خط الأعداد الحقيقية الممتد

في الرياضيات ، يتم الحصول على نظام الأعداد الحقيقية الموسع ^{[ a ]} من نظام الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بإضافة عنصرين يُشار إليهما بـ${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$^{[ ب ]} التي تكون أكبر وأصغر من كل عدد حقيقي على التوالي. وهذا يسمح بمعاملةاللانهاية المحتملةللمتتابعات المتزايدة والمتناقصة بلا حدود على أنهالانهاية فعلية. على سبيل المثال،المتتابعة اللانهائية${\displaystyle (1,2,\ldots )}$تتزايد متتالية الأعداد الطبيعية بشكل لانهائي وليس لها حد أعلى في نظام الأعداد الحقيقية (لانهاية محتملة)؛ وفي خط الأعداد الحقيقية الممتد، تكون المتتالية${\displaystyle +\infty }$باعتبارها الحد الأعلى الأدنى لها ونهايتها (وهي في الواقع لا نهائية). في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، يُستخدم${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$تُوسّع الحدود الفعلية نطاق الحسابات الممكنة بشكل كبير. ^{[ 1 ]} إنها إكمال ديديكيند-ماكنيل للأعداد الحقيقية.

يُرمز إلى نظام الأعداد الحقيقية الموسع بـ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$، ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$، أو${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$^{[ 2 ]} عندما يكون المعنى واضحًا من السياق، فإن الرمز${\displaystyle +\infty }$غالباً ما تُكتب ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle \infty }$[ ^{2 ]​}

يوجد أيضًا خط حقيقي ممتد إسقاطيًا مميز حيث${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$لا يتم التمييز بينهما، أي أن هناك قيمة لانهائية فعلية واحدة لكل من المتتاليات المتزايدة بلا حدود والمتتاليات المتناقصة بلا حدود، ويُشار إليها ببساطة بـ${\displaystyle \infty }$أو كما${\displaystyle \pm \infty }$.

نظام الأعداد الحقيقية الموسع${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$، كما هو مُعرَّف${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$أو${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$يمكن تحويلها إلى مجموعة مرتبة تمامًا عن طريق تعريف${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$للجميع${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$مع هذا الترتيب الطوبولوجي ،${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$تتمتع بخاصية التراص المرغوبة : كل مجموعة جزئية من${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$لها قيمة عليا وقيمة دنيا ^{[ 2 ]} (القيمة الدنيا للمجموعة الفارغة هي${\displaystyle +\infty }$، وأعلى درجاتها هو${\displaystyle -\infty }$علاوة على ذلك، مع هذه البنية الطوبولوجية ،${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$متماثلة طوبولوجيًا مع الفترة 1${\displaystyle [0,1]}$وبالتالي، فإن الطوبولوجيا قابلة للقياس ، وتتوافق (بالنسبة لتشاكل تماثلي معين) مع المقياس العادي على هذه الفترة. ومع ذلك، لا يوجد مقياس يمثل امتدادًا للمقياس العادي على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

في هذا النوع من الطوبولوجيا، مجموعة${\displaystyle U}$هو حي من${\displaystyle +\infty }$إذا وفقط إذا كانت تحتوي على مجموعة${\displaystyle \{x:x>a\}}$لبعض الأعداد الحقيقية${\displaystyle a}$مفهوم جوار${\displaystyle -\infty }$يمكن تعريفها بشكل مماثل. باستخدام هذا التوصيف للجوارات الحقيقية الممتدة، فإن النهايات مع${\displaystyle x}$الاهتمام بـ${\displaystyle +\infty }$أو${\displaystyle -\infty }$وحدود "تساوي"${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$، وتختزل إلى التعريف الطوبولوجي العام للنهايات - بدلاً من أن يكون لها تعريف خاص في نظام الأعداد الحقيقية.

العمليات الحسابية لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن توسيعه جزئيا إلى${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

للاطلاع على معلومات حول الأسس، انظر قسم الأسس §  حدود القوى . هنا،${\displaystyle a+\infty }$يعني كلا الأمرين${\displaystyle a+(+\infty )}$و${\displaystyle a-(-\infty )}$، بينما${\displaystyle a-\infty }$يعني كلا الأمرين${\displaystyle a-(+\infty )}$و${\displaystyle a+(-\infty )}$.

التعبيرات${\displaystyle \infty -\infty }$،${\displaystyle 0\times (\pm \infty )}$، و${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$تُترك الصيغ غير المحددة (التي تُسمى الصيغ غير المحددة ) عادةً دون تعريف . وتُصاغ هذه القواعد على غرار قوانين النهايات اللانهائية . ومع ذلك، في سياق نظرية الاحتمالات أو القياس،${\displaystyle 0\times \pm \infty }$غالباً ما يتم تعريفها على أنها 0. ^{[ 4 ]}

عند التعامل مع الأعداد الحقيقية الممتدة الموجبة والسالبة، فإن التعبير${\displaystyle 1/0}$عادة ما تُترك غير مُعرّفة، لأنه على الرغم من أنه صحيح أنه لكل متتالية حقيقية غير صفرية${\displaystyle f}$التي تتقارب إلى 0، وهي المتتابعة المقلوبة${\displaystyle 1/f}$يتم احتواؤه في نهاية المطاف في كل حي من أحياء${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$ليس صحيحاً أن التسلسل${\displaystyle 1/f}$يجب أن تتقارب هي نفسها إما${\displaystyle -\infty }$أو${\displaystyle \infty .}$وبعبارة أخرى، إذا كانت الدالة متصلة${\displaystyle f}$تصل إلى الصفر عند قيمة معينة${\displaystyle x_{0},}$إذن ليس بالضرورة أن يكون الأمر كذلك${\displaystyle 1/f}$يميل إما${\displaystyle -\infty }$أو${\displaystyle \infty }$في الحد كما${\displaystyle x}$يميل إلى${\displaystyle x_{0}}$وينطبق هذا على حدود دالة التطابق .${\displaystyle f(x)=x}$متى${\displaystyle x}$يميل إلى الصفر، و${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$(بالنسبة للوظيفة الأخيرة، لا هذا ولا ذاك)${\displaystyle -\infty }$ولا${\displaystyle \infty }$هو حد لـ${\displaystyle 1/f(x)}$، حتى لو كانت القيم موجبة فقط لـ${\displaystyle x}$(يتم أخذها في الاعتبار).

ومع ذلك، في السياقات التي لا تُؤخذ فيها في الاعتبار إلا القيم غير السالبة، غالبًا ما يكون من الملائم تعريف${\displaystyle 1/0=+\infty }$على سبيل المثال، عند التعامل مع متسلسلات القوى ، فإن نصف قطر تقارب متسلسلة القوى ذات المعاملات${\displaystyle a_{n}}$يُعرَّف غالبًا بأنه مقلوب الحد الأعلى للمتتالية${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$وبالتالي، إذا سمح المرء${\displaystyle 1/0}$لأخذ القيمة${\displaystyle +\infty }$، عندئذٍ يمكن استخدام هذه الصيغة بغض النظر عما إذا كانت قيمة الحد الأعلى تساوي صفرًا أم لا.

باستخدام العمليات الحسابية المحددة أعلاه،${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$إنها ليست حتى شبه زمرة ، ناهيك عن كونها زمرة أو حلقة أو حقل كما في حالة${\displaystyle \mathbb {R} }$ومع ذلك، فإنه يتمتع بالعديد من الخصائص الملائمة:

• ${\displaystyle a+(b+c)}$و${\displaystyle (a+b)+c}$إما أن يكونا متساويين أو كلاهما غير مُعرّف.
• ${\displaystyle a+b}$و${\displaystyle b+a}$إما أن يكونا متساويين أو كلاهما غير مُعرّف.
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$و${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$إما أن يكونا متساويين أو كلاهما غير مُعرّف.
• ${\displaystyle a\cdot b}$و${\displaystyle b\cdot a}$إما أن تكون متساوية أو غير محددة.
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$و${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$تكون متساوية إذا تم تعريف كليهما.
• لو${\displaystyle a\leq b}$وإذا كان كلاهما${\displaystyle a+c}$و${\displaystyle b+c}$يتم تعريفها، ثم${\displaystyle a+c\leq b+c}$.
• لو${\displaystyle a\leq b}$و${\displaystyle c>0}$وإذا كان كلاهما${\displaystyle a\cdot c}$و${\displaystyle b\cdot c}$يتم تعريفها، ثم${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$.

بشكل عام، جميع قوانين الحساب صالحة في${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$طالما تم تعريف جميع التعبيرات الواردة.

يمكن توسيع العديد من الوظائف باستمرار إلى${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$عن طريق حساب النهايات. على سبيل المثال، يمكن تعريف النقاط القصوى للدوال التالية على النحو التالي:

${\displaystyle \exp(-\infty )=0}$،

${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$،

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1}$،

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$.

قد يتم إزالة بعض النقاط الشاذة أيضًا. على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle 1/x^{2}}$يمكن تمديدها باستمرار إلى${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$(وفقًا لبعض تعريفات الاستمرارية)، عن طريق ضبط القيمة على${\displaystyle +\infty }$ل${\displaystyle x=0}$و 0 لـ${\displaystyle x=+\infty }$و${\displaystyle x=-\infty }$من ناحية أخرى، الوظيفة${\displaystyle 1/x}$لا يمكن تمديدها بشكل مستمر، لأن الدالة تقترب${\displaystyle -\infty }$مثل${\displaystyle x}$يقترب من الصفر من الأسفل ، و${\displaystyle +\infty }$مثل${\displaystyle x}$تقترب من الصفر من الأعلى، أي أن الدالة لا تتقارب إلى نفس القيمة التي يقترب بها متغيرها المستقل من نفس عنصر المجال من كل من جانبي القيمة الموجبة والسالبة.

نظام خط حقيقي مشابه ولكنه مختلف، وهو الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا ، لا يميز بين${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$(أي أن اللانهاية عدد غير مُوَقَّع). ^{[ 4 ]} ونتيجة لذلك، قد يكون للدالة نهاية.${\displaystyle \infty }$على خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا، بينما في نظام الأعداد الحقيقية الممتد، القيمة المطلقة للدالة فقط هي التي لها حد، على سبيل المثال في حالة الدالة${\displaystyle 1/x}$في${\displaystyle x=0}$من ناحية أخرى، على خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا،${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$و${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$تتوافق مع حد واحد من اليمين وحد واحد من اليسار، على التوالي، ولا يوجد حد كامل إلا عندما يتساوى الحدان. وبالتالي، فإن الدوال${\displaystyle e^{x}}$و${\displaystyle \arctan(x)}$لا يمكن جعلها مستمرة عند${\displaystyle x=\infty }$على الخط الحقيقي الممتد إسقاطياً.

• القسمة على صفر
• المستوى المركب الممتد
• الأعداد الطبيعية الموسعة
• التكامل غير المحدد
• اللانهاية
• نصف حلقة من جذوع الأشجار
• المتسلسلات (الرياضيات)
• الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا
• التمثيل الحاسوبي للأعداد الحقيقية الموسعة، انظر الحساب ذو الفاصلة العائمة §  اللانهاية و IEEE للفاصلة العائمة

• أليبرانتيس، شارالامبوس د.؛ بيركينشو، أوين (1998)، مبادئ التحليل الحقيقي (  الطبعة الثالثة)، سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك برس، ص  29، ISBN 0-12-050257-7MR 1669668​ 
• ديفيد دبليو كانتريل. "الأعداد الحقيقية الممتدة تآلفياً" . عالم الرياضيات .