شبه الاستمرارية

في التحليل الرياضي ، شبه الاستمرارية (أو شبه الاستمرارية ) هي خاصية للدوال ذات القيمة الحقيقية الممتدة والتي تكون أضعف من الاستمرارية . تكون الدالة ذات القيمة الحقيقية الممتدة شبه مستمرة أعلى (أو أقل ) عند نقطة ما إذا كانت قيم الدالة للحجج القريبة ليست أعلى (أو أقل) من${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت شبه متصلة علوية وسفلية. إذا أخذنا دالة متصلة وزدنا قيمتها عند نقطة معينة إلى لبعض ، فإن النتيجة تكون شبه متصلة علوية؛ إذا قللنا قيمتها إلى فإن النتيجة تكون شبه متصلة سفلية. ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

تم تقديم مفهوم الوظيفة شبه المستمرة العلوية والسفلية لأول مرة ودراسته بواسطة رينيه باير في أطروحته عام 1899. ^[1]

افترض أن هذا هو فضاء طوبولوجي وهو دالة ذات قيم في الأعداد الحقيقية الممتدة . ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

تُسمى الدالة شبه متصلة عليا عند نقطة ما إذا كان لكل عدد حقيقي جوار بحيث يكون لكل . ^[2] وعلى نحو مكافئ، تكون شبه متصلة عليا عند إذا وفقط إذا حيث lim sup هي الحد الأعلى للدالة عند النقطة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)<y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

إذا كانت مساحة مترية ذات دالة مسافة ويمكن أيضًا إعادة صياغة ذلك باستخدام صيغة - ، على غرار تعريف الدالة المستمرة . أي، لكل منها يوجد بحيث كلما${\displaystyle X}$ ${\displaystyle د}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

تُسمى الدالة شبه مستمرة عليا إذا كانت تلبي أيًا من الشروط المكافئة التالية: ^[2]${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) الدالة شبه متصلة علوية عند كل نقطة من مجالها .

(2) لكل ، المجموعة مفتوحة في ، حيث .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

( 3 ) لكل ، مجموعة المستوى الأعلى - مغلقة في .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) تم إغلاق النقش في .${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) تكون الدالة مستمرة عندما يتم إعطاء المجال المشترك طوبولوجيا الترتيب الأيسر . هذا مجرد إعادة صياغة للشرط (2) حيث يتم إنشاء طوبولوجيا الترتيب الأيسر بواسطة جميع الفواصل الزمنية .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,y)}$

تُسمى الدالة شبه متصلة سفلية عند نقطة ما إذا كان لكل عدد حقيقي جوار بحيث يكون لكل . وعلى نحو مكافئ، تكون شبه متصلة سفلية عند إذا وفقط إذا حيث يكون الحد الأدنى للدالة عند النقطة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)>y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

إذا كانت مساحة مترية ذات دالة مسافة ويمكن أيضًا إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: لكل منها يوجد مثل هذا كلما${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

تُسمى الدالة شبه المستمرة الدنيا إذا كانت تلبي أيًا من الشروط المكافئة التالية: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) الدالة شبه متصلة أقل في كل نقطة من مجالها .

(2) لكل ، المجموعة مفتوحة في ، حيث .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) لكل ، يتم إغلاق مجموعة المستوى الفرعي - في .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) تم إغلاق النقش في . ^{[3] : 207}${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) تكون الدالة متصلة عندما يتم إعطاء المجال المشترك طوبولوجيا الترتيب الصحيح . هذا مجرد إعادة صياغة للشرط (2) حيث يتم إنشاء طوبولوجيا الترتيب الصحيح بواسطة جميع الفواصل .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (y,\infty ]}$

خذ في الاعتبار الدالة القطعية المحددة بواسطة: هذه الدالة شبه متصلة علوية ولكن ليست شبه متصلة سفلية. ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x_{0}=0,}$

إن دالة الأرضية التي ترجع أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي عددًا حقيقيًا معينًا تكون شبه متصلة في كل مكان. وعلى نحو مماثل، تكون دالة السقف شبه متصلة في كل مكان. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

لا علاقة بين شبه الاستمرارية العلوية والسفلية بالاستمرارية من اليسار أو من اليمين لوظائف متغير حقيقي. يتم تعريف شبه الاستمرارية من حيث الترتيب في نطاق الوظائف، وليس في المجال. ^[4] على سبيل المثال، تكون الوظيفة شبه مستمرة علوية عند بينما حدود الوظيفة من اليسار أو اليمين عند الصفر غير موجودة حتى. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

إذا كانت فضاء إقليدي (أو بشكل عام فضاء متري) وكانت فضاء المنحنيات في (مع المسافة العليا )، فإن الدالة الطولية التي تعين لكل منحنى طوله تكون شبه متصلة أقل. ^{[5] على سبيل المثال، ضع في اعتبارك تقريب المربع الوحدوي القطري بواسطة سلم من الأسفل. يكون} للسلم دائمًا طول 2، بينما يكون للخط القطري طول . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ليكن فضاء قياس وليكن مجموعة الدوال القابلة للقياس الموجبة التي تتمتع بطوبولوجيا التقارب في القياس بالنسبة إلى ثم وفقًا لمعضلة فاتو فإن التكامل، كما يُرى كمشغل من إلى، يكون شبه مستمر أقل. ${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

تتميز نظرية تونيلي في التحليل الوظيفي بضعف شبه الاستمرارية السفلية للوظائف غير الخطية على فضاءات L ^p من حيث تحدب دالة أخرى.

ما لم يتم تحديد خلاف ذلك، فإن جميع الوظائف أدناه هي من الفضاء الطوبولوجي إلى الأعداد الحقيقية الممتدة . تنطبق العديد من النتائج على شبه الاستمرارية في نقطة محددة، ولكن من أجل الاختصار، تم ذكرها فقط لشبه الاستمرارية على المجال بأكمله. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت شبه متصلة علوية وسفلية.${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• تكون الدالة المميزة أو الدالة المؤشرية لمجموعة (محددة بواسطة إذا وإذا ) شبه متصلة علوية إذا وفقط إذا كانت مجموعة مغلقة . وتكون شبه متصلة سفلية إذا وفقط إذا كانت مجموعة مفتوحة .${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\notin A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• في مجال التحليل المحدب ، يتم تعريف الدالة المميزة للمجموعة بشكل مختلف، مثل if و if . وفقًا لهذا التعريف، تكون الدالة المميزة لأي مجموعة مغلقة شبه متصلة سفلية، وتكون الدالة المميزة لأي مجموعة مفتوحة شبه متصلة علوية.${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$${\displaystyle x\notin A}$

يترك . ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• إذا كانت و شبه متصلة سفلية، فإن المجموع يكون شبه متصل سفلي ^[6] (بشرط أن يكون المجموع محددًا جيدًا، أي ليس الشكل غير المحدد ). وينطبق الشيء نفسه على الدوال شبه المتصلة العليا.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• إذا كانت و شبه متصلة سفلية وغير سالبة، فإن دالة الضرب تكون شبه متصلة سفلية. وتنطبق النتيجة المقابلة على الدوال شبه المتصلة العليا.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$
• تكون الدالة شبه متصلة سفلية إذا وفقط إذا كانت شبه متصلة علوية.${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$
• إذا كانت و شبه متصلة علوية وغير متناقصة ، فإن التركيب يكون شبه متصل علوي. من ناحية أخرى، إذا لم يكن غير متناقص، فقد لا يكون شبه متصل علوي. ^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$
• إذا كانت و شبه متصلة سفلية، فإن الحد الأقصى والحد الأدنى (النقطي) لهما (المحدد بواسطة و ) يكونان أيضًا شبه متصلين سفلي. وبالتالي، فإن مجموعة جميع الدوال شبه المتصلة السفلية من إلى (أو إلى ) تشكل شبكة . تنطبق العبارات المقابلة أيضًا على الدوال شبه المتصلة العلوية.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• الحد الأعلى (النقطي) لعائلة عشوائية من الدوال شبه المستمرة الأدنى (المحددة بواسطة ) هو شبه مستمر أدنى. ^[8]${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

على وجه الخصوص، يكون حد تسلسل متزايد أحادي النغمة من الدوال المستمرة شبه مستمر أقل. (توفر نظرية باير أدناه عكسًا جزئيًا). ستكون دالة الحد شبه مستمر أقل بشكل عام فقط، وليست مستمرة. يتم تقديم مثال من خلال الدوال المحددة لـ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

وبالمثل، فإن الحد الأدنى لعائلة عشوائية من الدوال شبه المستمرة العليا هو شبه مستمر علوي. وحد التسلسل المتناقص الرتيب للدوال المستمرة هو شبه مستمر علوي.

• إذا كانت مساحة مضغوطة (على سبيل المثال فاصل محدود مغلق ) وكانت شبه متصلة علوية، فإنها تصل إلى الحد الأقصى في إذا كانت شبه متصلة سفلية في فإنها تصل إلى الحد الأدنى في${\displaystyle C}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C.}$

( إثبات الحالة شبه المستمرة العليا : وفقًا للشرط (5) في التعريف، تكون متصلة عندما يتم إعطاء طوبولوجيا الترتيب الأيسر. لذا فإن صورتها مضغوطة في تلك الطوبولوجيا. والمجموعات المضغوطة في تلك الطوبولوجيا هي بالضبط المجموعات ذات الحد الأقصى. للحصول على إثبات بديل، راجع المقال حول نظرية القيمة القصوى .)${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(C)}$

• ( نظرية باير ) ^{[ملاحظة 1]} ليكن فضاء متري . كل دالة شبه متصلة سفلية هي حد متوالية متزايدة نقطة بنقطة من الدوال المستمرة الممتدة ذات القيمة الحقيقية على وجه الخصوص، توجد متوالية من الدوال المستمرة بحيث${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$و

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

إذا لم تأخذ القيمة ، فيمكن اعتبار الدوال المستمرة ذات قيمة حقيقية. ^{[9] [10]}${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

بالإضافة إلى ذلك، فإن كل دالة شبه مستمرة علوية هي حد لتسلسل تنازلي أحادي النغمة من الدوال المستمرة الممتدة ذات القيمة الحقيقية، وإذا لم تأخذ القيمة ، فيمكن اعتبار الدوال المستمرة ذات قيمة حقيقية.${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty ,}$

• أي دالة شبه متصلة عليا على مساحة طوبولوجي تعسفية تكون ثابتة محليًا على بعض المجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة من${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• إذا كان الفضاء الطوبولوجي متسلسلًا ، فإنه يكون شبه متصل علويًا إذا وفقط إذا كان شبه متصل علويًا متتاليًا، أي إذا كان لأي متتالي وأي متتالي يتقارب نحو ، فإنه يكون . وعلى نحو مكافئ، في الفضاء المتسلسل، يكون شبه متصل علويًا إذا وفقط إذا كانت مجموعاته ذات المستويات العليا مغلقة متتاليًا لجميع . بشكل عام، تكون الدوال شبه المتصلة العلوية شبه متصلة علويًا متتاليًا، ولكن العكس قد يكون خاطئًا.${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

بالنسبة للدوال ذات القيمة المحددة بالمجموعة ، تم تعريف العديد من مفاهيم شبه الاستمرارية، وهي شبه الاستمرارية العلوية والسفلية والخارجية والداخلية ، بالإضافة إلى نصف الاستمرارية العلوية والسفلية . تتم كتابة دالة ذات قيمة محددة بالمجموعة من مجموعة إلى مجموعة. لكل منها تحدد الدالة مجموعة. تُعرف الصورة الأولية للمجموعة تحت على أنها أي المجموعة التي تحتوي على كل نقطة في بحيث لا تنفصل عن . ^[11]${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)\subset B.}$${\displaystyle S\subset B}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$${\displaystyle F^{-1}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle S}$

تكون الخريطة ذات القيمة المحددة شبه متصلة علوية عند إذا كان لكل مجموعة مفتوحة مثل ، يوجد جوار مثل ^{[11] : تعريف 2.1}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x)\subset U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(V)\subset U.}$

تكون الخريطة ذات القيمة المحددة شبه متصلة أقل عند إذا كان لكل مجموعة مفتوحة يوجد جوار بحيث ^[11] : تعريف ^2.2${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

يتم تعريف شبه الاستمرارية ذات القيمة العليا والسفلى أيضًا بشكل أكثر عمومية لخرائط ذات قيمة محددة بين المساحات الطوبولوجية عن طريق استبدال و في التعريفات أعلاه بمساحات طوبولوجية تعسفية. ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

لاحظ أنه لا يوجد تطابق مباشر بين شبه الاستمرارية العلوية والسفلية ذات القيمة المفردة وشبه الاستمرارية العلوية والسفلية ذات القيمة المحددة. لا تكون الدالة العلوية ذات القيمة المفردة شبه المستمرة بالضرورة شبه مستمرة علوية عند اعتبارها خريطة ذات قيمة محددة. ^{[11] : 18} على سبيل المثال، تكون الدالة المحددة بواسطة شبه مستمرة علوية بمعنى القيمة المفردة ولكن الخريطة ذات القيمة المحددة ليست شبه مستمرة علوية بمعنى القيمة المحددة. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

تُسمى الدالة ذات القيمة المحددة شبه مستمرة داخلية عند إذا كان لكل متوالية متقاربة في مثل أن ، يوجد متوالية في مثل أن و لجميع المتواليات الكبيرة بما يكفي ^{[12] [ملاحظة 2]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in F(x)}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\to y}$${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

تُسمى الدالة ذات القيمة المحددة دالة شبه متصلة خارجية عند إذا كان لكل متوالية تقارب في بحيث وكل متوالية متقاربة في بحيث يتقارب المتوالية لكل منهما إلى نقطة في (أي، ). ^[12]${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

• الاستمرارية الاتجاهية  – دالة رياضية بدون تغييرات مفاجئةPages displaying short descriptions of redirect targets
• نظرية إدراج كاتيتوف-تونج  - حول وجود دالة متصلة بين حدود عليا وسفلى شبه متصلة
• الاستمرارية النصفية  – شبه الاستمرارية للوظائف ذات القيمة المحددة
• Càdlàg  – دالة متصلة يمينية ذات حدود يسارية

• بينيسوفا، ب.؛ كروزيك، م. (2017). "الاستمرارية الضعيفة المنخفضة للوظائف المتكاملة والتطبيقات". مراجعة سيام . 59 (4): 703-766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• بورباكي، نيكولاس (1998). عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة، 1-4 . سبرينغر. رقم ISBN 0-201-00636-7.
• بورباكي، نيكولاس (1998). عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة، 5-10 . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-64563-2.
• إنجيلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• جيلباوم، برنارد ر.؛ أولمستيد، جون إم إتش (2003). أمثلة مضادة في التحليل . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-42875-3.
• هايرز، دونالد هـ.؛ إسحاق، جورج؛ راسياس، ثيميستوكليس م. (1997). موضوعات في التحليل غير الخطي والتطبيقات . مجلة وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 981-02-2534-2.
• سترومبرج، كارل (1981). مقدمة في التحليل الحقيقي الكلاسيكي . وادزورث. رقم ISBN 978-0-534-98012-2.
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة. مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . رقم ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• زالينيسكو، كونستانتين (30 يوليو 2002). التحليل المحدب في فضاءات المتجهات العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي، لندن: دار النشر العلمية العالمية . رقم ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – عبر أرشيف الإنترنت .