16 خلية

في الهندسة ، يُعرف الشكل ذو الـ 16 خلية بأنه متعدد السطوح المحدب المنتظم رباعي الأبعاد (المكافئ رباعي الأبعاد للأجسام الأفلاطونية) ويرمز له برمز شلافلي {3، 3، 4}. وهو أحد متعددات السطوح المحدبة المنتظمة رباعية الأبعاد الستة التي وصفها لأول مرة عالم الرياضيات السويسري ^لودفيج^شلافلي في منتصف القرن التاسع عشر. ^{[ 1 ]} ويُطلق عليه ^أيضًا اسم C16 ، _أو hexadecachoron ، ^{[ 2 ]} أو hexdecahedroid . [ 3 ]

هو العضو رباعي الأبعاد في عائلة لانهائية من متعددات الوجوه تسمى متعددات الوجوه المتقاطعة ، أو متعددات الوجوه المتعامدة ، أو متعددات الوجوه الفائقة، والتي تُشابه ثماني الوجوه في ثلاثة أبعاد. وهو نموذج كوكسيتر. $\beta _{4}$ متعدد السطوح. ^{[ 4 ]} متعدد السطوح الثنائي هو المكعب الرباعي ( التيسيراكت )، والذي يمكن دمجه معه لتكوين شكل مركب. خلايا المكعب ذي الـ 16 خلية ثنائية مع رؤوس المكعب الرباعي الستة عشر.

الهندسة

يُعدّ الشكل ذو الـ 16 خلية ثاني شكل في سلسلة الأشكال المتعددة المنتظمة المحدبة ذات البعد 4 (مرتبة حسب الحجم والتعقيد). ^{[ أ ]}

يمكن بناء كل من الأشكال الأربعة التالية لها، وهي أشكال متعددة السطوح منتظمة محدبة رباعية الأبعاد، على شكل غلاف محدب لمتعدد سطوح مركب من عدة خلايا سداسية عشرية: المكعب الفائق ذو 16 رأسًا كمركب من خليتين سداسيتين عشريتين، والمكعب الفائق ذو 24 رأسًا وخلية سداسية وعشرون رأسًا كمركب من ثلاث خلايا سداسية عشرية، والمكعب الفائق ذو 120 رأسًا وخلية سداسية وعشرون رأسًا كمركب من خمس عشرة خلية سداسية عشرية، والمكعب الفائق ذو 600 رأس وخلية سداسية وعشرون رأسًا كمركب من خمس وسبعين خلية سداسية عشرية. ^{[ ب ]}

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4
مجموعة التناظر	أ ₄	ب ₄		F ₄	H ₄
اسم	5 خلايا الهرم الرباعي الفائق ذو الخمس نقاط	16 خلية ثماني الأوجه المفرط ذو 8 نقاط	8 خلايا مكعب فائق ذو 16 نقطة	24 خلية 24 نقطة	600 خلية مجسم ذو عشرين وجهًا فائقًا ذو 120 نقطة	120 خلية مجسم ذو اثني عشر وجهًا فائقًا مكون من 600 نقطة
رمز شلافلي	{3, 3, 3}	{3، 3، 4}	{4، 3، 3}	{3، 4، 3}	{3، 3، 5}	{5، 3، 3}
مرايا كوكسيتر
زوايا ثنائية السطوح معكوسة	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠
الرسم البياني
الرؤوس	5 رباعي الأوجه	8 ثماني الأوجه	16 رباعي الأوجه	24 مكعبًا	120 شكل عشروني الوجوه	600 رباعي الأوجه
الحواف	10 مثلثات	24 مربع	32 مثلثي	96 مثلثي	720 خماسي الأضلاع	1200 مثلث
وجوه	10 مثلثات	32 مثلثًا	24 مربعًا	96 مثلثًا	1200 مثلث	720 شكل خماسي
الخلايا	5 رباعيات الأوجه	16 رباعي الأوجه	8 مكعبات	24 ثماني السطوح	600 رباعي الأوجه	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا
توري	1 رباعي الأوجه خماسي	2 رباعي الأوجه 8	2 مكعب رباعي	4 ثماني السطوح 6	20 رباعي الأوجه 30	12 مجسم ذو 10 أوجه
منقوش	120 في خلية 120	675 في 120 خلية	2 خلايا 16	3 خلايا ثمانية	25 خلية من نوع 24	10600 خلية
مضلعات رائعة		مربعان × 3	4 مستطيلات × 4	4 أشكال سداسية × 4	12 مضلعًا عشريًا × 6	100 شكل سداسي غير منتظم × 4
مضلعات بيتري	خماسي واحد × 2	1 مثمن × 3	2 مثمنات × 4	2 شكل ذو اثني عشر ضلعًا × 4	4 مضلعات 30 × 6	20 مضلعًا من 30 ضلعًا × 4
نصف قطر كبير	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
طول الحافة	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
نصف قطر قصير	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
منطقة	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
مقدار	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-المحتوى	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

الإحداثيات

المربعات المنفصلة

المستوى xy
( 0, 1, 0, 0)	( 0, 0,-1, 0)
( 0, 0, 1, 0)	( 0,-1, 0, 0)

طائرة wz
( 1, 0, 0, 0)	( 0, 0, 0,-1)
( 0, 0, 0, 1)	(-1, 0, 0, 0)

الخلية ذات الـ 16 خلية هي متعدد السطوح المتقاطع رباعي الأبعاد (4-orthoplex) ، مما يعني أن رؤوسها تقع في أزواج متقابلة على المحاور الأربعة لنظام إحداثيات ديكارتية (w، x، y، z).

الرؤوس الثمانية هي (±1, 0, 0, 0)، (0, ±1, 0, 0)، (0, 0, ±1, 0)، (0, 0, 0, ±1). جميع الرؤوس متصلة بأضلاع باستثناء الأزواج المتقابلة. طول الضلع يساوي √2 .

تشكل إحداثيات الرؤوس ستة مربعات مركزية متعامدة تقع في المستويات الإحداثية الستة. المربعات في المستويات المتقابلة التي لا تشترك في محور (مثل المستويين xy و wz ) تكون منفصلة تمامًا (لا تتقاطع عند أي رأس). هذه المستويات متعامدة تمامًا . ^{[ ج ]}

تشكل الخلية المكونة من 16 خلية أساسًا متعامدًا لاختيار إطار مرجعي رباعي الأبعاد، لأن رؤوسها تحدد بدقة المحاور المتعامدة الأربعة.

بناء

رمز شلافلي للخلية السداسية عشر هو {3، 3، 4}، مما يشير إلى أن خلاياها عبارة عن رباعيات أوجه منتظمة {3، 3} وأن شكل رأسها ثماني أوجه منتظم {3، 4}. يوجد 8 رباعيات أوجه، و12 مثلثًا، و6 حواف تلتقي عند كل رأس. شكل حافتها مربع. يوجد 4 رباعيات أوجه و4 مثلثات تلتقي عند كل حافة.

^[^هـ^] يتكون الشكل ذو الـ 16 خلية من 16 خلية ، جميعها رباعيات أوجه منتظمة . [و] يحتوي على 32 وجهًا مثلثيًا ، و24 ضلعًا ، و8 رؤوس . تُحيط الأضلاع الـ 24 بستة مربعات مركزية متعامدة تقع على دوائر عظمى في المستويات الإحداثية الستة (3 أزواج من المربعات العظمى المتعامدة تمامًا). عند كل رأس، تتقاطع ثلاثة مربعات عظمى بشكل عمودي. تلتقي الأضلاع الست عند الرأس كما تلتقي عند قمة الهرم الثماني الأوجه المتعارف عليه . ^[^د^] يمكن تقسيم المستويات المركزية المتعامدة الستة للشكل ذي الـ 16 خلية إلى أربعة مستويات مركزية فائقة متعامدة (ثلاثية الأبعاد)، يشكل كل منها ثماني أوجه بثلاثة مربعات عظمى متعامدة.

التناوب

إسقاط ثلاثي الأبعاد لخلية مكونة من 16 خلية تقوم بدوران بسيط	إسقاط ثلاثي الأبعاد لخلية مكونة من 16 خلية تقوم بدوران مزدوج

يمكن اعتبار الدورانات في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد بمثابة تركيب لدورانين ثنائيي الأبعاد في مستويين متعامدين تمامًا . ^{[ 6 ]} يُعدّ الإطار ذو الـ 16 خلية إطارًا بسيطًا لملاحظة الدورانات رباعية الأبعاد، لأن كل مربع من المربعات الستة الكبيرة في هذا الإطار له مربع كبير آخر متعامد تمامًا معه (يوجد 3 أزواج من المربعات المتعامدة تمامًا). ^{[ ج ]} يتم تحديد الدوران المميز للإطار ذي الـ 16 خلية بواسطة زاوية واتجاه دوران في أحد مستويات المربعات الكبيرة (مثل المستوى xy ) وزاوية واتجاه دوران آخرين في مستوى المربع الكبير المتعامد تمامًا (مثل المستوى wz ). ^{[ ط ]} تتميز المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا برؤوس منفصلة: تدور 4 من رؤوس الإطار الثمانية في مستوى واحد، بينما تدور الرؤوس الأربعة الأخرى بشكل مستقل في المستوى المتعامد تمامًا. ^{[ و ]}

في بُعدين أو ثلاثة أبعاد، تتميز الدوران بمستوى دوران واحد؛ ويُسمى هذا النوع من الدوران الذي يحدث في الفضاء الرباعي بالدوران البسيط ، حيث يدور مستوى واحد فقط من المستويين المتعامدين تمامًا (زاوية الدوران في المستوى الآخر تساوي صفرًا). في الخلية السداسية عشر، يُحرك الدوران البسيط في أحد المستويات المتعامدة الستة أربعة رؤوس فقط من أصل ثمانية؛ بينما تبقى الرؤوس الأربعة الأخرى ثابتة. (في عرض الدوران البسيط المتحرك أعلاه، تتحرك جميع الرؤوس الثمانية لأن مستوى الدوران ليس أحد المستويات الأساسية المتعامدة الستة).

في الدوران المزدوج، تتحرك مجموعتا الرؤوس الأربعة، ولكن بشكل مستقل: قد تختلف زوايا الدوران في المستويين المتعامدين تمامًا. إذا تساوت الزاويتان، يحدث دوران متساوي الميل متناظر إلى أقصى حد. ^{[ ك ]} في الخلية السداسية عشرية، يؤدي الدوران متساوي الميل بمقدار 90 درجة لأي زوج من المستويات المربعة المتعامدة تمامًا إلى نقل كل مستوى مربع إلى مستواه المربع المتعامد تمامًا في إزاحة لولبية. تتحرك جميع الرؤوس في وقت واحد على مسارات جيوديسية دائرية منفصلة ، مُزاحة بمقدار 90 درجة في 8 اتجاهات متعامدة، وتتخذ الخلية السداسية عشرية الصلبة اتجاهًا جديدًا في الفضاء الرباعي. بعد 360 درجة من الدوران، يصل كل رأس إلى موضعه المقابل. خلال دوران متساوي الميل بمقدار 720 درجة، ينفصل كل رأس عن جميع مواضع الرؤوس الثمانية مرة واحدة فقط ويعود إلى موضعه الأصلي، وتعود الخلية السداسية عشرية إلى اتجاهها الأصلي.

الإنشاءات

هرم ثنائي ثماني الأوجه

المجسم الثماني $\beta _{3}$	16 خلية $\beta _{4}$

إسقاطات متعامدة لتشويه المستوى الفائق السداسي

أبسط طريقة لبناء المجسم ذي الـ 16 خلية هي على متعدد السطوح المتقاطع ثلاثي الأبعاد، وهو ثماني السطوح . يحتوي ثماني السطوح على 3 محاور متعامدة و6 رؤوس موزعة على 3 أزواج متقابلة ( مضلع بتري الخاص به هو السداسي ). أضف زوجًا آخر من الرؤوس على محور رابع متعامد على المحاور الثلاثة الأخرى. وصّل كل رأس جديد بالرؤوس الستة الأصلية، مما يُضيف 12 ضلعًا جديدًا. ينتج عن ذلك هرمين ثمانيي السطوح على قاعدة مشتركة لثماني السطوح تقع في المستوى الفائق المركزي للمجسم ذي الـ 16 خلية. ^{[ 9 ]}

يبدأ البناء بثمانية أوجه تتكون من ثلاثة مربعات متقاطعة متعامدة (تظهر كمستطيلات في الإسقاطات السداسية). يتقاطع كل مربع مع كل مربع من المربعات الأخرى عند رأسين متقابلين، حيث يتقاطع مربعان عند كل رأس. ثم تُضاف نقطتان إضافيتان في البعد الرابع (أعلى وأسفل المستوى الفائق ثلاثي الأبعاد). تتصل هذه الرؤوس الجديدة بجميع رؤوس ثماني الأوجه، مما يُنشئ 12 ضلعًا جديدًا وثلاثة مربعات أخرى (تظهر من حافتها كأقطار السداسي الثلاثة في الإسقاط)، وثلاثة ثمانيات ^أوجه^{أخرى .}

لقد تم ابتكار شيء غير مسبوق. لاحظ أن كل مربع لم يعد يتقاطع مع جميع المربعات الأخرى: بل يتقاطع مع أربعة منها (حيث تتقاطع ثلاثة مربعات عند كل رأس الآن)، ولكن لكل مربع مربع آخر لا يشترك معه في أي رأس: فهو غير متصل به مباشرةً على الإطلاق. هذان المربعان المتعامدان المنفصلان (هناك ثلاثة أزواج منهما) يشبهان الحافتين المتقابلتين للهرم الرباعي : متعامدان، لكنهما غير متقاطعين. يقعان متقابلين (متوازيان بمعنى ما)، ولا يتلامسان، ولكنهما يمران عبر بعضهما البعض مثل حلقتين متعامدتين في سلسلة (ولكن على عكس حلقات السلسلة، لهما مركز مشترك). إنهما مثال على متوازيات كليفورد ، والمضلع ذو الـ 16 خلية هو أبسط مضلع منتظم تظهر فيه هذه المتوازيات. يظهر هنا التوازي الكليفوردي ^{[ j ]} للأجسام متعددة الأبعاد (أكثر من مجرد خطوط منحنية )، ويحدث في جميع المضلعات المنتظمة رباعية الأبعاد اللاحقة، حيث يمكن اعتباره العلاقة المميزة بين المضلعات المنتظمة رباعية الأبعاد المتمركزة والمنفصلة وأجزائها المتناظرة. ويمكن أن يحدث بين المضلعات المتطابقة (المتشابهة) ثنائية الأبعاد أو أكثر. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، كما ذُكر أعلاه ، فإن جميع المضلعات المنتظمة رباعية الأبعاد المحدبة اللاحقة هي مركبات من خلايا متعددة مكونة من 16 خلية؛ وهذه الخلايا الـ 16 هي مضلعات كليفوردية متوازية .

الإنشاءات رباعية الأوجه

يحتوي الشكل ذو الـ 16 خلية على بنيتين من نوع Wythoff من رباعيات الأوجه المنتظمة، شكل منتظم وشكل متبادل، موضحان هنا على شكل شبكات ، حيث يُمثل الشكل الثاني بخلايا رباعية الأوجه ذات لونين متبادلين. أما الشكل المتبادل فهو بنية ذات تناظر أقل للشكل ذي الـ 16 خلية تُسمى demitesseract .

يُحاكي بناء ويثوف الخلية الخماسية المميزة للخلية السداسية عشرة في منظار مرايا. لكل متعدد وجوه منتظم رباعي الأبعاد مخطط رباعي الأضلاع مميز، وهو عبارة عن خلية خماسية غير منتظمة . ^{[ ل ]} توجد ثلاثة متعددات وجوه منتظمة رباعية الأبعاد ذات خلايا رباعية الأوجه: الخلية الخماسية ، والخلية السداسية عشرة، والخلية الستمائة . على الرغم من أن جميعها محاطة بخلايا رباعية الأوجه منتظمة ، فإن خلاياها الخماسية المميزة (مخططاتها الرباعية الأضلاع) هي أهرامات رباعية الأوجه مختلفة ، جميعها مبنية على نفس رباعي الأوجه غير المنتظم المميز . تشترك هذه الأهرامات في نفس رباعي الأوجه المميز (مخطط ثلاثي الأضلاع) والمثلث القائم الزاوية المميز (مخطط ثنائي الأضلاع) لأنها تحتوي على نفس نوع الخلية. ^{[ م ]}

خصائص الخلية ذات الـ 16 خلية ^{[ 12 ]}
	الحافة ^{[ 13 ]}	قوس		الزاوية ثنائية السطوح ^{[ 14 ]}
ل	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$	120 درجة	${\tfrac {2\pi }{3}}$

5	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$	60 بوصة	${\tfrac {\pi }{3}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^{[ n ]}	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	45 بوصة	${\tfrac {\pi }{4}}$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$
3	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$	30 بوصة	${\tfrac {\pi }{6}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289$	30 درجة	${\tfrac {\pi }{6}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	$1$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$

يُمثَّل الشكل الخماسي المميز للشكل الرباعي المنتظم ذي الست عشرة خلية بمخطط كوكسيتر-دينكين ، والذي يُمكن قراءته كقائمة بالزوايا ثنائية السطوح بين أوجهه المتناظرة. وهو هرم رباعي الأوجه غير منتظم، مبني على الشكل الرباعي الأوجه المميز للشكل الرباعي المنتظم . يُقسَّم الشكل الرباعي المنتظم ذو الست عشرة خلية، بواسطة مستويات التناظر الفائقة، إلى 384 شكلاً من أشكاله الخماسية المميزة، تلتقي جميعها في مركزه.

يحتوي الشكل الخماسي المميز (المخطط الرباعي) على أربعة أضلاع إضافية مقارنةً بالهرم الرباعي المميز الأساسي (المخطط الثلاثي)، حيث تصل رؤوس القاعدة الأربعة برأس الهرم (الرأس الخامس للمخطط الرباعي، في مركز الشكل الخماسي المنتظم). ^{[ o ]} إذا كان للشكل الخماسي المنتظم نصف قطر وحدة واحدة وطول ضلع 𝒍 = ${\sqrt {2}}$ ، تتميز هذه الخلية الخماسية بعشرة أضلاع لها أطوال ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ حول وجهها الخارجي المثلث القائم الزاوية (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀، 𝝉، 𝟁)، ^{[ ن ]} بالإضافة إلى ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ (الحواف الثلاثة الأخرى للوجه الخارجي ثلاثي الأبعاد للشكل الرباعي المميز، وهي أنصاف أقطار مميزة للشكل الرباعي المنتظم)، بالإضافة إلى $1$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ (الحواف التي تمثل أنصاف أقطار مميزة للخلية المنتظمة ذات الـ 16 خلية). المسار ذو الأربع حواف على طول الحواف المتعامدة للمخطط المتعامد هو ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، أولاً من رأس مكون من 16 خلية إلى مركز حافة مكون من 16 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز وجه مكون من 16 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز خلية رباعية الأوجه مكونة من 16 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز الخلية المكونة من 16 خلية.

البناء الحلزوني

يمكن بناء خلية ذات 16 خلية (بثلاث طرق مختلفة) من حلزونين من نوع بورديك-كوكسيتر، يتألف كل منهما من ثمانية رباعيات وجوه متصلة، ينحني كل منها في البعد الرابع ليشكل حلقة. ^{[ 15 ]}^[¹⁶^] يلتف الحلزونان الدائريان حول بعضهما، ويتداخلان، ويمران عبر بعضهما مكونين وصلة هوبف . يمكن رؤية أوجه المثلثات الستة عشر في شبكة ثنائية الأبعاد ضمن تبليط مثلثي ، مع ستة مثلثات حول كل رأس. تمثل الحواف الأرجوانية مضلع بيتري للخلية ذات الـ 16 خلية. تحتوي حلقة رباعيات الوجوه ذات الثماني خلايا على ثلاثة أشكال ثمانية الأوجه بألوان مختلفة، وهي مسارات دائرية ذات ثمانية حواف تلتف مرتين حول الخلية ذات الـ 16 خلية عند كل رأس ثالث من الشكل الثماني الأوجه. الحواف البرتقالية والصفراء هي نصفان رباعيا الحواف لأحد الأشكال الثمانية الأوجه، يلتقيان عند نهايتيهما ليشكلا شريط موبيوس .

وبالتالي، يمكن تقسيم الخلية السداسية عشر إلى سلسلتين دائريتين منفصلتين، كل منهما تتكون من ثمانية أهرامات رباعية، طول كل منها أربعة أضلاع، إحداهما حلزونية إلى اليمين (مع عقارب الساعة) والأخرى حلزونية إلى اليسار (عكس عقارب الساعة). تتلاءم حلقات الخلايا ذات الالتفاف الأيسر والأيمن معًا، متداخلة في بعضها البعض، وتملأ الخلية السداسية عشر بالكامل، على الرغم من اختلاف اتجاهها الحلزوني. يمكن رؤية هذا التقسيم في بناء ثنائي المنشور المضاد 4-4 للخلية السداسية عشر: أو ، رمز شلافلي {2}⨂{2} أو s{2}s{2}، التناظر [4,2 ⁺ ,4]، الرتبة 64.

ثلاثة مسارات ثمانية الحواف (بألوان مختلفة) تلتف حلزونيًا على طول كل حلقة من ثماني خلايا، مكونة زوايا قائمة (90°) عند كل رأس. (في حلزون بورديك-كوكسيتر قبل ثنيه على شكل حلقة، تختلف الزوايا في المسارات المختلفة، لكنها ليست قائمة). تمر ثلاثة مسارات (بألوان وزوايا ظاهرية مختلفة) عبر كل رأس. عند ثني الحلزون على شكل حلقة، تتصل أجزاء كل مسار ثماني الحواف (بأطوال مختلفة) بنهاياتها، لتشكل شريط موبيوس طوله ثمانية حواف على محيطه أحادي الجانب الذي يبلغ 4π، وعرضه حافة واحدة. ^{[ q ]} تشكل أنصاف المسارات الثمانية الحواف الستة ذات الأربعة حواف أربع زوايا قائمة (90°)، لكنها ليست المربعات الكبيرة المتعامدة الستة: إنها مربعات مفتوحة، حلزونات رباعية الحواف بزاوية 360°، نهاياتها المفتوحة هي رؤوس متقابلة . تنشأ الحواف الأربعة من أربعة مربعات كبيرة مختلفة، وهي متعامدة فيما بينها. وعند ربطها من طرف إلى طرف في أزواج من نفس الكيرالية ، تُشكّل المسارات الستة ذات الحواف الأربعة ثلاث حلقات موبيوس ثمانية الحواف، وهي أشكال ثمانية حلزونية ^. كل شكل ثماني هو مضلع بتري للخلية السداسية عشرية، وهو أيضًا المسار الحلزوني الذي تدور عليه ^الرؤوس^{الثمانية معًا ،} في أحد الدورانات المتساوية الميل المميزة للخلية السداسية عشرية .

خمس طرق للنظر إلى نفس الشكل الثماني المائل ^[^s^]
مسار الحافة	مضلع بيتري ^{[ 17 ]}	16 خلية	التليف المنفصل	أوتار القطر
الشكل الثماني _{8/3}^{[ 18 ]}	الشكل الثماني _{8/1}	طائرة كوكسيتر B ₄	الشكل الثماني _{8/2}=2{4}	الشكل الثماني _{8/4}=4{2}

الأوتار الثمانية التي تمثل √2 لمسار الحافة لخط التساوي. ^{[ t ]}	مثمن مائل ذو ثمانية أضلاع طول كل منها √2 . تحتوي الخلية ذات الـ 16 خلية على 6 من هذه الدوائر ذات 8 رؤوس .	جميع الحواف الـ 24 ذات √ 2 والمحاور المتعامدة الأربعة ذات √ 4 .	مربعان كبيران متعامدان تمامًا (منفصلان) طول ضلعيهما √2 . ^{[ f ]}	الأوتار الأربعة √ 4 لمنحنى متساوي الانحدار. كل رأس رابع من رؤوس المنحنى المتساوي الانحدار متصل برأسه المقابل له بواسطة محور مكون من 16 خلية. ^{[ t ]}

كل حلزون ثماني الحواف هو شكل ثماني مائل {8/3} يلتف ثلاث مرات حول الخلية السداسية عشرية ، ويمر بكل رأس قبل أن يُغلق في حلقة. حوافه الثمانية التي يبلغ طولها √2 هي أوتار منحنى متساوي الميل ، وهو قوس حلزوني تدور عليه الرؤوس الثمانية أثناء الدوران متساوي الميل. ^[^q^] جميع رؤوس الخلية السداسية عشرية الثمانية تفصل بينها مسافة √2 باستثناء الرؤوس المتقابلة (المضادة)، التي تفصل بينها مسافة √4 . يمر الرأس المتحرك على المنحنى متساوي الميل بثلاثة رؤوس أخرى تفصل بينها مسافة √2 قبل أن يصل إلى الرأس الرابع الذي يبعد عنه مسافة √4 . ^[^p^]

الحلقة ذات الثماني خلايا حلزونية : يوجد شكل يميني يدور في اتجاه عقارب الساعة، وشكل يساري يدور عكس اتجاه عقارب الساعة. تحتوي الحلقة ذات الست عشرة خلية على شكل واحد من كل نوع، لذا فهي تحتوي أيضًا على منحنى متساوي التماثل أيمن وأيسر؛ منحنى متساوي التماثل هو المحور الدائري الذي تلتف حوله الحلقة ذات الثماني خلايا. يمر كل منحنى متساوي التماثل بجميع رؤوس الحلقة ذات الست عشرة خلية. ^{[ v ]} تحتوي كل حلقة ذات ثماني خلايا على نصف عدد الخلايا الست عشرة، ولكنها تحتوي على جميع الرؤوس الثمانية؛ تتشارك الحلقتان الرؤوس، حيث تتداخلان مع بعضهما البعض وتتلاءمان معًا. كما تتشاركان أيضًا في الحواف الأربع والعشرين، على الرغم من أن الحلزونات الثمانية اليمنى واليسرى تمثل مسارات ثمانية حواف مختلفة. ^{[ w ]}

نظرًا لوجود ثلاثة أزواج من المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا، ^{[ ج ]} توجد ثلاث طرق متطابقة لتكوين خلية من 16 خلية من حلقتين من ثماني خلايا. تحتوي الخلية ذات الـ 16 خلية على ثلاثة أزواج يمين-يسار من حلقات من ثماني خلايا في اتجاهات مختلفة، حيث تحتوي كل حلقة على منحنى تساوي الميل المحوري الخاص بها. ^{[ ر ]} يمثل كل زوج من منحنيات تساوي الميل يمين-يسار مسار زوج من الدورانات متساوية الميل المتميزة يمين-يسار: وهي الدورانات في زوج واحد من مستويات الدوران الثابتة المتعامدة تمامًا. ^{[ و ]} عند كل رأس، توجد ثلاثة مربعات كبيرة وستة منحنيات تساوي الميل لثمانية أشكال هندسية تتقاطع عند الرأس وتشترك في وتر محور الخلية ذات الـ 16 خلية.

كتكوين

تمثل مصفوفة التكوين هذه الخلية المكونة من 16 خلية. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا على التوالي. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في الخلية المكونة من 16 خلية. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

التبليطات

يمكن تقسيم الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد إلى فسيفساء باستخدام خلايا منتظمة مكونة من 16 خلية. يُطلق على هذا النوع من الفسيفساء اسم " خلية النحل السداسية عشرية" ويرمز له برمز شلافلي {3، 3، 4، 3}. وبالتالي، فإن الزاوية ثنائية السطوح في الخلية السداسية عشرية هي 120 درجة. ^{[ 19 ]} لكل خلية سداسية عشرية 16 جارًا تشترك معها في شكل رباعي الأوجه، و24 جارًا تشترك معها في ضلع واحد فقط، و72 جارًا تشترك معها في نقطة واحدة فقط. تلتقي 24 خلية سداسية عشرية عند أي رأس في هذه الفسيفساء.

يتكون التبليط المزدوج، وهو تبليط قرص العسل ذو الـ 24 خلية {3،4،3،3}، من 24 خلية منتظمة . إلى جانب تبليط قرص العسل الفسيفسائي {4،3،3،4}، تُعدّ هذه التبليطات المنتظمة الثلاثة الوحيدة في ^الفضاءR⁴ .

التوقعات

الإسقاطات المتعامدة
طائرة كوكسيتر	ب ₄	ب ₃ / د ₄ / أ ₂	ب _٢ / د _٣
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[8]	[6]	[4]
طائرة كوكسيتر	F ₄	أ ₃
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[12/3]	[4]

يُحيط بالمجسم ذي الـ 16 خلية في الفضاء ثلاثي الأبعاد غلاف مكعب ، وذلك من خلال إسقاطه المتوازي على أساس الخلية أولاً . تُسقط أقرب وأبعد الخلايا على رباعيات أوجه محصورة داخل المكعب، بما يتوافق مع الطريقتين الممكنتين لرسم رباعي أوجه منتظم داخل المكعب. يحيط بكل رباعي أوجه من هذه الرباعيات أربعة أحجام رباعية أوجه أخرى (غير منتظمة) تمثل صور الخلايا الرباعية الأوجه الأربع المحيطة بها، لتملأ الفراغ بين رباعي الأوجه المحصور والمكعب. أما الخلايا الست المتبقية فتُسقط على الأوجه المربعة للمكعب. في هذا الإسقاط للمجسم ذي الـ 16 خلية، تقع جميع حوافه على أوجه الغلاف المكعب.

يُظهر الإسقاط المنظوري ذو الخلايا الست عشرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد غلافًا رباعي الأوجه ثلاثي الأضلاع . ويُشابه تخطيط الخلايا داخل هذا الغلاف تخطيط الإسقاط المتوازي ذي الخلايا الست عشرة.

يُحيط بالمجسم ذي الـ 16 خلية في الفضاء ثلاثي الأبعاد غلاف ثماني الأوجه ، وذلك من خلال إسقاطه المتوازي من الرأس أولاً . ويمكن تقسيم هذا الثماني الأوجه إلى 8 مجسمات رباعية الأوجه، وذلك بالقطع على طول مستويات الإحداثيات. كل مجسم من هذه المجسمات هو صورة لزوج من الخلايا في المجسم ذي الـ 16 خلية. أقرب رأس من رؤوس المجسم ذي الـ 16 خلية إلى المشاهد يُسقط على مركز الثماني الأوجه.

وأخيرًا، يحتوي الإسقاط المتوازي ذو الحافة الأولى على غلاف ثماني الأوجه مختصر، ويحتوي الإسقاط المتوازي ذو الوجه الأول على غلاف هرمي سداسي ثنائي .

مخطط فين ذو الأربع كرات

إن الإسقاط ثلاثي الأبعاد للخلايا الـ 16 والكرات المتقاطعة الأربع ( مخطط فين لأربع مجموعات) متكافئ طوبولوجيًا .

الخلايا الـ 16 مرتبة حسب عدد الكرات المتقاطعة (من 0 إلى 4) ( انظر جميع الخلايا والوجوه k )

مخطط فين رباعي الكرات وإسقاط ذو 16 خلية في نفس الاتجاه

إنشاءات التناظر

يُرمز إلى مجموعة التناظر للخلية ذات الـ 16 خلية بالرمز B ₄ .

يوجد شكل ذو تناظر أقل للخلية السداسية عشرية ، يُسمى المكعب شبه المنفصل أو المكعب الرباعي النصفي ، وهو أحد أفراد عائلة المكعب الفائق النصفي ، ويُمثل بالرمز h{4,3,3}، ومخططات كوكسيتر . ويمكن رسمه بلونين مع خلايا رباعية الأوجه متناوبة .

ويمكن رؤيته أيضاً في شكل تناظر أقل على هيئة منشور رباعي الأوجه مضاد ، مُكوَّن من هرمين رباعيي الأوجه متوازيين في تكوينات ثنائية، متصلين بثمانية هرمين رباعيي الأوجه (ربما مُستطيلين). ويُمثَّل بالرمز s{2,4,3}، ومخطط كوكسيتر: .

ويمكن أيضًا اعتباره شكلًا مستقيمًا 4- snub ، ممثلًا بـ s{2 ^1,1,1 }، ومخطط كوكسيتر: أو .

مع بناء المكعب الفائق على شكل منشور مزدوج 4-4 ، يمكن اعتبار الخلية ذات الـ 16 خلية بمثابة نظيرها، وهو هرم مزدوج 4-4 .

اسم	مخطط كوكسيتر	رمز شلافلي	تدوين كوكسيتر	طلب
خلية عادية مكونة من 16 خلية		{3,3,4}	[3,3,4]	384
ديميتسيراكت شبه منتظم 16 خلية	= =	h{4,3,3} {3,3 ^1,1 }	[3 ^1,1,1 ] = [1 ⁺ ,4,3,3]	192
منشور مزدوج متناوب 4-4		2s{4,2,4}	[[4,2 ⁺ ,4]]	64
منشور رباعي الأوجه مضاد للمنشور		s{2,4,3}	[2 ⁺ ,4,3]	48
منشور مربع متناوب		sr{2,2,4}	[(2,2) ⁺ ,4]	16
سنوب 4- أورثوبوت	=	s{2 ^1,1,1 }	[2,2,2] ⁺ = [2 ^1,1,1 ] ⁺	8
4- فيوسيل
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} أو 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2 ⁺ ,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{ }+{ }+{ }+{ } أو 4{ }	[2,2,2]	16

المضلعات المعقدة ذات الصلة

مضلع موبيوس -كانتور هو مضلع مركب منتظم ₃ {3} ₃ ، ، في $\mathbb {C} ^{2}$ يشترك في نفس الرؤوس مع الخلية ذات الـ 16 خلية. يحتوي على 8 رؤوس، و8 حواف ثلاثية. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

المضلع المركب المنتظم، ₂ {4} ₄ ، ، في $\mathbb {C} ^{2}$ لها تمثيل حقيقي كخلية من 16 عنصرًا في فضاء رباعي الأبعاد بـ 8 رؤوس و16 حافة ثنائية، أي نصف حواف الخلية ذات الـ 16 عنصرًا فقط. تناظرها هو ₄ [4] ₂ ، من الرتبة 32. ^{[ 22 ]}

الإسقاطات المتعامدة لمضلع ₂ {4} ₄
في المستوى B ₄Coxeter ، ₂ {4} ₄ له 8 رؤوس و 16 حافة ثنائية ، موضح هنا بـ 4 مجموعات من الألوان.	يتم تجميع الرؤوس الثمانية في مجموعتين (موضحة باللون الأحمر والأزرق)، كل منهما متصلة فقط بالحواف بالرؤوس في المجموعة الأخرى، مما يجعل هذا المضلع رسمًا بيانيًا ثنائي الأجزاء كاملًا ، K _4,4 . ^{[ 23 ]}

الأشكال متعددة الأوجه المنتظمة ذات الصلة وخلايا النحل

يُعدّ كلٌّ من الشكل ذي الـ 16 خلية المنتظمة والمكعب الرباعي أعضاءً منتظمين في مجموعة من 15 شكلًا رباعيًا منتظمًا لها نفس التناظر _B4 . كما يُعدّ الشكل ذو الـ 16 خلية أحد الأشكال الرباعية المنتظمة ذات التناظر _D4 .

ترتبط الخلية المكونة من 16 خلية أيضًا بقرص العسل المكعب ، وقرص العسل ذو الاثني عشر وجهًا من الدرجة الرابعة ، وقرص العسل ذو التبليط السداسي من الدرجة الرابعة، وكلها تحتوي على أشكال رؤوس ثمانية الأوجه .

ينتمي هذا الشكل إلى متتالية الأشكال الرباعية {3,3,p} التي تحتوي على خلايا رباعية الأوجه. تتضمن هذه المتتالية ثلاثة أشكال رباعية منتظمة من الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، وهي: {3,3,3} ذات الخمس خلايا ، و{3,3,4} ذات الست عشرة خلية، و {3,3,5} ذات الستمائة خلية ، بالإضافة إلى الشكل الرباعي الأوجه من الرتبة السادسة {3,3,6} في الفضاء الزائدي.

إنها الأولى في سلسلة من متعددات الوجوه شبه المنتظمة وخلايا النحل h{4,p,q}، وسلسلة نصف التناظر ، للأشكال المنتظمة {p,3,4}.

انظر أيضاً

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

ملحوظات

يمكن ترتيب متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل متعدد وجوه أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى أكبر^[⁵^] ضمن نفس نصف القطر. يُعدّ متعدد الوجوه رباعي الخلايا (4-simplex) أصغر الحالات، بينما يُعدّ متعدد الوجوه ذو 120 خلية أكبرها. ويتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب. يوفر هذا نظام تسمية عددية بديلًا لمتعددات الوجوه المنتظمة، حيث يكون متعدد الوجوه ذو 16 خلية هو متعدد الوجوه ذو 8 نقاط: وهو الثاني في التسلسل التصاعدي الذي يمتد من متعدد الوجوه ذو 5 نقاط إلى متعدد الوجوه ذو 600 نقطة.
↑ يوجد خليتان فقط من 16 خلية محفورتان في الخلية الثمانية (المكعب الفائق)، وثلاث خلايا فقط من 16 خلية محفورة في الخلية ذات 24 خلية، و75 خلية متميزة من 16 خلية (ولكن 15 خلية منفصلة فقط من 16 خلية) محفورة في الخلية ذات 600 خلية، و675 خلية متميزة من 16 خلية (ولكن 75 خلية منفصلة فقط من 16 خلية) محفورة في الخلية ذات 120 خلية.
في الفضاء رباعي الأبعاد ، يمكننا إنشاء أربعة محاور متعامدة وستة مستويات متعامدة تمر بنقطة واحدة. وبدون فقدان للعمومية، يمكننا اعتبار هذه المحاور والمستويات المركزية المتعامدة لنظام إحداثيات ديكارتية (w, x , y, z). في الفضاء رباعي الأبعاد ، لدينا نفس المستويات المتعامدة الثلاثة (xy, xz, yz) الموجودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بالإضافة إلى ثلاثة مستويات أخرى (wx, wy, wz). يشترك كل مستوى من المستويات المتعامدة الستة في محور مع أربعة من المستويات الأخرى، ويكون مقابلًا أو متعامدًا تمامًا مع مستوى واحد فقط من المستويات الأخرى: المستوى الوحيد الذي لا يشترك معه في محور. وبالتالي، توجد ثلاثة أزواج من المستويات المتعامدة تمامًا: يتقاطع xy و wz عند نقطة الأصل فقط؛ ويتقاطع xz و wy عند نقطة الأصل فقط؛ ويتقاطع yz و wx عند نقطة الأصل فقط.
١ ٢ ٣ كل رأس في الخلية السداسية عشرية هو قمة هرم ثماني الأوجه ، وقاعدته هي ثماني الأوجه المتكون من الرؤوس الستة الأخرى المتصلة بالقمة بواسطة حواف. يمكن تفكيك الخلية السداسية عشرية (بأربع طرق مختلفة) إلى هرمين ثمانيي الأوجه عن طريق قطعها إلى نصفين من خلال أحد مستوياتها المركزية الثمانية الأوجه الأربعة. عند النظر إليها من داخل الحجم ثلاثي الأبعاد المنحني لسطحها الحدودي المكون من 16 رباعي أوجه مترابطة، يكون شكل رأس الخلية السداسية عشرية ثماني الأوجه. في أربعة أبعاد، يكون ثماني الأوجه الرأسي في الواقع هرمًا ثماني الأوجه. لا تقع قمة الهرم الثماني الأوجه (النقطة التي تلتقي عندها الحواف الست) في مركز المجسم الثماني الأوجه، بل هي مُزاحة شعاعيًا نحو الخارج في البُعد الرابع، خارج المستوى الفائق المحدد برؤوس المجسم الثماني الأوجه الستة. تُشكل الحواف الست المحيطة بالقمة تقاطعًا ثلاثي المحاور متعامدًا في ثلاثة أبعاد (وفي الإسقاط ثلاثي الأبعاد للهرم الرباعي )، لكن الخطوط الثلاثة تنحني بزاوية 90 درجة في البُعد الرابع عند نقطة التقائها في القمة.
↑ السطح الحدودي لخلية ذات 16 وحدة هو فضاء ثلاثي الأبعاد محدود يتكون من 16 رباعي أوجه مرتبة وجهاً لوجه (أربعة حول واحد). إنه فضاء مغلق، شديد الانحناء (غير إقليدي)، يمكننا التحرك داخله مباشرةً عبر 4 رباعيات أوجه في أي اتجاه والعودة إلى رباعي الأوجه الذي بدأنا منه. يمكننا تخيل التحرك داخل هذا الفضاء الشبيه بملعب رباعي الأوجه ، والتسلق من رباعي أوجه إلى آخر على دعاماته الـ 24 (حوافه)، وعدم القدرة على الخروج (أو الرؤية خارج) رباعيات الأوجه الـ 16 مهما كان الاتجاه الذي نسلكه (أو ننظر إليه). نحن دائماً على (أو داخل) سطح الخلية ذات الـ 16 وحدة، وليس داخل الخلية نفسها (ولا خارجها). نلاحظ أن الحواف الستة المحيطة بكل رأس تشع بشكل متناظر في ثلاثة أبعاد وتشكل صليبًا متعامدًا ثلاثي المحاور، تمامًا كما تفعل أنصاف أقطار ثماني السطوح (لذا نقول إن شكل رأس الخلية ذات الـ 16 خلية هو ثماني السطوح).^{[ د ]}
1 2 3 4 المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا لا تتقاطع وتدور بشكل مستقل لأن الدوائر العظمى التي تقع عليها رؤوسها متوازية وفقًا لمبادئ كليفورد .^{[ j ]} المسافة بينها √2 عند كل زوج من الرؤوس الأقرب (وفي الخلية السداسية عشر، جميع الأزواج الأقرب باستثناء الأزواج المتقابلة). لا يمكن للمربعين أن يتقاطعا على الإطلاق لأنهما يقعان في مستويين يتقاطعان في نقطة واحدة فقط: مركز الخلية السداسية عشر.^{[ c ]} ولأنهما متعامدان ويشتركان في مركز واحد، فمن الواضح أن المربعين ليسا متوازيين ومنفصلين بالطريقة المعتادة للمربعات المتوازية في ثلاثة أبعاد؛ بل هما متصلان مثل حلقات مربعة متجاورة في سلسلة، يمر كل منهما عبر الآخر دون أن يتقاطعا في أي نقطة، مشكلين وصلة هوبف .
١ ٢ تلتقي ثلاثة مربعات كبيرة عند كل رأس (وعند الرأس المقابل له) في الخلية السداسية عشرية. لكل مربع كبير مربع كبير آخر متعامد تمامًا معه. بالتالي، توجد ثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تمامًا مع كل رأس ورأسه المقابل (كل محور). تشكل هذه المربعات ثماني السطوح (مستوى مركزي). كل خط محور في الخلية السداسية عشرية متعامد تمامًا مع مستوى مركزي لثماني السطوح، كما أن كل مستوى مربع كبير متعامد تمامًا مع مستوى مربع كبير آخر.^{[ ج ]} يتقاطع المحور وثماني السطوح في نقطة واحدة فقط (مركز الخلية السداسية عشرية)، كما يتقاطع كل زوج من المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا في نقطة واحدة فقط (مركز الخلية السداسية عشرية). كل ثماني سطوح مركزي هو أيضًا شكل رأس ثماني السطوح لرأسين من الرؤوس الثمانية: الرأسين الواقعين على محوره المتعامد تمامًا.
↑ تشكل المربعات الكبيرة الثلاثة غير المتعامدة تمامًا ، والتي تتقاطع عند كل رأس من رؤوس الخلية السداسية عشرية، شكل الرأس الثماني السطوح .^{[ د ]} أي اثنين منها، بالإضافة إلى المربع المتعامد تمامًا للمربع الثالث، يشكلان أيضًا ثماني السطوح: مستوى فائق مركزي ثماني السطوح.^{[ ز ]} في الخلية السداسية عشرية، يمثل كل شكل رأس ثماني السطوح أيضًا مستوى فائق مركزي ثماني السطوح.
↑ كل رأس من رؤوس المربع الكبير يبعد مسافة √2 عن رأسين آخرين من رؤوس المربع، ومسافة √4 عن الرأس المقابل له. الرؤوس الأربعة الأخرى للمربع ذي الـ 16 خلية (والتي تبعد أيضًا مسافة √2 ) هي رؤوس المربع المتعامد تمامًا مع المربع.^{[ و ]} كل رأس من رؤوس المربع ذي الـ 16 خلية هو رأس لثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تتقاطع عنده. لكل منها مربع متعامد تمامًا مختلف . وبالتالي، توجد ثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تمامًا مع كل رأس: مربعات لا ينتمي إليها الرأس.^{[ ح ]}
الخطوط المتوازية لكليفورد هي خطوط منحنية غير متقاطعة، وتكون متوازية بمعنى أن المسافة العمودية (الأقصر) بينها متساوية عند كل نقطة.^[⁷^] يُعدّ الحلزون المزدوج مثالًا على التوازي لكليفورد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد العادي. في الفضاء رباعي الأبعاد، تظهر الخطوط المتوازية لكليفورد على شكل دوائر عظمى جيوديسية على الكرة ثلاثية الأبعاد .^[⁸^] في الفضاء ذي 16 خلية، تكون رؤوس المربعات المتعامدة تمامًا على شكل دوائر عظمى متباعدة بمقدار √2 ، لذا تُعتبر هذه المربعات مضلعات متوازية لكليفورد. تجدر الإشارة إلى أن رؤوس المربعات العظمى فقط (النقاط الواقعة على الدائرة العظمى) هي التي تتباعد بمقدار √2 ؛ أما النقاط الواقعة على حواف المربعات (على أوتار الدائرة) فهي أقرب إلى بعضها.
في الدوران متساوي الميل ، تُزاح جميع المستويات الستة المتعامدة في اتجاهين متعامدين في آنٍ واحد: تدور بنفس الزاوية، وفي الوقت نفسه تميل جانبيًا بنفس الزاوية. الإزاحة متساوية الميل (المعروفة أيضًا بإزاحة كليفورد ) قطرية رباعية الأبعاد. تُزاح النقاط مسافة متساوية في أربعة اتجاهات متعامدة في آنٍ واحد، وتُزاح مسافة فيثاغورسية كلية تساوي الجذر التربيعي لأربعة أضعاف مربع تلك المسافة. على سبيل المثال، عندما تدور خلية ذات نصف قطر وحدة واحدة مكونة من 16 خلية بزاوية متساوية الميل 90 درجة في مستوى مربع كبير ثابت، فإنها تدور أيضًا 90 درجة في المستوى المربع الكبير الثابت المتعامد تمامًا.^{[ ج ]} يميل المستوى المربع الكبير أيضًا جانبيًا 90 درجة ليشغل مستواه المتعامد تمامًا. (بسبب التناظر المتساوي الميل، يدور كل مربع كبير 90 درجة ويميل جانبياً 90 درجة إلى مستواه المتعامد تماماً.) يتم إزاحة كل رأس (في كل مربع كبير) مسافة √ 2 /2 في كل اتجاه من الاتجاهات المتعامدة الأربعة، وهي مسافة إجمالية قدرها √ 2 ، إلى رأس في مربعه الكبير المتعامد تماماً.
↑ المخطط المتعامد هو مُجَسَّم بسيط غير منتظم حلزوني ذو أوجه مثلثية قائمة ، وهو خاص بمتعدد السطوح إذا كان يملأ ذلك المتعدد السطوح تمامًا بانعكاساته على أوجهه ( جدرانه المرآوية ). يمكن تقسيم أي متعدد سطوح منتظم شعاعيًا إلى حالات من مخططه المتعامد المميز المحيط بمركزه. يتميز المخطط المتعامد المميز بالشكل الموصوف بمخطط كوكسيتر-دينكين نفسه لمتعدد السطوح المنتظم بدون حلقة النقاط المولدة .
↑ يمتلكمتعدد السطوح المنتظم ذو البعد k مخططًا متعامدًا مميزًا من الرتبة k ، بالإضافة إلى مخطط متعامد مميز من الرتبة ( k -1). يمتلك متعدد السطوح المنتظم ذو البعد 4 مخططًا متعامدًا مميزًا من الرتبة 5 (مخطط متعامد من الرتبة 4) يُقسّم إليه بواسطة مستويات التناظر الفائقة (ثلاثية الأبعاد)، بالإضافة إلى هرم رباعي الأوجه مميز (مخطط متعامد من الرتبة 3) يُقسّم سطحه إلى مستويات التناظر (ثنائية الأبعاد) لخلاياه. بعد تقسيم سطحه (ثلاثي الأبعاد) إلى أهرامات رباعية الأوجه مميزة تحيط بمركز كل خلية، يمكن تقسيم داخله (رباعي الأبعاد) إلى خلايا مميزة من الرتبة 5 بإضافة أنصاف أقطار تصل رؤوس الأهرامات الرباعية الأوجه المميزة للسطح بمركز متعدد السطوح ذي البعد 4.^{[ 11 ]} ستكون الأهرامات الرباعية الأوجه والمثلثات الداخلية المتكونة بهذه الطريقة أيضًا مخططات متعامدة.
يستخدم كوكسيتر ( 1973 ) الحرف اليوناني فاي (φ) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 9، φ، 3 للمضلع المنتظم. ولأن فاي (φ) يُستخدم عادةً لتمثيل النسبة الذهبية الثابتة ≈ 1.618، والتي يستخدم كوكسيتر لها تاو (τ)، فإننا نعكس اصطلاحات كوكسيتر، ونستخدم تاو (τ) لتمثيل الزاوية المميزة.
↑ الحواف الأربعة لكل مخطط رباعي متعامد، والتي تلتقي في مركز متعدد السطوح الرباعي المنتظم، غير متساوية في الطول، لأنها تمثل أنصاف الأقطار المميزة لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم: نصف قطر الرأس، ونصف قطر مركز الحافة، ونصف قطر مركز الوجه، ونصف قطر مركز الخلية. تتضمن رؤوس المخطط الرباعي المتعامد الخمسة دائمًا رأسًا واحدًا لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز حافة واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز وجه واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز خلية واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز متعدد السطوح الرباعي المنتظم. تشكل هذه الرؤوس الخمسة (بهذا الترتيب) مسارًا على طول أربعة حواف متعامدة (يشكل ثلاث زوايا قائمة)، وهي السمة المميزة للمخطط الرباعي المتعامد. يحتوي المخطط الرباعي المتعامد على خمسة أوجه مختلفة من المخطط الثلاثي المتعامد.
في المجسم ذي الـ 16 خلية، يمثل كل رأسين متقابلين رأسين متقابلين لخليتين رباعيتي الأوجه مرتبطتين. ويرتبط هذان الرأسان المتقابلان بثلاثة مسارات مختلفة على ^شكل^{دائرة عظمى ثنائية الحواف على} طول حواف الخلايا رباعية الأوجه، وبمسارات ثلاثية الحواف متنوعة، وبمسارات رباعية الحواف على أسطح التساوي ومضلعات بيتري^.
١ ٢ ٣ المنحنى المتساوي هو دائرة من نوع خاص تُقابل زوجًا من دوائر فيلارسو المتصلة في حلقة موبيوس . ينحني هذا المنحنى عبر أربعة أبعاد بدلًا من بُعدين فقط. جميع الدوائر العادية لها محيط يساوي ٢π، لكن المنحنى المتساوي للخلية ذات الـ ١٦ خلية هو دائرة محيطها يساوي ٤π (على ثمانية أوتار بزاوية ٩٠ درجة). المنحنى المتساوي هو دائرة لا تقع في مستوى، ولكن لتجنب الالتباس، نشير إليه دائمًا باسم المنحنى المتساوي ونحتفظ بمصطلح الدائرة للدائرة العادية في المستوى.
يمكن بناء الخلية السداسية عشر من حلقتين منفصلتين من ثماني خلايا بثلاث طرق مختلفة؛ إذ تحتوي على ثلاثة اتجاهات لكل زوج من الحلقات. يحتوي كل اتجاه على زوج مميز من الدورانات متساوية الميل (يسار-يمين)، بالإضافة إلى زوج من المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا (ألياف كليفورد المتوازية)، لذا فإن كل اتجاه يمثل تليفًا منفصلاً للخلية السداسية عشر. تحتوي كل حلقة من ثماني خلايا على ثلاثة أشكال ثمانية محورية لها اتجاهات مختلفة (تتبادل الأدوار) في التليفات المنفصلة الثلاثة وستة دورانات متساوية الميل مميزة (ثلاثة يسار وثلاثة يمين) عبر حلقات الخلايا. يمكن رؤية ثلاثة أشكال ثمانية (بألوان مختلفة) في رسم توضيحي لحلقة خلية واحدة، واحد منها في دور مضلع بيتري، وواحد كمنحنى متساوي الميل أيمن، وواحد كمنحنى متساوي الميل أيسر. نظرًا لأن كل شكل ثماني يؤدي ثلاثة أدوار، فهناك ستة منحنيات متساوية الميل مميزة بالضبط في الخلية السداسية عشر، وليس ثمانية عشر.
↑ جميع المناظر الخمسة هي نفس الإسقاط المتعامد للخلية السداسية عشر على نفس المستوى (مقطع عرضي دائري للأسطوانة الحلقية ذات الثماني خلايا)، بالنظر على طول المحور المركزي للأسطوانة الحلقية المقطوعة الموضحة أعلاه، من أحد طرفي الأسطوانة. الاختلاف الوحيد هو أي منحواف √2 وأوتار √4 تم حذفها للتركيز . تبدو ألوان حواف √2 المختلفة وكأنها بأطوال مختلفة لأنها مائلة بالنسبة للمشاهد بزوايا مختلفة. يتم ترقيم الرؤوس من 1 (أعلى) إلى 8 بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة.
1 2 لكل منحنى متساوي الانحدار ثمانية أوتار متصلة بطول √2 لمسار حافة الشكل الثماني_{8/3} ، بالإضافة إلى أربعة أوتار غير متصلة بقطر √4 تربط كل رأس رابع على الشكل الثماني ، لكنها لا تتصل ببعضها. كما أن للرؤوس المتقابلة مسارًا ملتويًا متصلًا من أربعة حواف متعامدة بطول √2 تربطها. بين الرؤوس المتقابلة، ينحني المنحنى المتساوي الانحدار بسلاسة على شكل حلزون فوقأوتار مسار حافته الأربعة بطول √2، ويتقاطع مع الرؤوس الثلاثة الواقعة بينها. كل حافة بطول √2 هي حافة مربع كبير، متعامدة تمامًا مع مربع كبير آخر، حيث يكون الوتر بطول √4 قطرًا.
↑ باستثناء الخلايا الخمس والست عشرة، فإن زوجًا من الدوائر متساوية الميل اليسرى واليمنى له رؤوس منفصلة: الحلزونات متساوية الميل اليسرى واليمنى عبارة عن خطوط متوازية غير متقاطعة ولكنها تدور في اتجاهين متعاكسين، مما يشكل نوعًا خاصًا من الحلزون المزدوج الذي لا يمكن أن يحدث في ثلاثة أبعاد (حيث يجب أن تتقاطع الحلزونات التي تدور في اتجاهين متعاكسين ولها نفس نصف القطر).
↑ في المضلع ذي الـ 16 خلية، يمر كل منحنى متساوي الانحدار عبر جميع الرؤوس الثمانية: وهو عبارة عن تليف كامل من مربعين كبيرين متعامدين تمامًا. يُعد المضلع ذو الـ 5 خلايا والمضلع ذو الـ 16 خلية المضلعين المنتظمين الوحيدين من فئة 4-مضلعات حيث يحتوي كل تليف منفصل على ليف متساوي الانحدار واحد فقط.^{[ u ]}
↑ يتقاطع المنحنيان المتساويان الأيسر والأيمن عند كل رأس. وهما عبارة عن متواليتين مختلفتين لنفس مجموعة الرؤوس الثمانية. بالنسبة لمجموعة أزواج الرؤوس الأربعة التي تفصل بينها مسافة √2 فقط ، يمكن اعتبارهما متوازيين وفقًا لمعيار كليفورد. أما بالنسبة لمجموعة أزواج الرؤوس الأربعة التي تفصل بينها مسافة √4 فقط ، فيمكن اعتبارهما متعامدين تمامًا.

الاقتباسات

↑ كوكسيتر 1973 ، ص 141، § 7-x. ملاحظات تاريخية.
↑ إن دبليو جونسون : الهندسات والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المنتهية ، 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية ، ص 249
↑ ماتيلا غيكا، هندسة الفن والحياة (1977)، ص 68
↑ كوكسيتر 1973 ، الصفحات 120-121، § 7.2. انظر الشكل التوضيحي 7.2 ب .
↑ كوكسيتر ١٩٧٣ ، الصفحات ٢٩٢-٢٩٣، الجدول الأول (٢): المضلعات المنتظمة الستة عشر { p,q,r } في أربعة أبعاد؛ جدول قيّم يوفر جميع المقاييس العشرين لكل مضلع رباعي الأبعاد بوحدات طول الحافة. يجب تحويلها جبريًا لمقارنة المضلعات ذات نصف القطر الواحد.
↑ كيم وروت 2016 ، ص. 6، § 5. الدورانات رباعية الأبعاد.
↑ تيريل وسيمبل 1971 ، ص 5-6، § 3. تعريف كليفورد الأصلي للتوازي.
↑ كيم وروت 2016 ، ص 7-10، § 6. الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 121، § 7.21. انظر الشكل التوضيحي 7.2 ب : " $\beta _{4}$ هو هرم ثنائي رباعي الأبعاد قائم على $\beta _{3}$ (مع وجود قمتين في اتجاهين متعاكسين على طول البعد الرابع).
↑ تيريل وسيمبل 1971 .
↑ Coxeter 1973 ، ص 130 ، § 7.6 ؛ "التقسيم الفرعي البسيط".
↑ Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ "16 خلية ، 𝛽₄ ".
↑ Coxeter 1973 ، ص 139 ، § 7.9 المعقد المميز.
↑ Coxeter 1973 ، ص 290 ، الجدول الأول (ii)؛ "الزوايا ثنائية السطوح".
↑ Coxeter 1970 ، ص 45 ، الجدول 2: خلايا النحل العاكسة ومجموعاتها ؛ خلية النحل [3،3،4]₄ هي تبليط للكرة 3 بواسطة حلقتين من 8 خلايا رباعية الأوجه.
↑ بانشوف 2013 .
↑ Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ 24 خلية h ₁ .
↑ Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ 24 خلية h ₂ .
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 293.
↑ كوكسيتر 1991 ، ص 30، 47.
↑ كوكسيتر وشيبارد 1992 .
↑ كوكسيتر 1991 ، ص 108.
↑ كوكسيتر 1991 ، ص 114.

مراجع

تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات، ماكميلان، 1900
HSM Coxeter :
- كوكسيتر، إتش إس إم (1973). متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
- كوكسيتر، إتش إس إم (1991). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
- كتابات مختارة من تأليف إتش إس إم كوكسيتر بعنوان "المناظير: كتابات مختارة" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  - (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  - (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- كوكسيتر، إتش إس إم ؛ شيبارد، جي سي (1992). "صور لعائلة من متعددات الوجوه المعقدة". ليوناردو . 25 ( 3/4): 239-244 . doi : 10.2307/1575843 . JSTOR 1575843. S2CID 124245340 .
- كوكسيتر، إتش إس إم (1970)، "خلايا النحل الملتوية"، سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات لمجلس مؤتمرات العلوم الرياضية ، 4 ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية
جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26، صفحة 409: أنصاف المكعبات: 1 _ن1 )
نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
- إن دبليو جونسون: نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، دكتوراه (1966)
كيم، هيونا؛ روت، غونتر (2016). "اختبار التطابق لمجموعات النقاط في 4 أبعاد". arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
تيريل، جيه إيه؛ سيمبل، جيه جي (1971). التوازي الكليفوردي المعمم . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-08042-8.
بانشوف، توماس ف. (2013). "تحليل الطارة للمضلعات المنتظمة في الفضاء الرباعي". في: سينشال، مارجوري (محررة). تشكيل الفضاء . سبرينغر نيويورك. ص 257-266 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "الخلية ذات 16 خلية" . عالم الرياضيات .
Der 16-Zeller (16 خلية) متعددات الأسطح المنتظمة لماركو مولر في R ⁴ (الألمانية)
وصف ورسومات تخطيطية لإسقاطات الخلايا الست عشرة. مؤرشف بتاريخ 7 نوفمبر 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
كليتزينغ، ريتشارد. "مضلعات منتظمة رباعية الأبعاد (مضلعات متعددة الأوجه) x3o3o4o – سداسي" .

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-6] يمكن ترتيب متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل متعدد وجوه أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى أكبر^[⁵^] ضمن نفس نصف القطر. يُعدّ متعدد الوجوه رباعي الخلايا (4-simplex) أصغر الحالات، بينما يُعدّ متعدد الوجوه ذو 120 خلية أكبرها. ويتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب. يوفر هذا نظام تسمية عددية بديلًا لمتعددات الوجوه المنتظمة، حيث يكون متعدد الوجوه ذو 16 خلية هو متعدد الوجوه ذو 8 نقاط: وهو الثاني في التسلسل التصاعدي الذي يمتد من متعدد الوجوه ذو 5 نقاط إلى متعدد الوجوه ذو 600 نقطة.

[7] يوجد خليتان فقط من 16 خلية محفورتان في الخلية الثمانية (المكعب الفائق)، وثلاث خلايا فقط من 16 خلية محفورة في الخلية ذات 24 خلية، و75 خلية متميزة من 16 خلية (ولكن 15 خلية منفصلة فقط من 16 خلية) محفورة في الخلية ذات 600 خلية، و675 خلية متميزة من 16 خلية (ولكن 75 خلية منفصلة فقط من 16 خلية) محفورة في الخلية ذات 120 خلية.

[six_orthogonal_planes_of_the_Cartesian_basis-8] في الفضاء رباعي الأبعاد ، يمكننا إنشاء أربعة محاور متعامدة وستة مستويات متعامدة تمر بنقطة واحدة. وبدون فقدان للعمومية، يمكننا اعتبار هذه المحاور والمستويات المركزية المتعامدة لنظام إحداثيات ديكارتية (w, x , y, z). في الفضاء رباعي الأبعاد ، لدينا نفس المستويات المتعامدة الثلاثة (xy, xz, yz) الموجودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بالإضافة إلى ثلاثة مستويات أخرى (wx, wy, wz). يشترك كل مستوى من المستويات المتعامدة الستة في محور مع أربعة من المستويات الأخرى، ويكون مقابلًا أو متعامدًا تمامًا مع مستوى واحد فقط من المستويات الأخرى: المستوى الوحيد الذي لا يشترك معه في محور. وبالتالي، توجد ثلاثة أزواج من المستويات المتعامدة تمامًا: يتقاطع xy و wz عند نقطة الأصل فقط؛ ويتقاطع xz و wy عند نقطة الأصل فقط؛ ويتقاطع yz و wx عند نقطة الأصل فقط.

[octahedral_pyramid-9] ١ ٢ ٣ كل رأس في الخلية السداسية عشرية هو قمة هرم ثماني الأوجه ، وقاعدته هي ثماني الأوجه المتكون من الرؤوس الستة الأخرى المتصلة بالقمة بواسطة حواف. يمكن تفكيك الخلية السداسية عشرية (بأربع طرق مختلفة) إلى هرمين ثمانيي الأوجه عن طريق قطعها إلى نصفين من خلال أحد مستوياتها المركزية الثمانية الأوجه الأربعة. عند النظر إليها من داخل الحجم ثلاثي الأبعاد المنحني لسطحها الحدودي المكون من 16 رباعي أوجه مترابطة، يكون شكل رأس الخلية السداسية عشرية ثماني الأوجه. في أربعة أبعاد، يكون ثماني الأوجه الرأسي في الواقع هرمًا ثماني الأوجه. لا تقع قمة الهرم الثماني الأوجه (النقطة التي تلتقي عندها الحواف الست) في مركز المجسم الثماني الأوجه، بل هي مُزاحة شعاعيًا نحو الخارج في البُعد الرابع، خارج المستوى الفائق المحدد برؤوس المجسم الثماني الأوجه الستة. تُشكل الحواف الست المحيطة بالقمة تقاطعًا ثلاثي المحاور متعامدًا في ثلاثة أبعاد (وفي الإسقاط ثلاثي الأبعاد للهرم الرباعي )، لكن الخطوط الثلاثة تنحني بزاوية 90 درجة في البُعد الرابع عند نقطة التقائها في القمة.

[10] السطح الحدودي لخلية ذات 16 وحدة هو فضاء ثلاثي الأبعاد محدود يتكون من 16 رباعي أوجه مرتبة وجهاً لوجه (أربعة حول واحد). إنه فضاء مغلق، شديد الانحناء (غير إقليدي)، يمكننا التحرك داخله مباشرةً عبر 4 رباعيات أوجه في أي اتجاه والعودة إلى رباعي الأوجه الذي بدأنا منه. يمكننا تخيل التحرك داخل هذا الفضاء الشبيه بملعب رباعي الأوجه ، والتسلق من رباعي أوجه إلى آخر على دعاماته الـ 24 (حوافه)، وعدم القدرة على الخروج (أو الرؤية خارج) رباعيات الأوجه الـ 16 مهما كان الاتجاه الذي نسلكه (أو ننظر إليه). نحن دائماً على (أو داخل) سطح الخلية ذات الـ 16 وحدة، وليس داخل الخلية نفسها (ولا خارجها). نلاحظ أن الحواف الستة المحيطة بكل رأس تشع بشكل متناظر في ثلاثة أبعاد وتشكل صليبًا متعامدًا ثلاثي المحاور، تمامًا كما تفعل أنصاف أقطار ثماني السطوح (لذا نقول إن شكل رأس الخلية ذات الـ 16 خلية هو ثماني السطوح).^{[ د ]}

[Clifford_parallel_great_squares-12] 1 2 3 4 المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا لا تتقاطع وتدور بشكل مستقل لأن الدوائر العظمى التي تقع عليها رؤوسها متوازية وفقًا لمبادئ كليفورد .^{[ j ]} المسافة بينها √2 عند كل زوج من الرؤوس الأقرب (وفي الخلية السداسية عشر، جميع الأزواج الأقرب باستثناء الأزواج المتقابلة). لا يمكن للمربعين أن يتقاطعا على الإطلاق لأنهما يقعان في مستويين يتقاطعان في نقطة واحدة فقط: مركز الخلية السداسية عشر.^{[ c ]} ولأنهما متعامدان ويشتركان في مركز واحد، فمن الواضح أن المربعين ليسا متوازيين ومنفصلين بالطريقة المعتادة للمربعات المتوازية في ثلاثة أبعاد؛ بل هما متصلان مثل حلقات مربعة متجاورة في سلسلة، يمر كل منهما عبر الآخر دون أن يتقاطعا في أي نقطة، مشكلين وصلة هوبف .

[octahedral_hyperplanes-13] ١ ٢ تلتقي ثلاثة مربعات كبيرة عند كل رأس (وعند الرأس المقابل له) في الخلية السداسية عشرية. لكل مربع كبير مربع كبير آخر متعامد تمامًا معه. بالتالي، توجد ثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تمامًا مع كل رأس ورأسه المقابل (كل محور). تشكل هذه المربعات ثماني السطوح (مستوى مركزي). كل خط محور في الخلية السداسية عشرية متعامد تمامًا مع مستوى مركزي لثماني السطوح، كما أن كل مستوى مربع كبير متعامد تمامًا مع مستوى مربع كبير آخر.^{[ ج ]} يتقاطع المحور وثماني السطوح في نقطة واحدة فقط (مركز الخلية السداسية عشرية)، كما يتقاطع كل زوج من المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا في نقطة واحدة فقط (مركز الخلية السداسية عشرية). كل ثماني سطوح مركزي هو أيضًا شكل رأس ثماني السطوح لرأسين من الرؤوس الثمانية: الرأسين الواقعين على محوره المتعامد تمامًا.

[completely_orthogonal_great_squares-14] تشكل المربعات الكبيرة الثلاثة غير المتعامدة تمامًا ، والتي تتقاطع عند كل رأس من رؤوس الخلية السداسية عشرية، شكل الرأس الثماني السطوح .^{[ د ]} أي اثنين منها، بالإضافة إلى المربع المتعامد تمامًا للمربع الثالث، يشكلان أيضًا ثماني السطوح: مستوى فائق مركزي ثماني السطوح.^{[ ز ]} في الخلية السداسية عشرية، يمثل كل شكل رأس ثماني السطوح أيضًا مستوى فائق مركزي ثماني السطوح.

[vertex_and_central_octahedra-15] كل رأس من رؤوس المربع الكبير يبعد مسافة √2 عن رأسين آخرين من رؤوس المربع، ومسافة √4 عن الرأس المقابل له. الرؤوس الأربعة الأخرى للمربع ذي الـ 16 خلية (والتي تبعد أيضًا مسافة √2 ) هي رؤوس المربع المتعامد تمامًا مع المربع.^{[ و ]} كل رأس من رؤوس المربع ذي الـ 16 خلية هو رأس لثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تتقاطع عنده. لكل منها مربع متعامد تمامًا مختلف . وبالتالي، توجد ثلاثة مربعات كبيرة متعامدة تمامًا مع كل رأس: مربعات لا ينتمي إليها الرأس.^{[ ح ]}

[Clifford_parallels-18] الخطوط المتوازية لكليفورد هي خطوط منحنية غير متقاطعة، وتكون متوازية بمعنى أن المسافة العمودية (الأقصر) بينها متساوية عند كل نقطة.^[⁷^] يُعدّ الحلزون المزدوج مثالًا على التوازي لكليفورد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد العادي. في الفضاء رباعي الأبعاد، تظهر الخطوط المتوازية لكليفورد على شكل دوائر عظمى جيوديسية على الكرة ثلاثية الأبعاد .^[⁸^] في الفضاء ذي 16 خلية، تكون رؤوس المربعات المتعامدة تمامًا على شكل دوائر عظمى متباعدة بمقدار √2 ، لذا تُعتبر هذه المربعات مضلعات متوازية لكليفورد. تجدر الإشارة إلى أن رؤوس المربعات العظمى فقط (النقاط الواقعة على الدائرة العظمى) هي التي تتباعد بمقدار √2 ؛ أما النقاط الواقعة على حواف المربعات (على أوتار الدائرة) فهي أقرب إلى بعضها.

[isoclinic_rotation-19] في الدوران متساوي الميل ، تُزاح جميع المستويات الستة المتعامدة في اتجاهين متعامدين في آنٍ واحد: تدور بنفس الزاوية، وفي الوقت نفسه تميل جانبيًا بنفس الزاوية. الإزاحة متساوية الميل (المعروفة أيضًا بإزاحة كليفورد ) قطرية رباعية الأبعاد. تُزاح النقاط مسافة متساوية في أربعة اتجاهات متعامدة في آنٍ واحد، وتُزاح مسافة فيثاغورسية كلية تساوي الجذر التربيعي لأربعة أضعاف مربع تلك المسافة. على سبيل المثال، عندما تدور خلية ذات نصف قطر وحدة واحدة مكونة من 16 خلية بزاوية متساوية الميل 90 درجة في مستوى مربع كبير ثابت، فإنها تدور أيضًا 90 درجة في المستوى المربع الكبير الثابت المتعامد تمامًا.^{[ ج ]} يميل المستوى المربع الكبير أيضًا جانبيًا 90 درجة ليشغل مستواه المتعامد تمامًا. (بسبب التناظر المتساوي الميل، يدور كل مربع كبير 90 درجة ويميل جانبياً 90 درجة إلى مستواه المتعامد تماماً.) يتم إزاحة كل رأس (في كل مربع كبير) مسافة √ 2 /2 في كل اتجاه من الاتجاهات المتعامدة الأربعة، وهي مسافة إجمالية قدرها √ 2 ، إلى رأس في مربعه الكبير المتعامد تماماً.

[characteristic_orthoscheme-22] المخطط المتعامد هو مُجَسَّم بسيط غير منتظم حلزوني ذو أوجه مثلثية قائمة ، وهو خاص بمتعدد السطوح إذا كان يملأ ذلك المتعدد السطوح تمامًا بانعكاساته على أوجهه ( جدرانه المرآوية ). يمكن تقسيم أي متعدد سطوح منتظم شعاعيًا إلى حالات من مخططه المتعامد المميز المحيط بمركزه. يتميز المخطط المتعامد المميز بالشكل الموصوف بمخطط كوكسيتر-دينكين نفسه لمتعدد السطوح المنتظم بدون حلقة النقاط المولدة .

[24] يمتلكمتعدد السطوح المنتظم ذو البعد k مخططًا متعامدًا مميزًا من الرتبة k ، بالإضافة إلى مخطط متعامد مميز من الرتبة ( k -1). يمتلك متعدد السطوح المنتظم ذو البعد 4 مخططًا متعامدًا مميزًا من الرتبة 5 (مخطط متعامد من الرتبة 4) يُقسّم إليه بواسطة مستويات التناظر الفائقة (ثلاثية الأبعاد)، بالإضافة إلى هرم رباعي الأوجه مميز (مخطط متعامد من الرتبة 3) يُقسّم سطحه إلى مستويات التناظر (ثنائية الأبعاد) لخلاياه. بعد تقسيم سطحه (ثلاثي الأبعاد) إلى أهرامات رباعية الأوجه مميزة تحيط بمركز كل خلية، يمكن تقسيم داخله (رباعي الأبعاد) إلى خلايا مميزة من الرتبة 5 بإضافة أنصاف أقطار تصل رؤوس الأهرامات الرباعية الأوجه المميزة للسطح بمركز متعدد السطوح ذي البعد 4.^{[ 11 ]} ستكون الأهرامات الرباعية الأوجه والمثلثات الداخلية المتكونة بهذه الطريقة أيضًا مخططات متعامدة.

[reversed_greek_symbols-28] يستخدم كوكسيتر ( 1973 ) الحرف اليوناني فاي (φ) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 9، φ، 3 للمضلع المنتظم. ولأن فاي (φ) يُستخدم عادةً لتمثيل النسبة الذهبية الثابتة ≈ 1.618، والتي يستخدم كوكسيتر لها تاو (τ)، فإننا نعكس اصطلاحات كوكسيتر، ونستخدم تاو (τ) لتمثيل الزاوية المميزة.

[characteristic_radii-29] الحواف الأربعة لكل مخطط رباعي متعامد، والتي تلتقي في مركز متعدد السطوح الرباعي المنتظم، غير متساوية في الطول، لأنها تمثل أنصاف الأقطار المميزة لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم: نصف قطر الرأس، ونصف قطر مركز الحافة، ونصف قطر مركز الوجه، ونصف قطر مركز الخلية. تتضمن رؤوس المخطط الرباعي المتعامد الخمسة دائمًا رأسًا واحدًا لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز حافة واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز وجه واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز خلية واحد لمتعدد السطوح الرباعي المنتظم، ومركز متعدد السطوح الرباعي المنتظم. تشكل هذه الرؤوس الخمسة (بهذا الترتيب) مسارًا على طول أربعة حواف متعامدة (يشكل ثلاث زوايا قائمة)، وهي السمة المميزة للمخطط الرباعي المتعامد. يحتوي المخطط الرباعي المتعامد على خمسة أوجه مختلفة من المخطط الثلاثي المتعامد.

[isocline-30] في المجسم ذي الـ 16 خلية، يمثل كل رأسين متقابلين رأسين متقابلين لخليتين رباعيتي الأوجه مرتبطتين. ويرتبط هذان الرأسان المتقابلان بثلاثة مسارات مختلفة على ^شكل^{دائرة عظمى ثنائية الحواف على} طول حواف الخلايا رباعية الأوجه، وبمسارات ثلاثية الحواف متنوعة، وبمسارات رباعية الحواف على أسطح التساوي ومضلعات بيتري^.

[Möbius_circle-33] ١ ٢ ٣ المنحنى المتساوي هو دائرة من نوع خاص تُقابل زوجًا من دوائر فيلارسو المتصلة في حلقة موبيوس . ينحني هذا المنحنى عبر أربعة أبعاد بدلًا من بُعدين فقط. جميع الدوائر العادية لها محيط يساوي ٢π، لكن المنحنى المتساوي للخلية ذات الـ ١٦ خلية هو دائرة محيطها يساوي ٤π (على ثمانية أوتار بزاوية ٩٠ درجة). المنحنى المتساوي هو دائرة لا تقع في مستوى، ولكن لتجنب الالتباس، نشير إليه دائمًا باسم المنحنى المتساوي ونحتفظ بمصطلح الدائرة للدائرة العادية في المستوى.

[only_one_disjoint_pair_of_eight-cell_rings-34] يمكن بناء الخلية السداسية عشر من حلقتين منفصلتين من ثماني خلايا بثلاث طرق مختلفة؛ إذ تحتوي على ثلاثة اتجاهات لكل زوج من الحلقات. يحتوي كل اتجاه على زوج مميز من الدورانات متساوية الميل (يسار-يمين)، بالإضافة إلى زوج من المربعات الكبيرة المتعامدة تمامًا (ألياف كليفورد المتوازية)، لذا فإن كل اتجاه يمثل تليفًا منفصلاً للخلية السداسية عشر. تحتوي كل حلقة من ثماني خلايا على ثلاثة أشكال ثمانية محورية لها اتجاهات مختلفة (تتبادل الأدوار) في التليفات المنفصلة الثلاثة وستة دورانات متساوية الميل مميزة (ثلاثة يسار وثلاثة يمين) عبر حلقات الخلايا. يمكن رؤية ثلاثة أشكال ثمانية (بألوان مختلفة) في رسم توضيحي لحلقة خلية واحدة، واحد منها في دور مضلع بيتري، وواحد كمنحنى متساوي الميل أيمن، وواحد كمنحنى متساوي الميل أيسر. نظرًا لأن كل شكل ثماني يؤدي ثلاثة أدوار، فهناك ستة منحنيات متساوية الميل مميزة بالضبط في الخلية السداسية عشر، وليس ثمانية عشر.

[35] جميع المناظر الخمسة هي نفس الإسقاط المتعامد للخلية السداسية عشر على نفس المستوى (مقطع عرضي دائري للأسطوانة الحلقية ذات الثماني خلايا)، بالنظر على طول المحور المركزي للأسطوانة الحلقية المقطوعة الموضحة أعلاه، من أحد طرفي الأسطوانة. الاختلاف الوحيد هو أي منحواف √2 وأوتار √4 تم حذفها للتركيز . تبدو ألوان حواف √2 المختلفة وكأنها بأطوال مختلفة لأنها مائلة بالنسبة للمشاهد بزوايا مختلفة. يتم ترقيم الرؤوس من 1 (أعلى) إلى 8 بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة.

[isocline_curve-38] 1 2 لكل منحنى متساوي الانحدار ثمانية أوتار متصلة بطول √2 لمسار حافة الشكل الثماني_{8/3} ، بالإضافة إلى أربعة أوتار غير متصلة بقطر √4 تربط كل رأس رابع على الشكل الثماني ، لكنها لا تتصل ببعضها. كما أن للرؤوس المتقابلة مسارًا ملتويًا متصلًا من أربعة حواف متعامدة بطول √2 تربطها. بين الرؤوس المتقابلة، ينحني المنحنى المتساوي الانحدار بسلاسة على شكل حلزون فوقأوتار مسار حافته الأربعة بطول √2، ويتقاطع مع الرؤوس الثلاثة الواقعة بينها. كل حافة بطول √2 هي حافة مربع كبير، متعامدة تمامًا مع مربع كبير آخر، حيث يكون الوتر بطول √4 قطرًا.

[counter-rotating_double_helix-39] باستثناء الخلايا الخمس والست عشرة، فإن زوجًا من الدوائر متساوية الميل اليسرى واليمنى له رؤوس منفصلة: الحلزونات متساوية الميل اليسرى واليمنى عبارة عن خطوط متوازية غير متقاطعة ولكنها تدور في اتجاهين متعاكسين، مما يشكل نوعًا خاصًا من الحلزون المزدوج الذي لا يمكن أن يحدث في ثلاثة أبعاد (حيث يجب أن تتقاطع الحلزونات التي تدور في اتجاهين متعاكسين ولها نفس نصف القطر).

[each_16-cell_isocline_reaches_all_8_vertices-40] في المضلع ذي الـ 16 خلية، يمر كل منحنى متساوي الانحدار عبر جميع الرؤوس الثمانية: وهو عبارة عن تليف كامل من مربعين كبيرين متعامدين تمامًا. يُعد المضلع ذو الـ 5 خلايا والمضلع ذو الـ 16 خلية المضلعين المنتظمين الوحيدين من فئة 4-مضلعات حيث يحتوي كل تليف منفصل على ليف متساوي الانحدار واحد فقط.^{[ u ]}

[41] يتقاطع المنحنيان المتساويان الأيسر والأيمن عند كل رأس. وهما عبارة عن متواليتين مختلفتين لنفس مجموعة الرؤوس الثمانية. بالنسبة لمجموعة أزواج الرؤوس الأربعة التي تفصل بينها مسافة √2 فقط ، يمكن اعتبارهما متوازيين وفقًا لمعيار كليفورد. أما بالنسبة لمجموعة أزواج الرؤوس الأربعة التي تفصل بينها مسافة √4 فقط ، فيمكن اعتبارهما متعامدين تمامًا.

[FOOTNOTECoxeter1973141§&nbsp;7-x._Historical_remarks-1] كوكسيتر 1973 ، ص 141، § 7-x. ملاحظات تاريخية.

[2] إن دبليو جونسون : الهندسات والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المنتهية ، 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية ، ص 249

[3] ماتيلا غيكا، هندسة الفن والحياة (1977)، ص 68

[FOOTNOTECoxeter1973120–121§&nbsp;7.2._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-4] كوكسيتر 1973 ، الصفحات 120-121، § 7.2. انظر الشكل التوضيحي 7.2 ب .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-5] كوكسيتر ١٩٧٣ ، الصفحات ٢٩٢-٢٩٣، الجدول الأول (٢): المضلعات المنتظمة الستة عشر { p,q,r } في أربعة أبعاد؛ جدول قيّم يوفر جميع المقاييس العشرين لكل مضلع رباعي الأبعاد بوحدات طول الحافة. يجب تحويلها جبريًا لمقارنة المضلعات ذات نصف القطر الواحد.

[FOOTNOTEKimRote20166§&nbsp;5._Four-Dimensional_Rotations-11] كيم وروت 2016 ، ص. 6، § 5. الدورانات رباعية الأبعاد.

[FOOTNOTETyrrellSemple19715–6§&nbsp;3._Clifford's_original_definition_of_parallelism-16] تيريل وسيمبل 1971 ، ص 5-6، § 3. تعريف كليفورد الأصلي للتوازي.

[FOOTNOTEKimRote20167–10§&nbsp;6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-17] كيم وروت 2016 ، ص 7-10، § 6. الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي.

[FOOTNOTECoxeter1973121§&nbsp;7.21._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-20] كوكسيتر 1973 ، ص 121، § 7.21. انظر الشكل التوضيحي 7.2 ب : " $\beta _{4}$ هو هرم ثنائي رباعي الأبعاد قائم على $\beta _{3}$ (مع وجود قمتين في اتجاهين متعاكسين على طول البعد الرابع).

[FOOTNOTETyrrellSemple1971-21] تيريل وسيمبل 1971 .

[FOOTNOTECoxeter1973130§&nbsp;7.6-23] Coxeter 1973 ، ص 130 ، § 7.6 ؛ "التقسيم الفرعي البسيط".

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"16-cell,_𝛽<sub>4</sub>"-25] Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ "16 خلية ، 𝛽₄ ".

[FOOTNOTECoxeter1973139§&nbsp;7.9_The_characteristic_simplex-26] Coxeter 1973 ، ص 139 ، § 7.9 المعقد المميز.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-27] Coxeter 1973 ، ص 290 ، الجدول الأول (ii)؛ "الزوايا ثنائية السطوح".

[FOOTNOTECoxeter197045Table_2:_Reflexible_honeycombs_and_their_groups-31] Coxeter 1970 ، ص 45 ، الجدول 2: خلايا النحل العاكسة ومجموعاتها ؛ خلية النحل [3،3،4]₄ هي تبليط للكرة 3 بواسطة حلقتين من 8 خلايا رباعية الأوجه.

[FOOTNOTEBanchoff2013-32] بانشوف 2013 .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>1</sub>''-36] Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ 24 خلية h ₁ .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>2</sub>''-37] Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ 24 خلية h ₂ .

[FOOTNOTECoxeter1973293-42] كوكسيتر 1973 ، ص 293.

[FOOTNOTECoxeter199130,_47-43] كوكسيتر 1991 ، ص 30، 47.

[FOOTNOTECoxeterShephard1992-44] كوكسيتر وشيبارد 1992 .

[FOOTNOTECoxeter1991108-45] كوكسيتر 1991 ، ص 108.

[FOOTNOTECoxeter1991114-46] كوكسيتر 1991 ، ص 114.

لودفيج

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 4 ]

[ أ ]

[ ب ]

[ ج ]

[

[

[ 6 ]

[ ط ]

[ و ]

[ ك ]

[ 9 ]

أوجه

[ j ]

[ 10 ]

[ ل ]

[ م ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ n ]

[ o ]

[ p ]

[

[ q ]

.

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ t ]

[ v ]

[ w ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ ح ]

[

[

[ 11 ]

[ u ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗