النقطة الثابتة (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُعرف النقطة الثابتة (أو النقطة الجوهرية )، أو النقطة غير المتغيرة ، بأنها قيمة لا تتغير تحت تأثير تحويل معين . وبالتحديد، بالنسبة للدوال ، النقطة الثابتة هي عنصر تُسقطه الدالة على نفسه. وأي مجموعة من النقاط الثابتة لتحويل ما تُسمى أيضًا مجموعة غير متغيرة .

بصورة رسمية، تُعتبر النقطة c نقطة ثابتة للدالة f إذا كانت c تنتمي إلى كلٍّ من مجال تعريف f ومجالها المقابل ، و f ( c ) = c . وبالتحديد، لا يمكن أن يكون للدالة f أي نقطة ثابتة إذا كان مجال تعريفها منفصلاً عن مجالها المقابل. إذا كانت f معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ، فإنها تُقابل، بيانيًا، منحنىً في المستوى الإقليدي ، وتُقابل كل نقطة ثابتة c نقطة تقاطع المنحنى مع الخط y = x ، انظر الشكل.

على سبيل المثال، إذا كانت f معرفة على الأعداد الحقيقية بواسطة ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$ إذن 2 هي نقطة ثابتة لـ f ، لأن f (2) = 2 .

لا تحتوي جميع الدوال على نقاط ثابتة: على سبيل المثال، f ( x ) = x + 1 ليس لها نقاط ثابتة لأن x + 1 لا يساوي x أبدًا لأي عدد حقيقي.

في التحليل العددي ، تُعدّ طريقة التكرار بنقطة ثابتة أسلوبًا لحساب النقاط الثابتة لدالة ما. تحديدًا، عند إعطاء دالة${\displaystyle f}$بنقطة لها نفس المجال والمجال المقابل${\displaystyle x_{0}}$في مجال${\displaystyle f}$، التكرار ذو النقطة الثابتة هو

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

مما يؤدي إلى ظهور التسلسل${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$تطبيقات الدوال المتكررة${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$والتي يُؤمل أن تتقارب إلى نقطة واحدة${\displaystyle x}$. لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة متصلة، فيمكن إثبات أن الدالة التي تم الحصول عليها${\displaystyle x}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$.

يتم تعريف مفاهيم النقاط الثابتة الجاذبة، والنقاط الثابتة الطاردة، والنقاط الدورية فيما يتعلق بتكرار النقطة الثابتة.

نظرية النقطة الثابتة هي نتيجة تنص على وجود نقطة ثابتة واحدة على الأقل، في ظل شرط عام معين. ^{[ 1 ]}

على سبيل المثال، تعطي نظرية باناش للنقطة الثابتة (1922) معيارًا عامًا يضمن أنه إذا تم استيفاؤه، فإن تكرار النقطة الثابتة سيتقارب دائمًا إلى نقطة ثابتة.

تنص نظرية النقطة الثابتة لبروير ( 1911) على أن أي دالة متصلة من الكرة المغلقة ذات الوحدة في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n إلى نفسها يجب أن يكون لها نقطة ثابتة، لكنها لا تصف كيفية إيجاد النقطة الثابتة.

توفر نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة ( ونظرية نيلسن للنقطة الثابتة ) من الطوبولوجيا الجبرية طريقة لحساب النقاط الثابتة.

في الجبر ، بالنسبة لمجموعة G تؤثر على مجموعة X بفعل المجموعة${\displaystyle \cdot }$يُقال أن x في X نقطة ثابتة للدالة g إذا${\displaystyle g\cdot x=x}$.

المجموعة الفرعية ذات النقطة الثابتة${\displaystyle G^{f}}$إن التشاكل الذاتي f لمجموعة G هو المجموعة الجزئية من G :$${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

وبالمثل، الحلقة الفرعية ذات النقطة الثابتة${\displaystyle R^{f}}$إن الحلقة الجزئية للنقاط الثابتة لـ f، والتي تمثل تشاكلاً ذاتياً f في حلقة R، هي الحلقة الجزئية للنقاط الثابتة لـ f ، أي $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

في نظرية غالوا ، تسمى مجموعة النقاط الثابتة لمجموعة من التشاكلات الذاتية لحقل ما بالحقل الثابت لمجموعة التشاكلات الذاتية.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُقال إن الدالة تتمتع بخاصية النقطة الثابتة (FPP) إذا كانت لأي دالة متصلة

${\displaystyle f\colon X\to X}$

يوجد${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle f(x)=x}$.

إنّ FPP ثابت طوبولوجي ، أي أنه محفوظ بواسطة أي تشاكل طوبولوجي . كما أن FPP محفوظ أيضًا بواسطة أي انكماش .

وفقًا لنظرية بروير للنقطة الثابتة ، فإن كل مجموعة جزئية متراصة ومحدبة من فضاء إقليدي تمتلك نقطة ثابتة. لا يستلزم التراص وحده وجود هذه النقطة، كما أن التحدب ليس خاصية طوبولوجية، لذا من المنطقي التساؤل عن كيفية توصيف هذه النقطة طوبولوجيًا. في عام ١٩٣٢، تساءل بورزوك عما إذا كان التراص مع قابلية الانكماش شرطًا ضروريًا وكافيًا لوجود هذه النقطة. بقي هذا السؤال مطروحًا لمدة عشرين عامًا حتى دحض كينوشيتا هذا التخمين، إذ وجد مثالًا على فضاء متراص قابل للانكماش لا يمتلك هذه النقطة. ^{[ ٢ ]}

في نظرية المجال ، يُعمم مفهوم ومصطلحات النقاط الثابتة ليشمل الترتيب الجزئي . ليكن ≤ ترتيبًا جزئيًا على مجموعة X ، ولتكن f : X → X دالة على X. عندئذٍ ، تُعرف النقطة السابقة ( أو النقطة الثابتة المسبقة ) للدالة f بأنها أي نقطة p بحيث يكون f ( p ) ≤ p . وبالمثل، تُعرف النقطة اللاحقة للدالة f بأنها أي نقطة p بحيث يكون p ≤ f ( p ). ^{[ 3 ]} ويظهر الاستخدام المعاكس أحيانًا . ^{[ 4 ]} يُبرر مالكيس التعريف المُقدم هنا على النحو التالي: "بما أن f تقع قبل علامة المتباينة في الحد f ( x ) ≤ x ، فإن x تُسمى نقطة سابقة ." ^{[ 5 ]} النقطة الثابتة هي نقطة تُعتبر في الوقت نفسه نقطة سابقة ونقطة لاحقة. وللنقاط السابقة واللاحقة تطبيقات في علوم الحاسوب النظرية . ^{[ 6 ]}

في المنطق التوافقي لعلوم الحاسوب ، يُعتبر المُركِّب ذو النقطة الثابتة دالة من الرتبة العليا.${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$تُعيد هذه الدالة نقطة ثابتة للدالة المُدخلة، إن وُجدت. وبصورة رسمية، إذا كانت للدالة f نقطة ثابتة واحدة أو أكثر، فإن

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

في المنطق الرياضي ، تُعدّ منطق النقطة الثابتة امتدادات لمنطق المسند الكلاسيكي، وقد طُرحت للتعبير عن الاستدعاء الذاتي. وقد استُلهم تطويرها من نظرية التعقيد الوصفي وعلاقتها بلغات استعلام قواعد البيانات ، ولا سيما لغة داتالوج .

في العديد من المجالات، تُعدّ مفاهيم التوازن أو الاستقرار مفاهيم أساسية يمكن وصفها بدلالة النقاط الثابتة. وفيما يلي بعض الأمثلة.

• في الهندسة الإسقاطية ، تُسمى النقطة الثابتة للإسقاط بالنقطة المزدوجة . ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• في علم الاقتصاد ، يُعرف توازن ناش في لعبة ما بأنه نقطة ثابتة لأفضل استجابة ممكنة في تلك اللعبة . وقد استغل جون ناش نظرية كاكوتاني للنقطة الثابتة في بحثه الرائد الذي نال عنه جائزة نوبل في الاقتصاد.
• في الفيزياء ، وبشكل أكثر تحديدا في نظرية التحولات الطورية ، أدى التخطيط الخطي بالقرب من نقطة ثابتة غير مستقرة إلى عمل ويلسون الحائز على جائزة نوبل والذي ابتكر مجموعة إعادة التطبيع ، وإلى التفسير الرياضي لمصطلح " الظاهرة الحرجة ". ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• تستخدم مُجمِّعات لغات البرمجة عمليات حسابية ذات نقطة ثابتة لتحليل البرامج، على سبيل المثال في تحليل تدفق البيانات ، وهو أمر مطلوب غالبًا لتحسين الكود . كما أنها تُشكِّل المفهوم الأساسي الذي تستخدمه طريقة تحليل البرامج العامة المعروفة باسم التفسير المجرد . ^{[ 12 ]}
• في نظرية الأنواع ، يسمح مُركِّب النقطة الثابتة بتعريف الدوال المتكررة في حساب التفاضل والتكامل اللامدا غير المصنف .
• يمثل متجه قيم PageRank لجميع صفحات الويب النقطة الثابتة لتحويل خطي مشتق من بنية الروابط الخاصة بشبكة الويب العالمية .
• التوزيع الثابت لسلسلة ماركوف هو النقطة الثابتة لدالة احتمالية الانتقال بخطوة واحدة.
• تُستخدم النقاط الثابتة لإيجاد صيغ الدوال المتكررة .