عملية وينر

تتبع دالة كثافة الاحتمال غير المشروطة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط ​​= 0 وتباين = t ، عند وقت ثابت t : $${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

القيمة المتوقعة هي صفر: $${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

التباين ، باستخدام الصيغة الحسابية، هو t : $${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

تترتب هذه النتائج مباشرة على تعريف أن الزيادات لها توزيع طبيعي ، مركزه الصفر. وبالتالي $${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$يُعدّ تحليل التفكيك المفيد لإثبات خصائص المارتينجال، والذي يُطلق عليه أيضًا تحليل الزيادة البراونية ،$${\displaystyle W_{t}=W_{s}+(W_{t}-W_{s}),\;s\leq t}$$

التباين والارتباط ( حيث​${\textstyle s\leq t}$): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

تستنتج هذه النتائج من تعريف أن الزيادات غير المتداخلة مستقلة، والذي يُستخدم فيه فقط خاصية عدم ارتباطها. ^{[ 9 ]} لنفترض أن${\textstyle t_{1}\leq t_{2}}$. $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

الاستبدال $${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$ نصل إلى: $$\displaystyle \begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

منذ${\textstyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$و${\textstyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$مستقلون، $${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

هكذا $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

ومن النتائج المفيدة للمحاكاة أنه يمكننا كتابة ما يلي، من أجل t ₁ < t ₂ : $${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$ حيث Z متغير طبيعي معياري مستقل.

قدّم وينر (1923) أيضًا تمثيلًا للمسار البراوني بدلالة متسلسلة فورييه عشوائية . إذا${\textstyle \xi _{n}}$إذا كانت المتغيرات غاوسية مستقلة بمتوسط ​​صفر وتباين واحد، فإن $${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$ و $${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$ تمثل حركة براونية على${\textstyle [0,1]}$العملية الموسعة $${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$ هي حركة براونية على${\textstyle [0,c]}$(راجع نظرية كارهونن-لوف ).

التوزيع المشترك للقيمة القصوى الجارية $${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$ و W _t هو $${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

للحصول على التوزيع غير المشروط لـ${\textstyle f_{M_{t}}}$، التكامل على −∞ < w ≤ m : $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع نصف طبيعي . القيمة المتوقعة ^{[ 10 ]} هي $${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

إذا كانت عملية وينر لها قيمة معروفة عند الزمن t${\textstyle W_{t}}$، من الممكن حساب التوزيع الاحتمالي الشرطي للقيمة القصوى في الفترة${\textstyle [0,t]}$(انظر: التوزيع الاحتمالي للنقاط القصوى لعملية وينر العشوائية ). دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي للقيمة القصوى، بشرط القيمة المعروفة.${\textstyle W_{t}}$، يكون: $${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

إذا كانت كثيرة الحدود p ( x , t ) تحقق المعادلة التفاضلية الجزئية$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$ ثم العملية العشوائية $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$ هو مارتينجال .

مثال:${\textstyle W_{t}^{2}-t}$هو مارتينجال، مما يدل على أن التغير التربيعي لـ W على الفترة [ 0 ، t ] يساوي t . ويترتب على ذلك أن الوقت المتوقع لأول خروج لـ W من (−c ، c ) يساوي c² ^.

وبشكل أعم، لكل متعددة حدود p ( x , t ) فإن العملية العشوائية التالية هي مارتينجال: $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$ حيث a هي متعددة الحدود $${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

مثال:${\textstyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$${\textstyle a(x,t)=4x^{2};}$العملية $${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$ هو مارتينجال، مما يدل على أن التغير التربيعي للمارتينجال${\textstyle W_{t}^{2}-t}$على الفترة [0، t ] يساوي $${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

حول الوظائف p ( xa , t ) أكثر عمومية من كثيرات الحدود، راجع مارتينجال المحلية .

مجموعة جميع الدوال w التي تتمتع بهذه الخصائص هي مجموعة ذات قياس وينر كامل. أي أن مسارًا (دالة عينة) لعملية وينر يمتلك جميع هذه الخصائص بشكل شبه مؤكد:

معدل المعلومات لعملية وينر بالنسبة لمسافة الخطأ التربيعي، أي دالة معدل التشوه التربيعي الخاصة بها ، يتم إعطاؤه بواسطة ^{[ 14 ]}$${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}D\ln 2}}\approx 0.29D^{-1}.}$$ لذلك، من المستحيل التشفير${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$باستخدام رمز ثنائي أقل من${\textstyle TR(D)}$بتات واستعادتها بمتوسط ​​خطأ تربيعي متوقع أقل من D. من ناحية أخرى، لأي${\textstyle \varepsilon >0}$يوجد عدد T كبير بما يكفي ورمز ثنائي لا يزيد عن${\textstyle 2^{TR(D)}}$العناصر المتميزة بحيث يكون متوسط ​​الخطأ التربيعي المتوقع في الاستعادة${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$من هذا الكود على الأكثر${\textstyle D-\varepsilon }$.

في كثير من الحالات، يستحيل ترميز عملية وينر دون أخذ عينات منها أولاً. عندما يتم أخذ عينات من عملية وينر على فترات زمنية محددة${\textstyle T_{s}}$قبل تطبيق رمز ثنائي لتمثيل هذه العينات، فإن المفاضلة المثلى بين معدل الترميز${\textstyle R(T_{s},D)}$ويتبع متوسط ​​الخطأ التربيعي المتوقع D (في تقدير عملية وينر ذات الوقت المستمر) التمثيل البارامتري ^{[ 15 ]}$${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$$${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$ أين${\textstyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$و${\textstyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$. بخاصة،${\textstyle T_{s}/6}$يمثل متوسط ​​مربع الخطأ المرتبط فقط بعملية أخذ العينات (بدون ترميز).

ليكن A حدثًا مرتبطًا بعملية وينر (بصورة أدق: مجموعة قابلة للقياس بالنسبة لمقياس وينر، في فضاء الدوال)، وليكن X _t الاحتمال الشرطي لـ A معطى عملية وينر على الفترة الزمنية [0, t ] (بصورة أدق: مقياس وينر لمجموعة المسارات التي ينتمي تسلسلها مع المسار الجزئي المعطى على [0, t ] إلى A ). عندئذٍ، تكون العملية X _t مارتينجالًا متصلًا. وتنتج خاصية المارتينجال مباشرةً من التعريفات، لكن اتصالها حقيقة خاصة جدًا - حالة خاصة من نظرية عامة تنص على أن جميع مارتينجالات براون متصلة. مارتينجال براون، بحسب التعريف، هو مارتينجال مُكيَّف مع ترشيح براون؛ وترشيح براون، بحسب التعريف، هو الترشيح الناتج عن عملية وينر.${\textstyle B_{t}^{2}-t}$و${\textstyle e^{\theta B_{t}-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}}t}}$هي مارتينجال. ^{[ 17 ]}

التكامل الزمني لعملية وينر $${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$ يُطلق عليها اسم الحركة البراونية المتكاملة أو عملية وينر المتكاملة . تظهر هذه الحركة في العديد من التطبيقات، ويمكن إثبات أن توزيعها هو N (0, t ³ /3) ^{[ 18 ]} ، ويتم حسابه باستخدام حقيقة أن تباين عملية وينر هو${\textstyle t\wedge s=\min(t,s)}$[ ^{19 ]​}

بالنسبة للحالة العامة للعملية المحددة بواسطة $${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$ ثم، لـ${\textstyle a>0}$، $${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$$${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$ في الحقيقة،${\textstyle V_{f}(t)}$هو دائمًا متغير عشوائي طبيعي متوسطه صفر. وهذا يسمح بمحاكاة${\textstyle V_{f}(t+a)}$منح${\textstyle V_{f}(t)}$عن طريق أخذ $${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$ حيث Z متغير طبيعي معياري و $${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$$${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$ قضية${\textstyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$يتوافق مع${\textstyle f(t)=t}$يمكن اعتبار جميع هذه النتائج بمثابة نتائج مباشرة لتماثل إيتو . عملية وينر المتكاملة n مرة هي متغير طبيعي متوسطه صفر وتباينه${\textstyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$يتم ذلك من خلال صيغة كوشي للتكامل المتكرر .

كل مارتينجال مستمر (يبدأ من نقطة الأصل) هو عملية وينر متغيرة زمنياً.

مثال: 2 W _t = V (4 t ) حيث V هي عملية وينر أخرى (مختلفة عن W ولكنها موزعة مثل W ).

مثال.${\textstyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$أين${\textstyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$و V هي عملية وينر أخرى.

بشكل عام، إذا كان M مارتينجالًا متصلًا فإن${\textstyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$حيث A ( t ) هو التغير التربيعي لـ M على [0, t ]، و V هي عملية وينر.

نتيجة. (انظر أيضًا نظريات تقارب مارتينجال دوب ) ليكن M _t مارتينجالًا متصلًا، و $${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$$${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

عندها فقط تكون الحالتان التاليتان ممكنتين: $${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$$${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty$$ ;} حالات أخرى (مثل${\textstyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\textstyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$إلخ) احتمالها 0.

على وجه الخصوص، فإن المارتينجال المستمر غير السالب له حد نهائي (عندما t → ∞) بشكل شبه مؤكد.

كل ما ذكر (في هذا القسم الفرعي) بالنسبة للمارتينجال ينطبق أيضاً على المارتينجال المحلي .

ترتبط فئة واسعة من شبه المارتينجالات المستمرة (وخاصة عمليات الانتشار ) بعملية وينر من خلال مزيج من تغيير الوقت وتغيير القياس .

باستخدام هذه الحقيقة، يمكن تعميم الخصائص النوعية المذكورة أعلاه لعملية وينر لتشمل فئة واسعة من شبه المارتينجالات المستمرة. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يمكن تعريف عملية وينر ذات القيم المركبة على أنها عملية عشوائية ذات قيم مركبة من الشكل التالي:${\textstyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$أين${\textstyle X_{t}}$و${\textstyle Y_{t}}$هي عمليات وينر مستقلة (ذات قيم حقيقية). بعبارة أخرى، إنها عملية وينر ثنائية الأبعاد، حيث نحدد${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$مع${\textstyle \mathbb {C} }$[ ^{22 ]​}

تُعدّ الصفيحة البراونية تعميمًا متعدد المعاملات. ويختلف تعريفها بين الباحثين، إذ يُعرّفها البعض بأنها ذات معامل زمني ثنائي الأبعاد تحديدًا.${\textstyle t}$بينما يُعرّفها آخرون بأنها ذات أبعاد عامة.