابق نظريًا للمذاب باستخدام المعادلة المذكورة في القسم الأخير (مع توخي الحذر الشديد لأن المعادلة مشتقة للمذابات الكثيفة، بينما الجزيئات البيولوجية ليست أكثر كثافة من الماء. كما تفترض هذه المعادلة تشكل تدرج تركيز مثالي بالقرب من الغشاء وتطوره): ^{[ 14 ]}$${\displaystyle P=2A_{p}\eta _{tm}{\sqrt {\frac {D}{\pi t}}},}$$ أين:

• ${\displaystyle A_{P}}$هي المساحة الإجمالية للمسام الموجودة على الغشاء (بوحدة م² ⁾ ،
• ${\displaystyle \eta _{tm}}$كفاءة النقل عبر الغشاء (بدون وحدة)، والتي يمكن حسابها من النظرية العشوائية للكروماتوغرافيا ،
• D هو ثابت الانتشار لوحدة المذاب m ² ⋅s ⁻¹ ،
• t هي وحدة زمنية بالثواني (s).
• يجب استخدام وحدة مول م ^{−3 لتركيز} c ₂ و c ₁ ، وبالتالي تصبح وحدة التدفق مول ث ⁻¹ .

يتناقص التدفق بمرور الوقت مع الجذر التربيعي للزمن، وذلك بسبب تراكم تدرج التركيز بالقرب من الغشاء بمرور الوقت في الظروف المثالية. أما في حالة وجود تدفق وحمل حراري، فقد يختلف التدفق اختلافًا كبيرًا عما تتوقعه المعادلة، ويُظهر زمنًا فعالًا (t) بقيمة ثابتة ^{[ 17 ]} ، مما يجعل التدفق مستقرًا بدلًا من أن يتناقص بمرور الوقت. وقد تم تقدير زمن حرج في ظل ظروف التدفق المثالية عندما لا يتشكل أي تدرج ^{[ 17 ] [ 19 ]} . وتُعتمد هذه الاستراتيجية في بعض التطبيقات البيولوجية، مثل الدورة الدموية.

أشباه الموصلات مصطلح جامع لمجموعة من الأجهزة. وهي تشمل بشكل أساسي ثلاث فئات: أجهزة ثنائية الأطراف، وأجهزة ثلاثية الأطراف، وأجهزة رباعية الأطراف. ويُطلق على تركيب أشباه الموصلات اسم الدائرة المتكاملة.

العلاقة بين قانون فيك وأشباه الموصلات: يقوم مبدأ عمل أشباه الموصلات على نقل المواد الكيميائية أو الشوائب من طبقة إلى أخرى. ويمكن استخدام قانون فيك للتحكم في الانتشار والتنبؤ به من خلال معرفة مقدار تركيز الشوائب أو المواد الكيميائية التي تنتقل في المتر الواحد في الثانية الواحدة، وذلك باستخدام الرياضيات.

لذلك، يمكن تصنيع أنواع ومستويات مختلفة من أشباه الموصلات.

تستخدم تقنيات تصنيع الدوائر المتكاملة ، وعمليات النمذجة مثل الترسيب الكيميائي للبخار، والأكسدة الحرارية، والأكسدة الرطبة، والتطعيم، وما إلى ذلك، معادلات الانتشار المستمدة من قانون فيك.

يمكن لقانون فيك الأول أن يفسر مجموعة متنوعة من الظواهر المعقدة في سياق الطعام والطهي: فانتشار جزيئات مثل الإيثيلين يعزز نمو النباتات ونضجها، وجزيئات الملح والسكر تعزز تمليح اللحوم وتتبيلها، وجزيئات الماء تعزز الجفاف. كما يمكن استخدام قانون فيك الأول للتنبؤ بتغيرات توزيع الرطوبة في شعيرية السباغيتي أثناء ترطيبها خلال الطهي. وتتمحور هذه الظواهر حول الحركة التلقائية لجزيئات المواد المذابة بفعل تدرج التركيز. وفي حالات مختلفة، تختلف قيمة معامل الانتشار، وهو ثابت. ^{[ 23 ]}

يمكن التحكم في عملية التمليح من خلال التحكم في تدرج التركيز، ووقت الطهي، وشكل الطعام.