ثابت أويلر

• صيغة جداء وييرشتراس ^لدالة غاما ودالة بارنز G. ^{[ 9 ] [ 10} ]
• التوسع التقاربي لدالة غاما،${\displaystyle \Gamma (1/x)\sim x-\gamma }$.
• تقييمات دالة ديغاما عند القيم النسبية. ^{[ 11 ]}
• توسيع متسلسلة لوران لدالة زيتا لريمان *، حيث يكون هو أول ثوابت ستيلتجس . ^{[ 12 ]}
• قيم مشتقة دالة زيتا لريمان ودالة بيتا لديريشليه . ^{[ 13 ] : 137 [ 14 ]}
• فيما يتعلق بتحويل لابلاس وتحويل ميلين . ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• في تنظيم/ إعادة تطبيع السلسلة التوافقية كقيمة محدودة.
• التعبيرات التي تتضمن التكامل الأسي واللوغاريتمي .* ^{[ 17 ] [ 18 ]}
• تعريف التكامل الجيبي التمامي .* ^{[ 17 ]}
• فيما يتعلق بدوال بيسل . ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}
• التوسعات التقاربية لدوال ستروف المعدلة . ^{[ 23 ]}
• فيما يتعلق بالوظائف الخاصة الأخرى . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

• متباينة لدالة أويلر . ^{[ 26 ]}
• معدل نمو دالة القاسم . ^{[ 27 ]}
• صياغة فرضية ريمان . ^{[ 28 ] [ 29 ]}
• النظرية الثالثة من نظريات ميرتنز .* ^{[ 30 ]}
• حساب ثابت ميسيل-ميرتنز . ^{[ 31 ]}
• الحدود الدنيا للفجوات الأولية المحددة . ^{[ 32 ]}
• تقريب لمتوسط ​​عدد قواسم جميع الأعداد من 1 إلى عدد معين n. ^{[ 33 ]}
• تخمين لينسترا -بوميرانس-واغستاف حول تردد أعداد ميرسين الأولية . ^{[ 34 ]}
• تقدير كفاءة خوارزمية إقليدس . ^{[ 35 ]}
• المبالغ التي تتضمن دالة موبيوس وفون مانجولت .
• تقدير دالة الجمع للمقسوم في طريقة القطع الزائد لـ Dirichlet . ^{[ 36 ]}

• في بعض صيغ قانون زيبف .
• حل مشكلة جامع القسائم .*
• متوسط ​​توزيع غامبل .
• تقريب لتوزيع لاندو .
• إنتروبيا المعلومات لتوزيعات Weibull و Lévy ، وضمنياً، لتوزيع مربع كاي لدرجة حرية واحدة أو درجتين.
• حد أعلى لإنتروبيا شانون في نظرية المعلومات الكمومية . ^{[ 37 ]}
• في التنظيم البُعدي لمخططات فاينمان في نظرية الحقل الكمومي .
• في معادلة BCS المتعلقة بدرجة الحرارة الحرجة في نظرية BCS للموصلية الفائقة.*
• نموذج فيشر-أور لعلم الوراثة للتكيف في علم الأحياء التطوري. ^{[ 38 ]}

لم يُثبت أن العدد γ جبري أو متسامٍ . في الواقع، لا يُعرف حتى ما إذا كان γ عددًا غير نسبي . إن شيوع γ ، كما يتضح من العدد الكبير للمعادلات أدناه، وكونه يُوصف بأنه ثالث أهم ثابت رياضي بعد π و e ^{[ 39} ] ^{[ 13 ]، يجعل} مسألة عدم نسبية γ سؤالًا مفتوحًا رئيسيًا في الرياضيات. ^{[ 2 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 33 ]}

مع ذلك، فقد أُحرز بعض التقدم. ففي عام 1959، أثبت أندريه شيدلوفسكي أن واحدًا على الأقل من ثوابت أويلر γ وثوابت جومبيرتز δ عدد غير نسبي؛ ^{[ 42 ] [ 28 ]} وأثبت تانغي ريفوال في عام 2012 أن واحدًا على الأقل منهما عدد متسامٍ. ^{[ 43 ]} وبيّن كورت مالر في عام 1968 أن العدد${\textstyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$هو متعالٍ، حيث${\displaystyle J_{0}}$و${\displaystyle Y_{0}}$هي دوال بيسل المعتادة . ^{[ 44 ] [ 3 ]} من المعروف أن درجة التجاوز للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$اثنان على الأقل. ^{[ 3 ]}

في عام 2010، أظهر كل من إم. رام مورتي ون. سارادا أن أحد ثوابت أويلر-ليمر على الأكثر، أي الأعداد من الشكل $${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$ تكون جبرية إذا كان q ≥ 2 و 1 ≤ a < q ؛ وتشمل هذه العائلة الحالة الخاصة γ (2,4) = γ /4 . ^{[ 3 ] [ 45 ]}

باستخدام نفس المنهج، أظهر كل من م. رام مورتي وأ. زايتسيفا في عام 2013 أن ثوابت أويلر المعممة لها نفس الخاصية، ^{[ 3 ] [ 46 ] [ 47 ]} حيث تُعرَّف ثوابت أويلر المعممة على النحو التالي: $${\displaystyle \gamma (\Omega )=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{x}{\frac {1_{\Omega }(n)}{n}}-\log x\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n=1}^{x}1_{\Omega }(n)}{x}}\right),}$$ أين​${\displaystyle \Omega }$هي قائمة ثابتة من الأعداد الأولية،${\displaystyle 1_{\Omega }(n)=0}$إذا كان واحد على الأقل من الأعداد الأولية في${\displaystyle \Omega }$⁠ هو عامل أولي لـ ⁠${\displaystyle n}$، و${\displaystyle 1_{\Omega }(n)=1}$وإلا. وعلى وجه الخصوص ،${\displaystyle \gamma (\emptyset )=\gamma }$⁠ .

باستخدام تحليل الكسور المستمرة ، أثبت بابانيكولاو في عام 1997 أنه إذا كان γ عددًا نسبيًا ، فيجب أن يكون مقامه أكبر من 10^ ²⁴⁴⁶⁶³ . ^{[ 48 ] [ 49 ]} وإذا كان e^ ^γ عددًا نسبيًا، فيجب أن يكون مقامه أكبر من 10^ ¹⁵⁰⁰⁰ . ^{[ 3 ]}

يُعتقد أن ثابت أويلر ليس دورة جبرية ، ^{[ 3 ]} ولكن قيم أول 109 ^أرقام عشرية منه تشير إلى أنه قد يكون عددًا عاديًا . ^{[ 50 ]}

يُعطى التوسع البسيط للكسر المستمر لثابت أويلر بواسطة: ^{[ 51 ]}

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

والتي لا يوجد لها نمط واضح . من المعروف أنها تحتوي على 16,695,000,000 حد على الأقل، ^{[ 51 ]} ولها عدد لا نهائي من الحدود إذا وفقط إذا كان γ عددًا غير نسبي.

^{تشير الأدلة العددية إلى أن كلاً من} ثابت أويلر γ والثابت eγ من بين الأعداد التي يتقارب عندها المتوسط ​​الهندسي لحدود الكسور المستمرة البسيطة الخاصة بهما إلى ثابت خينشين . وبالمثل، عندما${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$هي متقاربات كسورها المستمرة، النهاية${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$يبدو أن كلا الحدين يتقاربان إلى ثابت ليفي . ^{[ 52 ]} ومع ذلك، لم يتم إثبات أي من هذين الحدين. ^{[ 53 ]}

يوجد أيضًا كسر مستمر معمّم لثابت أويلر. ^{[ 54 ]}

يتم إعطاء تقريب بسيط جيد لـ γ عن طريق مقلوب الجذر التربيعي لـ 3 أو حوالي 0.57735: ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

والفرق يبلغ حوالي 1 من 7429.

ترتبط γ بدالة ديغاما Ψ (لا يجب الخلط بينها وبين دالة الموجة )، وبالتالي مشتقة دالة غاما Γ ، عندما تكون قيمة كلتا الدالتين تساوي 1. وهكذا:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\psi (1).}$$

وهذا يساوي الحدود التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

نتائج الحد الإضافية هي: ^{[ 56 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\psi (1-z)}}-{\frac {1}{\psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

النهاية المتعلقة بدالة بيتا (المعبر عنها بدلالة دوال غاما ) هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا التعبير عن γ كمجموع لانهائي تتضمن حدوده دالة زيتا لريمان المحسوبة عند الأعداد الصحيحة الموجبة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$ الثابت${\displaystyle \gamma }$ويمكن التعبير عنها أيضاً بدلالة مجموع مقلوبات الأصفار غير التافهة${\displaystyle \rho }$دالة زيتا: ^{[ 57 ]}

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

تتضمن السلاسل الأخرى المتعلقة بوظيفة زيتا ما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

يُعدّ حد الخطأ في المعادلة الأخيرة دالة متناقصة بسرعة لـ n . ونتيجة لذلك، فإن الصيغة مناسبة تمامًا لحساب الثابت بكفاءة وبدقة عالية.

ومن الحدود الأخرى المثيرة للاهتمام التي تساوي ثابت أويلر الحد المضاد للتناظر: ^{[ 58 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

والصيغة التالية، التي وضعها دي لا فالي بوسان عام 1898 :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

حيث ⌈ ⌉  هما قوسان علويان . تشير هذه الصيغة إلى أنه عند أخذ أي عدد صحيح موجب n وقسمته على كل عدد صحيح موجب k أصغر من n ، فإن متوسط ​​الكسر الذي يقل به ناتج القسمة n / k عن العدد الصحيح التالي يميل إلى γ (بدلاً من 0.5) عندما يؤول n إلى اللانهاية.

يرتبط بهذا ارتباطًا وثيقًا تعبير متسلسلة زيتا النسبية . بأخذ الحدود القليلة الأولى من المتسلسلة أعلاه بشكل منفصل، نحصل على تقدير لنهاية المتسلسلة الكلاسيكية:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

حيث ζ ( s , k ) هي دالة زيتا لهورويتز . يتضمن المجموع في هذه المعادلة الأعداد التوافقية H_n . بتوسيع بعض حدود دالة زيتا لهورويتز نحصل على:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$ حيث 0 < ε < 1 / 252 n ⁶ .​

يمكن التعبير عن γ أيضًا على النحو التالي حيث A هو ثابت جلايشر-كينكلين :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

يمكن التعبير عن γ أيضًا على النحو التالي، والذي يمكن إثباته من خلال التعبير عن دالة زيتا كمتسلسلة لوران :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

تم اشتقاق العديد من الصيغ التي تعبر عن${\displaystyle \gamma }$من حيث مجموع ولوغاريتمات الأعداد المثلثية . ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} إحدى أقدم هذه الصيغ هي صيغة ^{[ 63 ] [ 64 ]} لـ${\displaystyle n}$الرقم التوافقي رقم 1 المنسوب إلى سرينيفاسا رامانوجان حيث${\displaystyle \gamma }$يرتبط بـ${\displaystyle \textstyle \log 2T_{k}}$في سلسلة تتناول قوى${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$(يقدم برهان سابق أقل قابلية للتعميم ^{[ 65 ] [ 66 ]} من قبل إرنستو سيزارو أول حدين من المتسلسلة، مع حد خطأ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\log 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

ومن تقريب ستيرلينغ ^{[ 59 ] [ 67 ]} تتبع سلسلة مماثلة:

${\displaystyle \gamma =\log 2\pi -\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

تظهر سلسلة الأعداد المثلثية العكسية أيضًا في دراسة مسألة بازل ^{[ 68 ] [ 69 ]} التي طرحها بيترو مينغولي . وقد أثبت مينغولي أن${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$وهي النتيجة التي استخدمها جاكوب برنولي لاحقاً لتقدير قيمة${\displaystyle \zeta (2)}$ووضعها بين${\displaystyle 1}$و${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$تظهر هذه المتطابقة في صيغة استخدمها برنارد ريمان لحساب جذور دالة زيتا ، ^{[ 70 ]} حيث${\displaystyle \gamma }$يتم التعبير عنها بدلالة مجموع الجذور${\displaystyle \rho }$بالإضافة إلى الفرق بين توسيع بويا وسلسلة الكسور الوحدوية الدقيقة${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$:

${\displaystyle \gamma -\log 2=\log 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$

γ تساوي قيمة عدد من التكاملات المحددة :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2x\,dx}{(x^{2}+1)(e^{2\pi x}-1)}}\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin x}{x}}e^{x\cot x}\log \left({\frac {\sin x}{x}}e^{x\cot x}\right)dx\end{aligned}}}$$ حيث يمثل H _x العدد التوافقي الكسري ، و${\displaystyle \{1/x\}}$هو الجزء الكسري من${\displaystyle 1/x}$.

يمكن إثبات الصيغة الثالثة في قائمة التكاملات بالطريقة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

التكامل الموجود في السطر الثاني من المعادلة هو تعريف دالة زيتا لريمان ، وهو m ! ζ ( m + 1) .

تتضمن التكاملات المحددة التي يظهر فيها γ ما يلي: ^{[ 2 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

لدينا أيضًا التكامل الكاتالاني لعام 1875 ^{[ 71 ]}

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

يمكن التعبير عن γ باستخدام حالة خاصة من صيغة هادجيكوستاس كتكامل مزدوج ^{[ 41 ] [ 72 ]} مع سلسلة مكافئة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

ومن المقارنات المثيرة للاهتمام التي أجراها سوندو ^{[ 72 ]} التكامل المزدوج والمتسلسلة المتناوبة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

يوضح ذلك أن log 4 / π يمكن اعتباره "ثابت أويلر متناوب" .

ويرتبط الثابتان أيضًا من خلال زوج من المتسلسلات ^{[ 73 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

حيث N ₁ ( n ) و N ₀ ( n ) هما عدد الآحاد والأصفار على التوالي في التوسع ذي الأساس 2 لـ n .

على العموم،

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

لأي قيمة لـ α أكبر من − n . ومع ذلك، فإن معدل تقارب هذا التوسع يعتمد بشكل كبير على α . على وجه الخصوص، يُظهر γ _n (1/2) تقاربًا أسرع بكثير من التوسع التقليدي γ _n (0) . ^{[ 74 ] [ 75 ]} وذلك لأن

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

بينما

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

ومع ذلك، توجد متسلسلات أخرى تتقارب بشكل أسرع من هذه؛ بعض هذه المتسلسلات سيتم مناقشتها أدناه.

أثبت أويلر أن السلسلة اللانهائية التالية تقترب من γ : $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

إن سلسلة γ تعادل سلسلة وجدها نيلسن في عام 1897: ^{[ 56 ] [ 76 ]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

في عام 1910، وجد فاكا السلسلة ذات الصلة الوثيقة ^{[ 77 ] [ 78 ] [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ] [ 56 ] [ 82 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

حيث log ₂ هو اللوغاريتم للأساس 2 و ⌊ ⌋  هي دالة الجزء الصحيح .

ويمكن تعميم ذلك على النحو التالي: ^{[ 83 ]}

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$أين:$${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

في عام 1926، اكتشف فاكا سلسلة ثانية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

من توسيع مالمستين – كومر للوغاريتم دالة غاما ^{[ 14 ]} نحصل على:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

قدم رامانوجان، في دفتر ملاحظاته المفقود، سلسلة تقترب من γ ^{[ 84 ]} :

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

يُعزى أحد أهم التوسعات لثابت أويلر إلى فونتانا وماشيروني

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$ حيث G_{_n} هي معاملات غريغوري . ^{[ 56 ] [ 82 ] [ 85 ]} هذه المتسلسلة هي الحالة الخاصة k = 1 من المتسلسلات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

متقاربة لـ k = 1، 2، ...

سلسلة مماثلة مع أعداد كوشي من النوع الثاني C _n هي ^{[ 82 ] [ 86 ]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

توصل بلاغوشين (2018) إلى تعميم لسلسلة فونتانا-ماسكيروني

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

حيث تمثل ψ _n ( a ) كثيرات حدود برنولي من النوع الثاني ، والتي تُعرَّف بواسطة الدالة المولدة

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

لأي عدد نسبي a، تحتوي هذه المتسلسلة على حدود نسبية فقط. على سبيل المثال، عند a = 1 ، تصبح ^{[ 87 ] [ 88 ]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$ تتضمن المتسلسلات الأخرى التي تحتوي على نفس كثيرات الحدود الأمثلة التالية:

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

و

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

حيث Γ( a ) هي دالة غاما . ^{[ 85 ]}

سلسلة مرتبطة بخوارزمية أكياما-تانيغاوا هي

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

حيث تمثل G _n (2) معاملات غريغوري من الرتبة الثانية. ^{[ 85 ]}

كسلسلة من الأعداد الأولية :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

γ تساوي الصيغ التقاربية التالية (حيث H _n هو العدد التوافقي رقم n ) :

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( أويلر )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( نيجوي )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( سيزارو )

وتسمى الصيغة الثالثة أيضاً بتوسع رامانوجان.

استنتج العبد المحسن صيغًا مغلقة لمجموع أخطاء هذه التقريبات. ^{[ 86 ]} وقد أظهر أن (النظرية أ.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}{\Big )}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

يُعد الثابت e ^γ مهمًا في نظرية الأعداد. وقيمته العددية هي: ^{[ 89 ]}

e ^γ يساوي النهاية التالية، حيث p _n هو العدد الأولي رقم n :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

وهذا يعيد صياغة النظرية الثالثة من نظريات ميرتنز . ^{[ 90 ]}

لدينا أيضًا المنتج التالي الذي يتضمن الثوابت الثلاثة e و π و γ : ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6e^{\gamma }}}=\lim _{n\to \infty }\log p_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}+1}}.}$$

تشمل المنتجات اللانهائية الأخرى المتعلقة بـ e ^{γ ما يلي:}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

تنتج هذه المنتجات عن دالة بارنز جي .

فضلاً عن ذلك،

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

حيث يكون العامل النوني هو الجذر النوني لـ ( ن + 1)

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

تم اكتشاف هذا المنتج اللانهائي لأول مرة بواسطة سير في عام 1926، ثم أعاد سوندو اكتشافه باستخدام الدوال الهندسية الفائقة . ^{[ 91 ]}

ويؤكد ذلك أيضًا ^{[ 92 ]}

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

تُعطى ثوابت أويلر المعممة بالصيغة التالية

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right)}$$

لـ 0 < α < 1 ، مع اعتبار γ الحالة الخاصة α = 1. [ ^{104 ] بتمديدها} لـ α > 1 نحصل على:

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}}$$

مع وجود حد مرة أخرى:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

ويمكن تعميم ذلك بشكل أكبر إلى

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

لبعض الدوال المتناقصة العشوائية f . بوضع

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

وينتج عن ذلك ثوابت ستيلتجس${\displaystyle \gamma _{n}}$، التي تحدث في متسلسلة لوران لتوسيع دالة زيتا لريمان :

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

مع${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

يتم إعطاء ثوابت أويلر-ليمر عن طريق مجموع معكوسات الأعداد في فئة modulo مشتركة: ^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

الخصائص الأساسية هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

وإذا كان القاسم المشترك الأكبر gcd( a , q ) = d، فإن

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$