مسألة غالوا العكسية

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

هل كل مجموعة منتهية هي مجموعة غالوا لامتداد غالوا للأعداد النسبية ؟

في نظرية غالوا ، تتعلق مسألة غالوا العكسية بما إذا كانت كل مجموعة منتهية تظهر كمجموعة غالوا لامتداد غالوا للأعداد النسبية أم لا. $\mathbb {Q}$ . هذه المشكلة، التي طُرحت لأول مرة في أوائل القرن التاسع عشر، ^{[ 1 ]} لم يتم حلها.

توجد بعض مجموعات التبديل التي تُعرف لها كثيرات حدود عامة ، والتي تُعرّف جميع الامتدادات الجبرية لـ $\mathbb {Q}$ تتميز هذه المجموعات بوجود زمرة معينة تُسمى زمرة غالوا. وتشمل هذه الزمر جميع الزمر التي لا تتجاوز درجتها $5.$ كما توجد زمر معروفة بعدم امتلاكها لكثيرات حدود عامة، مثل الزمرة الدورية من الرتبة $8$ .

بشكل أعم، ليكن $G$ زمرة منتهية معطاة، و $K$ حقلاً. إذا كان هناك حقل امتداد غالوا $L / K$ تكون زمرته الغالوا متماثلة مع $G$ ، نقول إن $G$ قابلة للتحقيق على $K.$

نتائج جزئية

هناك العديد من الحالات المعروفة. من المعروف أن كل زمرة منتهية قابلة للتحقيق على أي حقل دالة في متغير واحد على الأعداد المركبة $\mathbb {C}$ وبشكل أعم، على حقول الدوال في متغير واحد على أي حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية. وقد أثبت إيغور شافاريفيتش أن كل زمرة قابلة للحل منتهية قابلة للتحقيق على $\mathbb {Q}$ [ ^{2 ]} من المعروف أيضًا أن كل زمرة متفرقة بسيطة ، باستثناء ربما زمرة ماثيو $M 23$ ^، قابلة للتحقيق على $\mathbb {Q}$ [ ³^]

أظهر ديفيد هيلبرت أن هذا السؤال مرتبط بسؤال العقلانية لـ $G$ :

إذا كان

K

أي امتداد لـ

\mathbb {Q}

والتي تعمل عليها

G

كمجموعة تماثل ذاتي ، والحقل الثابت

K G

هو حقل نسبي على

\mathbb {Q}

إذن ، فإن

G

قابلة للتحقيق على

\mathbb {Q}

.

هنا، تعني كلمة "عقلاني" أنها امتداد متعالٍ بحت لـ $\mathbb {Q}$ ، مُوَلَّدة بواسطة مجموعة مستقلة جبريًا . يمكن استخدام هذا المعيار، على سبيل المثال، لإثبات أن جميع المجموعات المتناظرة قابلة للتحقيق.

أُجريت دراسات تفصيلية كثيرة حول هذه المسألة، التي لم تُحل بشكل عام. يعتمد جزء من هذه الدراسات على بناء $G$ هندسيًا كغطاء غالوا للخط الإسقاطي : أي جبريًا، بدءًا من امتداد الحقل. $\mathbb {Q} (t)$ للدوال الكسرية في متغير غير محدد $t$ . بعد ذلك، يتم تطبيق نظرية عدم الاختزال لهيلبرت لتخصيص $t$ ، بطريقة تحافظ على مجموعة غالوا.

من المعروف أن 4952 من أصل 4953 مجموعة تبديل متعدية من الدرجة 23 أو أقل، باستثناء مجموعة ماثيو $M 23$ ، قابلة للتحقيق على $\mathbb {Q}$ [ ⁴^]^[⁵^]

يوجد 25000 مجموعة تبديل متعدية متميزة من الدرجة $n=24$ وحتى يونيو 2026، لم يثبت أن سوى 286 منها قابلة للتحقيق على مدى $\mathbb {Q}$ .

من المعروف أن جميع المجموعات البسيطة غير التبديلية الـ 13 الأصغر من PSL(2,25) (الرتبة 7800) قابلة للتحقيق على $\mathbb {Q}$ [ ⁶^]

مثال بسيط: المجموعات الحلقية

من الممكن، باستخدام النتائج الكلاسيكية، بناء متعددة حدود بشكل صريح تكون زمرة غالوا الخاصة بها فوق $\mathbb {Q}$ هي المجموعة الدورية $Z / n Z$ لأي عدد صحيح موجب $n$ . لتحقيق ذلك، اختر عددًا أوليًا $p$ بحيث يكون $p \equiv 1 (mod n)$ ؛ وهذا ممكن باستخدام نظرية ديريشليه . ليكن $Q (μ)$ الامتداد الدائري لـ $\mathbb {Q}$ يتم توليدها بواسطة $μ$ ، حيث $μ$ هو جذر بدائي من الرتبة $p$ للوحدة ؛ مجموعة غالوا لـ $Q (μ)/ Q$ هي دورية من الرتبة $p - 1$ .

بما أن $n$ يقسم $p - 1$ ، فإن زمرة غالوا تحتوي على زمرة جزئية دورية $H$ من الرتبة $(p - 1)/ n$ . تنص النظرية الأساسية لنظرية غالوا على أن الحقل الثابت المقابل، $F = Q (μ) H$ ، له زمرة غالوا $Z / nZ على$ $\mathbb {Q}$ بأخذ المجاميع المناسبة لمرافقات $μ$ ، باتباع بناء الدورات الغاوسية ، يمكن إيجاد عنصر $α$ من $F$ الذي يولد $F$ على $\mathbb {Q}$ ، وحساب الحد الأدنى لكثير الحدود الخاص به .

يمكن توسيع هذه الطريقة لتشمل جميع الزمر الأبيلية المنتهية ، حيث تظهر كل زمرة من هذا النوع في الواقع كحاصل قسمة لزمرة غالوا لبعض الامتدادات الدائرية لـ $\mathbb {Q}$ (مع ذلك، لا ينبغي الخلط بين هذا البيان ونظرية كرونكر-ويبر ، التي تكمن في عمق أكبر بكثير.)

مثال محلول: المجموعة الدورية من الرتبة الثالثة

عندما $n = 3$ ، يمكننا اختيار $p = 7.$ عندئذٍ، $تكون$ $Gal(Q (μ)/ Q)$ دورية من الرتبة السادسة. لنأخذ المولد $η$ لهذه المجموعة الذي يرسل $μ$ إلى $μ₃$ . يهمنا الزمرة الجزئية $H = {1, η₃} من الرتبة$ $الثانية$ . لنعتبر العنصر $α = μ + η₃ (μ)$ . بحسب الإنشاء، $α$ ثابت بواسطة $H$ ، وله ثلاثة مرافقات فقط على $\mathbb {Q}$ :

α = η 0 (α) = μ + μ 6

,

β = η 1 (α) = μ 3 + μ 4

,

γ = η 2 (α) = μ 2 + μ 5

.

باستخدام الهوية:

1 + μ + μ 2 + \dots + μ 6 = 0

,

يجد المرء أن

α + β + γ = -1

,

αβ + βγ + γα = -2

,

αβγ = 1

.

لذلك فإن $α$ هو جذر لكثير الحدود

(x - α)(x - β)(x - γ) = x 3 + x 2 - 2 x - 1

,

وبالتالي فإن زمرة غالوا $Z /3 Z$ فوق $\mathbb {Q}$ .

المجموعات المتناظرة والمتناوبة

أظهر هيلبرت أن جميع المجموعات المتناظرة والمتناوبة يتم تمثيلها كمجموعات غالوا من كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية .

كثير الحدود $xⁿ + ax + b$ له $مميز$

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.

نحن نأخذ الحالة الخاصة

f (x, s) = x n - sx - s

.

باستبدال عدد صحيح أولي بـ $s$ في $f (x, s)$ ، نحصل على متعددة حدود (تُسمى حالة خاصة من $f (x, s)$ ) تكون غير قابلة للاختزال وفقًا لمعيار أيزنشتاين . وبالتالي، يجب أن تكون $f$ $($ $x$ $,$ $s$ $)$ غير قابلة للاختزال على $\mathbb {Q} (s)$ علاوة على ذلك، يمكن كتابة $f (x, s) على النحو التالي$

x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)

ويمكن تحليل الدالة f $(x, 1/2) إلى:$

{\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)

العامل الثاني غير قابل للاختزال (ولكن ليس وفقًا لمعيار أيزنشتاين). متعدد الحدود المقلوب فقط هو غير قابل للاختزال وفقًا لمعيار أيزنشتاين. لقد أثبتنا الآن أن المجموعة $Gal(f (x, s)/ Q (s))$ متعدية مرتين .

يمكننا بعد ذلك أن نجد أن زمرة غالوا هذه لها تبديل. استخدم مقياس $(1 - n) x = ny$ للحصول على

y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}

ومع

t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},

نصل إلى:

g (y, t) = y (n - nty) + (n - 1) t

والتي يمكن ترتيبها لـ

y n - y - (n - 1)(y - 1) + (t - 1)(- ny + n - 1)

.

إذن، للدالة $g (y, 1)$ الصفر المزدوج $1$ ، أما أصفارها الأخرى $n$ $- 2$ فهي أصفار بسيطة ، ويُستلزم ذلك وجود تبديل في $Gal($ $f$ $($ $x$ $,$ $s$ $)/$ $Q$ $($ $s$ $))$ . أي زمرة تبديل منتهية متعدية مزدوجة تحتوي على تبديل هي زمرة متناظرة كاملة.

تُشير نظرية عدم الاختزال لهيلبرت إلى أن مجموعة لانهائية من الأعداد النسبية تُعطي تخصصات للدالة $f (x, t)$ التي تكون زمر غالوا الخاصة بها هي $Sn$ على الحقل النسبي $.$ $\mathbb {Q}$ في الواقع ، هذه المجموعة من الأعداد النسبية كثيفة في $\mathbb {Q}$ .

المميز للدالة $g (y, t)$ يساوي

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),

وهذا ليس مربعًا كاملاً بشكل عام.

مجموعات متناوبة

يجب التعامل مع حلول المجموعات المتناوبة بشكل مختلف بالنسبة للدرجات الفردية والزوجية .

درجة فردية

يترك

t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}نو^{2}

بموجب هذا الاستبدال، فإن مميز الدالة $g (y, t)$ يساوي

\displaystyle \begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}

وهو مربع كامل عندما يكون $n$ فرديًا.

درجة متساوية

يترك:

t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}

بموجب هذا الاستبدال، يكون المميز لـ $g (y, t)$ مساوياً لما يلي:

{\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}

وهو مربع كامل عندما يكون $n عدداً زوجياً.$

مرة أخرى، تشير نظرية عدم الاختزال لهيلبرت إلى وجود عدد لا نهائي من التخصصات التي تكون مجموعات غالوا الخاصة بها مجموعات متناوبة.

مجموعات جامدة

لنفترض أن $C1 ، ...، Cn هي$ فئات الترافق لمجموعة منتهية $G$ ، ولتكن $A$ مجموعة $n$ -tuples $(g1 ، ...، gn)$ من $G$ بحيث يكون $g1$ ينتمي إلى $C1$ $ويكون$ حاصل ضرب $g1$ $...،$ $gn تافهاً .$ عندئذٍ تُسمى $A$ مجموعة صلبة $إذا$ كانت غير فارغة ، وتؤثر عليها $G بشكل متعدٍّ عن طريق الترافق$ $،$ وكل عنصر من $A$ يُولّد $G.$

أظهر تومسون (1984) أنه إذا كانت المجموعة المنتهية $G$ تحتوي على مجموعة صلبة، فإنه يمكن غالبًا تمثيلها كمجموعة غالوا على امتداد دائري للأعداد النسبية. (وبشكل أدق، على الامتداد الدائري للأعداد النسبية الناتج عن قيم الخصائص غير القابلة للاختزال لـ $G$ على فئات الترافق $C i$ ).

يمكن استخدام هذا لإثبات أن العديد من الزمر البسيطة المنتهية، بما في ذلك زمرة الوحش ، هي زمر غالوا لامتدادات الأعداد النسبية. تتولد زمرة الوحش من ثلاثية عناصر رتبها $2$ و $3$ و $29$ . جميع هذه الثلاثيات مترافقة.

النموذج الأولي للصلابة هو المجموعة المتناظرة $S n$ ، والتي تتولد من دورة $n-$ ية وعملية نقل ناتجها دورة $(n -1)-$ ية. وقد استخدم البناء في القسم السابق هذه المولدات لإنشاء مجموعة غالوا لكثير الحدود.

بناء ذو دالة نمطية إهليلجية

ليكن $n عددًا صحيحًا أكبر من 1.$ تحتوي الشبكة $Λ$ في المستوى المركب، ذات نسبة الدورية $τ،$ على شبكة فرعية $Λ'$ ذات نسبة الدورية $nτ$ . تُعدّ الشبكة الأخيرة واحدة من مجموعة محدودة من الشبكات الفرعية المُبدّلة بواسطة المجموعة النمطية $PSL(2, Z)$ ، والتي تعتمد على تغييرات الأساس لـ $Λ$ . لنرمز بـ $j$ إلى الدالة النمطية الإهليلجية لفيلكس كلاين . نُعرّف متعددة الحدود $φ n$ على أنها حاصل ضرب الفروق $(X - j (Λ i))$ على الشبكات الفرعية المترافقة. وباعتبارها متعددة حدود في $X$ ، فإن معاملات $φ n$ هي متعددات حدود على $\mathbb {Q}$ في $j (τ)$ .

على الشبكات المترافقة، تعمل المجموعة النمطية كـ $PGL(2, Z / n Z)$ . ويترتب على ذلك أن $φ n$ لها مجموعة غالوا متماثلة مع $PGL(2, Z / n Z)$ على $\mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))$ .

يُعطي استخدام نظرية عدم الاختزال لهيلبرت مجموعة لانهائية (وكثيفة) من الأعداد النسبية التي تُخصِّص $φ n$ إلى كثيرات الحدود مع زمرة غالوا $PGL(2, Z / n Z)$ على $\mathbb {Q}$ . تتضمن المجموعات $PGL(2, Z / n Z)$ عددًا لا نهائيًا من المجموعات غير القابلة للحل.

انظر أيضاً

المجموعة شبه الأبيلية (نظرية غالوا)

ملحوظات

↑ "منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية 45" (ملف PDF) . معهد أبحاث العلوم الرياضية . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 29 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2016 .
↑ إيغور ر. شافاريفيتش، مشكلة التضمين لتقسيم الامتدادات ، دوكل. أكاد. ناوك إس إس إس آر 120 (1958)، 1217-1219.
↑ ص. 5 من جنسن وآخرون، 2002
↑ "الصفحة الرئيسية" . galoisdb.math.upb.de .
↑ "17T7 هي مجموعة غالوا على الأعداد النسبية" .
↑ مالي وماتزات (1999)، الصفحات 403-424

مراجع

ماكبيث، أ.م. (1969). "امتدادات الأعداد النسبية مع زمرة غالوا PGL(2,Z _n )". نشرة الجمعية الرياضية في لندن . 1 (3): 332-338 . doi : 10.1112/BLMS/1.3.332 .
تومسون، جون ج. (1984)، "بعض الزمر المنتهية التي تظهر على شكل Gal L/K، حيث K ⊆ Q(μ _n )"، مجلة الجبر ، 89 (2): 437-499 ، doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X ، MR 0751155
هيلموت فولكلين، المجموعات كمجموعات غالوا، مقدمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1996. ISBN 978-0521065030.
سير، جان بيير (1992). موضوعات في نظرية غالوا . مذكرات بحثية في الرياضيات. المجلد 1. جونز وبارتليت. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 .
غونتر مال، هاينريش ماتزات، نظرية جالوا العكسية ، سبرينغر-فيرلاغ، 1999، ISBN 3-540-62890-8.
غونتر مال، هاينريش ماتزات، نظرية جالوا المعكوسة ، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، 2018.
ألكسندر شميدت، كاي وينجبيرج، نظرية سافاريفيتش حول المجموعات القابلة للحل مثل مجموعات جالوا ( انظر أيضًا نيوكيرتش، يورغن ؛ شميدت، ألكسندر؛ وينجبيرج، كاي (2000)، علم التجانس لحقول الأرقام ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ، المجلد. 323، برلين: Springer-Verlag، ISBN 978-3-540-66671-4، MR 1737196 ، Zbl 0948.11001 )
كريستيان يو. جنسن؛ آرني ليديت؛ نوريكو يوي (2002). كثيرات الحدود العامة، الجوانب البنائية لمسألة غالوا العكسية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-81998-9.

روابط خارجية

"مسألة غالوا العكسية - برنامج المدرسة الصيفية للدراسات العليا PCMI 2021 - نظرية الأعداد المستمدة من الحوسبة - 26-30 يوليو 2021" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 فبراير 2023.

[1] "منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية 45" (ملف PDF) . معهد أبحاث العلوم الرياضية . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 29 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2016 .

[2] إيغور ر. شافاريفيتش، مشكلة التضمين لتقسيم الامتدادات ، دوكل. أكاد. ناوك إس إس إس آر 120 (1958)، 1217-1219.

[3] ص. 5 من جنسن وآخرون، 2002

[4] "الصفحة الرئيسية" . galoisdb.math.upb.de .

[5] "17T7 هي مجموعة غالوا على الأعداد النسبية" .

[6] مالي وماتزات (1999)، الصفحات 403-424

[ 1 ]

2 ]

3

4

[

6

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗