المونودرومية

في الرياضيات ، يُعنى مصطلح المونودرومي بدراسة سلوك الكائنات في التحليل الرياضي ، والطوبولوجيا الجبرية ، والهندسة الجبرية، والهندسة التفاضلية ، أثناء دورانها حول نقطة تفرد . وكما يوحي الاسم، فإن المعنى الأساسي للمونودرومي مشتق من "الدوران بشكل منفرد". ويرتبط هذا المصطلح ارتباطًا وثيقًا بالخرائط التغطية وتحولها إلى تفرعات ؛ ويكمن الجانب الذي يُؤدي إلى ظاهرة المونودرومي في أن بعض الدوال التي قد نرغب في تعريفها لا تكون أحادية القيمة أثناء دوراننا حول نقطة تفرد. ويمكن قياس فشل المونودرومي بتعريف مجموعة المونودرومي : وهي مجموعة من التحويلات التي تؤثر على البيانات وتُشفّر ما يحدث أثناء الدوران في بُعد واحد. ويُطلق على غياب المونودرومي أحيانًا اسم التعددية . ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا متصلًا ومتصلًا محليًا ببساطة مع نقطة أساسية${\displaystyle x}$ودع${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$أن يكون غطاءً . حدد أليافه الأساسية${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$.

أي حلقة${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to X} بناءً على${\displaystyle x}$يمكن رفعها من خلال الخريطة التي تغطيها. أي نقطة${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$يتوافق مع مصعد مختلف${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$عن طريق الضبط${\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {\gamma }}(0)}$. يُرمز إليه بـ${\displaystyle \gamma \cdot {\tilde {x}}}$نقطة النهاية${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$وهو ما يختلف عموماً عن${\displaystyle {\tilde {x}}}$.

بفرض أي اثنين${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$التي تمثل نفس العنصر في المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$تُظهر خاصية التماثل التغطية أنهما يُعرّفان نفس الفعل.${\displaystyle \gamma \cdot {\tilde {x}}=\gamma '\cdot {\tilde {x}}}$وبالتالي، يمكننا أن نكتب بشكل لا لبس فيه${\displaystyle [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}}$، أين${\displaystyle [\gamma ]\in \pi _{1}(X,x)}$هي فئة الحلقات المكافئة تماثليًا لـ${\displaystyle \gamma }$.

يُعطي هذا البناء تأثيرًا واضحًا لمجموعة اليسار للمجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$على الألياف الأساسية${\displaystyle F_{x}}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle {\tilde {x}}\mapsto [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}}$هذا هو تأثير المونودرومي على${\displaystyle F_{x}}$. مثبت​${\displaystyle {\tilde {x}}}$يكون${\displaystyle p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)}$أي عنصر${\displaystyle [\gamma ]}$إصلاحات${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$إذا وفقط إذا${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$، رفع الحلقة${\displaystyle \gamma }$، لا تزال حلقة ^{[ 2 ]} .

بشكل عام، يمكن أن يكون هناك نوعان من أفعال المونودرومي. قد يكون هناك فعل يشبه الانحناء، حيث${\displaystyle F_{x}}$يتشوه قليلاً، بطريقة تسمح بإعادة تشكيله باستمرار إلى حالته الأصلية. وقد يكون هناك أيضاً فعل منفصل، حيث${\displaystyle F_{x}}$مشوهة بشكل متقطع، بطريقة لا يمكنها ذلك.

يترك${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$لتكن مجموعة التشاكلات المتماثلة لـ${\displaystyle F_{x}}$ودع${\displaystyle \operatorname {Is} (F_{x})}$كن المجموعة الفرعية من${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$يتألف من تلك التشاكلات المتماثلة مع التطابق. أي، ${\displaystyle \operatorname {Is} (F_{x})}$هو أحد مكونات${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$ذلك الذي يرتبط بالهوية عبر المسار:$${\displaystyle \operatorname {Is} \left(F_{x}\right)=\left\{f\in \operatorname {Hom} \left(F_{x}\right)\mid \exists H:F_{x}\times [0,1]\rightarrow F_{x},H_{0}=\mathrm {id} ,H_{1}=f,H_{t}{\text{ all someomorphisms }}\right\}.}$$صورة الخريطة المستحثة${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Hom} (F_{x})/\operatorname {Is} (F_{x})}$هي مجموعة المونودرومية الطوبولوجية . وهي تصف الجزء "غير المتصل" من فعل${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$على${\displaystyle F_{x}}$.

وكما هو معتاد في الطوبولوجيا الجبرية، توجد نسخة جبرية. التشاكل${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (H_{*}(F_{x}))}$في مجموعة التماثل الذاتي على تماثل${\displaystyle F_{x}}$هي المونودرومية الجبرية . صورة هذا التشاكل هي مجموعة المونودرومية (الجبرية) .

تم توضيح هذه الأفكار لأول مرة في التحليل المركب . في عملية الاستمرار التحليلي ، الدالة التي هي دالة تحليلية${\displaystyle F(z)}$في مجموعة فرعية مفتوحة ما${\displaystyle E}$من المستوى المعقد المثقوب${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$يمكن استكمالها مرة أخرى${\displaystyle E}$ولكن بقيم مختلفة. على سبيل المثال، خذ

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}.\end{aligned}}}$

ثمّ استمرّ التحليل عكس اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة

${\displaystyle |z|=1}$

سيؤدي ذلك إلى عدم العودة إلى${\displaystyle F(z)}$لكن لـ

${\displaystyle F(z)+2\pi i.}$

في هذه الحالة، تكون مجموعة المونودرومي هي المجموعة الدورية اللانهائية ، والفضاء المغطي هو الغطاء الشامل للمستوى العقدي المثقوب . ويمكن تصور هذا الغطاء على أنه حلزون ذو معادلات وسيطية.${\displaystyle (x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\theta )}$يقتصر على${\displaystyle \rho >0}$الخريطة المغطية هي إسقاط رأسي، بمعنى أنها تنهار الحلزونية بطريقة واضحة للحصول على مستوى مثقوب.

أحد التطبيقات المهمة هو المعادلات التفاضلية ، حيث يمكن لحل واحد أن يعطي حلولًا أخرى مستقلة خطيًا عن طريق الاستمرار التحليلي . المعادلات التفاضلية الخطية المعرفة في مجموعة مفتوحة ومتصلة${\displaystyle S}$في المستوى المركب، توجد مجموعة أحادية التفرع، والتي (بشكل أدق) هي تمثيل خطي للمجموعة الأساسية لـ${\displaystyle S}$، ملخصًا جميع عمليات الاستمرار التحليلية حول الحلقات داخل${\displaystyle S}$. إن المسألة العكسية ، المتمثلة في بناء المعادلة (مع التفردات المنتظمة )، بالنظر إلى التمثيل، هي مسألة ريمان-هيلبرت .

بالنسبة للنظام الخطي المنتظم (وخاصةً الفوشي) عادةً ما يتم اختيار المؤثرات كمولدات لمجموعة المونودرومي${\displaystyle M_{j}}$تتوافق هذه الحلقات مع حلقات تدور كل منها حول أحد قطبي النظام عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت المؤشرات${\displaystyle j}$يتم اختيارها بطريقة تجعلها تتزايد من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle p+1}$عندما يدور المرء حول نقطة الأساس في اتجاه عقارب الساعة، فإن العلاقة الوحيدة بين المولدات هي المساواة.${\displaystyle M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id} }$تُعرف مسألة ديلين -سيمبسون بأنها مسألة تحقيقية كما يلي: ما هي مجموعات فئات الاقتران في${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$هل توجد مجموعات غير قابلة للاختزال من المصفوفات؟${\displaystyle M_{j}}$من هذه الفئات التي تحقق العلاقة المذكورة أعلاه؟ صاغ بيير ديلين هذه المسألة، وكان كارلوس سيمبسون أول من توصل إلى نتائج لحلها. وقد صاغ فلاديمير كوستوف نسخة جمعية من المسألة تتعلق ببقايا الأنظمة الفوشية، واستكشفها . كما تناول مؤلفون آخرون هذه المسألة لمجموعات مصفوفات أخرى غير${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$كذلك. ^{[ 3 ]}

في حالة الخريطة التغطية، ننظر إليها كحالة خاصة من التليف ، ونستخدم خاصية رفع التماثل "لتتبع" المسارات على الفضاء الأساسي.${\displaystyle X}$(نفترض أنها متصلة بمسار واحد للتبسيط) حيث يتم رفعها إلى الغطاء${\displaystyle C}$إذا اتبعنا مسارًا دائريًا انطلاقًا من${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، والتي نرفعها لنبدأ عند${\displaystyle c}$فوق${\displaystyle x}$سننتهي عند نقطة ما${\displaystyle c^{*}}$مرة أخرى أعلاه${\displaystyle x}$من المحتمل جداً أن${\displaystyle c\neq c^{*}}$ولترميز هذا، يُؤخذ في الاعتبار تأثير المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$كمجموعة تبديل على مجموعة جميع${\displaystyle c}$، كمجموعة أحادية النبرة في هذا السياق.

في الهندسة التفاضلية، يلعب النقل المتوازي دورًا مشابهًا . في حزمة رئيسية${\displaystyle B}$فوق مشعب أملس${\displaystyle M}$يسمح هذا الاتصال بالحركة "الأفقية" من الألياف الموجودة أعلاه${\displaystyle m}$في${\displaystyle M}$إلى الحلقات المجاورة. التأثير عند تطبيقه على الحلقات التي تستند إلى${\displaystyle m}$يتمثل الهدف في تحديد مجموعة هولونومية من عمليات انتقال الألياف عند${\displaystyle m}$إذا كانت مجموعة البنية لـ${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle G}$، وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$الذي يقيس انحراف${\displaystyle B}$من حزمة المنتج${\displaystyle M\times G}$.

مجموعة أحادية التفرع والتوريقات

على غرار الزمرة الأساسية، من الممكن الاستغناء عن اختيار نقطة أساسية وتعريف زمرة أحادية التفرع. هنا ندرس (فئات التماثل لـ) رفع المسارات في الفضاء الأساسي${\displaystyle X}$من التليف${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$. وتكون النتيجة على شكل زمرة جزئية فوق الفضاء الأساسي${\displaystyle X}$الميزة هي أنه يمكننا التخلي عن شرط الترابط بين${\displaystyle X}$.

علاوة على ذلك، يمكن تعميم هذا البناء ليشمل التوريق : انظر${\displaystyle (M,{\mathcal {F}})}$توريق (ربما مفرد) من${\displaystyle M}$ثم لكل مسار في ورقة من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكننا دراسة التشاكل التفاضلي المُستحث على المقاطع العرضية المحلية التي تمر عبر نقاط النهاية. ضمن مخطط بسيط الاتصال، يصبح هذا التشاكل التفاضلي فريدًا، وخاصةً قانونيًا، بين المقاطع العرضية المختلفة إذا انتقلنا إلى جذر التشاكل التفاضلي حول نقاط النهاية. وبهذه الطريقة، يصبح أيضًا مستقلًا عن المسار (بين نقاط النهاية الثابتة) ضمن مخطط بسيط الاتصال، وبالتالي فهو ثابت تحت التماثل.

يترك${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$يرمز إلى حقل الدوال الكسرية في المتغير${\displaystyle x}$في الملعب${\displaystyle \mathbb {F} }$، وهو حقل كسور حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$عنصر${\displaystyle y=f(x)}$ل${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$يحدد امتدادًا للحقل المحدود${\displaystyle [\mathbb {F} (x):\mathbb {F} (y)]}$.

هذا الامتداد ليس امتداد غالوا بشكل عام، ولكنه يحتوي على إغلاق غالوا${\displaystyle L(f)}$مجموعة غالوا المرتبطة بالامتداد${\displaystyle [L(f):\mathbb {F} (y)]}$تُسمى مجموعة المونودرومي${\displaystyle f}$.

في حالة${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$تدخل نظرية سطح ريمان وتسمح بالتفسير الهندسي المذكور أعلاه. في حالة الامتداد${\displaystyle [\mathbb {C} (x):\mathbb {C} (y)]}$إذا كانت بالفعل غالوا، فإن مجموعة المونودرومي المرتبطة بها تسمى أحيانًا مجموعة من تحولات سطح السفينة .

يرتبط هذا بنظرية غالوا للفضاءات المغطاة التي تؤدي إلى نظرية ريمان للوجود .

• مجموعة الضفائر
• مصفوفة المونودرومي
• نظرية المونودرومي
• مجموعة فئات الخرائط (للقرص المثقوب)

• في. آي. دانيلوف (2001) [1994]، "مونودرومي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• "المجموعات الجزئية والمجموعات الجزئية أحادية التفرع"، أ. موجوك، ب. كيليتشارسلان، ت. ساهان، ن. ألمدار، الطوبولوجيا وتطبيقاتها 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• R. Brown Topology and Groupoids (2006).
• بي جيه هيغينز، "التصنيفات والمجموعات الجزئية"، فان نوستراند (1971)، طبعة TAC المعاد طباعتها
• H. Żołądek، "The Monodromy Group"، بيركهاوزر بازل 2006؛ دوى: 10.1007/3-7643-7536-1
• ألين هاتشرالطوبولوجيا الجبرية