الخطوط الجيوديسية على سطح بيضاوي

الشكل 2. العنصر التفاضلي لقطع ناقص خط الزوال.

الشكل 3. عنصر تفاضلي لخط جيوديسي على سطح بيضاوي.

هنا يتم تطوير معادلات المسار الجيوديسي؛ ويتبع الاشتقاق بشكل وثيق اشتقاق بيسل (1825) . كما يقدم كل من جوردان وإيغرت (1941) ، وباغراتوني (1962 ، §15) ، وجانشين (1967 ، الفصل 5) ، وكراكيوسكي وتومسون (1974 ، §4) ، وراب (1993 ، §1.2) ، وجيكيلي (2012) ، وبور وسترانغ (2012) اشتقاقات لهذه المعادلات.

لنفترض شكلاً بيضاوياً دورانياً بنصف قطر استوائي a ونصف محور قطبي b . عرّف التسطح f ، واللامركزية e ، واللامركزية الثانية e ′ :

$${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.}$$

(في معظم التطبيقات في علم الجيوديسيا، يُفترض أن يكون الشكل الإهليلجي مفلطحًا، a > b ؛ ومع ذلك، تنطبق النظرية دون تغيير على الأشكال الإهليلجية المتطاولة، a < b ، وفي هذه الحالة تكون f و e ² و e ′ ² سالبة.)

لنفترض أن قطعةً أساسيةً من مسار على سطح القطع الناقص طولها ds . من الشكلين 2 و3، نرى أنه إذا كان سمتها α ، فإن ds ترتبط بـ dφ و dλ بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,}$$(1) حيث ρ هو نصف قطر الانحناء الزوالي ، وR = ν cos φ هو نصف قطر دائرة خط العرض φ ، و ν هو نصف قطر الانحناء العمودي . وبالتالي، تُعطى القطعة الأولية بالصيغة التالية: $${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$$ أو $${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\[3mu]&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{محاذاة}}}$$ حيث φ ′ = dφ / dλ، _وتعتمد دالة لاغرانج L على φ _من خلال ρ ( φ ) و R ( φ ) . يُعطى طول أي مسار بين ( φ1 _, λ1 ) و ( φ2 , λ2 ₎ بالعلاقة التالية :$${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$$ حيث φ دالة لـ λ تحقق φ ( λ1 ) = φ1 و φ ( λ2 ) = _φ2 . يتطلب _{إيجاد أقصر مسار أو خط} جيوديسي إيجاد الدالة φ ( λ ) التي تُقلل _s12 . هذا تمرين في حساب التفاضل والتكامل _، ويُعطى شرط التقليل بواسطة متطابقة بلترامي . $${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$$ بالتعويض عن L واستخدام المعادلات (1) نحصل على $${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$$توصل كليروت (1735) إلى هذه العلاقة باستخدام بناء هندسي؛ وقدّم ليوسترنيك (1964 ، §10) اشتقاقًا مشابهًا . ^{[ 2 ]} باشتقاق هذه العلاقة نحصل على $${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$$ يؤدي هذا، بالإضافة إلى المعادلات (1) ، إلى نظام من المعادلات التفاضلية العادية للجيوديسية $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \,\sin \alpha }{\nu }}.}$$ يمكننا التعبير عن R بدلالة خط العرض البارامتري β باستخدام $${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$$ وتصبح علاقة كليروت بعد ذلك $${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$$

الشكل 4. مسألة الجيوديسية مُسقطة على الكرة المساعدة.

الشكل 5. مسألة الجيوديسية الأولية على الكرة المساعدة.

هذه هي قاعدة الجيب في علم المثلثات الكروية التي تربط بين ضلعين من المثلث NAB (انظر الشكل  4)، NA = 1 ⁄ 2 π − β ₁ ، و NB = 1 ⁄ 2 π − β ₂ وزواياهما المقابلة B = π − α ₂ و A = α ₁ .

لإيجاد العلاقة بين الضلع الثالث AB = σ ₁₂ ، وهو طول القوس الكروي ، والزاوية المحصورة N = ω ₁₂ ، وهي خط الطول الكروي ، من المفيد النظر إلى المثلث NEP الذي يمثل خطًا جيوديسيًا يبدأ من خط الاستواء؛ انظر الشكل 5. في هذا الشكل، تظهر المتغيرات المتعلقة بالكرة المساعدة مع الكميات المقابلة للقطع الناقص بين قوسين. تشير الكميات بدون رموز سفلية إلى النقطة P ؛ وتُستخدم النقطة E ، التي يتقاطع عندها الخط الجيوديسي مع خط الاستواء باتجاه الشمال، كنقطة أصل لـ σ و s و ω .

إذا تم تمديد الجانب EP عن طريق تحريك النقطة P بشكل متناهي الصغر (انظر الشكل 6)، فسنحصل على $${\displaystyle \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$$(2) بدمج المعادلتين (1) و (2) نحصل على معادلات تفاضلية لـ s و λ$${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$$

العلاقة بين β و φ هي $${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$$ مما يعطي $${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$$ وبذلك تصبح المعادلات التفاضلية للخط الجيوديسي $${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$$

تتمثل الخطوة الأخيرة في استخدام σ كمعامل مستقل في كلتا المعادلتين التفاضليتين، وبالتالي التعبير عن s و λ كتكاملات. بتطبيق قاعدة الجيب على الرأسين E و G في المثلث الكروي EGP في الشكل 5، نحصل على $${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma$$ ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,} حيث α ₀ هي السمت عند E. وبالتعويض بهذه القيمة في معادلة ds / d σ وتكامل النتيجة، نحصل على $${\displaystyle {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$$(3) حيث $${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$$ ويتم اختيار حدود التكامل بحيث يكون s ( σ = 0) = 0. وقد أشار ليجندر (1811 ، ص 180 ⁾ إلى أن معادلة s هي نفسها معادلة القوس على قطع ناقص ^ذي نصفَي محورين b√1 + e′²cos²α و b . وللتعبير عن معادلة λ بدلالة σ ، _نكتب$${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$$ وهذا ما ينتج عن المعادلة 2 وعلاقة كليروت. وهذا يؤدي إلى $${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$$(4) ويتم اختيار الحدود على التكاملات بحيث يكون λ = λ ₀ عند عبور خط الاستواء، σ = 0 .

بهذا يكتمل حل مسار الجيوديسية باستخدام الكرة المساعدة. بهذه الطريقة، يمكن تمثيل الدائرة العظمى بدقة على شكل جيوديسية على سطح إهليلجي دوراني.

توجد أيضًا عدة طرق لتقريب الخطوط الجيوديسية على سطح إهليلجي أرضي (مع تسطح طفيف) ( راب 1991 ، §6) ؛ وقد وُصفت بعض هذه الطرق في مقالة المسافة الجغرافية . ومع ذلك، فإن تعقيد هذه الطرق عادةً ما يكون مماثلاً لتعقيد طريقة الحل الدقيق ( جيكيلي 2012 ، §2.1.4) .

خط جيوديسي على شكل بيضاوي مفلطح ( f = 1/50 ) مع α0 ₌45 درجة .

الشكل 8. اتباع المسار الجيوديسي على القطع الناقص لحوالي 5 دورات.

الشكل 9. نفس المسار الجيوديسي بعد حوالي 70 دورة.

يوضح الشكل 7 الخطوط الجيوديسية المغلقة البسيطة، والتي تتكون من خطوط الطول (باللون الأخضر) وخط الاستواء (باللون الأحمر). (يُقصد بكلمة "بسيطة" هنا أن الخط الجيوديسي يُغلق على نفسه دون وجود تقاطع ذاتي). وينتج هذا عن معادلات الخطوط الجيوديسية الواردة في القسم السابق.

تُمثل الأشكال 8 و9 جميع الخطوط الجيوديسية الأخرى، حيث تُظهر خطًا جيوديسيًا يبدأ من خط الاستواء بزاوية _α₀ = 45° . يتذبذب هذا الخط حول خط الاستواء. تُسمى نقاط تقاطعه مع خط الاستواء بالعُقد ، وتُسمى نقاط أقصى أو أدنى خط عرض بالرؤوس ؛ وتُعطى خطوط العرض البارامترية للرؤوس بالعلاقة β = ± ( 1 ⁄ 2 π − | α₀ _| ) . يُكمل الخط الجيوديسي دورة كاملة في خط العرض قبل أن يزداد خط الطول بمقدار٣٦٠° . _{بالتالي} ، في كل عبور متتالٍ لخط الاستواء شمالًا (انظر الشكل  ٨)، يقل طول λ عن دورة كاملة حول خط الاستواء بمقدار ٢πf sin α₀ تقريبًا (بالنسبة للقطع الناقص المطاول، تكون هذه الكمية سالبة، ويكمل λ أكثر من دورة كاملة؛ انظر الشكل ١٠). بالنسبة لجميع قيم α₀ تقريبًا _{، سيملأ الخط الجيوديسي ذلك الجزء من القطع الناقص} الواقع بين خطي عرض الرأسين (انظر الشكل  ٩).

مساران جيوديسيان مغلقان إضافيان للقطع الناقص المفلطح، b ⁄ a = 2 ⁄ 7 .

الشكل 11. منظر جانبي.

الشكل 12. منظر علوي.

إذا كان القطع الناقص مفلطحًا بدرجة كافية، أي أن b / a < 1/2 ، فإنه من الممكن وجود فئة أخرى من الجيوديسيات المغلقة البسيطة ( كلينجنبرغ 1982 ، §3.5.19) . يوضح الشكلان 11 و12 اثنين من هذه الجيوديسيات. هنا ، b / a = 2/7 ، ويتم اختيار السمت الاستوائي، α0 _، للجيوديسية الخضراء (والزرقاء على التوالي) ليكون53.175° (على التوالي)75.192 درجة )، بحيث يكمل الخط الجيوديسي دورتين (أو 3 دورات) كاملة حول خط الاستواء في دورة واحدة من القطع الناقص.

يوضح الشكل  13 الخطوط الجيوديسية (باللون الأزرق) المنبثقة من النقطة A حيث α ₁ مضاعف لـبزاوية 15 درجة حتى النقطة التي تتوقف عندها هذه المسارات عن كونها أقصر المسارات. (تمت زيادة التسطيح إلى 1/10 لإبراز التأثيرات الإهليلجية). كما هو موضح (باللون الأخضر) منحنيات ذات قيمة ثابتة s ₁₂ ، وهي الدوائر الجيوديسية التي مركزها النقطة A. وقد أثبت غاوس (1828) أنه على أي سطح، تتقاطع الخطوط الجيوديسية والدوائر الجيوديسية بزوايا قائمة.

الخط الأحمر هو مسار القطع ، وهو مسار النقاط التي لها عدة مسارات جيوديسية قصيرة (اثنان في هذه الحالة) من النقطة A. على سطح الكرة، يكون مسار القطع نقطة. أما على سطح القطع الناقص المفلطح (كما هو موضح هنا)، فهو قطعة من دائرة العرض المتمركزة حول النقطة المقابلة لـ A ، φ = − φ _1. يبلغ الامتداد الطولي لمسار القطع تقريبًا λ ₁₂ ∈ [ π (1 − f cos φ ₁ ), π (1 + f cos φ ₁ )] . إذا كانت A تقع على خط الاستواء، φ ₁ = 0 ، فإن هذه العلاقة تكون دقيقة، وبالتالي يكون خط الاستواء أقصر مسار جيوديسي فقط إذا كان | λ ₁₂ | ≤ π (1 − f ) . بالنسبة للقطع الناقص المطول، فإن موضع القطع هو جزء من خط الزوال المضاد متمركز على النقطة المقابلة لـ A ، λ ₁₂ = π ، وهذا يعني أن المسارات الجيوديسية الزوالية تتوقف عن كونها أقصر المسارات قبل الوصول إلى النقطة المقابلة.

تتطلب العديد من المسائل المتعلقة بالخطوط الجيوديسية معرفة سلوكها عند تعرضها للاضطراب. يُعدّ هذا مفيدًا في التعديلات المثلثية ( إهلرت، 1993 ) ، وتحديد الخصائص الفيزيائية للإشارات التي تتبع الخطوط الجيوديسية، وما إلى ذلك. لنفترض وجود خط جيوديسي مرجعي، مُعطى بالمعامل s ، وخط جيوديسي ثانٍ يبعد عنه مسافة صغيرة t ( s ) . بيّن غاوس (1828) أن t ( s ) يخضع لمعادلة غاوس-جاكوبي.$${\displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,}$$

حيث K ( s ) هي انحناء غاوس عند s . وباعتبارها معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ، يمكن التعبير عن حلها كمجموع حلين مستقلين. $${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,&\left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=1,\\[6mu]M(s_{1},s_{1})&=1,&\left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=0.\end{aligned}}}$$ الكمية m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ هي ما يسمى بالطول المختزل ، و M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ هي المقياس الجيوديسي . ^{[ 3 ]} يتم توضيح تعريفاتهما الأساسية في الشكل  14.

انحناء غاوس لسطح إهليلجي دوراني هو $${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$$قام هيلمرت (1880 ، المعادلة (6.5.1.)) بحل معادلة جاوس-جاكوبي لهذه الحالة مما مكن من التعبير عن m ₁₂ و M _{12 كتكاملات.}

كما نرى في الشكل 14 (الشكل الفرعي العلوي)، فإن المسافة بين مسارين جيوديسيين يبدآن من النقطة نفسها، ويختلف سمتاهما بمقدار _{dα1، هي m12 dα1} . على سطح مغلق كالقطع الناقص، يتذبذب m12 حول الصفر . النقطة التي يصبح عندها _m12 صفرًا هي النقطة المرافقة لنقطة البداية. لكي يكون المسار الجيوديسي بين A _{و B} ، بطول s12 _{، أقصر مسار ،} يجب أن يحقق شرط جاكوبي ( جاكوبي 1837 ) ( جاكوبي 1866 ، §6) ( فورسيث 1927 ، §§26-27) ( بليس 1916 ) ، أي أنه لا توجد نقطة مرافقة لـ A بين A و B. إذا لم يتحقق هذا الشرط، فسيكون هناك مسار قريب (ليس بالضرورة مسارًا جيوديسيًا ) أقصر منه. وبالتالي، فإن شرط جاكوبي هو خاصية محلية للمسار الجيوديسي، وهو شرط ضروري فقط ليكون المسار الجيوديسي أقصر مسار عالمي. أما الشروط الضرورية والكافية لكون المسار الجيوديسي أقصر مسار فهي:

• لشكل إهليلجي مفلطح، | σ _١٢ | ≥ π ؛
• لشكل إهليلجي متطاول، | 12 |_​ ≥ π , إذا α ₀ ≠ 0 ; إذا كانت α ₀ = 0 ، فإن الشرط الإضافي m ₁₂ ≥ 0 مطلوب إذا | 12 |_​ = .​

الخطوط الجيوديسية من نقطة واحدة ( f = 1 ⁄ 10 ، φ ₁ =−30° )

الشكل 15. غلاف الخطوط الجيوديسية من النقطة A عند φ ₁ =-30° .

الشكل 16. الخطوط الجيوديسية الأربعة التي تربط النقطة A بالنقطة B ، φ ₂ =26° ، λ ₁₂ =175 درجة .

تشكل الخطوط الجيوديسية من نقطة معينة A ، إذا امتدت بعد مسار القطع، غلافًا موضحًا في الشكل  15. هنا، الخطوط الجيوديسية التي يكون فيها α ₁ مضاعفًا لـتظهر النقاط بزاوية 3 درجات باللون الأزرق الفاتح. (تُعرض الخطوط الجيوديسية فقط عند مرورها الأول بالقرب من النقطة المقابلة، وليس عند مرورها اللاحق). تظهر بعض الدوائر الجيوديسية باللون الأخضر؛ وتشكل هذه الدوائر نقاطًا مدببة على الغلاف. يظهر الموضع المقطوع باللون الأحمر. الغلاف هو موضع النقاط المترافقة مع النقطة A ؛ ويمكن حساب النقاط على الغلاف بإيجاد النقطة التي يكون عندها m ₁₂ = 0 على خط جيوديسي. أطلق جاكوبي (1891) على هذا الشكل النجمي الناتج عن الغلاف اسم الكويكب .

خارج الكويكب، يتقاطع خطان جيوديسيان عند كل نقطة؛ وبالتالي، يوجد خطان جيوديسيان (طول كل منهما يُقارب نصف محيط القطع الناقص) بين النقطة A وهذه النقاط. وهذا يُشابه الوضع على الكرة حيث توجد مسارات "قصيرة" و"طويلة" على دائرة عظمى بين نقطتين. داخل الكويكب، تتقاطع أربعة خطوط جيوديسية عند كل نقطة. يوضح الشكل 16 أربعة من هذه الخطوط الجيوديسية، حيث رُقّمت الخطوط الجيوديسية بترتيب تزايد الطول. (يستخدم هذا الشكل نفس موضع النقطة A كما في الشكل 13، وهو مرسوم بنفس الإسقاط). الخطان الجيوديسيان الأقصر مستقران ، أي أن m ₁₂ > 0 ، بحيث لا يوجد مسار قريب يربط النقطتين أقصر منهما؛ أما الخطان الآخران فهما غير مستقرين. الخط الأقصر فقط (الأول) له σ ₁₂ ≤ π . جميع الخطوط الجيوديسية مماسية للغلاف الموضح باللون الأخضر في الشكل.

الكويكب هو المنحنى التطوري (الخارجي) للدوائر الجيوديسية المتمركزة عند النقطة A. وبالمثل، فإن الدوائر الجيوديسية هي المنحنيات التطورية للكويكب.

المضلع الجيوديسي هو مضلع أضلاعه خطوط جيوديسية. وهو مماثل للمضلع الكروي الذي أضلاعه دوائر عظمى. يمكن إيجاد مساحة هذا المضلع بحساب المساحة المحصورة بين قطعة جيوديسية وخط الاستواء، أي مساحة الشكل الرباعي AFHB في الشكل 1 ( دانييلسن 1989 ) . بمجرد معرفة هذه المساحة، يمكن حساب مساحة المضلع بجمع مساحات جميع أضلاعه.

_{هنا ،} تم تطوير تعبير للمساحة S12 للشكل البيضاوي AFHB وفقًا لـ Sjöberg (2006) . مساحة أي منطقة مغلقة من الشكل البيضاوي هي $${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ حيث dT هو عنصر من مساحة السطح و K هو انحناء غاوس . الآن، تنص نظرية غاوس-بونيه المطبقة على مضلع جيوديسي على ما يلي: $${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ أين $${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$$_{يمثل Γ} الزيادة الجيوديسية، و _θj الزاوية الخارجية عند الرأس j . بضرب معادلة Γ في R² _، حيث R² هو نصف القطر الذاتي ، وطرح هذا ^الناتج من معادلة T، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\[3mu]&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$$ حيث تم استبدال قيمة K للقطع الناقص . بتطبيق هذه الصيغة على الشكل الرباعي AFHB ، مع ملاحظة أن Γ = α ₂ − α ₁ ، وإجراء التكامل على φ، نحصل على $${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,}$$ حيث يكون التكامل على طول الخط الجيوديسي (بحيث تكون φ دالة ضمنية لـ λ ). ويمكن التعبير عن التكامل كمتسلسلة صالحة لقيم f الصغيرة ( دانييلسن 1989 ) ( كارني 2013 ، §6) .

مساحة المضلع الجيوديسي تُحسب بجمع S₁² على أضلاعه. هذه النتيجة صحيحة بشرط ألا يحتوي المضلع على قطب؛ فإذا احتوى على قطب، _{يجب إضافة} 2πR²² إلى المجموع . إذا حُددت الأضلاع برؤوسها، فإن _صيغة ملائمة للفائض الجيوديسي E₁² = α² _- ^α₁ _هي$${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$$

يتطلب حل مسائل الجيوديسية رسم خط الجيوديسية على الكرة المساعدة وحل المسألة المقابلة في الملاحة الدائرية العظمى . عند حل المثلث الكروي "الأساسي" لمسألة NEP في الشكل  5، يمكن استخدام قواعد نابيير للمثلثات الرباعية .$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \,\cos \beta &&=\tan \omega \,\cot \sigma ,\\\cos \sigma \,&=\cos \beta \,\cos \omega &&=\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha \,&=\cos \omega \,\cos \alpha _{0}&&=\cot \sigma \,\tan \beta ,\\\sin \beta \,&=\cos \alpha _{0}\sin \sigma &&=\cot \alpha \,\tan \omega ,\\\sin \omega \,&=\sin \sigma \,\sin \alpha &&=\tan \beta \,\tan \alpha _{0}.\end{alignedat}}}$$ تتضمن عملية رسم الخرائط الجيوديسية تقييم التكاملات للمسافة، s ، وخط الطول، λ ، المعادلات (3) و (4) وهذه تعتمد على المعلمة α ₀ .

إن معالجة المشكلة المباشرة أمر بسيط، لأنه يمكن تحديد α ₀ مباشرة من الكميات المعطاة φ ₁ و α ₁ ؛ للحصول على مثال حسابي، انظر كارني (2013) .

في حالة المسألة العكسية، تُعطى قيمة λ ₁₂ ؛ ولا يمكن ربطها بسهولة بالزاوية الكروية المكافئة ω ₁₂ لأن α ₀ غير معروفة. لذا، يتطلب حل المسألة إيجاد قيمة α ₀ بالتكرار ( إيجاد الجذور )؛ انظر كارني (2013) لمزيد من التفاصيل.

في التطبيقات الجيوديسية، حيث تكون قيمة f صغيرة، تُحسب التكاملات عادةً على شكل متسلسلة ( ليجندر 1806 ) ( أورياني 1806 ) ( بيسل 1825 ) ( هيلمرت 1880 ) ( رينسفورد 1955 ) ( راب 1993 ) . أما بالنسبة لأي قيمة لـ f ، فيمكن إيجاد التكاملين (3) و(4) باستخدام التكامل العددي أو بالتعبير عنهما بدلالة التكاملات الإهليلجية ( ليجندر 1806 ) ( كايلي 1870 ) ( كارني 2024 ) .

يقدم فينسينتي (1975) حلولاً للمسائل المباشرة والمعكوسة؛ وتستند هذه الحلول إلى متسلسلة متسلسلة تم إجراؤها حتى الرتبة الثالثة في عملية التسطيح، وتوفر دقة تبلغ حوالي0.1  مم للقطع الناقص WGS84 ؛ ومع ذلك فإن الطريقة العكسية تفشل في التقارب بالنسبة للنقاط المتقابلة تقريبًا.

يواصل كارني (2013) التوسعات إلى الدرجة السادسة التي تكفي لتوفير دقة مزدوجة كاملة لـ | f | ≤ 1 ⁄ 50 ويحسن حل المشكلة العكسية بحيث يتقارب في جميع الحالات.

لنعتبر القطع الناقص المعرف بـ $${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ حيث ( X ، Y ، Z ) هي إحداثيات ديكارتية متمركزة على القطع الناقص، وبدون ^فقدان للعمومية ، a ≥ b ≥ c > 0. [ ^{5 ]} استخدم جاكوبي (1866 ، الفقرات 26-27) الإحداثيات الإهليلجية (ثلاثية المحاور) (مع خط عرض إهليلجي ثلاثي المحاور وخط طول إهليلجي ثلاثي المحاور ، β ، ω ) المحددة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\[3mu]Y&=b\cos \beta \,\sin \omega ,\\[6mu]Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$$ في حالة اقتراب b من a ، تصبح β خط العرض البارامتري لشكل بيضاوي مفلطح، لذا فإن استخدام الرمز β يتوافق مع الأقسام السابقة. ومع ذلك، فإن ω تختلف عن خط الطول الكروي المحدد أعلاه. ^{[ 6 ]}

تُظهر الشكل 17 خطوط الشبكة ذات القيم الثابتة β (باللون الأزرق) و ω (باللون الأخضر). تُشكل هذه الخطوط نظام إحداثيات متعامدًا ، حيث تتقاطع بزوايا قائمة. تُظهر الخطوط الحمراء المقاطع الرئيسية للقطع الناقص، المُحددة عند X = 0 و Z = 0. أما المقطع الرئيسي الثالث، Y = 0 ، فيُغطى بالخطوط β = ± 90° و ω = 0° أو ± 180° . تلتقي هذه الخطوط عند أربع نقاط محورية (اثنتان منها ظاهرتان في هذا الشكل) حيث تتساوى أنصاف أقطار الانحناء الرئيسية . هنا، كما في الأشكال الأخرى في هذا القسم، تكون معلمات القطع الناقص a : b : c = 1.01:1:0.8 ، ويُنظر إليه في إسقاط متعامد من نقطة أعلى φ = 40° ، λ = 30° .

يمكن تفسير خطوط الشبكة للإحداثيات الإهليلجية بثلاث طرق مختلفة:

1. إنها "خطوط الانحناء" على القطع الناقص: وهي موازية لاتجاهات الانحناء الرئيسي ( مونج 1796 ) .
2. وهي أيضًا تقاطعات القطع الناقص مع أنظمة القطع الزائد البؤرية المكونة من ورقة واحدة وورقتين ( دوبين 1813 ، الجزء 5 ) .
3. وأخيرًا، هي عبارة عن قطع ناقصة وقطع زائدة جيوديسية مُعرَّفة باستخدام نقطتين سريتين متجاورتين ( هيلبرت وكوهن -فوسن 1952 ، ص 188 ) . على سبيل المثال، يمكن توليد خطوط β الثابتة في الشكل 17 باستخدام طريقة الخيط المألوفة للقطع الناقصة، حيث تُثبَّت نهايتا الخيط عند النقطتين السريتين.

أثبت جاكوبي أن المعادلات الجيوديسية، المعبر عنها بالإحداثيات الإهليلجية، قابلة للفصل. إليكم كيف روى اكتشافه لصديقه وجاره بيسل ( جاكوبي 1839 ، رسالة إلى بيسل) .

قبل يومين، قمتُ بتحويل مسألة الخطوط الجيوديسية على سطح إهليلجي بثلاثة محاور غير متساوية إلى مسألة تربيعية . إنها أبسط الصيغ في العالم، وهي التكاملات الأبيلية ، التي تتحول إلى التكاملات الإهليلجية المعروفة إذا تم جعل محورين متساويين.

كونيغسبرغ ، 28 ديسمبر 1938.

الحل الذي قدمه جاكوبي ( جاكوبي 1839 ) ( جاكوبي 1866 ، الفقرة 28) هو $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta =&\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\qquad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$$ كما يشير جاكوبي، "دالة الزاوية β تساوي دالة الزاوية ω . هاتان الدالتان هما ببساطة تكاملات أبيلية..." يظهر ثابتان δ و γ في الحل. عادةً ما تكون قيمة δ صفرًا إذا اعتبرنا الحد الأدنى للتكاملات نقطة بداية المسار الجيوديسي، وكان اتجاه المسار الجيوديسي محددًا بواسطة γ . مع ذلك، بالنسبة للمسارات الجيوديسية التي تبدأ من نقطة السرة، تكون قيمة γ = 0 ، وتحدد قيمة δ الاتجاه عند نقطة السرة. يمكن التعبير عن الثابت γ على النحو التالي:$${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \,\sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \,\cos ^{2}\alpha ,}$$ حيث α هي الزاوية التي يصنعها الخط الجيوديسي مع خطوط ذات زاوية ثابتة ω . في حالة b → a ، يختزل هذا إلى sin α cos β = ثابت، وهي علاقة كليروت المعروفة. وقد قدم داربو (1894 ، §§583–584 ) اشتقاقًا لنتيجة جاكوبي ؛ حيث قدم الحل الذي توصل إليه ليوفيل (1846) للأسطح التربيعية العامة.

الخطوط الجيوديسية القطبية، ω ₁ =0° ، α ₁ =90 درجة .

الشكل 18. β ₁ =45.1° .

الشكل 19. β ₁ =87.48° .

على سطح إهليلجي ثلاثي المحاور، توجد ثلاثة مسارات جيوديسية مغلقة بسيطة فقط، وهي المقاطع الرئيسية الثلاثة للإهليلج المعطاة بالنقاط X = 0 و Y = 0 و Z = 0. [ ^{7 ] ولتحديد} المسارات الجيوديسية الأخرى، من المفيد النظر في المسارات التي تتقاطع مع المقطع الرئيسي الأوسط، Y = 0 ، بزوايا قائمة. تظهر هذه المسارات في الأشكال من 18 إلى 22، والتي تستخدم نفس معلمات الإهليلج ونفس اتجاه الرؤية كما في الشكل 17. بالإضافة إلى ذلك، تظهر القطوع الإهليلجية الرئيسية الثلاثة باللون الأحمر في كل شكل من هذه الأشكال.

إذا كانت نقطة البداية β₁ ∈ ( −90 °, 90°) ، و _ω₁ = 0 ، و α₁ = ₉₀ ° ، فإن γ > 0، _ويحيط الخط الجيوديسي بالقطع الناقص بشكل دائري. يتذبذب الخط الجيوديسي شمال وجنوب خط الاستواء؛ وفي كل تذبذب، يُكمل أقل بقليل من دورة كاملة حول القطع الناقص، مما يؤدي، في الحالة النموذجية، إلى أن يملأ الخط الجيوديسي المنطقة المحصورة بين خطي العرض β = ± β₁ _. يُقدم الشكلان 18 و19 مثالين على ذلك. يُظهر الشكل 18 سلوكًا مشابهًا عمليًا لسلوك القطع الناقص الدوراني المفلطح (لأن a ≈ b ). قارن بالشكل 9. مع ذلك، إذا كانت نقطة البداية عند خط عرض أعلى (الشكل 18)، فإن التشوهات الناتجة عن a ≠ b تكون واضحة. جميع المماسات للخط الجيوديسي القطبي تلامس القطع الزائد أحادي الورقة البؤري الذي يتقاطع مع القطع الناقص عند β = β ₁ ( Chalses 1846 ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ، ص 223-224 ) .

الخطوط الجيوديسية العابرة للقطب، β ₁ =90° ، α ₁ =180 درجة .

الشكل 20. ω ₁ =39.9 درجة .

الشكل 21. ω ₁ =9.966° .

إذا كانت نقطة البداية β₁ = ₉₀ ° ، _و ω₁ ∈ (0°, 180°) ، و α₁ = 180° ، فإن γ < 0، _ويحيط الخط الجيوديسي بالقطع الناقص بطريقة "عابرة للقطب". يتذبذب الخط الجيوديسي شرقًا وغربًا حول القطع الناقص X = 0 ؛ وفي كل تذبذب، يُكمل ما يزيد قليلًا عن دورة كاملة حول القطع الناقص. في الحالة النموذجية، ينتج عن ذلك أن يملأ الخط الجيوديسي المنطقة المحصورة بين خطي الطول ω = ω₁ و ω = ₁₈₀ ° − ω₁ . إذا كان a = b ، فإن جميع خطوط الطول هي خطوط جيوديسية؛ أما إذا كان a ≠ b، فإن هذه الخطوط الجيوديسية تتذبذب شرقًا وغربًا. يوضح الشكلان مثالين على ذلك _. 20 و21. يختفي انقباض الخط الجيوديسي بالقرب من القطب في حالة b → c ؛ في هذه الحالة، يصبح الشكل الإهليلجي شكلاً إهليلجيًا متطاولًا، وسيشبه الشكل 20 الشكل 10 (بعد تدويره على جانبه). جميع المماسات للخط الجيوديسي العابر للقطب تلامس السطح الزائدي ذي الصفائح المزدوجة المتحد البؤرة والذي يتقاطع مع الشكل الإهليلجي عند ω = ω ₁ .

في الأشكال من 18 إلى 21، تكون الخطوط الجيوديسية مغلقة (تقريبًا). وكما ذُكر سابقًا، في الحالة النموذجية، لا تكون الخطوط الجيوديسية مغلقة، بل تملأ المنطقة المحصورة بين خطوط العرض (في حالة الشكلين 18 و19) أو خطوط الطول (في حالة الشكلين 20 و21).

إذا كانت نقطة البداية هي β₁ = ₉₀ ° ، _و ω₁ = 0° (نقطة السرة)، و α₁ = 135° ₍ حيث يقطع الخط الجيوديسي القطع الناقص Y = 0 بزاوية قائمة)، فإن γ = 0 ، ويتقاطع الخط الجيوديسي بشكل متكرر مع نقطة السرة المقابلة ويعود إلى نقطة البداية. ومع ذلك، في كل دورة، تقترب الزاوية التي يتقاطع عندها مع Y = 0 من 0.0 درجة أوبزاوية 180° ، بحيث يقع الخط الجيوديسي تقريبًا على القطع الناقص Y = 0 ( هارت 1849 ) ( أرنولد 1989 ، ص 265 ) ، كما هو موضح في الشكل 22. لا يملأ الخط الجيوديسي الواحد مساحة على سطح القطع الناقص. جميع المماسات للخطوط الجيوديسية السُرّية تلامس القطع الزائد البؤري الذي يتقاطع مع سطح القطع الناقص عند النقاط السُرّية.

تتمتع الخطوط الجيوديسية السُرّية بعدة خصائص مثيرة للاهتمام:

• يوجد خطان جيوديسيان سريان يمران بأي نقطة على السطح الإهليلجي.
• المسافة الجيوديسية بين نقطتي السرة المتقابلتين هي نفسها بغض النظر عن الاتجاه الأولي للجيوديسية.
• بينما تكون المسارات الجيوديسية المغلقة على القطع الناقص X = 0 و Z = 0 مستقرة (يبقى المسار الجيوديسي القريب من القطع الناقص والموازي له تقريبًا قريبًا منه)، فإن المسار الجيوديسي المغلق على القطع الناقص Y = 0 ، الذي يمر بجميع النقاط السرية الأربع، غير مستقر أُسّيًا . فإذا تعرض لاضطراب، فإنه سينحرف خارج المستوى Y = 0 ثم ينقلب قبل أن يعود قريبًا من المستوى. (قد يتكرر هذا السلوك تبعًا لطبيعة الاضطراب الأولي).

إذا لم تكن نقطة البداية A للخط الجيوديسي نقطةً سرية، فإن غلافه يكون شكلاً بيضاوياً له رأسان يقعان على β = − β ₁ والرأسان الآخران على ω = ω ₁ + π . ويكون المقطع العرضي للنقطة A هو جزء الخط β = − β ₁ الواقع بين الرأسين.