التمويل الرياضي

جزء من سلسلة عن
تمويل
الأسواق أصول الأصول (الاقتصاد) رابطة نمو الأصول الأصول الرأسمالية سلعة المشتقات المجالات عدالة صرف العملات الأجنبية Money Over-the-counter Private equity Real estate Spot Stock Participants Angel investor Bull (stock market speculator) Financial planner Investor institutional Retail Speculator Locations Financial centres Offshore financial centres Conduit and sink OFCs
Instruments Bond Cash Collateralised debt obligation Credit default swap Time deposit (certificate of deposit) Credit line Deposit Derivative Futures contract Indemnity Insurance Letter of credit Loan Mortgage Option (call exotic put) Performance bonds Repurchase agreement Stock Security Syndicated loan Synthetic CDO
Corporate General Accounting Audit Capital budgeting Capital structure Corporate finance Credit rating agency Enterprise risk management Enterprise value Risk management Financial statements Transactions Leveraged buyout Mergers and acquisitions Structured finance Venture capital Taxation Base erosion and profit shifting (BEPS) Corporate tax haven Tax inversion Tax haven Transfer pricing
Personal Credit / Debt Employment contract Financial planning Retirement Student loan
Public Government spending Final consumption expenditure Operations Redistribution Transfer payment Government revenue Taxation Deficit spending Budget (balance) Debt Non-tax revenue Warrant of payment
Banking Central bank Deposit account Fractional-reserve Full-reserve Investment banking Loan Money supply Lists of banks Bank regulation Banking license Basel Accords Bank for International Settlements Financial Stability Board Deposit insurance Separation of investment and retail banking
Regulation · Financial law International Financial Reporting Standards ISO 31000 Professional certification Fund governance
Economic history Private equity and venture capital Recession Stock market bubble Stock market crash Accounting scandals
Outline Business and Economics portal Money portal
v t e

التمويل الرياضي ، المعروف أيضًا باسم التمويل الكمي والرياضيات المالية ، هو مجال من مجالات الرياضيات التطبيقية ، ويهتم بالنمذجة الرياضية في المجال المالي.

بشكل عام، يوجد فرعان منفصلان للتمويل يتطلبان تقنيات كمية متقدمة: تسعير المشتقات من ناحية، وإدارة المخاطر والمحافظ من ناحية أخرى. ^[1] يتداخل التمويل الرياضي بشكل كبير مع مجالات التمويل الحاسوبي والهندسة المالية . يركز الأخير على التطبيقات والنمذجة، غالبًا بمساعدة نماذج الأصول العشوائية ، بينما يركز الأول، بالإضافة إلى التحليل، على بناء أدوات التنفيذ للنماذج. ويرتبط أيضًا بالاستثمار الكمي ، الذي يعتمد على النماذج الإحصائية والعددية (ومؤخرًا التعلم الآلي ) بدلاً من التحليل الأساسي التقليدي عند إدارة المحافظ .

تعتبر أطروحة الدكتوراه التي قدمها عالم الرياضيات الفرنسي لويس باشيلييه في عام 1900 أول عمل علمي في مجال التمويل الرياضي. لكن التمويل الرياضي ظهر كتخصص في سبعينيات القرن العشرين، بعد عمل فيشر بلاك وميرون شولز وروبرت ميرتون حول نظرية تسعير الخيارات. نشأ الاستثمار الرياضي من أبحاث عالم الرياضيات إدوارد ثورب الذي استخدم الأساليب الإحصائية لاختراع عد البطاقات في لعبة البلاك جاك أولاً ثم طبق مبادئها على الاستثمار المنهجي الحديث. ^[2]

يرتبط هذا الموضوع ارتباطًا وثيقًا بتخصص الاقتصاد المالي ، والذي يهتم بالكثير من النظريات الأساسية التي تشارك في الرياضيات المالية. في حين يستخدم خبراء الاقتصاد المدربون نماذج اقتصادية معقدة مبنية على علاقات تجريبية ملحوظة، في المقابل، فإن تحليل التمويل الرياضي سوف يستمد ويوسع النماذج الرياضية أو العددية دون إقامة رابط بالضرورة مع النظرية المالية، مع الأخذ في الاعتبار أسعار السوق الملاحظة كمدخلات. انظر: تقييم الخيارات ؛ النمذجة المالية ؛ تسعير الأصول . تعتبر النظرية الأساسية للتسعير الخالي من التحكيم واحدة من النظريات الرئيسية في التمويل الرياضي، في حين أن معادلة بلاك-شولز والصيغة من بين النتائج الرئيسية. ^[3]

تقدم العديد من الجامعات اليوم برامج للحصول على درجات علمية وأبحاث في مجال التمويل الرياضي.

هناك فرعان منفصلان للتمويل يتطلبان تقنيات كمية متقدمة: تسعير المشتقات، وإدارة المخاطر والمحافظ الاستثمارية. أحد الاختلافات الرئيسية هو أنهما يستخدمان احتمالات مختلفة مثل الاحتمال المحايد للمخاطر (أو احتمال التسعير التحكيمي)، والذي يشار إليه بالرمز "Q"، والاحتمال الفعلي (أو الاكتواري)، والذي يشار إليه بالرمز "P".

عالم Q

هدف	"استقراء الحاضر"
بيئة	احتمالية الحياد من حيث المخاطر${\displaystyle \mathbb {Q} }$
العمليات	مارتينجالات الوقت المستمر
البعد	قليل
أدوات	حساب التفاضل والتكامل في إيتو، المعادلات التفاضلية الجزئية
التحديات	معايرة
عمل	جانب البيع

الهدف من تسعير المشتقات هو تحديد السعر العادل لأوراق مالية معينة من حيث الأوراق المالية الأكثر سيولة والتي يتم تحديد سعرها وفقًا لقانون العرض والطلب . يعتمد معنى "العادل" بالطبع على ما إذا كان المرء يفكر في شراء أو بيع الأوراق المالية. ومن أمثلة الأوراق المالية التي يتم تسعيرها الخيارات العادية والغريبة والسندات القابلة للتحويل وما إلى ذلك.

بمجرد تحديد سعر عادل، يمكن للتاجر من جانب البيع إنشاء سوق للأمن. لذلك، فإن تسعير المشتقات هو تمرين "استقراء" معقد لتحديد القيمة السوقية الحالية للأمن، والذي يستخدمه بعد ذلك مجتمع جانب البيع. بدأ تسعير المشتقات الكمية بواسطة لويس باشيلييه في نظرية المضاربة ("Théorie de la spéculation"، نُشر عام 1900)، مع تقديم أبسط العمليات وأكثرها تأثيرًا، الحركة البراونية ، وتطبيقاتها على تسعير الخيارات. ^{[4] [5]} يتم اشتقاق الحركة البراونية باستخدام معادلة لانجيفين والمشي العشوائي المنفصل . ^[6] وضع باشيلييه نموذجًا للسلسلة الزمنية للتغيرات في لوغاريتم أسعار الأسهم كمسيرة عشوائية حيث كان للتغيرات قصيرة الأجل تباين محدود . وهذا يتسبب في اتباع التغييرات الأطول أجلاً لتوزيع غاوسي . ^[7]

ظلت النظرية خاملة حتى قام فيشر بلاك وميرون شولز ، إلى جانب المساهمات الأساسية لروبرت سي ميرتون ، بتطبيق ثاني أكثر العمليات تأثيرًا، وهي الحركة البراونية الهندسية ، على تسعير الخيارات . ولهذا السبب، مُنح فيشر بلاك وميرون شولز جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية عام 1997. ولم يكن بلاك مؤهلاً للحصول على الجائزة لأنه توفي عام 1995. ^[8]

كانت الخطوة المهمة التالية هي النظرية الأساسية لتسعير الأصول التي وضعها هاريسون وبليسكا (1981)، والتي تنص على أن السعر الحالي الطبيعي المناسب P ₀ للأوراق المالية خالٍ من التحكيم، وبالتالي فهو عادل حقًا فقط إذا كانت هناك عملية عشوائية P _t بقيمة متوقعة ثابتة تصف تطورها المستقبلي: ^[9]

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

( 1 )

تسمى العملية التي تحقق الشرط ( 1 ) " مارتينجال ". ولا يكافئ المارتينجال المخاطرة. وبالتالي فإن احتمالية عملية تحديد سعر الأوراق المالية الطبيعية تسمى "محايدة للمخاطرة" وعادة ما يتم الإشارة إليها بالحرف " " . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

يجب أن تكون العلاقة ( 1 ) صحيحة في جميع الأوقات t: وبالتالي فإن العمليات المستخدمة لتسعير المشتقات يتم ضبطها بشكل طبيعي في وقت مستمر.

إن المحللين الكميين الذين يعملون في عالم تسعير المشتقات المالية هم متخصصون يتمتعون بمعرفة عميقة بالمنتجات المحددة التي يقومون بنمذجتها.

يتم تسعير الأوراق المالية بشكل فردي، وبالتالي فإن المشاكل في عالم Q منخفضة الأبعاد بطبيعتها. المعايرة هي واحدة من التحديات الرئيسية في عالم Q: بمجرد معايرة عملية معاملية مستمرة الوقت لمجموعة من الأوراق المالية المتداولة من خلال علاقة مثل ( 1 )، يتم استخدام علاقة مماثلة لتحديد سعر المشتقات الجديدة.

الأدوات الكمية الرئيسية اللازمة للتعامل مع عمليات Q المستمرة هي حساب إيتو العشوائي والمحاكاة والمعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). ^[10]

عالم P

هدف	"نموذج المستقبل"
بيئة	احتمالية في العالم الحقيقي${\displaystyle \mathbb {P} }$
العمليات	سلسلة زمنية منفصلة
البعد	كبير
أدوات	إحصاءات متعددة المتغيرات
التحديات	تقدير
عمل	جانب الشراء

تهدف إدارة المخاطر والمحافظ إلى نمذجة توزيع الاحتمالات المشتق إحصائيًا لأسعار السوق لجميع الأوراق المالية في أفق استثماري مستقبلي معين. يُشار عادةً إلى توزيع الاحتمالات "الحقيقي" لأسعار السوق بحرف الخط " "، على عكس الاحتمال "المحايد للمخاطر" المستخدم في تسعير المشتقات. بناءً على توزيع P، يتخذ مجتمع الشراء قرارات بشأن الأوراق المالية التي يجب شراؤها من أجل تحسين ملف الربح والخسارة المحتمل لمواقفهم التي تعتبر محفظة. على نحو متزايد، يتم أتمتة عناصر هذه العملية؛ راجع مخطط التمويل § الاستثمار الكمي للحصول على قائمة بالمقالات ذات الصلة. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

وبفضل عملهم الرائد، تقاسم ماركويتز وشارب ، إلى جانب ميرتون ميلر ، جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية عام 1990 ، وهي المرة الأولى التي تُمنح فيها جائزة عن عمل في مجال التمويل.

لقد أدخل عمل اختيار المحفظة الذي قام به ماركويتز وشارب الرياضيات إلى إدارة الاستثمار . ومع مرور الوقت، أصبحت الرياضيات أكثر تعقيدًا. وبفضل روبرت ميرتون وبول صامويلسون، تم استبدال نماذج الفترة الواحدة بالوقت المستمر، ونماذج الحركة البراونية ، وتم استبدال دالة المنفعة التربيعية الضمنية في تحسين المتوسط ​​والتباين بدوال منفعة مقعرة متزايدة أكثر عمومية. ^[11] وعلاوة على ذلك، تحول التركيز في السنوات الأخيرة نحو مخاطر التقدير، أي مخاطر افتراض غير صحيح أن تحليل السلاسل الزمنية المتقدمة وحده يمكن أن يوفر تقديرات دقيقة تمامًا لمعلمات السوق. ^[12] انظر إدارة المخاطر المالية § إدارة الاستثمار .

لقد بذلت جهود كبيرة في دراسة الأسواق المالية وكيفية تغير الأسعار مع مرور الوقت. وقد صاغ تشارلز داو ، أحد مؤسسي شركة داو جونز وول ستريت جورنال ، مجموعة من الأفكار حول هذا الموضوع والتي تسمى الآن نظرية داو . وهذا هو أساس ما يسمى بطريقة التحليل الفني لمحاولة التنبؤ بالتغيرات المستقبلية. أحد مبادئ "التحليل الفني" هو أن اتجاهات السوق تعطي إشارة للمستقبل، على الأقل في الأمد القريب. إن ادعاءات المحللين الفنيين محل نزاع من قبل العديد من الأكاديميين. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

أدت عواقب الأزمة المالية في عام 2009 وكذلك الانهيارات المفاجئة المتعددة في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين إلى ضجة اجتماعية في عامة الناس ومشاكل أخلاقية في المجتمع العلمي مما أدى إلى تغييرات ملحوظة في التمويل الكمي (QF). وبشكل أكثر تحديدًا، تم توجيه التمويل الرياضي للتغيير وأن يصبح أكثر واقعية بدلاً من أن يكون أكثر ملاءمة. ساهم الارتفاع المتزامن للبيانات الضخمة وعلوم البيانات في تسهيل هذه التغييرات. وبشكل أكثر تحديدًا، من حيث تحديد نماذج جديدة، شهدنا زيادة كبيرة في استخدام التعلم الآلي متجاوزًا نماذج التمويل الرياضي التقليدية. ^[13]

على مر السنين، تم تطوير نماذج رياضية متطورة بشكل متزايد واستراتيجيات تسعير المشتقات، لكن مصداقيتها تضررت بسبب الأزمة المالية في الفترة 2007-2010 . تعرضت الممارسة المعاصرة للتمويل الرياضي لانتقادات من شخصيات داخل هذا المجال، ولا سيما من قبل بول ويلموت ، ونسيم نيكولاس طالب ، في كتابه البجعة السوداء . ^[14] يدعي طالب أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا، مما يجعل الكثير من الممارسة الحالية غير ذات صلة في أفضل الأحوال، وفي أسوأ الأحوال مضللة بشكل خطير. نشر ويلموت وإيمانويل ديرمان بيان النماذج المالية في يناير 2009 ^[15] والذي يتناول بعض المخاوف الأكثر خطورة. تحاول هيئات مثل معهد التفكير الاقتصادي الجديد الآن تطوير نظريات وأساليب جديدة. ^[16]

بشكل عام، يُقال بشكل متزايد إن نمذجة التغييرات من خلال التوزيعات ذات التباين المحدود غير مناسبة. ^[17] في الستينيات، اكتشف بينوا ماندلبروت أن التغيرات في الأسعار لا تتبع توزيعًا غاوسيًا ، بل يتم نمذجتها بشكل أفضل من خلال توزيعات ليفي المستقرة ألفا . ^[18] يعتمد مقياس التغيير، أو التقلب، على طول الفترة الزمنية إلى قوة أكبر قليلاً من 1/2. التغييرات الكبيرة صعودًا أو هبوطًا هي أكثر احتمالية مما يمكن للمرء أن يحسبه باستخدام توزيع غاوسي مع انحراف معياري مقدر . لكن المشكلة هي أنها لا تحل المشكلة لأنها تجعل المعلمة أكثر صعوبة والتحكم في المخاطر أقل موثوقية. ^[14]

ربما يكون الأمر أكثر جوهرية: على الرغم من أن نماذج التمويل الرياضية قد تولد ربحًا في الأمد القريب، إلا أن هذا النوع من النمذجة يتعارض غالبًا مع مبدأ أساسي في الاقتصاد الكلي الحديث، وهو نقد لوكاس - أو التوقعات العقلانية - والذي ينص على أن العلاقات الملحوظة قد لا تكون هيكلية بطبيعتها وبالتالي قد لا يكون من الممكن استغلالها للسياسة العامة أو لتحقيق الربح ما لم نحدد العلاقات باستخدام التحليل السببي والاقتصاد القياسي . ^[19] لذلك، لا تتضمن نماذج التمويل الرياضية عناصر معقدة من علم النفس البشري والتي تعد بالغة الأهمية لنمذجة الحركات الاقتصادية الكلية الحديثة مثل الذعر الذي يحقق ذاته والذي يحفز عمليات سحب الودائع من البنوك .

• نيكول القروي ، "مستقبل الرياضيات المالية"، مجلة ParisTech ، 6 سبتمبر 2013
• هارولد ماركويتز ، "اختيار المحفظة"، مجلة التمويل ، 7، 1952، ص 77-91
• ويليام ف. شارب ، الاستثمارات ، برنتيس هول، 1985
• بيير هنري لابوردير (2017). "التحوط الخالي من النماذج: وجهة نظر النقل الأمثل لمارتينجال". تشابمان وهول/ سي آر سي.