قاعدة اليد اليمنى

في الرياضيات والفيزياء ، تعتبر قاعدة اليد اليمنى اصطلاحًا وأداة تذكيرية تستخدم لتحديد اتجاه المحاور في الفضاء ثلاثي الأبعاد ولتحديد اتجاه الضرب الاتجاهي لمتجهين ، وكذلك لتحديد اتجاه القوة المؤثرة على موصل يحمل تيارًا في مجال مغناطيسي .

تنشأ قواعد اليد اليمنى واليسرى المختلفة من حقيقة أن محاور الفضاء ثلاثي الأبعاد لها اتجاهان محتملان. يمكن ملاحظة ذلك بضم اليدين معًا مع توجيه راحة اليدين للأعلى وثني الأصابع. إذا كان ثني الأصابع يمثل حركة من المحور الأول (س) إلى المحور الثاني (ص)، فإن المحور الثالث (ع) يمكن أن يشير إما إلى إبهام اليد اليمنى أو إبهام اليد اليسرى.

يعود تاريخ قاعدة اليد اليمنى إلى القرن التاسع عشر، حيث طُبقت كوسيلة لتحديد الاتجاه الموجب لمحاور الإحداثيات في ثلاثة أبعاد. يُنسب الفضل في وضع هذه القاعدة إلى ويليام روان هاميلتون ، المعروف بتطويره للأعداد الرباعية ، وهو نظام رياضي لتمثيل الدورانات ثلاثية الأبعاد. في سياق الأعداد الرباعية، ينتج عن حاصل ضرب هاميلتوني لعددين رباعيين متجهين عدد رباعي يتألف من مركبات قياسية ومتجهة . ^{[ 1 ]} أدرك جوزيا ويلارد جيبس ​​أن التعامل مع هذه المركبات بشكل منفصل، كحاصل ضرب نقطي واتجاهي ، يُبسط صياغة المتجهات. بعد نقاش مستفيض، ^{[ 2 ]} تحول التيار السائد من نظام هاميلتون الرباعي إلى نظام جيبس ​​ثلاثي المتجهات. أدى هذا التحول إلى اعتماد قاعدة اليد اليمنى على نطاق واسع في السياقات المعاصرة. على وجه التحديد، يُبين جيبس ​​نيته في إنشاء نظام إحداثيات يميني في كُتيبه حول تحليل المتجهات. ^{[ 3 ]} في المادة 11 من الكتيب، يذكر جيبس ​​"الرسائل${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$، و${\displaystyle k}$تُستخدم هذه الرموز للإشارة إلى نظام متجهات الوحدة الطبيعي ، أي ثلاثة متجهات وحدة، كل منها متعامد مع المتجهين الآخرين... سنفترض دائمًا أن${\displaystyle k}$هو على جانب${\displaystyle ij}$المستوى الذي يدور عليه الدوران من${\displaystyle i}$ل${\displaystyle j}$(عبر زاوية قائمة واحدة) يظهر عكس اتجاه عقارب الساعة." على الرغم من أن جيبس ​​لم يستخدم مصطلح اليميني في مناقشته، إلا أن تعليماته لتحديد اتجاه الإحداثيات العادية هي بيان واضح لنيته فيما يتعلق بالإحداثيات التي تتبع قاعدة اليد اليمنى.

الضرب الاتجاهي للمتجهات${\displaystyle {\vec {a}}}$و${\displaystyle {\vec {b}}}$ هو متجه عمودي على المستوى الذي يمتد عليه${\displaystyle {\vec {a}}}$و${\displaystyle {\vec {b}}}$ مع مراعاة التوجيه الذي تحدده قاعدة اليد اليمنى : إذا وضعت إصبع السبابة الممدودة من يدك اليمنى على${\displaystyle {\vec {a}}}$والإصبع الأوسط  المنحني على${\displaystyle {\vec {b}}}$ثم يشير الإبهام في اتجاه${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$[ ^{4 ]​}

طُرحت قاعدة اليد اليمنى في الفيزياء في أواخر القرن التاسع عشر على يد جون فليمنج في كتابه "المغناطيس والتيارات الكهربائية ". ^{[ 5 ]} وصف فليمنج اتجاه القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بالإشارة إلى حركة الموصل واتجاه المجال المغناطيسي في الرسم التوضيحي التالي: "إذا تحرك موصل، ممثلاً بالإصبع الأوسط ، في مجال تدفق مغناطيسي ، يمثل اتجاهه اتجاه السبابة ، ويكون اتجاه هذه الحركة في اتجاه الإبهام ، فإن القوة الدافعة الكهربائية المتولدة فيه ستُحدد بالاتجاه الذي يشير إليه الإصبع الأوسط." ^{[ 5 ]}

في نظام الإحداثيات اليمنى ، إذا كان إبهام اليد اليمنى يشير على طول المحور z في الاتجاه الموجب (متجه الإحداثي الثالث)، فإن الأصابع تنحني من المحور x الموجب (متجه الإحداثي الأول) باتجاه المحور y الموجب (متجه الإحداثي الثاني). عند النظر من نقطة على طول المحور z الموجب، يكون ربع الدوران من المحور x الموجب إلى المحور y الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة .

بالنسبة للإحداثيات اليسرى ، يكون الوصف أعلاه للمحاور هو نفسه، باستثناء استخدام اليد اليسرى؛ ويكون ربع الدوران في اتجاه عقارب الساعة .

يؤدي تبديل تسميات أي محورين إلى عكس اتجاههما. كما يؤدي عكس اتجاه محور واحد (أو ثلاثة محاور) إلى عكس اتجاههما أيضًا. ويؤدي عكس اتجاه محورين إلى دوران 180 درجة حول المحور المتبقي، مع الحفاظ على اتجاههما. ويمكن دمج هذه العمليات للحصول على تغييرات متكررة في اتجاه المحورين. ^{[ 6 ]} (إذا لم يكن للمحاور اتجاه موجب أو سالب، فلا معنى للاتجاه).

في حساب المتجهات ، من الضروري ربط متجه عمودي على سطح ما بمنحنى حدوده. إذا كان لدينا سطح S ذو اتجاه عمودي محدد n̂ (اتجاه "صاعد" بالنسبة إلى S )، فإن منحنى الحدود C حول S يُعرَّف بأنه موجب الاتجاه بشرط أن يشير الإبهام الأيمن في اتجاه n̂ وأن تنحني الأصابع على طول اتجاه منحنى الحدود C.

• عندما يسري التيار الكهربائي (باتجاه التيار التقليدي ) في سلك مستقيم طويل، فإنه يُنشئ مجالًا مغناطيسيًا أسطوانيًا حول السلك وفقًا لقاعدة اليد اليمنى. ويُحدد اتجاه الخط المغناطيسي التقليدي بواسطة إبرة البوصلة.
• المغناطيس الكهربائي : يكون المجال المغناطيسي حول السلك ضعيفًا نسبيًا. إذا لُفّ السلك على شكل حلزوني، فإن جميع خطوط المجال داخل الحلزون تتجه في نفس الاتجاه، وتُعزز كل لفة لاحقة اللفات السابقة. يشير تقدم الحلزون، والجزء غير الدائري من التيار، وخطوط المجال جميعها إلى الاتجاه الموجب للمحور z . ولعدم وجود قطب مغناطيسي أحادي ، تخرج خطوط المجال من الطرف الموجب للمحور z ، وتلتف حول الحلزون من الخارج، ثم تعود للدخول من الطرف السالب للمحور z . يُعرف الطرف الموجب للمحور z، حيث تخرج الخطوط، بالقطب الشمالي. إذا لُفّت أصابع اليد اليمنى في اتجاه المكون الدائري للتيار، فإن إبهام اليد اليمنى يشير إلى القطب الشمالي.
• قوة لورنتز : إذا تحركت شحنة كهربائية عبر مجال مغناطيسي، فإنها تتعرض لقوة وفقًا لقوة لورنتز، ويُحدد اتجاهها بقاعدة اليد اليمنى. إذا كان السبابة يُمثل اتجاه تدفق الشحنة (أي التيار) والوسطى يُمثل اتجاه المجال المغناطيسي في الفضاء، فإن الإبهام يُمثل اتجاه القوة المؤثرة على الشحنة. ولأن الشحنة تتحرك، فإن القوة تُسبب انحناء مسارها. تُحسب قوة الانحناء باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهات. وهذا يعني أن قوة الانحناء تزداد مع سرعة الجسيم وقوة المجال المغناطيسي. تكون القوة في أقصى قيمة لها عندما يكون اتجاه الجسيم متعامدًا مع اتجاه المجال المغناطيسي، وتكون أقل عند أي زاوية أخرى، وتنعدم عندما يتحرك الجسيم موازيًا للمجال.

قاعدة أمبير للقبضة اليمنى

قاعدة أمبير لليد اليمنى، ^{[ 7 ]} والتي تُعرف أيضًا بقاعدة البرغي الأيمن وقاعدة المفتاح اللولبي، تُستخدم إما عند الحاجة إلى تعريف متجه (مثل متجه أويلر ) لتمثيل دوران جسم أو مجال مغناطيسي أو سائل، أو العكس، عند الحاجة إلى تعريف متجه دوران لفهم كيفية حدوث الدوران. تكشف هذه القاعدة عن وجود علاقة بين التيار وخطوط المجال المغناطيسي في المجال المغناطيسي الذي يُولّده التيار. استلهم أمبير هذه القاعدة من الفيزيائي هانز كريستيان أورستد ، الذي لاحظ دوران الإبر عند اقترابها من سلك يحمل تيارًا كهربائيًا، واستنتج أن الكهرباء قادرة على توليد مجالات مغناطيسية .

يُستخدم الضرب الاتجاهي لمتجهين بشكل شائع في الفيزياء والهندسة. على سبيل المثال، كما ذُكر أعلاه، تُعطى القوة المؤثرة على جسيم مشحون متحرك عند تحركه في مجال مغناطيسي B بالحد المغناطيسي لقوة لورنتز.

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$(الضرب الاتجاهي للمتجهات)

يمكن تحديد اتجاه الضرب الاتجاهي بتطبيق قاعدة اليد اليمنى كما يلي:

1. يشير إصبع السبابة في اتجاه متجه السرعة v.
2. يشير الإصبع الأوسط في اتجاه متجه المجال المغناطيسي B.
3. يشير الإبهام إلى اتجاه الضرب الاتجاهي F.

فعلى سبيل المثال، بالنسبة لجسيم مشحون بشحنة موجبة يتحرك باتجاه الشمال، في منطقة يشير فيها المجال المغناطيسي إلى الغرب، فإن القوة المحصلة تشير إلى الأعلى. ^{[ 6 ]}

• محاضرة فاينمان حول قاعدة اليد اليمنى
• قواعد اليد اليمنى واليسرى - برنامج تعليمي تفاعلي بلغة جافا - المختبر الوطني للمجالات المغناطيسية العالية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "قاعدة اليد اليمنى" . عالم الرياضيات .
• كريستيان موسر  : قاعدة اليد اليمنى  : wpftutorial.net