قانون جيب التمام

الارتفاع المار بالرأس C هو قطعة مستقيمة عمودية على الضلع c . مجموع المسافة من قاعدة الارتفاع إلى الرأس A والمسافة من قاعدة الارتفاع إلى الرأس B يساوي طول الضلع c (انظر الشكل  5). يمكن كتابة كل من هاتين المسافتين على صورة أحد الأضلاع الأخرى مضروبًا في جيب تمام الزاوية المجاورة، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha .}$$

(يظل هذا صحيحًا حتى لو كانت الزاوية α أو β منفرجة، وفي هذه الحالة يقع العمودي خارج المثلث). بضرب كلا الطرفين في c نحصل على $${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .}$$

تنجح نفس الخطوات بنفس القدر عند اعتبار أي من الجانبين الآخرين قاعدة للمثلث: $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

بأخذ المعادلة لـ${\displaystyle c^{2}}$وطرح المعادلات الخاصة بـ${\displaystyle b^{2}}$و​​${\displaystyle a^{2}}$،​ $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

هذا البرهان مستقل عن نظرية فيثاغورس ، إذ يعتمد فقط على تعريف جيب التمام في المثلث القائم الزاوية، ويحصل على مربعات أطوال الأضلاع جبريًا. أما البراهين الأخرى فتستعين عادةً بنظرية فيثاغورس صراحةً، وتكون ذات طابع هندسي أكثر، حيث تُعامل جيب تمام الزاوية γ كرمز لطول قطعة مستقيمة معينة. ^{[ 13 ]}

بخلاف العديد من البراهين، فإن هذا البرهان يتعامل مع حالات الزوايا المنفرجة والحادة γ بطريقة موحدة.

لنفترض مثلثًا بأطوال أضلاع a و b و c ، حيث θ هي قياس الزاوية المقابلة للضلع c . يمكن تمثيل هذا المثلث على نظام الإحداثيات الديكارتية بحيث يكون الضلع a محاذيًا للمحور x والزاوية θ عند نقطة الأصل، وذلك برسم مركبات النقاط الثلاث للمثلث كما هو موضح في الشكل 4: $${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ و }}C=(0,0).}$$

باستخدام صيغة المسافة ، ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle c={\sqrt {(ab\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.}$$

تربيع كلا الطرفين وتبسيط المعادلة $${\displaystyle {\begin{align}c^{2}&=(ab\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^ {2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{محاذاة}}}$$

من مزايا هذا البرهان أنه لا يتطلب دراسة حالات منفصلة تبعًا لكون الزاوية γ حادة أو قائمة أو منفرجة. مع ذلك، يمكن دمج الحالات التي عُولجت بشكل منفصل في كتاب الأصول (٢.١٢-١٣) وما تلاه من دراسات الطوسي والكاشي وغيرهما، باستخدام مفاهيم الأطوال والمساحات الموجهة ومفهوم جيب التمام الموجه، دون الحاجة إلى نظام إحداثيات ديكارتية كامل.

بالرجوع إلى الرسم التوضيحي، رُسم المثلث ABC ذو الأضلاع AB = c و BC = a و AC = b داخل دائرته المحيطة كما هو موضح. رُسم المثلث ABD مطابقًا للمثلث ABC ذي الأضلاع AD = BC و BD = AC . يتقاطع العمودان الخارجان من النقطتين D و C مع القاعدة AB عند النقطتين E و F على التوالي. ثم: $${\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}$$

والآن، يتم التوصل إلى قانون جيب التمام من خلال تطبيق مباشر لنظرية بطليموس على الشكل الرباعي الدائري ABCD : $${\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

من الواضح أنه إذا كانت الزاوية B قائمة ، فإن ABCD مستطيل، وتطبيق نظرية بطليموس ينتج عنه نظرية فيثاغورس : $${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.}$$

يمكن أيضاً إثبات قانون جيب التمام بحساب المساحات . ويستلزم تغيير الإشارة عندما تصبح الزاوية γ منفرجة التمييز بين الحالات.

تذكر أن

• a ² و b ² و c ² هي مساحات المربعات ذات الأضلاع a و b و c على التوالي؛
• إذا كانت γ حادة، فإن ab cos γ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكل ضلعاه a و b زاوية γ′ = ⁠ π / 2 ⁠ − γ ؛
• إذا كانت γ منفرجة، وبالتالي فإن cos γ سالب، فإن − ab cos γ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكل ضلعاه a و b زاوية γ′ = γ − ⁠ π / 2 ⁠ .

حالة حادة. يوضح الشكل 7أ شكلًا سباعي الأضلاع مقطوعًا إلى أجزاء أصغر (بطريقتين مختلفتين) لتقديم برهان على قانون جيب التمام. الأجزاء المختلفة هي

• باللون الوردي، المساحات a ² و b ² على اليسار والمساحات 2 ab cos γ و c ² على اليمين؛
• باللون الأزرق، المثلث ABC ، على اليسار وعلى اليمين؛
• باللون الرمادي، مثلثات مساعدة، جميعها متطابقة مع ABC ، عدد متساوٍ (وهو 2) على اليسار وعلى اليمين.

تساوي المساحات على اليسار وعلى اليمين يعطي $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma .}$$

في حالة الزاوية المنفرجة، يقسم الشكل 7ب سداسي الأضلاع بطريقتين مختلفتين إلى أجزاء أصغر، مما يُثبت قانون جيب التمام في حالة كون الزاوية γ منفرجة.

• باللون الوردي، المناطق a ² و b ² و −2 ab cos γ على اليسار و c ² على اليمين؛
• باللون الأزرق، المثلث ABC مرتين، على اليسار، وكذلك على اليمين.

تساوي المساحات على اليسار وعلى اليمين يعطي $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}$$

سيتطلب البرهان الدقيق تقديم أدلة تثبت تطابق الأشكال المختلفة ، وبالتالي تساوي مساحتها. وسيعتمد ذلك على نظرية المثلثات المتطابقة .

باستخدام هندسة الدائرة ، يمكن تقديم برهان هندسي أكثر دقة من استخدام نظرية فيثاغورس وحدها، مما يجنبنا العمليات الجبرية (وخاصة نظرية ذات الحدين ).

في حالة الزاوية الحادة γ ، حيث a > 2b cos γ ، نسقط العمود من النقطة A على a = BC ، فنحصل على قطعة مستقيمة طولها b cos γ . نكرر المثلث القائم الزاوية لنحصل على المثلث متساوي الساقين ACP . نرسم دائرة مركزها A ونصف قطرها b ، ومماسها h = BH المار بالنقطة B. يشكل المماس h زاوية قائمة مع نصف القطر b ( أصول إقليدس : الكتاب 3، القضية 18؛ أو انظر هنا )، لذا فإن المثلث الأصفر في الشكل 8 قائم الزاوية. نطبق نظرية فيثاغورس لنحصل على $${\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$$

ثم استخدم نظرية المماس والقاطع ( أصول إقليدس : الكتاب 3، القضية 36)، التي تنص على أن مربع المماس المار بنقطة B خارج الدائرة يساوي حاصل ضرب قطعتي المستقيم (من B ) الناتجتين عن أي قاطع للدائرة المار بـ B. في هذه الحالة: BH² = BC · ^BP ، أو $${\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).}$$

بالتعويض في المعادلة السابقة نحصل على قانون جيب التمام: $${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).}$$

لاحظ أن h² ^هي قوة النقطة B بالنسبة للدائرة. ويمكن الاستغناء عن استخدام نظرية فيثاغورس ونظرية المماس والقاطع بتطبيق واحد لنظرية قوة النقطة .

في حالة الزاوية الحادة γ ، حيث a < 2b cos γ ، نسقط العمود من A على a = BC ، فنحصل على قطعة مستقيمة طولها b cos γ . نكرر المثلث القائم الزاوية لنحصل على المثلث متساوي الساقين ACP . نرسم دائرة مركزها A ونصف قطرها b ، ووترًا يمر بـ B عموديًا على c = AB ، نصفه h = BH . نطبق نظرية فيثاغورس لنحصل على $${\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$$

والآن، استخدم نظرية الأوتار ( أصول إقليدس : الكتاب 3، القضية 35)، التي تنص على أنه إذا تقاطع وتران ^، فإن حاصل ضرب القطعتين المستقيمتين الناتجتين عن أحد الوترين يساوي حاصل ضرب القطعتين المستقيمتين الناتجتين عن الوتر الآخر. في هذه الحالة: BH² = BC · BP ، أو $${\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).}$$

بالتعويض في المعادلة السابقة نحصل على قانون جيب التمام: $${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a).}$$

لاحظ أن قوة النقطة B بالنسبة للدائرة لها قيمة سالبة − h ² .

حالة الزاوية المنفرجة γ . يستخدم هذا البرهان نظرية قوة النقطة مباشرةً، دون الحاجة إلى المثلثات المساعدة الناتجة عن إنشاء مماس أو وتر. أنشئ دائرة مركزها B ونصف قطرها a (انظر الشكل 9)، تتقاطع مع القاطع المار بالنقطتين A و C في C و K. قوة النقطة A بالنسبة للدائرة تساوي كلاً من AB² - ^BC² و AC ^· AK . لذلك ،$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}}$$

وهو قانون جيب التمام.

باستخدام القياسات الجبرية للقطع المستقيمة (السماح بالأعداد السالبة كأطوال للقطع المستقيمة) يمكن معالجة حالة الزاوية المنفرجة ( CK > 0 ) والزاوية الحادة ( CK < 0 ) في وقت واحد.

يمكن إثبات قانون جيب التمام جبريًا من قانون الجيب وبعض المتطابقات المثلثية القياسية. ^{[ 15 ]} بدايةً، مجموع زوايا المثلث يساوي زاوية مستقيمة (${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$بالراديان). وبالتالي، باستخدام متطابقات مجموع الزوايا للجيب وجيب التمام،

$${\displaystyle {\begin{alignat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignat}}}$$

بتربيع المتطابقة الأولى، ثم التعويض${\displaystyle \cos \alpha \,\cos \beta ={}}$${\displaystyle \sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma }$من الثانية، وأخيراً استبدال${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}}$${\displaystyle \cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,}$باستخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية ، لدينا:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^ {2}\بيتا \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

ينص قانون الجيب على ما يلي: $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha {\vphantom {\beta }}}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma {\vphantom {\beta }}}}=k,}$$

لإثبات قانون جيب التمام، نضرب طرفي المعادلة السابقة في${\displaystyle k^{2}}$⁠ :

$$// }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{محاذاة}}}$$

وبهذا ينتهي البرهان.

دل

$${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}$$

لذلك، $${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$$

بأخذ حاصل الضرب النقطي لكل جانب مع نفسه: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}&=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\end{aligned}}}$$

استخدام الهوية

$${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})}$$

يؤدي إلى

$${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}$$

والنتيجة تلي ذلك.