مثالي (نظرية الحلقة)

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُعرَّف المثالي في الحلقة بأنه مجموعة جزئية خاصة من عناصرها. تُعمِّم المثالي مجموعات جزئية معينة من الأعداد الصحيحة ، مثل الأعداد الزوجية أو مضاعفات العدد 3. يحافظ جمع وطرح الأعداد الزوجية على الزوجية، كما أن ضرب عدد زوجي في أي عدد صحيح (زوجي أو فردي) ينتج عنه عدد زوجي؛ تُعدّ خاصيتا الإغلاق والامتصاص هاتان من الخصائص المميزة للمثالي. يمكن استخدام المثالي لبناء حلقة خارج القسمة بطريقة مشابهة لكيفية استخدام الزمرة الجزئية العادية في نظرية الزمر لبناء زمرة خارج القسمة .

في حلقة الأعداد الصحيحة، تتطابق المُثُل تطابقًا تامًا مع الأعداد الصحيحة غير السالبة : ففي هذه الحلقة، كل مُثُل هو مُثُل رئيسي يتكون من مضاعفات عدد غير سالب واحد. مع ذلك، في حلقات أخرى، قد لا تتطابق المُثُل مباشرةً مع عناصر الحلقة، وبعض خصائص الأعداد الصحيحة، عند تعميمها على الحلقات، ترتبط بالمُثُل أكثر من ارتباطها بعناصر الحلقة. على سبيل المثال، تُشابه المُثُل الأولية في الحلقة الأعداد الأولية ، ويمكن تعميم نظرية الباقي الصينية على المُثُل. يوجد شكل من أشكال التحليل إلى عوامل أولية فريدة لمُثُل مجال ديديكيند (وهو نوع من الحلقات مهم في نظرية الأعداد ).

يُشتق مفهوم المثالي في نظرية الترتيب ، وهو مفهوم ذو صلة ولكنه متميز، من مفهوم المثالي في نظرية الحلقات. والمثالي الكسري هو تعميم للمثالي، وتُسمى المُثُل الشائعة أحيانًا بالمُثُل التكاملية تبسيطًا للأمر.

ابتكر إرنست كومر مفهوم الأعداد المثالية لتكون بمثابة العوامل "المفقودة" في حلقات الأعداد التي يفشل فيها التحليل إلى عوامل وحيدة؛ وهنا، تُستخدم كلمة "مثالي" بمعنى الوجود في الخيال فقط، قياسًا على "الأشياء المثالية" في الهندسة، مثل النقاط عند اللانهاية. ^{[ 1 ]} في عام 1876، استبدل ريتشارد ديديكيند مفهوم كومر غير المُعرَّف بمجموعات ملموسة من الأعداد، أطلق عليها اسم "المثاليات"، في الطبعة الثالثة من كتاب ديريشليه "محاضرات في نظرية الأعداد" ، والذي أضاف إليه ديديكيند العديد من الملاحق. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} لاحقًا، تم توسيع هذا المفهوم ليشمل حلقات كثيرات الحدود وغيرها من الحلقات التبادلية، وذلك على يد ديفيد هيلبرت، وخاصةً إيمي نوثر .

خاتم​${\displaystyle R}$، المثالي الأيسر هو مجموعة جزئية${\displaystyle I}$ل${\displaystyle R}$وهي مجموعة فرعية من المجموعة الجمعية لـ${\displaystyle R}$ذلك مغلق تحت الضرب من اليسار بعناصر من${\displaystyle R}$أي​${\displaystyle 0\in I}$ولكل${\displaystyle r\in R}$وكل​${\displaystyle x,y\in I}$، لدى المرء ^{[ 4 ]}

• ⁠${\displaystyle x+y\in I}$⁠
• ⁠${\displaystyle -x\in I}$⁠
• ⁠${\displaystyle rx\in ​​I}$⁠ .

بمعنى آخر، المثالي الأيسر هو وحدة فرعية يسارية من${\displaystyle R}$[ 5 ]^​​​

يُعرَّف المثال الصحيح بشكل مماثل، مع الشرط${\displaystyle rx\in ​​I}$تم استبدالها بـ${\displaystyle xr\in I}$أ .المثالي ذو الجانبين هو مثالي يساري وهو أيضاً مثالي يميني.

إذا كانت الحلقة تبديلية ، فإن تعريفات المثالي الأيسر والأيمن والثنائي الجانب تتطابق، ويُشار إليها ببساطة باسم " مثالي ". أما في حالة عدم التبديلية، فيُستخدم مصطلح "مثالي" غالبًا بدلًا من "مثالي ثنائي الجانب".

بما أن المثالي${\displaystyle I}$هي زمرة فرعية أبيلية ، العلاقة بين${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$مُعرَّف بواسطة

${\displaystyle xy\in I}$

هي علاقة تكافؤ على${\displaystyle R}$، ومجموعة فئات التكافؤ هي زمرة تبديلية يُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle R/I}$ويُطلق عليه اسم ناتج قسمة${\displaystyle R}$بواسطة${\displaystyle I}$[ ^{6 ]} إذا^​${\displaystyle I}$سواء كان مثالاً يسارياً أو يمينياً، فإن الناتج هو${\displaystyle R/I}$⁠ هو يسار أو يمين ⁠${\displaystyle R}$-وحدة ، على التوالي.

إذا كان الوضع المثالي${\displaystyle I}$إذا كان ذا طرفين، فإن ناتج القسمة${\displaystyle R/I}$هي حلقة، ^{[ 7 ]} والدالة

${\displaystyle R\to R/I}$

الذي يرتبط بكل عنصر من عناصر${\displaystyle R}$فئة التكافؤ الخاصة بها هي تشاكل حلقي شامل يكون فيه المثالي هو نواته . ^{[ 8 ]} وعلى العكس من ذلك، فإن نواة التشاكل الحلقي هي مثالي ثنائي الجانب. لذلك، فإن المثاليات ثنائية الجانب هي بالضبط نوى التشاكلات الحلقية.

(من أجل الإيجاز، تم ذكر بعض النتائج فقط بالنسبة للمثالي الأيسر ولكنها عادة ما تكون صحيحة أيضًا بالنسبة للمثالي الأيمن مع تغييرات مناسبة في الترميز.)

• في الحلقة R ، تُشكّل المجموعة R نفسها مثالًا ثنائي الجانب لـ R يُسمى المثال الوحدوي . ويُرمز إليه غالبًا أيضًا بـ${\displaystyle (1)}$لأنه بالضبط المثال المثالي ذو الجانبين الناتج (انظر أدناه) عن الوحدة${\displaystyle 1_{R}}$. أيضاً، المجموعة${\displaystyle \{0_{R}\}}$يتكون من عنصر المحايد الجمعي 0 _R فقط ، ويشكل مثاليًا ثنائي الجانب يسمى المثالي الصفري ويرمز له بـ${\displaystyle (0)}$[ ملاحظة ^{1 ] كل مثالي (} يساري أو يميني أو ثنائي الجانب) يحتوي على المثالي الصفري ويقع ضمن المثالي الواحدي. ^{[ 9 ]}
• يُطلق على المثالي (الأيسر أو الأيمن أو ثنائي الجانب) الذي ليس مثالي الوحدة اسم مثالي حقيقي (لأنه مجموعة جزئية حقيقية ). ^{[ 10 ]} ملاحظة: مثالي أيسر${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يكون صحيحًا إذا وفقط إذا لم يحتوي على عنصر وحدة، لأنه إذا${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$إذا كان عنصرًا أحاديًا،${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$لكل​${\displaystyle r\in R}$عادةً ما توجد العديد من المُثُل الصحيحة. في الواقع، إذاكان R حقلًا منحرفًا ، فإن${\displaystyle (0),(1)}$هي مُثُلها الوحيدة، والعكس صحيح: أي أن الحلقة غير الصفرية R هي حقل منحرف إذا${\displaystyle (0),(1)}$هي المُثُل اليسارية (أو اليمينية) الوحيدة. (الدليل: إذا${\displaystyle x}$إذا كان عنصرًا غير صفري، فإن المثالي الأيسر الرئيسي${\displaystyle Rx}$(انظر أدناه) غير صفري وبالتالي${\displaystyle Rx=(1)}$؛ أي،${\displaystyle yx=1}$لبعض القيم غير الصفرية${\displaystyle y}$وبالمثل ،${\displaystyle zy=1}$لبعض الأشياء غير الصفرية${\displaystyle z}$. ثم${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$.)
• تشكل الأعداد الزوجية مثالاً مثالياً في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من بين جميع الأعداد الصحيحة، لأن مجموع أي عددين زوجيين هو عدد زوجي، وحاصل ضرب أي عدد صحيح في عدد زوجي هو أيضًا عدد زوجي؛ ويُرمز لهذا المثال عادةً بالرمز ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. وبشكل أعم، مجموعة جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على عدد صحيح ثابت${\displaystyle n}$هو مثال يُرمز إليه بـ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$في الواقع ، كل مثالي غير صفري في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتم توليدها من أصغر عنصر موجب فيها، كنتيجة للقسمة الإقليدية ، لذلك${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو مجال مثالي رئيسي . ^{[ 9 ]}
• مجموعة جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية التي تقبل القسمة على كثيرة الحدود${\displaystyle x^{2}+1}$هو مثالي في حلقة جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$⁠ .
• اتصل${\displaystyle R}$وعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$لكل​​${\displaystyle 1\leq i\leq n}$، مجموعة الكل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات في${\displaystyle R}$لمن${\displaystyle i}$الصف رقم -th يساوي صفرًا هو مثالي أيمن في الحلقة${\displaystyle M_{n}(R)}$من بين الجميع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات في${\displaystyle R}$. إنه ليس مثالاً يسارياً. وبالمثل، لكل${\displaystyle 1\leq j\leq n}$، مجموعة الكل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات التي${\displaystyle j}$العمود رقم -th الذي يحتوي على صفر هو مثال أيسر ولكنه ليس مثالاً أيمن.
• الخاتم${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$من جميع الدوال المتصلة${\displaystyle f}$من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$يحتوي على مثالي جميع الدوال المتصلة تحت الضرب النقطي${\displaystyle f}$بحيث​${\displaystyle f(1)=0}$[ ¹¹ ] ^مثال آخر ^في${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$يتم تحديدها بواسطة تلك الدوال التي تتلاشى عند قيم كبيرة بما يكفي، أي تلك الدوال المتصلة${\displaystyle f}$والتي يوجد لها عدد${\displaystyle L>0}$بحيث${\displaystyle f(x)=0}$كلما​${\displaystyle \vert x\vert >L}$⁠ .
• تُسمى الحلقة حلقة بسيطة إذا كانت غير صفرية وليس لها مثاليات ثنائية الجانب باستثناء${\displaystyle (0),(1)}$وبالتالي ، فإن الحقل المائل بسيط، والحلقة التبديلية البسيطة هي حقل. وحلقة المصفوفات فوق الحقل المائل هي حلقة بسيطة.
• لو${\displaystyle f:R\to S}$إذا كان تماثلًا حلقيًا ، فإن النواة${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R}$[ ⁹ ] ^بحسب التعريف ،^​${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$وبالتالي إذا${\displaystyle S}$ليست الحلقة الصفرية (لذا ⁠${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$ثم​${\displaystyle \ker(f)}$هو مثال مثالي صحيح. وبشكل أعم، لكل مثال مثالي أيسر I من S ، الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(I)}$هو مثالي يساري. إذا كان I مثاليًا يساريًا في R ، فإن${\displaystyle f(I)}$هو مثال يساري للحلقة الفرعية${\displaystyle f(R)}$من S : إلا إذا كانت f شاملة،${\displaystyle f(I)}$ليس بالضرورة أن يكون مثالاً لـ S ؛ انظر أيضًا §  امتداد وانكماش المثال .
• التطابق المثالي : بالنظر إلى تماثل حلقي شامل${\displaystyle f:R\to S}$، هناك تطابق تقابلي يحافظ على النظام بين المثل العليا اليسرى (أو اليمنى، ذات الجانبين) لـ${\displaystyle R}$يحتوي على نواة${\displaystyle f}$والمُثُل اليسارية (أو اليمينية، ذات الجانبين) لـ${\displaystyle S}$يتم تقديم المراسلات بواسطة${\displaystyle I\mapsto f(I)}$والصورة السابقة${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$علاوة على ذلك ، بالنسبة للحلقات التبادلية، فإن هذا التناظر التقابلي يقتصر على المثاليات الأولية، والمثاليات القصوى، والمثاليات الجذرية (انظر قسم أنواع المثاليات لتعريفات هذه المثاليات).
• إذا كان M وحدة نمطية يسارية R و${\displaystyle S\subset M}$مجموعة فرعية، ثم المُبيد${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$المثالي الأيسر في المجموعة S. المثاليات المعطاة${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$في حلقة تبديلية R ، يكون R- المُبيد لـ${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$هو مثال مثالي لـ R يسمى خارج القسمة المثالي لـ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$بواسطة${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$; إنه مثال على المُثُل في الجبر التبادلي.
• يترك${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$أن تكون سلسلة تصاعدية من المُثُل اليسارية في حلقة R ؛ أي،${\displaystyle S}$هي مجموعة مرتبة بالكامل و${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$لكل​${\displaystyle i<j}$ثم الاتحاد${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$هو مثالي يساري لـ R. (ملاحظة: تظل هذه الحقيقة صحيحة حتى لو كان R بدون الوحدة 1.)
• تُثبت الحقيقة المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى مبرهنة زورن، ما يلي: إذا${\displaystyle E\subset R}$هي مجموعة جزئية قد تكون فارغة و${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$إذا كان لدينا مثال أيسر منفصل عن المجموعة E ، فإنه يوجد مثال أعظمي بين الأمثلة التي تحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ومنفصلة عن E. (مرة أخرى، يظل هذا صحيحًا إذا كانت الحلقة R تفتقر إلى العنصر المحايد 1). عندما${\displaystyle R\neq 0}$، يأخذ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$و​${\displaystyle E=\{1\}}$⁠ ، على وجه الخصوص، يوجد مثال أيسر أقصى بين الأمثلة اليسارية الصحيحة (يطلق عليه غالبًا ببساطة مثال أيسر أقصى)؛ انظر نظرية كرول لمزيد من المعلومات.
• يُطلق على المثالي الأيسر (أو الأيمن، ثنائي الجانب) الناتج عن عنصر واحد x اسم المثالي الأيسر الرئيسي (أو الأيمن، ثنائي الجانب) الناتج عن x ، ويُرمز له بـ${\displaystyle Rx}$(على التوالي )${\displaystyle xR,RxR}$) . المثالي الرئيسي ذو الجانبين${\displaystyle RxR}$يُشار إليه غالبًا أيضًا بـ ⁠${\displaystyle (x)}$أو​${\displaystyle \langle x\rangle }$.
• ليس بالضرورة أن يكون أي اتحاد من المُثُل مُثُلاً، ولكن ما يلي يظل صحيحًا: إذا كانت لدينا مجموعة جزئية X من R قد تكون فارغة ، فهناك أصغر مُثُل يسارية تحتوي على X ، تُسمى المُثُل اليسارية المُولَّدة بواسطة X ويُرمز لها بـ${\displaystyle RX}$يوجد مثل هذا المثال لأنه يمثل تقاطع جميع الأمثلة اليسارية التي تحتوي على X. وبصورة مكافئة ،${\displaystyle RX}$هي مجموعة جميع التركيبات الخطية اليسارية (المنتهية) لعناصر X على R :$${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}}$$(بما أن هذا الامتداد هو أصغر مثالي أيسر يحتوي على X. ) ^{[ ملاحظة 2 ]} يُعرَّف المثالي الأيمن (أو ثنائي الجانب) المُوَلَّد بواسطة X بطريقة مماثلة. بالنسبة لـ "ثنائي الجانب"، يجب استخدام تركيبات خطية من كلا الجانبين؛ أي،$${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$$لو${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$إذا كانت مجموعة منتهية ، فإن${\displaystyle RXR}$تُكتب أيضًا على النحو التالي: ⁠${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$أو​${\displaystyle \langle x_{1},...,x_{n}\rangle }$وبشكل أعم، فإن المثالي ذو الجانبين الناتج عن مجموعة (محدودة أو غير محدودة) من عناصر الحلقة المفهرسة${\displaystyle X=\{x_{i}\}_{i\in I}}$يُشار إليه بـ${\displaystyle (X)=(x_{i})_{i\in I}}$أو${\displaystyle \langle X\rangle =\langle x_{i}\rangle _{i\in I}}$.
• توجد علاقة تقابلية بين المُثُل وعلاقات التطابق (علاقات التكافؤ التي تحترم بنية الحلقة) على الحلقة: بالنظر إلى مُثُل${\displaystyle I}$من حلقة ⁠${\displaystyle R}$، دع${\displaystyle x\sim y}$إذا​${\displaystyle x-y\in I}$ثم​${\displaystyle \sim }$هي علاقة تطابق على${\displaystyle R}$. على العكس من ذلك، بالنظر إلى علاقة التطابق${\displaystyle \sim }$في​${\displaystyle R}$، دع​${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$ثم​${\displaystyle I}$هو مثال لـ${\displaystyle R}$⁠ .

لتبسيط الوصف، يُفترض أن جميع الحلقات تبديلية. أما الحالة غير التبديلية فتُناقش بالتفصيل في المقالات ذات الصلة.

تُعدّ المُثُل مهمة لأنها تظهر كنوى لتشاكلات الحلقات، وتتيح تعريف حلقات العوامل . وتُدرس أنواع مختلفة من المُثُل لأنها تُستخدم لبناء أنواع مختلفة من حلقات العوامل.

• المثالي الأعظمي : يُسمىالمثالي الحقيقي I مثاليًا أعظميًا إذا لم يوجد مثالي حقيقي آخر J بحيث يكون I مجموعة جزئية حقيقية من J. حلقة عوامل المثالي الأعظمي هي حلقة بسيطة بشكل عام، وهي حقل للحلقات التبديلية. ^{[ 12 ]}
• المثالي الأدنى : يُطلق على المثالي غير الصفري اسم المثالي الأدنى إذا لم يكن يحتوي على أي مثالي آخر غير صفري.
• المثالية الصفرية : المثالية${\displaystyle \{0\}}$[ ^{13 ]​}
• المثالي الوحدوي : الحلقة بأكملها (كونها المثالي الناتج عن${\displaystyle 1}$). ^{[ 9 ]}
• المثال الأسمى : مثال مناسب${\displaystyle I}$يُطلق عليه اسم المثالي الأولي إذا كان لأي${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في​${\displaystyle R}$، إذا${\displaystyle ab}$موجود في${\displaystyle I}$، ثم واحد على الأقل من${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$موجود في${\displaystyle I}$. حلقة عوامل المثالي الأولي هي حلقة أولية بشكل عام، وهي مجال تكاملي للحلقات التبديلية. ^{[ 14 ]}
• المثالي الجذري أو المثالي شبه الأولي : يُطلق على المثالي الحقيقياسم المثالي الجذري أو المثالي شبه الأولي إذا كان لأي عنصر a في${\displaystyle R}$إذا كان a ⁿ ينتمي إلى I لبعض n ، فإن a ينتمي إلى I. حلقة عوامل المثالي الجذري هي حلقة شبه أولية للحلقات العامة، وهي حلقة مختزلة للحلقات التبديلية.
• المثالي الأولي : يُسمىالمثالي I مثاليًا أوليًا إذا كان لكل a و b في R ، إذا ^كان ab ينتمي إلى I ، فإن واحدًا على الأقل من a أو bⁿ ينتمي إلى I لعدد طبيعي n . كل مثالي أولي هو مثالي أولي، ولكن ليس العكس. المثالي الأولي شبه الأولي هو مثالي أولي.
• المثال الرئيسي : مثال ناتج عنعنصر واحد . ^{[ 15 ]}
• المثالي المولد بشكل نهائي : يتم توليد هذا النوع من المثالي بشكل نهائي كوحدة نمطية.
• المثالي البدائي : المثالي البدائي الأيسر هو مُبيد وحدة نمطية يسارية بسيطة .
• المثالي غير القابل للاختزال : يقال إن المثالي غير قابل للاختزال إذا لم يكن من الممكن كتابته كتقاطع للمثاليات التي تحتويه بشكل صحيح.
• المُثُل المُتَوَازِيَّة : يُقال إن مُثُلين I و J مُتَوَازِيتان إذا${\displaystyle x+y=1}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x\in I}$و​${\displaystyle y\in J}$⁠ .
• المثالي المنتظم : لهذا المصطلح استخدامات متعددة. راجع المقال للاطلاع على القائمة.
• المثالي الصفري : يكون المثالي مثالياً صفرياً إذا كان كل عنصر من عناصره عديم القوة.
• المثالي الصفري : بعض قواه تساوي صفرًا.
• النموذج المثالي للمعلمات : نموذج مثالي يتم إنشاؤه بواسطة نظام من المعلمات .
• المثال المثالي : مثال مثالي مناسب في حلقة نوثرية${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم مثالي كامل إذا كانت درجته تساوي البعد الإسقاطي لحلقة القسمة المرتبطة به ، ^{[ 16 ]}${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$. المثال المثالي هو مثال غير مختلط .
• المثالي غير المختلط : مثالي حقيقي I في حلقة نوثرية${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم مثالي غير مختلط (في الارتفاع) إذا كان ارتفاع I مساويًا لارتفاع كل عدد أولي P مرتبط به.${\displaystyle R/I}$(هذا أقوى من قول ذلك)${\displaystyle R/I}$متساوية الأبعاد . انظر أيضًا: حلقة متساوية الأبعاد .

هناك مصطلحان مهمان آخران يستخدمان كلمة "مثالي" لا يمثلان بالضرورة مثاليات حلقاتهما. راجع المقالات الخاصة بكل منهما لمزيد من التفاصيل:

• المثالي الجزئي : يُعرَّف هذا عادةً عندما${\displaystyle R}$هو مجال تبديلي مع حقل خارج القسمة${\displaystyle K}$على الرغم من أسمائها، فإن المُثُل الجزئية ليست بالضرورة مُثُلاً. المُثُل الجزئية لـ${\displaystyle R}$هو${\displaystyle R}$-وحدة فرعية${\displaystyle I}$من​${\displaystyle K}$والتي يوجد لها قيمة غير صفرية${\displaystyle r\in R}$بحيث${\displaystyle rI\subseteq R}$إذا كان المثالي الكسري محصورًا بالكامل في${\displaystyle R}$إذن، فهو حقاً مثالٌ يُحتذى به.${\displaystyle R}$.
• المثالي القابل للعكس : يُعرَّفالمثالي القابل للعكس A عادةً بأنه مثالي كسري يوجد له مثالي كسري آخر B بحيث يكون AB = BA = R. وقد يُطبِّق بعض المؤلفين مصطلح "المثالي القابل للعكس" على مثاليات الحلقات العادية A و B التي يكون فيها AB = BA = R في حلقات أخرى غير النطاقات.

يُعرَّف مجموع وحاصل ضرب المُثُل كما يلي. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$و​${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$، المثاليّات اليسرى (أو اليمنى) لحلقة R ، ومجموعها هو

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\},}$

وهو مثال يساري (أو يميني)، وإذا${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$هي ذات وجهين،

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

أي أن الناتج هو المثالي الناتج عن جميع نواتج الشكل ab حيث a في${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$و ب في​${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠ .

ملحوظة${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$هو أصغر مثالي أيسر (أو أيمن) يحتوي على كليهما${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$(أو النقابة ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$) ، بينما المنتج${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$يقع في تقاطع${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$و​${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠ .

ينطبق قانون التوزيع على المُثُل الثنائية الجانب${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$،​

• ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$،​
• ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$⁠ .

إذا تم استبدال ناتج بتقاطع، فإن قانون التوزيع الجزئي ينطبق:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

حيث تتحقق المساواة إذا${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يتضمن${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$أو${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

ملاحظة : إن مجموع وتقاطع المُثُل يُشكّلان مُثُلاً أيضاً؛ وبهاتين العمليتين، بالإضافة إلى عمليتي الربط والتقاطع، تُشكّل مجموعة جميع مُثُل حلقة مُعطاة شبكة نمطية كاملة . هذه الشبكة، بشكل عام، ليست شبكة توزيعية . تُحوّل العمليات الثلاث: التقاطع، والجمع (أو الربط)، والضرب، مجموعة مُثُل حلقة تبديلية إلى كمّية .

لو${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$إذا كانت عناصر حلقة تبديلية R ، فإن${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$في الحالتين التاليتين (على الأقل)

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يتم توليدها بواسطة عناصر تشكل تسلسلًا منتظمًا modulo ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠ .

(بشكل عام، يُقاس الفرق بين حاصل ضرب وتقاطع المُثُل بواسطة دالة تور : ⁠${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$. ^{[ 17 ]} )​

يُطلق على المجال التكاملي اسم مجال ديديكيند إذا كان لكل زوج من المثاليات${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$هناك وضع مثالي${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$بحيث​${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$⁠ . ^{[ 18 ]} يمكن بعد ذلك إثبات أن كل مثالي غير صفري لمجال ديديكيند يمكن كتابته بشكل فريد كحاصل ضرب مثاليات قصوى، وهو تعميم للنظرية الأساسية للحساب .

في${\displaystyle \mathbb {Z} }$لدينا

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

منذ${\displaystyle (n)\cap (m)}$هي مجموعة الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على كل من${\displaystyle n}$و​${\displaystyle m}$⁠ .

يترك${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ودع​${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$ثم ،

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$و${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$بينما${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

في الحساب الأول، نلاحظ النمط العام لحساب مجموع مثاليين مولدين توليدًا منتهيًا، وهو المثالي الناتج عن اتحاد مولداتهما. في الحسابات الثلاثة الأخيرة، نلاحظ أن حاصل الضرب والتقاطع يتطابقان عندما يتقاطع المثاليان في المثالي الصفري. يمكن التحقق من هذه الحسابات باستخدام برنامج Macaulay2 . ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

تظهر المُثُل بشكل طبيعي في دراسة الوحدات، وخاصة في شكل جذر.

لتبسيط الأمور، نعمل مع الحلقات التبادلية، ولكن مع بعض التغييرات، تكون النتائج صحيحة أيضًا بالنسبة للحلقات غير التبادلية.

ليكن R حلقة تبديلية. بحسب التعريف، فإن المثالي الأولي في R هو مُبيد وحدة R- بسيطة (غير صفرية) . جذر جاكوبسون${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$يمثل R تقاطع جميع المُثُل الأولية. أو بصورة مكافئة،

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

في الواقع، إذا${\displaystyle M}$إذا كان M وحدة نمطية بسيطة وكان x عنصرًا غير صفري في M ، فإن${\displaystyle Rx=M}$و${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$، معنى${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$هو مثال أمثل. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$إذا كان مثالاً أقصى،${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$هو مُبيد الوحدة النمطية R البسيطة${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$وهناك أيضاً توصيف آخر (وإثباته ليس صعباً):

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

بالنسبة لحلقة ليست بالضرورة تبديلية، فمن الحقائق العامة أن${\displaystyle 1-yx}$يكون عنصرًا أحاديًا إذا وفقط إذا${\displaystyle 1-xy}$(انظر الرابط) وبالتالي فإن هذا التوصيف الأخير يوضح أنه يمكن تعريف الجذر من حيث المثل العليا الأولية اليسرى واليمنى.

الحقيقة البسيطة ولكن المهمة التالية ( مبدأ ناكاياما ) مضمنة في تعريف جذر جاكوبسون: إذا كان M وحدة نمطية بحيث ⁠${\displaystyle JM=M}$إذن ،لا تقبل M وحدة فرعية عظمى ، لأنه إذا وُجدت وحدة فرعية عظمى ...${\displaystyle L\subsetneq M}$،​${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$وهكذا​${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$، وهو تناقض. بما أن الوحدة النمطية المولدة نهائيًا وغير الصفرية تقبل وحدة نمطية فرعية قصوى، فعلى وجه الخصوص، يكون لدينا:

لو${\displaystyle JM=M}$وإذا كانت M مولدة نهائياً، فإن${\displaystyle M=0}$⁠ .

المثالي الأعظمي هو مثالي أولي، وبالتالي يكون لدى المرء

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

حيث يُطلق على التقاطع على اليسار اسم الجذر الصفري لـ R. وكما اتضح،${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$وهي أيضًا مجموعة العناصر العديمة القوة في R.

إذا كانت R حلقة أرتينية ، فإن${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$عديم القدرة و${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$. (إثبات: لاحظ أولاً أن DCC يستلزم${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$لبعض قيم n . إذا (DCC)${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$إذا كان الخيار الأمثل هو الحد الأدنى المناسب مقارنةً بالخيار الأخير،${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$أي ،${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$( تناقض).

يترك${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ليكن حلقتين تبديليتين ، ولتكن${\displaystyle f:A\to B}$ليكن تشاكلاً حلقياً . إذا${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ليس بالضرورة أن يكون مثالياً في${\displaystyle B}$(مثلاً خذ${\displaystyle f}$أن يكون ذلك تضمين حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$في مجال العقلانيين${\displaystyle \mathbb {Q} }$). الامتداد${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$في${\displaystyle B}$يُعرَّف بأنه المثال في${\displaystyle B}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$. بشكل صريح،

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}=f({\mathfrak {a}})B={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}.}$

عن طريق إساءة استخدام الرموز،${\displaystyle {\mathfrak {a}}B}$وهي صيغة شائعة أخرى لهذا الامتداد المثالي.

لو${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$هو مثال لـ${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$لطالما كان ذلك مثالاً يحتذى به لـ${\displaystyle A}$، ويسمى الانقباض${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ل${\displaystyle A}$.

بافتراض${\displaystyle f:A\to B}$هو تماثل حلقي،${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle A}$،${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle B}$، ثم:

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$هو عدد أولي في${\displaystyle B}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$هو عدد أولي في${\displaystyle A}$،
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}.}$

من الخطأ، بشكل عام، أن${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$كونها أولية (أو قصوى) في${\displaystyle A}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$هو عدد أولي (أو أقصى) في${\displaystyle B}$تنبع العديد من الأمثلة الكلاسيكية على ذلك من نظرية الأعداد الجبرية. على سبيل المثال، لننظر إلى التضمين${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack .}$في${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$، العنصر 2 عوامل كـ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$حيث (يمكن للمرء أن يثبت) لا شيء مما سبق${\displaystyle 1+i,1-i}$الوحدات في${\displaystyle B}$. لذا${\displaystyle (2)^{e}}$ليس عددًا أوليًا في${\displaystyle B}$(وبالتالي ليس مثاليًا أيضًا). في الواقع،${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$يُظهر ذلك${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$،​​${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$وبالتالي​​${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$⁠ .

من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle f}$هو شامل و${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$ثم:

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يُعدّ مثالاً رئيسياً في${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$يُعدّ مثالاً رئيسياً في${\displaystyle B}$،
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$هو مثال مثالي أقصى في${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$هو مثال مثالي أقصى في${\displaystyle B}$.

ملاحظة : دع${\displaystyle K}$أن يكون امتدادًا ميدانيًا لـ${\displaystyle L}$ودع${\displaystyle B}$و${\displaystyle A}$لتكن حلقات الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$و${\displaystyle L}$على التوالي. ثم${\displaystyle B}$هو امتداد أساسي لـ${\displaystyle A}$وسمحنا${\displaystyle f}$كن خريطة التضمين من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$سلوك المثالي الأولي${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle A}$تحت التمديد، تُعد إحدى المشكلات المركزية في نظرية الأعداد الجبرية .

قد يكون ما يلي مفيدًا في بعض الأحيان: ^{[ 22 ]} مثال أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يكون انكماشًا للمثالي الأولي إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$(الإثبات: بافتراض الافتراض الأخير، لاحظ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$يتقاطع${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$وهذا تناقض. الآن، المثل العليا لـ${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$تتوافق مع تلك الموجودة في${\displaystyle B}$التي هي منفصلة عن${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$وبالتالي، يوجد مثال أولي${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ل${\displaystyle B}$منفصل عن${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$بحيث${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$هو مثالي أقصى يحتوي${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$ثم يتحقق المرء من ذلك${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$تقع فوق${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$والعكس واضح.

يمكن تعميم المُثُل على أي كائن أحادي .${\displaystyle (R,\otimes )}$، حيث${\displaystyle R}$هو الكائن الذي تم فيه نسيان بنية المونويد . مثالي يساري لـ${\displaystyle R}$هو كائن فرعي${\displaystyle I}$التي "تستوعب الضرب من اليسار بواسطة عناصر من${\displaystyle R}$« ؛ أي،${\displaystyle I}$يُعتبر مثالياً يسارياً إذا استوفى الشرطين التاليين:

1. ${\displaystyle I}$هو عنصر فرعي من${\displaystyle R}$
2. لكل${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$وكل​${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$المنتج​${\displaystyle r\otimes x}$موجود في${\displaystyle (I,\otimes )}$⁠ .

يُعرَّف المثال الصحيح بالشرط "${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$تم استبدال " بـ " '${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$" المثال ذو الجانبين هو مثال أيمن ويساري في الوقت نفسه، ويُطلق عليه أحيانًا ببساطة اسم مثال. عندما${\displaystyle R}$على التوالي، يكون كائن أحادي تبديلي، وتتطابق تعريفات المثالي الأيسر والأيمن والثنائي الجانب، ويتم استخدام مصطلح المثالي وحده.

• الحساب النمطي
• نظرية تماثل نوثر
• نظرية المثالي الأولي البولياني
• النظرية المثالية
• المثالية (نظرية النظام)
• المعيار المثالي
• انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا
• حزمة مثالية

• ليفينسون، جيك (14 يوليو 2014). "التفسير الهندسي لتمديد المُثُل؟" . ستاك إكستشينج .